Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji w punkcie x 0 dla przyrostu x zmiennej niezale»nej x nazywamy wyra»enie x = (x 0 + x) (x 0 ). x Przykªad. a) (x) = x 3, x 0 =, x = 0, 1, b) (x) = ln x, x 0 = 1, x = 0, 4. Denicja. Niech : X R, X R, oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Pochodn unkcji w punkcie x 0 nazywamy wªa±ciw granic ilorazu ró»nicowego unkcji w punkcie x 0 przy przyro±cie argumentu zmierzaj cym do zera, tzn. (x 0 ) = lim x 0 (x 0 + x) (x 0 ). x Przykªad. a) (x) = x, x 0 R, b) (x) = sin x, x 0 R, c) (x) = e x, x 0 R. Interpretacja geometryczna pochodnej unkcji w punkcie x 0 : (x 0 ) = tgα, gdzie α jest k tem mi dzy styczn do wykresu unkcji w punkcie x 0 i osi OX. Denicja. Niech : X R, X R, oraz U (x 0, r) X dla pewnego r > 0. Pochodn lewostronn unkcji w punkcie x 0 (Pochodn prawostronn unkcji w punkcie x 0 ) nazywamy wªa±ciw lewostronn (prawostronn ) granic ilorazu ró»nicowego unkcji w punkcie x 0 przy przyro±cie argumentu zmierzaj cym do zera, tzn. (x (x 0 ) = lim 0+ x) (x 0) x 0 x. ( +(x (x 0 ) = lim 0+ x) (x 0) x 0 + x.) Przykªad. a) (x) = x, x 0 = 0, b) (x) = 3 x, x 0 = 0. Twierdzenie. Funkcja : X R, X R, ma pochodn w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (x 0 ) = +(x 0 ). Denicja. Niech : X R, X R, oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Funkcj nazywamy ró»niczkowaln w punkcie x 0, je±li istnieje pochodna (x 0 ) unkcji w punkcie x 0. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, to = (x 0 ) x + o( x), o( x) gdzie lim x 0 x = 0. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, to jest ci gªa w punkcie x 0. Denicja. Niech : X R, X R, oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ró»niczk unkcji w punkcie x 0 odpowiadaj c przyrostowi x zmiennej niezale»nej x, nazywamy liczb d(x 0, x) = (x 0 ) x. 1

oprac. Gra»yna Ciecierska REGUŠY RÓ NICZKOWANIA Wniosek. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, to (x 0 + x) (x 0 ) d(x 0, x) dla dostatecznie maªych przyrostów x. Przykªad. a) 3, b) 3 8, 01. (c) = 0 (x α ) = αx α 1, α R (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tgx) = 1 cos x (ctgx) = 1 sin x (sinhx) = coshx (coshx) = sinhx (tghx) = 1 (ctghx) = 1 cosh x sinh x (a x ) = a x ln a (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a (ln x) = 1 x (arcsinx) = 1 1 x (arccosx) = 1 1 x (arctgx) = 1 1+x (arcctgx) = 1 1+x (ar sinhx) = 1 1+x (ar coshx) = 1 x 1 (ar tghx) = 1 1 x, x < 1 (ar ctghx) = 1 1 x, x > 1 Reguªy ró»niczkowania Twierdzenie. Je±li unkcje 1, : X R, X R, s ró»niczkowalne w punkcie x 0 oraz α R, to unkcje 1 +, α 1 okre±lone wzorami: ( 1 + )(x) = 1 (x) + (x), (α 1 )(x) = α 1 (x) dla x X s ró»niczkowalne w punkcie x 0. Ponadto ( 1 + ) (x 0 ) = 1(x 0 ) + (x 0 ), (α 1 ) (x 0 ) = α 1(x 0 ). Przykªad. (x) = x 5 3x 4 + 7 x Twierdzenie. Je±li unkcje 1, : X R, X R, s ró»niczkowalne w punkcie x 0, to unkcja 1 : X R, okre±lona wzorem: ( 1 )(x) = 