Matematyka dla studentów Zarz dzania UW. Marcin Kysiak, Roman Pol

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka dla studentów Zarz dzania UW. Marcin Kysiak, Roman Pol"

Transkrypt

1 Matematyka dla studentów Zarz dzania UW Marcin Kysiak, Roman Pol 14 grudnia 2012

2 2 Wst p Omawiany przez nas material obejmuje zagadnienia z rachunku ró»niczkowego i caªkowego przewidziane w programie studiów na Wydziale Zarz dzania U.W. Znaczne zmniejszenie (od roku akademickiego 2007/2008) liczby godzin przeznaczonych na przedmiot Matematyka, spowodowaªo konieczno± gruntownych zmian w materiaªach, które byªy wykorzystywane w latach ubiegªych przy uczeniu tego przedmiotu. Pewne tematy, wychodz ce poza Standardy Ksztaªcenia ustalone przez Ministerstwo Szkolnictwa Wy»szego zostaªy pomini te, a przykªady i zestawy zada«do samodzielnej pracy studentów, ograniczyli±my do ilustracji podstawowych metod. W przewidywanym na zaj cia czasie nie ma wiele miejsca na uzasadnianie omawianych metod. Wydaje si jednak wa»ne, aby mo»liwie proste uzasadnienia byªy ªatwo dost pne dla studentów i tam, gdzie uznali±my to za celowe, doª czyli±my takie obja±nienia, wyró»niaj c je drobnym drukiem.

3 Spis tre±ci I Rachunek ró»niczkowy i caªkowy 7 1 Granice i ci gªo± funkcji Podstawowe poj cia Granice i kresy Granice funkcji Kresy zbiorów Funkcje elementarne Funkcje wykªadnicze Funkcje logarytmiczne Logarytm naturalny, eksponenta i liczba e Funkcja pot gowa Ci gªo± funkcji Zbie»no± ci gów Szeregi liczbowe, szereg geometryczny Ci gªa kapitalizacja odsetek Funkcje ci gªe Pochodne funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji Denicja pochodnej i styczna do wykresu funkcji w danym punkcie Pochodna funkcji Reguªy ró»niczkowania Pochodna funkcji odwrotnej Ró»niczkowanie funkcji trygonometrycznych Pochodne a monotoniczno± i wypukªo± funkcji Zasada Fermata Twierdzenie o warto±ci ±redniej

4 4 SPIS TRE CI Monotoniczno± funkcji Wypukªo± i wkl sªo± funkcji Wzór Taylora Reguªa de l'hospitala Rachunek caªkowy Denicja i podstawowe wªasno±ci caªki Znajdowanie funkcji pierwotnych Caªki funkcji elementarnych Caªkowanie przez podstawienie Caªkowanie przez cz ±ci Funkcje dwóch zmiennych Pochodne cz stkowe Funkcje gªadkie Funkcje gªadkie Równanie pªaszczyzny stycznej Gradient Funkcje u»yteczno±ci Pochodne drugiego rz du, ekstrema lokalne Funkcje uwikªane Metoda mno»ników Lagrange'a A Zestawy zada«67 A.1 Zestaw I A.1.1 Granice funkcji A.1.2 Kapitalizacja ci gªa A.1.3 Ci gªo± funkcji A.2 Zestaw II A.2.1 Pochodne funkcji A.2.2 Ró»niczkowanie funkcji trygonometrycznych A.2.3 Zasada Fermata A.2.4 Monotoniczno± i wypukªo± funkcji A.2.5 Reguªa de l'hospitala A.3 Zestaw III A.3.1 Caªki oznaczone A.3.2 Pola obszarów ograniczonych krzywymi A.3.3 Caªkowanie przed podstawienie i przez cz ±ci

5 SPIS TRE CI 5 A.4 Zestaw IV A.4.1 Pochodne cz stkowe A.4.2 Gradient A.4.3 Funkcje u»yteczno±ci A.4.4 Ekstrema lokalne A.4.5 Funkcje uwikªane A.4.6 Mno»niki Lagrange'a

6 6 SPIS TRE CI

7 Cz ± I Rachunek ró»niczkowy i caªkowy 7

8

9 Rozdziaª 1 Granice funkcji, logarytm i eksponenta, ci gªo± funkcji 1.1 Podstawowe poj cia Symbolem R oznacza b dziemy zbiór liczb rzeczywistych i niech (a, b) = {x R : a < x < b}, (a, b] = {x R : a < x b}, [a, b) = {x R : a x < b}, [a, b] = {x R : a x b} b d odpowiednio przedziaªami otwartymi, domkni tymi z prawej lub z lewej strony, oraz przedziaªami domkni tymi w R. B dziemy mówili,»e funkcja f : A R okre±lona na zbiorze liczb rzeczywistych jest malej ca (nierosn ca), je±li f(a) > f(b) (f(a) f(b)) dla dowolnych a < b ze zbioru A. Podobnie, warunek f(a) < f(b) (f(a) f(b)) dla a < b okre±la funkcj rosn c (niemalej c ). Funkcja jest monotoniczna (±ci±le monotoniczna), je±li jest nierosn ca lub niemalej ca (malej ca lub rosn ca). 1.2 Granice i kresy Granice funkcji w punkcie i w niesko«czono±ci. Funkcja f okre±lona w przedziale otwartym J przylegaj cym z prawej, lub z lewej strony do a ma granic jednostronn L w punkcie a, je±li dla dowolnego paska P = R (L ε, L + ε), ε > 0, wokóª prostej y = L mo»na wskaza przedziaª otwarty T J przylegaj cy do a taki,»e wykres funkcji f obci tej 9

