a) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;

Transkrypt

1 Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R R R: g((x, y ), (x, y )) = x y + x y ; g((x, y ), (x, y )) = x x + y x ; g((x, y ), (x, y )) = x y x y ; c) H : W (R) W (R) R: H(v, w) = v() w() v() w(); ( ) H(v, w) = v(x) w(x) dx H(v, w) = v(x)dx w(x)dx.. Wyznacz macierz funkcjonaªu oraz korzystaj c z macierzy zbadaj, czy jest to iloczyn skalarny a) u: R R R w bazie kanonicznej oraz w bazie B, gdzie ( ) B =, 3 u ( (x, y ), (x, y ) ) = 4x x x y ; u ( (x, y ), (x, y ) ) = x x + 3x y + x y y y ; b) v : R 3 R 3 R w bazie kanonicznej oraz w bazach C i D, gdzie C =,, ; D =,, v ( (x, y, z ), (x, y, z ) ) = x y 3x y + x z z y + z x ; v ( (x, y, z ), (x, y, z ) ) = x z + x y + y y + z y + z x + y x + x x ; c) H : W (R) W (R) w bazach E i F, gdzie ( ) E = x, x, ; F = H(v, w) = v() w(); ( ) H(v, w) = v () w() + w () ; H(v, w) = v(x)dx w(x)dx. ( ) x, x +, 3 3. Wyznacz wzór funkcjonaªu Z : R 3 R 3 R, wiedz c»e w bazie D ma macierz: 5, gdzie D =,, W (R) to przestrze«wielomianów stopnia o wspóªczynnikach rzeczywistych

2 4. Dla poni»szych wektorów oblicz u, v, (u v) oraz k t mi dzy u a v; a) w przestrzeni R : [ u = u = ], v = 3, v = ; [ 3 ] ; b) w przestrzeni R 3 : 3 4 u = 4, v = 3 5 u =, v = ; c) w przestrzeni W (R) u»ywaj c iloczynu skalarnego u v = u(x) = x, v(x) = x ; u(x) = x 3, v(x) = 3x. 5. Funkcjonaªy dwuliniowe F oraz G maj w bazie kanonicznej macierz 3 F G (a) Wyka»,»e s to iloczyny skalarne; (b) Podaj wzór funkcjonaªu F ; u(x) v(x)dx: (c) Czy istnieje baza przestrzeni R w której F ma macierz diagonaln? Jaka? A G? A czy mog obie macierze (w tej samej bazie) byc jednocze±nie diagonalne? (d) Wyznacz baz ortogonaln wzgl dem iloczynu skalarnego F (lub G). 6. Funkcjonaª dwuliniowy H p ma w bazie kanonicznej macierz p F p p (a) Dla jakich p jest to iloczyn skalarny?; (b) Wyznacz baz ortogonaln (w zale»no±ci od p) wzgl dem iloczynu skalarnego H p. 7. Wyznacz baz ortogonaln (wzgl dem standardowego iloczynu skalarnego) i ortonormaln poni»szych przestrzeni liniowych: L 4, ; L,, { (x, y) R : x + y = } ; ; { (x, y, z) R 3 : x + y z = } ;

3 { (w, x, y, z) R 4 : w + x + y + z = w x + z = }. 8. Wyznacz baz ortogonaln i ortonormaln (wzgl dem iloczynu skalarnego z punktu 4c.) poni»- szych podprzestrzeni liniowych przestrzeni W (R): L (x + ); L (x, x); {w(x) W (R): w() = }; {w(x) W (R): w () = }; {w(x) W (R): w() 3w () = }. 9. Wyznacz rzut ortogonalny wektora v na przestrze«s oraz oblicz odlegªo± wektora od tej przestrzeni: () v =, S = L ; 4 () v =, S = L ; v =, S = L 4, ; v = [ v = 3 v =,, ], S = L ; { (x, y) R : x + y = } ; { (x, y) R : x + y + z = }.. Wyznacz rzut ortogonalny (wzgl dem iloczynu skalarnego z punktu 4c.) wielomianu v(x) na przestrze«s oraz oblicz odlegªo± wielomianu od tej przestrzeni: v(x) = x, S = L (x ); v(x) = x, S = L (, x); v(x) =, S = {w(x) W (R): w() = w () w() = }.. Sprawd¹, czy funkcja jest norm : a) f : R R: f(x) = x ; f(x) = ; f(x) = e x ; f(x) = x ; b) g : R R: g((x, y)) = x y ; g((x, y)) = ( x + y ) ; g((x, y)) = x ; g((x, y)) = x + y ; 3