1 (x) (x) dla x X jest ró»niczkowalna w punkcie x 0. Ponadto ( 1 ) (x 0 ) = 1(x 0 ) (x 0 ) + 1 (x 0 ) (x 0 ). Przykªad. (x) = 3x 3 x log 3 x Twierdzenie. Je±li unkcje 1, : X R, X R, s ró»niczkowalne w punkcie x 0 oraz (x 0 ) 0, to unkcja 1 : X \ {x : (x) = 0} R, okre±lona wzorem: 1 (x) = 1(x) (x), jest ró»niczkowalna w punkcie ( ) x 1 0. Ponadto (x0 ) = 1 (x0) (x0) 1(x0) (x0) [(x)]. Przykªad. (x) = cos x+ex 6+e x Twierdzenie. Je±li 1 : X 1 R, : X R, X 1 R, 1 (X 1 ) X R s unkcjami speªniaj cymi warunki: 1 jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, jest ró»niczkowalna w punkcie 1 (x 0 ), to unkcja 1 : X 1 R jest ró»niczkowalna w punkcie x 0 oraz ( 1 ) (x 0 ) = ( 1 (x 0 )) 1(x 0 ). Przykªad. (x) = (8x 3 + 5x) 4 Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R jest ci gªa w U(x 0, r) dla pewnego r > 0, jest rosn ca (malej ca) w U(x 0, r), jest ró»niczkowalna w punkcie x 0 oraz (x 0 ) 0, to unkcja odwrotna 1 : (X) R jest ró»niczkowalna w punkcie (x 0 ) oraz ( 1) (y0 ) = 1 (x 0), gdzie y 0 = (x 0 ). Przykªad. (x) = tgx, x ( π, π ), 1 (y) = arctgy Denicja. Niech : X (0, + ) b dzie unkcj rózniczkowaln w punkcie x 0. Pochodn logarytmiczn unkcji w punkcie x 0 nazywamy pochodn zªo»enia ln unkcji i unkcji logarytmicznej ln w punkcie x 0, (ln ) (x 0 ) = (x 0) (x 0). Wniosek. Je±li : X (0, + ) jest unkcj rózniczkowaln w punkcie x 0, to (x 0 ) = (x 0 ) (ln ) (x 0 ). Wniosek. Je±li : X (0, + ), gdzie (x) = g(x) h(x) = e h(x) ln g(x) jest unkcj rózniczkowaln w punkcie x 0, to (x 0 ) = (x 0 ) [h (ln g)]) (x 0 ).

oprac. Gra»yna Ciecierska 3 POCHODNE WY SZYCH RZ DÓW Przykªad. (a) (x) = x x, x 0 = e (b) (x) = (1 + x ) cos x, x 0 = 3 Pochodne wy»szych rz dów Denicja. Niech : X R oraz : X 1 R, X 1 = {x X : (x) R} oraz U(x 0, r) X 1 dla pewnego r > 0. Pochodn rz du drugiego unkcji w punkcie x 0 nazywamy pochodn unkcji w punkcie x 0, tzn. (x 0 ) = ( ) (x 0 ). Denicja. Niech : X R, (n 1) : X n 1 R, X n 1 = {x X : (n 1) (x) R}, n N, n, U(x 0, r) X n 1 dla pewnego r > 0. Pochodn ntego rz du unkcji w punkcie x 0 nazywamy pochodn pochodnej (n 1) w punkcie x 0, tzn. (n) (x 0 ) = ( (n 1)) (x0 ). Przykªad. (a) (x) = x e x ; (b) (x) = x ln x; (c) (x) = sin x; (n) Oznaczenie. C[a, b] zbiór unkcji : [a, b] R ci gªych C 1 [a, b] zbiór unkcji : [a, b] R ró»niczkowalnych na [a, b] o ci gªej pochodnej, C n [a, b] zbiór unkcji : [a, b] R nkrotnie ró»niczkowalnych na [a, b] o ci gªej pochodnej (n) Twierdzenie (wzór Leibniza). ( ) Je±li 1, : X R, maj pochodne wªa±ciwe ntego rz du w punkcie x 0, to ( 1 ) (n) (x) = n n (k) k=0 k 1 (x 0 ) (n k) (x 0 ). Przykªad. (5), (x) = x cos x. Twierdzenie (Rolle). Je±li unkcja : [a, b] R, jest ci gªa i ró»niczkowalna w przedziale (a, b) oraz (a) = (b), to istnieje taki punkt c (a, b),»e (c) = 0. Twierdzenie (Lagrange). Je±li unkcja : [a, b] R, jest ci gªa i ró»niczkowalna w przedziale (a, b), to istnieje taki punkt c (a, b),»e = (c). (b) (a) b