10 10 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI do T le»y w pasku P. Dla funkcji f okre±lonej w przedziaªach otwartych przylegaj cych do a z prawej i z lewej strony, L jest granic f w a, je±li obie granice jednostronne f w a s równe L. W nast puj cej denicji opisujemy dokªadniej poj cie granicy funkcji w punkcie, tak»e w przypadku granicy niesko«czonej, wprowadzamy poj cie granicy funkcji w niesko«czono±ci i ustalamy odpowiedni symbolik. Denicja 1.1. (A) Symbol lim x a + f(x) = L, gdzie L jest liczb oznacza,»e funkcja f jest okre±lona w pewnym przedziale (a, b), oraz dla ka»dego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,»e f(x) L < ε, je±li a < x < a + δ. Mówimy wówczas,»e L jest granic prawostronn funkcji w punkcie a, lub te»,»e f(x) d»y do L, gdy x d»y do a z prawej strony. (B) Symbol lim x a + f(x) = + ( ) oznacza,»e funkcja f jest okre±lona w pewnym przedziale (a, b), oraz dla ka»dego M > 0 (M < 0) istnieje δ > 0 takie,»e f(x) > M (f(x) < M), je±li a < x < a + δ. Równowa»nie, f jest dodatnia (ujemna) w pewnym przedziale (a, d) i lim 1 x a + = 0. f(x) Mówimy wówczas, ze granic prawostronn f w punkcie a jest + ( ), lub te»,»e f d»y do + ( ), przy x d» cym do a z prawej strony. (C) Granice lewostronne lim x a f(x) = L, gdzie L jest liczb, lub + deniuje si podobnie, przy czym funkcja f musi by okre±lona w pewnym przedziale (c, a). (D) Piszemy lim x a f(x) = L, gdzie L jest liczb, je±li f jest okre±lone na pewnym zbiorze (c, a) (a, b), oraz lim x a f(x) = L = lim x a + f(x). W tej sytuacji mówimy,»e liczba L jest granic funkcji f w punkcie a, lub te»,»e f(x) d»y do L, gdy x d»y do a. (E) Granice funkcji f w niesko«czono±ci deniujemy formuªami lim f(x) = lim f( 1 x + x 0 + x ), lim f(x) = lim f( 1 x x 0 x ). W szczególno±ci, lim x + f(x) = L, gdzie L jest liczb, je±li f jest okre- ±lone na pewnym przedziale (a, + ), oraz dla ka»dego ε > 0 istnieje b > a takie,»e f(x) L < ε, je±li x > b. W nast puj cym twierdzeniu pominiemy, dla wi kszej przejrzysto±ci, dokªadne zaªo»enia. Twierdzenie to nale»y interpretowa tak,»e rozpatrywane w nim funkcje s okre±lone na tych samych zbiorach i granice, które si rozwa»a, s tego samego typu.

11 1.2. GRANICE I KRESY 11 Twierdzenie 1.2. Granica iloczynu (sumy) funkcji jest równa iloczynowi (sumie) granic tych funkcji. Dla ilorazu funkcji: je±li granica mianownika jest niezerowa, to granica ilorazu jest ilorazem granic. Sprawd¹my, na przykªad,»e je±li lim x a + f(x) = A i lim x a + g(x) = 1, to lim x a + f(x) g(x) = A. Poniewa» lim x a + g(x) = 1, ªatwo pokaza,»e dla pewnego przedziaªu (a, b), je±li x (a, b), to g(x) > 1. Dla takich x, mamy 2 f(x) f(x) Ag(x) A = = (f(x) A) A(g(x) 1) < 2( f(x) A + A g(x) 1 ). g(x) g(x) g(x) Dla ustalonego ε > 0, dobierzmy zgodnie z Denicj (A) liczb δ > 0 tak,»eby f(x) A < ε 4, oraz g(x) 1 < ε, dla a < x < a + δ. Dla x (a, a + δ) mamy wówczas 4( A +1) f(x) A < ε. g(x) Uwaga 1.3. Z Twierdzenia 1.2 wynika natychmiast,»e dla wielomianu W (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, lim x a W (x) = W (a). Ponadto, je±li W (a) > 0, to tak»e lim x a p W (x) = p W (a). Fakt ten ªatwo wynika z Uwagi 1.11, ale b dziemy si nim posªugiwa w zadaniach ju» teraz. Przykªady. Znale¹ granice: 1. lim x 0 4 5x3 2 x 3 2. lim x x3 3 x 2 4x lim x 1 ( 1 x 1 3 x 3 1 ) 4. lim ( x 6 + 3x x 6 + x 2 ) x + ( x2 6. lim + 4x + 6 x) x + 5. lim x x x2 1 + x + x 2 2x x Istnienie kresów górnych i dolnych ograniczonych zbiorów liczb rzeczywistych Aksjomat ci gªo±ci dla prostej rzeczywistej R orzeka,»e dla ka»dego niepustego i ograniczonego z góry zbioru liczb rzeczywistych A (, M], istnieje najmniejsza liczba s speªniaj ca warunek a s dla ka»dego a A.