4 g((x, y)) = e x y ; c) H : W (R) R: H(v) = v() ; H(v, w) = v() + v() + v() ; H(v, w) = v(x). d)* K : M (R) R () a b K = a + b + c + d ; c d () a b K = a b + c d ; c d () a b K = max ( a, b, c, d ) ; c d () a b K = max( a, c ) + max( b, d ); c d. Zaznacz na rysunku zbiór: A = {x R : x (, ) 4 x + (, ) max 3}, gdzie oznacza norm miejsk, a max norm maksimum w R. 3. Wyka»,»e funkcja w R 3, dana wzorem x p = p x p + x p + x 3 p jest norm wtedy i tylko wtedy gdy p. 4. Wyznacz norm A = df sup A v, o ile: v = a) Norma u»yta w powy»szej denicji (dwa razy) to w = x + y, gdzie w = prosz liczy wprost z denicji b) Norma u»yta to, w = x + y. prosz policzy na dwa sposoby: wprost z denicji oraz (tak jest du»o szybciej!) korzystaj c ze wzoru: A = max{warto±ci wªasnych : dla macierzy A T A} = max{λ: λ sp(a T A)} 3 Dla macierzy: A = oraz B =. 5. Sprawd¹, czy funkcja jest metryk : a) f : R R R: f(x, y) = x y; f(x, y) = ; f(x, y) = x y ; b) g : R R R: g((x, y ), (x, y )) = x + x + y + y ; g((x, y ), (x, y )) = (x x ) + (y y ) ; g((x, y ), (x, y )) = 4 (x x ) 4 + (y y ) 4 ; M (R) to przestrze«macierzy o wymiarach o elementach rzeczywistych [ x y ] ; 4

5 c) H : W (R) W (R) R: H(v, w) = v() w() ; H(v, w) = v() w() + v( ) w( ) ; H(v, w) = v(x) + w(x) dx. 6. Wyka»,»e funkcja τ : R R R + {} jest metryk, oblicz odlegªo± w tej metryce punktów (, ) i (3, ), a nast pnie narysuj w tej metryce kule B((, ); ), B((, ); ) oraz B((, ); ). (Jest to metryka w zªa kolejowego): τ(x, y) = τ ((x, x ); (y, y )) = { x (x y ) + (x y ) dla y x = x y + x + y + y w przeciwnym przypadku 7. Oblicz odlegªo± w metryce supremum mi dzy funkcjami f, g : [, ] R dla funkcji danych wzorami f(x) = x 3 x +, a g(x) = x + 3x. 8. Oblicz d( 3 sin x, cos x), gdzie d(, ) oznacza metryk supremum w przestrzeni C(R) (czyli zbiorze funkcji ci gªych o dziedzinie: R). 9. Dane s funkcje f(x) = 5x x funkcji f i g C([, 4]). oraz g(x) = 6 ln(x). Oblicz odlegªo± w metryce supremum.* Na póªprostej rzeczywistej uzupeªnionej o + czyli zbiorze R + := [, + ] okre±lamy funkcj : d(x, y) = e x e y, przy czym je±li x (lub y) jest równe + przyjmujemy e (+ ) =. Wyka»,»e jest to metryka na R +..* Wyka»,»e metryka d na przestrzeni liniowej X pochodzi od normy wtedy i tylko wtedy gdy ma dwie wªasno±ci: x X t R d(tx, ) = t d(x, ) (jednorodno± ); x,y,z X d(x, y) = d(x + z, y + z) (przesuwalno± ). 3. Zbadaj czy zbiór jest wypukªy (uzasadnij,»e jest albo podaj przykªad odcinka, którego ko«ce le» w zbiorze, a punkt z wn trza odcinka nie) A = { x R: x > } ; B = { x R: x 4 + 4x + x 3 + x } ; C = { x R: e x x > x } ; D = { (x, y) R : x + 3y + } ; E = { (x, y) R : x y = } ; F = { (x, y) R : y 4 x } ; G = { (x, y) R : x y 3 x } ; H = { (x, y) R : y e x y ln(x) + 3 } ; I = { (x, y) R : y + x < 4 } ; J = { (x, y) R : x < y } ; K = { (x, y) R : x + y 4 x 3 } ; patrz te» zadanie 7 5