a Przykªad. (a) (x) = 1 x+ ; [ 1, ] (b) x 1+x < ln(1 + x) < x; x > 0 Wniosek. Je±li unkcja : [a, b] R, jest ci gªa i ró»niczkowalna w przedziale (a, b) oraz (x) > 0 ( (x) < 0) dla ka»dego x (a, b), to unkcja jest rosn ca (malej ca) w przedziale (a, b). Przykªad. (a) (x) = arctgx ln x (b) (x) = (x + 1)e x Wniosek. Je±li unkcja : [a, b] R, jest ci gªa i ró»niczkowalna w przedziale (a, b) oraz (x) = 0 dla ka»dego x (a, b), to jest unkcj staª. Przykªad. sin(arccosx) = 1 x ; x ( 1, 1) Twierdzenie (Taylor). Je±li C (n 1) [a, b] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (a, b), to istnieje taki punkt c (a, b),»e (b) = (a) + n 1 (k) (a) (b a) k + (n) (c) (b a) n. Wniosek. Je±li C (n 1) [x 0, x] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (x 0, x), to (x) = (x 0 ) + n 1 (k) (x 0) (x x 0 ) k + (n) (c) (x x 0 ) n, gdzie c (x 0, x). Denicja. Je±li C (n 1) [x 0, x] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (x 0, x), to wielomian W n 1 (x) = (x 0 ) + n 1 (k) (x 0) (x x 0 ) k nazywamy wielomianem Taylora rz du n 1 unkcji w punkcie x 0, za± R n (x) = (n) (c) (x x 0 ) n, gdzie c (x 0, x), nazywamy nt reszt we wzorze Taylora. 3

oprac. Gra»yna Ciecierska 3 POCHODNE WY SZYCH RZ DÓW Przykªad. (x) = x 5 x 4 + x 3 x + x 1; x 0 = 1 Wniosek. Je±li C (n 1) [x 0, x] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (x 0, x), to (x) (x 0 )+ (k) (x 0) (x x 0 ) k. n 1 Przykªad. (a) (x) = 1 x, x 0 =, n = 3, (b) (x) = e cos x, x 0 = π, n = Denicja. Je±li C (n 1) [0, x] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (0, x), to wzorem Maclaurina dla unkcji nazywamy wzór Taylora dla unkcji w punkcie x 0 = 0, tzn. (x) = (0) + n 1 (k) (0) x k + (n) (c) x n, gdzie c (0, x). Przykªad. (a) e x = 1 + x 1! + x! +... + xn 1 (n 1)! + xn ec (b) sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... + ( 1)n x n 3 (n 3)! + ( 1)n+1 x n 1 (n 1)! cos c (c) cos x = 1 x! + x4 4! x6 6! +... + ( 1)n 1 x n (n )! + ( 1)n x n (n)! cos c (d) ln(1 + x) = x x + x3 3 x4 4 +... + ( 1)n x n 1 n 1 + ( 1)n+1 x n n 1 (1+c) n Wniosek. Je±li C (n 1) [0, x] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (0, x), to (x) (0) + n 1 (k) (0) x k. Przykªad. (x) = ln(1 + x); n = 4; ln 1, 0 Denicja. Niech 1, : X R, X R, S(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Wyra»enie 1(x) nazywamy (x) symbolem nieoznaczonym w punkcie x 0 typu 0 0, je±li lim 1 (x) = lim (x) = 0. x x 0 x x 0 Denicja. Niech 1, : X R, X R, S(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Wyra»enie 1(x) nazywamy (x) symbolem nieoznaczonym w punkcie x 0 typu, je±li lim 1 (x) =, x x 0 lim (x) =, gdzie x x 0 = + lub =. Twierdzenie (reguªa de l'hospitala). Je±li 1 oraz 1 punktu x 0, tzn. S(x 0, r) D( 1 ) D( 1 ) dla pewnego r > 0, punkcie x 0 typu 0 0 ( ) oraz istnieje granica lim lim x x 0 1 (x) (x). s unkcjami okre±lonymi w pewnym s siedztwie 1(x) (x) 1 (x) x x 0 (x), to istnieje lim jest symbolem nieoznaczonym