12 12 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Liczb s nazywa si kresem górnym (albo supremum) zbioru A i oznacza si symbolem sup A. Analogicznie, dla ka»dego niepustego zbioru A [M, + ) istnieje kres dolny inf A - najwi ksza liczba t taka,»e t a, dla ka»dego a A. Aksjomat ci gªo±ci zapewnia istnienie pierwiastków dowolnego stopnia n a = a 1/n dodatnich liczb rzeczywistych i pozwala na ±cisªe wprowadzenie pot g a α liczb dodatnich dla dowolnego wykªadnika rzeczywistego α. Na aksjomacie ci gªo±ci opieraj si te» podstawowe wªasno±ci funkcji ci gªych - wªasno± Darboux i wªasno± Weierstrassa (zob ), oraz okre±lenie caªki, które wprowadzimy w Funkcje elementarne W tej cz ±ci omówimy podstawowe wªasno±ci funkcji wykªadniczych, odwrotnych do nich funkcji logarytmicznych oraz funkcji pot gowych o wykªadniku rzeczywistym, przy czym fundamentaln rol w przyj tym przez nas podej- ±ciu odgrywa logarytm naturalny. Wprowadzenie funkcji trygonometrycznych odªo»ymy do punktu 2.1.5, kiedy b dziemy dysponowali ju» poj ciem pochodnej Funkcje wykªadnicze a x Przypomnijmy,»e dla liczby naturalnej n, symbol a n oznacza n-krotny iloczyn liczby a: a n = a } a {{... a}. (1.3.1) n czynników Dla a 0 przyjmujemy a n = ( 1 a )n, a dla a > 0, a 1 n = n a jest pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby a, tzn. tak liczb dodatni,»e jej n-ta pot ga wynosi a. Dodatkowo, je»eli n jest liczb naturaln nieparzyst, wygodnie jest te» przyj dla a < 0,»e n a = n a (poniewa» n jest nieparzyste, mamy wci» ( n a) n = a). Tak wi c, je»eli a > 0, mamy okre±lon funkcj wykªadnicz dla wykªadników wymiernych a m n = ( n a) m, (1.3.2) gdzie m jest liczb caªkowit, a n naturaln. Funkcja a x jest dodatnia, monotoniczna (dokªadniej: rosn ca dla a > 1, malej ca dla 0 < a < 1 i staªa dla a = 1) oraz ma nast puj ce wªasno±ci:

13 1.3. FUNKCJE ELEMENTARNE 13 a x+y = a x a y, (1.3.3) (a x ) y = a x y. (1.3.4) Funkcj wykªadnicz rozszerza si z zachowaniem tych wªasno±ci na wszystkie wykªadniki rzeczywiste, przyjmuj c dla a > 1 i liczby rzeczywistej b,»e a b jest kresem górnym zbioru liczb postaci a m n, gdzie m b, m jest caªkowite n i n naturalne, a nast pnie dla 0 < a < 1 okre±laj c a b = ( 1 a ) b Funkcje logarytmiczne log a x Mo»na pokaza,»e (odwoªuj c si znowu do aksjomatu ci gªo±ci),»e dla ustalonego a > 0, a 1, ka»da liczba rzeczywista c > 0 jest postaci c = a b, gdzie b jest jednoznacznie wyznaczon liczb, któr nazywa si logarytmem liczby c przy podstawie a i oznacza symbolem log a c: a log a c = c, a > 0, a 1, c > 0. (1.3.5) Funkcja log a x, okre±lona na przedziale (0, + ) jest wi c funkcj odwrotn do funkcji wykªadniczej a x, a zatem z wªasno±ci funkcji wykªadniczej wnosimy,»e funkcja log a x jest rosn ca dla a > 1, malej ca dla 0 < a < 1, oraz log a xy = log a x + log a y, (1.3.6) log a (x y ) = y log a x, (1.3.7) log b x = log a x log a b. (1.3.8) Logarytm naturalny, eksponenta i liczba e Naszym celem jest ustalenie pewnych faktów dotycz cych zmienno±ci funkcji pot gowych, logarytmicznych i wykªadniczych, które prowadz bezpo±rednio do wzorów na pochodne tych funkcji. Interesuj ce nas wªasno±ci prosto wynikaj z mo»liwo±ci okre±lenia funkcji ln : (0, + ) R speªniaj cej nast puj ce trzy warunki:

14 14 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Funkcja ln x jest rosn ca, (1.3.9) ln(xy) = ln x + ln y, (1.3.10) ln(1 + h) lim h 0 h = 1. (1.3.11) cisªe okre±lenie funkcji ln mo»na poda prosto przy pomocy caªki, zob Poni»ej pokazujemy jak to zrobi pogl dowo, odwoªuj c si do pewnych wyobra»e«geometrycznych. Niech P (a, b) b dzie polem obszaru S(a, b) ograniczonego hiperbol y = 1, osi x i prostymi x = a, y = b, gdzie a, b > x 0. Rysunek 1.1: Logarytm naturalny Zdeniujmy funkcj ln x nast puj co: ln a = P (1, a), je±li a 1 oraz ln a = P (a, 1), je±li 0 < a < 1 (patrz rys ). Wªasno± (1.3.9) tak okre±lonej funkcji ln x jest jasna. Sprawdzimy wªasno± (1.3.10). Ustalmy a, b > 0. Przeksztaªcenie pªaszczyzny opisane formuª (x, y) (ax, y ) przeprowadza obszar S(1, b) na obszar S(a, ab). a Mianowicie hiperbola o równaniu y = 1 przechodzi przy tym przeksztaªceniu na siebie, prosta x = 1 x na prost x = a i prosta o równaniu x = b na prost o równaniu x = ab, a onadto przeksztaªcenie to nie zmienia pól gur na pªaszczy¹nie. Tak wi c P (1, b) = P (a, ab). Je±li a > 1 i b > 1, prosta x = a dzieli obszar S(1, ab) na dwa obszary S(1, a) i S(a, ab), mamy wi c ln(ab) = P (1, ab) = P (1, a)+p (a, ab) = P (1, a)+p (1, b) = ln a+ln b. Podobnie sprawdza si (1.3.10) w pozostaªych przypadkach.

15 1.3. FUNKCJE ELEMENTARNE 15 Dla uzasadnienia wªasno±ci (1.3.11) zauwa»my,»e je±li h > 0, obszar S(1, 1 + h) zawiera 1 prostok t o podstawie [1, 1 + h] i wysoko±ci oraz jest zawarty w prostok cie o tej 1+h samej podstawie i wysoko±ci 1. Zatem, dla h > 0 sk d h < P (1, 1 + h) = ln(1 + h) < h 1 + h 1 ln(1 + h) < < h h Tak wi c i podobnie sprawdza si (1.3.11) dla h < 0. ln(1 + h) lim = 1 h 0 + h Rysunek 1.2: ln(xy) = ln x + ln y Poka»emy,»e funkcja ln x, któr nazywa si logarytmem naturalnym, jest w istocie logarytmem, którego podstaw jest pewna liczba e odgrywaj ca w matematyce du» rol - liczba Eulera. Z (1.3.9) i (1.3.10) wynika,»e ln(a b ) = b ln a, a > 0. (1.3.12) Sprawdzimy najpierw (1.3.12) dla wykªadników wymiernych. Z (1.3.10), dla m-naturalnych, ln(a m ) = ln a ln a = m ln a. W szczególno±ci, ln 1 = ln 1 + ln 1, czyli ln 1 = 0, a poniewa» ln 1 = ln(a 1 a ) = ln a + ln( 1 a ), mamy ln(a 1 ) = ln a. Tak wi c, ln(a m ) = m ln a

16 16 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Rysunek 1.3: h 1+h < ln(1 + h) < h, h > 0 dla m caªkowitych. Dalej, ln a = ln((a n 1 ) n ) = n ln(a n 1 ), sk d ln((a n 1 ) = 1 ln a, W n rezultacie, ln(a m n ) = m ln a, dla m caªkowitych i n naturalnych. n Ustalmy teraz a > 1, liczb b i niech k b dzie dowoln liczb naturaln. Wybierzmy liczb wymiern m n (b 1 k, b). Wówczas ab a 1 k = a b 1 k < a m n < a b, zatem z (1.3.9) i (1.3.10), ln(a b ) + ln(a k 1 ) < ln(a m n ) < ln(a b ) i zgodnie z uzasadnion ju» wªasno±ci logarytmu naturalnego, ln(a b ) 1 k ln a < m n ln a < ln(ab ). Poniewa» m n b < 1, wynika st d,»e k b ln a ln(a b ) < 3 ln a i z faktu,»e k mo»e by dowoln liczb naturaln wnosimy,»e k zachodzi (1.3.12). Je±li 0 < a < 1, (1.3.12) mo»na st d wywnioskowa nast puj co: ln(a b ) = ln(( 1 a )b ) = b ln( 1 ) = b ln a. a Z (1.3.12) wynika,»e dowoln liczb rzeczywist c mo»na zapisa w postaci c = ln(2 c ln 2 ), zatem funkcja ln przyjmuje jako warto±ci wszystkie liczby rzeczywiste. W szczególno±ci istnieje dokªadnie jedna liczba e, zwana liczb Eulera, taka,»e ln e = 1. (1.3.13) Šatwo stwierdzi,»e ln 2 < 1 i ln 3 > 1, zatem 2 < e < 3.

