Zastosowania zasad dynamiki Newtona Katarzyna Sznajd-Weron. Wykład dla Informatyki WPPT

Transkrypt

1 Zastosowania zasad dynamiki Newtona Katarzyna Sznajd-Weron Wykład dla Informatyki WPPT

2 Zasady Dynamiki Newtona skrót (inercjalne układy odniesienia) 1. F = 0 a = 0 (definicja układu inercjalnego) 2. F = ma F x = ma x F y = ma y F z = ma z 3. F AA = F BB

3 Dlaczego spadają tak samo? Dalekozasięgowa siła: F 1 = F 2 = G m 1m 2 r 2 Source: Z drugiej strony masa bezwładna: F = ma F y = mg F y = G Mm r 2

4 Siła oporu Siła jaką płyn (gaz lub ciecz) wywiera na ciało w ruchu Skierowana zawsze przeciwnie do kierunku ruchu ciała Poruszające się ciało wywiera siłę na płyn toruje drogę Z III zasady Newtona płyn działa na ciało małe prędkości: f = kk duże prędkości: f = Dv 2 D = 1 2 CρS S- przekrój poprzeczny C współczynnik aerodynamiczny (eksperyment) ρ gęstość ośrodka (powietrza) UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

5 Siła oporu aerodynamicznego f = f v v, v = v v f v = bb + cv 2 związany z lepkością (tarcie płynu), proporcjonalny do: lepkości płynu rozmiaru liniowego obiektu związany z przyśpieszaniem cząstek, z którymi się zderza obiekt proporcjonalny do: gęstości ośrodka przekroju poprzecznego obiektu Przyzwoite funkcje rozwijamy w szereg potęgowy Taylora! f v = a + bb + cv 2 +

6 Siła oporu aerodynamicznego f = f v v, v = v v f v = bb + cv 2 = f lll + f kk Dla obiektów o kształcie kulistym o średnicy D : b = ββ, c = γd 2 W powietrzu warunkach normalnych: β = 1, NN m 2 γ = 0,25 Ns2 m 4

7 Siła oporu aerodynamicznego kiedy można coś zaniedbać? f v = bb + cv 2 = f lll + f kk f kk = cv2 f lll bb = c γd2 v = b ββ v = 1,6 103 s/m 2 DD Ex: Piłka baseballowa o D=7cm leci z prędkością v = 5m s Ex: Kropla deszczu o D=1mm leci z prędkością v = 0,6m Ex: Kropla oleju o D = 1,5 μμ leci z prędkością v = m : f kk 10 7 s f lll s : f kk f lll = 600 : f kk f lll 1

8 Przykład: kulka w oleju (mała prędkość) Siła działają tylko w kierunku Y F y (t) = mm kv y (t) = ma y (t) Na początku v y 0 = 0 oraz a y 0 = g Wraz ze wzrostem prędkości rośnie opór W końcu układ osiąga równowagę: F y = mm kv t = 0 v t = mm/k prędkość graniczna (terminal speed) UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

9 Przykład: kulka w oleju równania ruchu v t = mm/k UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

10 Przykład: Spadające koty Badania z 1987r. dane z pogotowia weterynaryjnego w Nowym Yorku 132 koty, 90% kotów przeżyło rekordzista spadł z 32 piętra na beton Prędkość graniczna 97km/h a potem? F g = mm F g = mm F g = mm

11 Przykład: Powietrzny skoczek Dla ciała ludzkiego spadającego w powietrzu w pozycji jak na zdjęciu wartość współczynnika D 0.25 kk. Znajdź graniczną prędkość m skoczka o masie 50kk. A co jeśli masa będzie większa? F y = mm Dv 2 y = 0 v y = mm D = 44 m s 160 kk h! UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

12 Rzut ukośny z oporem liniowym v y > 0 v v x > 0 v x > 0 v y < 0 v F oo = (0, k y v y (t 2 ), 0) F g = (0, mm, 0) F oo = (0, k y v y (t 1 ), 0) F g = (0, mm, 0) v = (v x, v y, 0) v x = (v x, 0,0) v y = (0, v y, 0) v = v x + v y = (v x, v y, 0) Co liczycie z definicji? Współrzędne wektora czy wartości? a = dv dd, a = a x, a y, a z = dv x dd, dv y dd, dv x dd v = dr dd, v = v x, v y, v z = dd dd, dd dd, dd dd