w 1(x) x x. Ponadto 0 (x) lim 1(x) x x = 0 (x) Wniosek. Je±li 1 oraz 1 s unkcjami okre±lonymi w pewnym s siedztwie +, tzn. (a, + ) D( 1 ) D( 1 ) dla pewnego a R, 1(x) jest symbolem nieoznaczonym w + typu 0 (x) 0 ( ) oraz istnieje granica lim 1 (x) x + (x) to istnieje lim 1(x) x +. Ponadto lim 1(x) (x) x + = lim 1 (x) (x) x + (x). Wniosek. Je±li 1 oraz 1 (, b) D( 1 ) D( 1 ) dla pewnego b R, 1(x) istnieje granica lim x s unkcjami okre±lonymi w pewnym s siedztwie, tzn. 1 (x) (x), to istnieje lim Przykªad. (a) lim x 0 + ln(cos x) ln(cos x) x 3 (b) lim ln x x x 1 ln x jest symbolem nieoznaczonym w typu 0 (x) 0 ( ), 1(x). Ponadto lim 1(x) (x) x = lim 1 (x) (x) x (x). 4

oprac. Gra»yna Ciecierska 4 ZASTOSOWANIA POCHODNEJ 4 Zastosowania pochodnej Denicja. Niech S(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Funkcja : X R, X R osi ga maksimum lokalne w punkcie x 0, je±li δ > 0 x S(x 0, δ), ((x) (x 0 )). Denicja. Niech S(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Funkcja : X R, X R osi ga minimum lokalne w punkcie x 0, je±li δ > 0 x S(x 0, δ), ((x) (x 0 )). Denicja. Funkcja : X R, X R osi ga ekstremum lokalne w punkcie x 0, je±li osi ga w tym punkcie minimum lub maksimum lokalne. Twierdzenie (Fermat). Je±li unkcja : X R, X R jest ró»niczkowalna w punkcie x 0 i osi ga w tym punkcie ekstremum lokalne, to (x 0 ) = 0. Przykªad. (a) (x) = x 3, x 0 = 0 (b) (x) = x, x 0 = 0 Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: (x 0 ) = 0, δ > 0, [( x S (x 0, δ), (x) > 0) ( x S + (x 0, δ), (x) < 0)], to osi ga w punkcie x 0 maksimum lokalne. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: (x 0 ) = 0, δ > 0, [( x S (x 0, δ), (x) < 0) ( x S + (x 0, δ), (x) > 0)], to osi ga w punkcie x 0 minimum lokalne. Przykªad. (x) = ln x x Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna nkrotnie w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: n jest liczb parzyst, (x 0 ) = (x 0 ) =... = (n 1) (x 0 ) = 0, (n) (x 0 ) < 0 ( (n) (x 0 ) > 0), to osi ga w punkcie x 0 maksimum (minimum) lokalne. Przykªad. (a) (x) = x e x e x, x 0 = 0 Denicja. Niech : X R, X R b dzie unkcj dwukrotnie ró»niczkowaln w U(x 0, r), r > 0. Krzyw o równaniu y = (x) nazywamy wypukª w punkcie x 0, je±li istnieje s siedztwo S(x 0, δ), 0 < δ < r, takie,»e cz ± krzywej odpowiadaj ca temu s siedztwu le»y powy»ej stycznej do krzywej y = (x) w punkcie x 0. Denicja. Niech : X R, X R b dzie unkcj dwukrotnie ró»niczkowaln w U(x 0, r), r > 0. Krzyw o równaniu y = (x) nazywamy wkl sª w punkcie x 0, je±li istnieje s siedztwo S(x 0, δ), 0 < δ < r, takie,»e cz ± krzywej odpowiadaj ca temu s siedztwu le»y poni»ej stycznej do krzywej y = (x) w punkcie x 0. Denicja. Niech : X R, X R b dzie unkcj dwukrotnie ró»niczkowaln w U(x 0, r), r > 0. Punkt (x 0, (x 0 )) nazywamy punktem przegi cia krzywej L o równaniu y = (x) je±li istnieje s siedztwo S(x 0, δ), 0 < δ < r takie,»e L jest wypukªa (wkl sªa) w U (x 0, δ) oraz L jest wkl sªa (wypukªa) w U + (x 0, δ). Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest dwukrotnie ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz δ > 0 x S(x 0, δ), ( (x) > 0) to krzywa L o równaniu y = (x) jest wypukªa w punkcie x 0. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest dwukrotnie ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz δ > 0 x S(x 0, δ), ( (x) < 0), to krzywa L o równaniu y = (x) jest wkl sªa w punkcie x 0. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest dwukrotnie ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, jest ci gªa w punkcie x 0 oraz (x 0, (x 0 )) jest punktem przegi cia krzywej L o równaniu y = (x), to (x) = 0. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest dwukrotnie ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: (x 0 ) = 0, δ > 0, [( x S (x 0, δ), (x) > 0) ( x S + (x 0, δ), (x) < 0)], 5

oprac. Gra»yna Ciecierska 4 ZASTOSOWANIA POCHODNEJ to (x 0, (x 0 )) jest punktem przegi cia krzywej L o równaniu y = (x). Przykªad. (x) = x 4 x 3 Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest dwukrotnie ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: (x 0 ) = 0, δ > 0, [( x S (x 0, δ), (x) < 0) ( x S + (x 0, δ), (x) > 0)], to (x 0, (x 0 )) jest punktem przegi cia krzywej L o równaniu y = (x). Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna nkrotnie w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: n jest liczb nieparzyst, n 3, (x 0 ) = (3) (x 0 ) =... = (n 1) (x 0 ) = 0, (n) (x 0 ) 0, to (x 0, (x 0 )) jest punktem przegi cia krzywej L o równaniu y = (x). Przykªad. (x) = e x + e x + x x 1 8 x4, (0, ) Literatura 1. Bana± J., W drychowicz S., 015, Zbiór zada«z analizy matematycznej; WNT. Gewert M., Skoczylas Z., 01, Analiza matematyczna 1. Denicje, twierdzenia, wzory, Ocyna Wydawnicza GiS 3. Gewert M., Skoczylas Z., 01, Analiza matematyczna 1. Przykªady i zadania, Ocyna Wydawnicza GiS 4. Koªodziej W., 01, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN 5. Kaczor W. J., Nowak M. T., 015, Zadania z analizy matematycznej. Cz.. Funkcje jednej zmiennej - rachunek ró»niczkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN 6. Krysicki W., Wªodarski L., 015, Analiza matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Cz ± 1 7. Kuratowski K., 013, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy. Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe PWN 8. Leja F., 016, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy ze wst pem do równa«ró»niczkowych, Wydawnictwo Naukowe PWN 9. Musielakowie H. i J., 011, Analiza matematyczna. T.1, cz. 1,, Wydawnictwo Naukowe UAM 10. Rudin W., 01, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN 11. Rudnicki W., 01, Wykªady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN. 1. Stankiewicz W., 015, Zadania dla wy»szych uczelni technicznych, Cz ± A i B, Wydawnictwo Naukowe PWN 6