6 L = { (x, y) R : x 4 + y + xy 7 x } ; M = { (x, y, z) R 3 : z x + y xy } ; N = { (x, y, z) R 3 : x + 3y z } ; O = { (x, y, z) R 3 : z x + y } ; P = { (x, y, z) R 3 : z 3x + e y ln(x) } ; R = { (x, y, z) R 3 : y 6 + max(x, z + z) } ; S = { (x, y, z) R 3 : z + y x y y + z } ; T = { (x, y, z) R 3 : z min(y, x) z x y } ; U = { (x, y, z) R 3 : x + 3y + z 3 x + 3y y z + y } ; V = { (x, y, z) R 3 : z x + y xy } ; W = { (x, y, z) R 3 : x + y 4 + 3z 6 3 ln( + x + y) e z } ; X = { (x, y) R : x + y + 4xy }. 4. Zbadaj czy funkcja jest wypukªa: α(x) = x 4 4x 3 + 6x ; β(x) = max(x 4, x ); γ(x) = e x x ; δ(x) = 3 min ɛ(x) = x 4 x ; ( x, ln(x) ) ; ζ(x) = 3 x + arctg(x); η(x, y) = x xy + 6y ; θ(x, y) = x xy + y ; ι(x, y) = x 4 x + 6y ; κ(x, y) = x 4 xy + y ; λ(x, y) = x 4 xy + 6y ; µ(x, y) = e xy + xy + y + ; ν(x, y) = ln(x + y + ) + x; ξ(x, y) = x + y + 3 x y ; o(x, y) = x + y ; π(x, y, z) = x 4 + 6y + 3z 4 ; ρ(x, y, z) = x xy + 6y + z yz + xz; σ(x, y, z) = x xy + y z ; τ(x, y, z) = x + 3y zy + z 3 ; υ(x, y, z) = x + y + xy + 4xz + z ; φ(w, x, y, z) = w + wx + x xy + 6y + wy + 3z wz. 5. Wyznacz wierzchoªki (punkty ekstremalne) zbioru: Q = { (x, y) R : x 3 x y x y x 3 y } ; R = { (x, y) R : x y } ; wyka»,»e prosta styczna np. w (,) przecina zbiór. 6

7 S = { (x, y) R : x + y x x 3 } ; T = { (x, y) R : y 4 x y x y x } ; U = { (x, y, z) R 3 : x y z x + y + z 5 } ; V = { (x, y, z) R 3 : 4 z y + x } ; 6. Podaj funkcj y(x) speªniaj c równanie ro»niczkowe: y (x) = 4 x + 4 y (x) = x + x y (x) = x3 x + z warunkiem y() = π z warunkiem y(3) = 4 z warunkiem y() = 7. Narysuj pole wektorowe (wektorów stycznych) dla równania ró»niczkowego oraz na tym rysunku narysuj rozwi zania równania dla warunków pocz tkowych: y() = oraz y() =. y (x) = y (x) = x y (x) = sin(x) 8. Podaj rozwi zanie zagadnienia Cauchy'ego oraz narysuj kilka linii caªkowych (rozwi za«dla ró»nych warunków pocz tkowych) { xy + y = y( ) = 4 { x y + y = y( ) = { x y + y = y() = e { y x = y y(4) = 9. Rozwi» równanie y x 3 = y ( + x )y + + y = ( + x )y + y + x = xy (x + x)y = y + 3. Rozwi» równanie ṡ = st ts ( xy = y + ln y ) x y = (x y) + xy (xy + y) = 4 3. Wyznacz wszystkie rozwi zania Ka»dy kolejny punkt licz c od 35. zawiera równania ró»niczkowe innego typu Nale»y samemu rozpozna typ równa«, tj. jak rozwi za dane równania 7

8 xy + y = 3x y x y = x xy + y = ln(x) + y + y x = e x x 3. Wyznacz wszystkie rozwi zania 33. Rozwi» xy + y = xy y xy = y 3 e x x y = y + xy (3x + y)dx + (x 3)dy = 3x y 4xy + (x 3 4x y + y 3 )y = x sin(y)y = x cos(y) Wyznacz czynnik czynnik caªkuj cy i rozwi»: y dx + (yx )dy = w razie czego tu jest czynnik caªkuj cy: cz. caªk to /y x 3y + xyy = tu te»: cz. caªk to /x Rozwi» ukªad równa«: ẋ + x y = e t ẏ x + y = e t x() = 3 y() = { 5ẋ ẏ + 4x y = e t ẋ + 8x 3y = 5e t 36. Rozwi» równanie: y + 3y = 9x y 4y = 8x 3 y + 3y + y = sin(x) + cos(x) y + 4y + 4y = x + 4x + y + y = x e x y + y y = e x y y y = e x + e x y y + y = y 4y + 3y = e x + x y y = sin(x) y IV 3y 4y = x 8