13 Rzut ukośny z oporem liniowym Ruch poziomy (sprawdź czy to dobrze): ma x = bv x dv x dd = b m v x x t = v 0x τ 1 exp ( t/τ), Gdzie τ = m czas charakterystyczny (relaksacji) b Ruch pionowy (sprawdź czy to dobrze): ma y = mm bv y dv y dd = g b m v y y t = (v 0y +v g )τ 1 exp ( t/τ) v g t

14 Tor ruchu i zasięg (jak policzyć?) x t = v 0x τ 1 exp ( t/τ), y t = (v 0y +v g )τ 1 exp ( t/τ) v g t y x = v 0y v g v 0x x + v g τττ 1 x v 0x τ Zasięg y t R = 0 R = x(t R ) v 0y v g R + v v g τττ 1 R 0x v 0x τ = 0

15 Komputer lub rozwiązanie przybliżone v 0y v g v 0x R + v g τττ 1 R v 0x τ = 0 Jeśli opór nie jest duży to ten czynnik mały ln 1 ε = (ε ε ε3 + ) Fizycy zawsze szukają czegoś małego lub dużego! Rozwijamy w szereg potęgowy i zaniedbujemy wyrazy wyższego rzędu

16 Skoki małych żywych organizmów Steven Vogel, Living in a physical world II. The bio-ballistics of small projectiles J. Biosci. 30: (2005)

17 Siła tarcia Bardzo ważna ( złe i dobre aspekty): Olej w silniku samochodowym minimalizuje tarcie pomiędzy ruchomymi częściami Bez tarcia między oponami a drogą nie mogliśmy jechać ani skręcić (opony nie mogłyby się obracać) Jak odkręcałoby się żarówkę? UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

18 Co się dzieje z tarciem? UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

19 Wybrane współczynniki tarcia powierzchnie μ s μ k stal-stal aluminium na stali szkło-szkło teflon-teflon teflon na stali guma na betonie (suchym) guma na betonie (mokrym) lód-lód nawoskowane drewno na mokrym śniegu nawoskowane drewno na suchym śniegu

20 Tarcie kinetyczne i statyczne Tarcie statyczne działa kiedy nie ma względnego ruchu powierzchni próbujesz przesunąć pudło po podłodze a ono się nie rusza podłoga wywiera przeciwnie skierowaną siłę na pudło f s μ s n UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

21 Tarcie kinetyczne i statyczne Trudniej poruszyć ciało niż utrzymać je w ruchu! Tarcie kinetyczne działa gdy ciało ślizga się po powierzchni dwie powierzchnie poruszają się względem siebie siła tarcia wzrasta, gdy rośnie siła normalna Empiryczne! f k = μ k n współczynnik tarcia kinetycznego UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

22 Przykład: Jazda na sankach z tarciem Jaki kąt, żeby sanki jechały ze stałą prędkością? Znajdź ten kąt w zależności od wagi w i współczynnika tarcia μ k. F x = wwww α f k = wwww α μ k n = 0 wwww α = μ k n Równowaga! F y = n wwww(α) = 0 n = wwww(α) UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

23 Przykład: Jazda na sankach z tarciem F x = wwww α f k = wwww α μ k n = 0 wwww α = μ k n F y = n wwww(α) = 0 n = wwww(α) wwww α = μ k wwww(α) μ k = sin (α) cos (α) = tt(α) UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

24 Po co nachylona droga? Z jaką maksymalną szybkością można jechać na takim zakręcie? Znamy promień krzywizny R Znamy współczynnik tarcia μ Przyśpieszenie dośrodkowe auta: a rrr = v2 Równania Newtona: F x = f = ma rrr = mv2 R F y = n + mm = 0 R UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