17 1.3. FUNKCJE ELEMENTARNE 17 Mamy P (1, 3 2 ) = P (2, 3) oraz P (1, 3 ) > 1 P (1, 2), zatem ln 3 = P (1, 2) + P (2, 3) = 2 P (1, 2) + P (1, 3 2 ) > 1. W rzeczywisto±ci liczba e 2, jest niewymierna. Zgodnie z (1.3.12), mamy ln(e x ) = x ln e = x, (1.3.14) a wi c funkcja wykªadnicza e x jest odwrotna do ln x. To oznacza,»e ln x = log e x, (1.3.15) a wi c funkcja ln x jest funkcj logarytmiczn o podstawie e. Funkcj ln x b dziemy nazywali logarytmem naturalnym. Z wªasno±ci (1.3.12) logarytmu naturalnego mo»na pokaza,»e lim ln x = +, lim x + ln x =. (1.3.16) x 0 + Dla n naturalnego z (1.3.12) otrzymujemy ln(2 n ) = n ln 2. Zatem aby ln x > M, dla zadanego M > 0, wystarczy wzi liczb naturaln n > M ln, a nast pnie x 2n. Z monotoniczno±ci logarytmu naturalnego, ln x ln(2 n ) = n ln 2 > M (bo ln 2 > 0), zatem pokazali±my,»e lim x + ln x = +. Z kolei lim ln x = lim ln( 1 x 0+ x + x ) = lim ln x + x 1 = lim ln x =. x + Wyprowadzimy teraz kilka wa»nych wniosków z wªasno±ci (1.3.11). Zacznijmy od nast puj cej formuªy Istotnie, lim x a ln x ln a x a ln x ln a lim x a x a = lim h 0 ln(a+h) ln a h Z (1.3.11) i (1.3.14) wynika te» bezpo±rednio,»e e h 1 lim h 0 h Istotnie, przyjmuj c h = ln(1 + x), mamy = 1 a. (1.3.17) = lim h 0 ln( a+h a ) h = lim h 0 ln(1+ h a ) h a 1 a = 1 a. e h 1 e ln(1+x) 1 x lim = lim = lim h 0 h x 0 ln(1 + x) x 0 ln(1 + x) = 1. = 1. (1.3.18)

18 18 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Funkcj wykªadnicz e x nazywa si te» eksponent i cz sto wygodnie jest posªugiwa si oznaczeniem Zgodnie z (1.3.12), w tych oznaczeniach, exp x = e x. (1.3.19) a x = exp(x ln a), a > 0. (1.3.20) Z (1.3.18) i (1.3.20) otrzymujemy dla a > 0, Poka»emy najpierw z (1.3.18),»e lim x a exp(x) exp(a) x a Mamy teraz a x a b lim x b x b = ab ln a. (1.3.21) = e a. Istotnie, e x e a lim x a x a = lim x a ea ex a 1 = e a e h 1 lim = e a. x a h 0 h a x a b exp(x ln a) exp(b ln a) lim = lim ln a = e b ln a ln a = a b ln a. x b x b x b x ln a b ln a Zako«czmy ten punkt bardzo u»yteczn formuª e a = Wyprowadzimy t formuª z (1.3.11) i (1.3.20): lim (1 + a x + x )x. (1.3.22) lim (1 + a x + x )x = lim exp ( x ln(1 + a ( x + x )) = lim exp a ln(1 + a x ) ) x + a = e a. x Dokªadniej, ostatnia równo± wynika z faktu,»e lim t a e t = e a, co jest prostym wnioskiem z (1.3.21). Przykªady. Znale¹ granice ( ) 1 5x + 4 x 1. lim x 0 3x lim x + ( (x + 1) 2 x ) x ( 3. lim ) 2 2 x 1 x x 0

19 1.3. FUNKCJE ELEMENTARNE Funkcja pot gowa x α dla dowolnego wykªadnika α Zdeniowanie eksponenty i logarytmu naturalnego pozwala wyrazi dowoln pot g o dodatniej podstawie rzeczywistej i rzeczywistym wykªadniku x α = exp(α ln x). (1.3.23) Rozwa»aj c funkcj wykªadnicz a x dla a > 0 rozpatrywali±my ustalon podstaw pot gi i zmienny wykªadnik. Post puj c odwrotnie, czyli ustalaj c wykªadnik α i traktuj c podstaw x > 0 jako zmienn otrzymujemy funkcj pot gow x α, x > 0. 1 Zgodnie z (1.3.12), otrzymujemy nast puj cy zwi zek funkcji pot gowej z eksponent i logarytmem naturalnym Funkcja pot gowa ro±nie do niesko«czono±ci wolniej ni» funkcja wykªadnicza, ale szybciej ni» logarytmiczna: oraz lim x + lim x + ln x = 0, dla α > 0, (1.3.24) xα a x = +, dla a > 1. (1.3.25) xα Zauwa»my najpierw,»e dla liczb naturalnych n 4, 2 n n 2, zatem je±li 2 n 1 x < 2 n, to ln x x ln(2n ) 2 n 1 = n ln 2 2 n 1 = n 2 n 2 ln 2 n n 2 2 ln 2 = 2 ln 2 n. Tak wi c, lim x + ln x x = 0. St d, lim x + ln x x α = lim x + 1 α ln(x α ) x α = 0. Poniewa» lim x + ln( ax x α ) = lim x + [x ln a α ln x] = lim x + x [ln a α ln x x ] = +, (bo ln a > 0), otrzymujemy lim x ax x α = +. Kolejn wa»n wªasno± funkcji pot gowej opisuje formuªa w szczególno±ci x α a α lim x a x a = α aα 1, (1.3.26) (1 + h) α 1 lim h 0 h = α. (1.3.27) Mamy bowiem, zgodnie z (1.3.23), (1.3.18) i (1.3.17), lim x a x α a α x a = = lim x a exp(α ln x) exp(α ln a) α ln x α ln a ln x ln a α = exp(α ln a) α 1 x a a = α aα 1. 1 Ponadto, jak zauwa»yli±my przy okre±leniu n a, je»eli n jest nieparzyste, funkcj x 1 n mo»na rozpatrywa na caªej prostej rzeczywistej.

20 20 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Przykªady. Znale¹ granice: 1. lim x + x 1 x ( 1 ) ln x 2. lim 1 + x x + ( x lim x 0 2 ) 1 x ( ) 1 4. lim x + ln x x x Ci gªo± funkcji Zbie»no± ci gów Denicja 1.4. (A) Ci g liczb a 1, a 2,... (krótszy zapis - (a n ) n=1) jest zbie»ny do liczby L, co zapisujemy a n L, lub lim n a n = L, je±li dla ka»dego ε > 0 istnieje N naturalne takie,»e a n L < ε dla n N. (B) Piszemy a n + (a n ), je±li wszystkie, poczynaj c od pewnego n, wyrazy ci gu a n s dodatnie (ujemne) i 1 a n 0. Uwaga 1.5. (A) Je±li lim x + f(x) = L, to dla a n = f(n), a n L. (B) Podobnie jak dla granic funkcji w niesko«czono±ci, je±li a n a, a b n b, to a n b n ab, a n + b n a + b, oraz, je±li b 0, n bn a b (zauwa»my,»e warunek b 0 zapewnia,»e b n 0 dla dostatecznie du»ych n). (C) Je±li a n L i L > A (a < A), to dla wszystkich, poza sko«czenie wieloma n, a n > A (a n < A). (D) Zauwa»my te»,»e a n L wtedy i tylko wtedy, gdy L a n 0. Z (1.3.22) otrzymujemy e a = lim n (1 + a n )n, e = lim n (1 + 1 n )n (1.4.1)

21 1.4. CI GŠO FUNKCJI Szeregi liczbowe, szereg geometryczny Je±li (a n ) n=1jest ci giem liczb, mówimy,»e szereg a 1 + a = n=1 a n jest zbie»ny do liczby A, co zapisujemy w postaci A = a n, n=1 je±li ci g sum cz ±ciowych (a a n ) n=1 jest zbie»ny do A, tzn. S n = a a n A. Mówimy te» wówczas,»e A jest sum szeregu n=0 a n. Uwaga 1.6. Je»eli szereg n=1 a n jest zbie»ny, to lim a n = 0. Jednak»e n szereg 1 n=1 jest rozbie»ny do niesko«czono±ci, pomimo,»e lim n n 1 = 0. n Istotnie, w przyj tych wy»ej oznaczeniach, a n = S n S n 1, zatem lim a n = lim S n n n lim S 1 n 1 = a n a n = 0. Rozbie»no± szeregu wyka»emy w cz ±ci 3.1. n n n=1 n=1 n=1 Szczególnym rodzajem ci gów s ci gi geometryczne, czyli takie ci gi, w których stosunek ka»dych dwóch kolejnych wyrazów a n+1 a n, nazywany ilorazem szeregu geometrycznego, jest staªy. W ci gu geometrycznym (a n ) n=1 o ilorazie q, to n-ty wyraz tego ci gu wyra»a si wzorem a n = a 1 q n 1. Je»eli (a n ) n=1 jest ci giem geometrycznym, ªatwo zbada zbie»no± i ewentualnie obliczy sum szeregu n=1 a n. Twierdzenie 1.7. Niech (a n ) n=1 b dzie ci giem geometrycznym o ilorazie q. Wówczas je»eli q < 1, to szereg n=1 a n jest zbie»ny i n=1 a n = a 1 1 q, je»eli za± q 1, to szereg n=1 a n jest rozbie»ny. Mamy bowiem S n = a 1 + a a n = a 1 + a 1 q a 1 q n 1 = a 1 (1 + q q n 1 ) = a 1 1 q n 1 q. Je»eli q < 1, to q n 1 q 0, zatem a n 1 1 q a 1 1 q. Je»eli za± q 1, ci g a 1 1 qn 1 q sko«czonej granicy. nie ma