25 Po co nachylona droga? F x = f = ma rrr = mv2 R F y = n + mm = 0 n = mm Tarcie potrzebne, żeby utrzymać w tym ruchu rośnie z prędkością, ale max: f mmm = μ s f = μ s mm Czyli: μ s mm = m R v mmm 2 v mmm = μ s gg UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

26 Po co nachylona droga? Zał: brak tarcia F x = nnnnn = ma rrr = mv2 R F y = n cos β + mm = 0 n = mm cos β mm mv2 ssss = cos β R ggggg = v 2 A co jeśli jeszcze tarcie? UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

27 Przykład: Indianapolis, Speedway, Indiana Droga ma długość: 2.5 mmmi 4000 m: Dwóch prostych odcinków o długości 1000m Czterech zakrętów o długości 400 m Dwóch prostych o długości 200m Nachylenie: Proste: 0 0 Zakręty: 9,2 0 Nawierzchnia: asfalt Indy km

28 Przykład: Indianapolis, Speedway, Indiana Z jaką maksymalną prędkością można jechać na zakrętach? Obwód koła: 1600 = 2ππ r 255 Nachylenie: Proste: 0 0 Zakręty: 9, m 200m

29 Jak szybko kręcić kieliszkami?

30 Oscylator harmoniczny x = 0: położenie równowagi 0 x x < 0 F x = kk > 0 0 F x = kk < 0 x 0 x > 0 x x < 0: wychylenie z położenia równowagi x > 0: wychylenie z położenia równowagi

31 Wahadło matematyczne F x = mmmmmm Druga zasada dynamiki: ma x = mmmmmm a x = ggggg = d2 x dt 2 Długość łuku: x = LL Równanie ruchu: θ + g L ssss = 0 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

32 Jak to rozwiązać? θ + g L ssss = 0 ssss = θ θ3 3! + θ5 5! Jeśli założysz, że θ 0, wtedy ssss = θ θ + g L θ = 0 łatwo rozwiązać (jak?) Ale co to znaczy θ 0? (doświadczenie)

33 Małe kąty Dla małych kątów (oscylator harmoniczny) θ + g L θ = 0 Otrzymujemy: θ t = θ 0 cos Wtedy prędkość kątowa: θ ṫ = θ 0 g L sin g L t g L t

34 Wahadło matematyczne i pomiar przyśpieszenia ziemskiego Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny: θ + g L θ = 0 x + k m x = 0 Częstość kątowa: k = ω 2 m ω = k m = g L Okres nie zależy od masy ani wychylenia?! ω = 2π T = 2ππ T = 2π ω = 2π L g

35 Dlaczego ω to jakaś częstość (kołowa)? x t = Acos (ωω) x t = x t + T, T to okres cos ωω = cos ω t + T z własności cosinusa: cos ωω = cos (ωω + 2π) cos ωω + 2π = cos( ωω + ωω) 2π = ωω ω = 2π T = 2ππ Częstość (liczba okresów w 1s) oznaczana: f lub ν

36 Wahadło matematyczne i sprężyna: okres, położenie, prędkość i energia Restnik Halliday Walker

37 Oscylator tłumiony i wymuszany mx = F x = kk równanie Newtona mx + kk = 0 oscylator harmoniczny mx + bx + kk = 0 tłumienie mx + bx + kk = F(t) wymuszanie x + b m x + k m x = F t m = f t = f 0sin (ωω)

38 Wymuszane wahadło

39 Ruch harmoniczny i ruch po okręgu W 1610, skonstruowanym przez siebie teleskopem odkrył 4 główne księżyce Jowisza Sonda Juno (NASA ) film poklatkowy, rozpoczyna się w dniu 12 czerwca (Juno 10 milionów mil od Jowisza), a kończy się w dniu 29 czerwca (3 miliony mil). Galileo Galilei ( ) Portrait by Giusto Sustermans Źródło: Wikipedia

40 Ruch harmoniczny i ruch po okręgu Ruch ze stałą prędkością kątową ω Jakim wzorem zadane położenie Q na OO? x = AAAAA = AAAA(ωω + φ) Restnik Halliday Walker

41 Do czytania ten wykład D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki (2007), Tom 1, Rozdziały 1-4