22 22 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Przykªady. 1. Znajd¹ sum szeregu n=1 1 2 n. Przedstaw w postaci uªamka zwykªego: 2. 0, 99(9)..., 3. 0, 4545(45)..., 4. 0, 49090(90) Ci gªa kapitalizacja odsetek Granica (1.4.1) jest zwi zana z procesem naliczania odsetek z du» cz sto±ci. Niech r b dzie stop procentow. W przedziale czasu [0, t] nalicza si n- krotnie procent w równych odst pach czasu. Je±li mamy kapitaª pocz tkowy A, w kolejnych momentach t, 2 t,..., n t = t naliczania procentu, kapitaª n n n wynosi A(1 + rt n ), A(1 + rt n )(1 + rt n rt rt ),..., A(1 + )... (1 + n n ), a wi c ko«cowy kapitaª po czasie t wynosi a n = A(1 + rt n )n. Je±li n ro±nie nieograniczenie, kapitaª naliczany w czasie t d»y do granicy lim n a n = Ae rt. Granic Ae rt interpretuje si jako kapitaª zgromadzony w czasie t, przy oprocentowaniu naliczanym w sposób ci gªy, tzn. w procesie kapitalizacji ci gªej. Przykªady. 1. Jaka musi by stopa procentowa,»eby kapitaª ulegª potrojeniu w ci gu pi ciu lat? 2. Po jakim czasie kapitaª oprocentowany na 10% ulega podwojeniu?

23 1.4. CI GŠO FUNKCJI Funkcje ci gªe Denicja 1.8. Funkcja f : A R okre±lona na zbiorze A liczb rzeczywistych jest ci gªa w punkcie a A, je±li dla ka»dego ci gu (a n ) n=1 elementów zbioru A, z warunku a n a wynika,»e f(a n ) f(a). Funkcja f : A R jest ci gªa, je±li jest ci gªa w ka»dym punkcie zbioru A. Uwaga 1.9. (A) Je±li w A jest zawarty pewien przedziaª (a δ, a + δ), to ci gªo± funkcji f : A R w punkcie a jest równowa»na warunkowi lim x a f(x) = f(a). (B) Je±li [a, a + δ) A ((a δ, a] A), to z ci gªo±ci f : A R w punkcie a wynika,»e lim x a + f(x) = f(a) (lim x a f(x) = f(a)). Wyja±nijmy równowa»no± warunków sformuªowanych w (A). Zaªó»my,»e f(a) nie jest granic funkcji f w punkcie a. Istnieje wówczas ε > 0 takie,»e w ka»dym przedziale (a 1 n, a + 1 n ) mo»na wskaza a n, dla którego f(a) f(a n ) ε. Mamy wówczas a n a, ale f(a n) f(a), a wi c funkcja f nie jest ci gªa w a. Zaªó»my teraz,»e lim x a f(x) = f(a) i niech a n a. Je±li ε > 0, istnieje liczba 0 < γ < δ taka,»e je±li x (a γ, a + γ), to f(a) f(x) < ε. Mo»na te» wskaza N takie,»e dla n N mamy a n a < γ. Wówczas, dla n N, f(a) f(a n ) < ε. To oznacza,»e f(a n ) f(a). Uwaga Wielomiany, funkcje ln x, a x, x α, oraz funkcje trygonometryczne, s ci gªe na zbiorach, na których s okre±lone. W cz ±ci 2 ustalimy znacznie silniejsz wªasno± tych funkcji - ró»niczkowalno±, wynikaj c z formuª omawianych w 1.3. Uwaga (A) Suma, iloczyn, oraz iloraz funkcji ci gªych jest funkcj ci gª na zbiorze, na którym jest okre±lona. (B) Zªo»enie funkcji ci gªych jest funkcj ci gª na zbiorze, na którym to zªo»enie jest okre±lone.

24 24 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Istotnie, niech f : A B, g : B R, przy czym f jest ci gªa w a, g jest ci gªa w b = f(a); je±li a n a, to f(a n ) f(a) = b, a zatem g(f(a n )) g(f(a)), sk d wynika ci gªo± zªo»enia g f : A R w punkcie a. (C) Je±li funkcja f : A (0, + ) jest funkcj ci gª przyjmuj c warto±ci dodatnie, oraz funkcja g : A R jest ci gªa, to jest te» ci gªa funkcja h(x) = f(x) g(x) okre±lona na A, bo f(x) g(x) = exp(g(x) ln(f(x))), a wi c mo»emy skorzysta z (A), (B), oraz Uwagi Przykªady. 1. Dobra a, b > 0 tak, aby funkcja f okre±lona wzorem 5 1+ax 1, dla x > 0 x f(x) = 2, dla x = 0 (1 + bx) 1 x, dla 1 < x < 0 b byªa ci gªa. 2. Dobra a, b > 0 tak, by funkcja f okre±lona wzorem a x 1, dla x < 0 x f(x) = 3, dla x = 0 ln(1+bx), dla x > 0 x byªa ci gªa. Twierdzenie 1.12 (Wªasno± Darboux funkcji ci gªej). Niech f : [a, b] R b dzie funkcj ci gª i niech γ le»y mi dzy f(a) i f(b). Istnieje wówczas c [a, b] takie,»e f(c) = γ. Dla uzasadnienia tego faktu, przyjmijmy na przykªad f(a) < γ < f(b). Niech A = {x [a, b] : f(x) < γ} oraz c = sup A. Poka»emy,»e f(c) = γ. Dla ka»dego n mo»na wybra a n A takie,»e c 1 < an c, sk d an c. Z ci gªo±ci n funkcji f, f(a n ) f(c). Poniewa» f(a n ) < γ, wi c f(c) γ. W szczególno±ci, c < b. Dla 1 n < b c, c + 1 n / A, sk d f(c + 1 n ) γ, a poniewa» c + 1 c, z ci gªo±ci f mamy n f(c + 1 ) f(c), sk d f(c) γ. Tak wi c, f(c) = γ. n Wniosek Ka»dy wielomian stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty.

25 1.4. CI GŠO FUNKCJI 25 Istotnie, W (x) = a 0 + a 1 x + + a 2n x 2n + x 2n+1 = x 2n+1 a ( 0 x 2n+1 + a 1 x 2n + + a 2n x + 1), a wi c lim x + W (x) = +, lim x W (x) =. Zatem wielomian W przyjmuje zarówno warto±ci dodatnie, jak i ujemne, a poniewa» jest funkcj ci gª, na mocy wªasno±ci Darboux musi te» przyjmowa warto± zero. Twierdzenie 1.14 (Wªasno± Weierstrassa funkcji ci gªej). Niech f : [a, b] R b dzie funkcj ci gª na przedziale domkni tym. Istniej wówczas c, d [a, b] takie,»e f(c) f(x) f(d), dla x [a, b]. Uzasadnimy istnienie liczby c speªniaj cej warunek opisany w tym twierdzeniu. B dziemy mówi,»e f przyjmuje kres górny na przedziale [t, b], je±li funkcja f jest nieograniczona na [t, b], lub te» sup{f(x) : x [t, b]} = sup{f(x) : x [a, b]}. Niech c = sup{t : f przyjmuje kres górny na [t, b]}. (1.4.2) Poka»emy,»e f(c) f(x) dla x [a, b]. (1.4.3) Zaªó»my przeciwnie,»e dla pewnego s [a, b], f(c) < f(s). Z ci gªo±ci f w punkcie c, istnieje wówczas δ > 0 takie,»e dla r = f(s) f(c) je±li x [a, b] i x c < δ, to f(x) < f(s) r 2, (1.4.4) zob. Uwaga 1.9. Z (1.4.2), istnieje t c takie,»e t c δ, oraz f przyjmuje kres górny na [t, b]. St d i z (1.4.4) wynika,»e f przyjmuje kres górny na [c + δ, b], co prowadzi do sprzeczno±ci z (1.4.2), ko«cz c uzasadnienie formuªy (1.4.3).

26 26 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI

27 Rozdziaª 2 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna funkcji Denicja pochodnej i styczna do wykresu funkcji w danym punkcie Denicja 2.1. Funkcja f : I R okre±lona na przedziale otwartym I jest ró»niczkowalna w punkcie a I, je±li istnieje i jest sko«czona granica f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h f(x) f(a) = lim. (2.1.1) x a x a Liczb f (a) nazywamy pochodn f w punkcie a. Je±li f jest ró»niczkowalna w a, to styczn do wykresu funkcji f w punkcie (a, f(a)) okre±la si równaniem y = f(a) + f (a)(x a) (2.1.2) albo równowa»nie - równaniem y f(a) = f (a). Tak wi c f (a) jest nachyleniem stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (a, x a f(a)). Uwaga 2.2. Je±li funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie a, to jest te» ci gªa w tym punkcie, bo z (2.1.1) wynika,»e lim x a f(x) = f(a). Jednak»e, na przykªad funkcja ci gªa f(x) = x nie jest ró»niczkowalna w zerze. 27

28 28 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Pochodna funkcji Denicja 2.3. Niech f : I R b dzie funkcj ró»niczkowaln w ka»dym punkcie przedziaªu otwartego I. Wówczas okre±lona jest funkcja f : I R, f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h któr nazywamy pochodn funkcji f na przedziale I. f(y) f(x) = lim, (2.1.3) y x y x Ustalone przez nas wªasno±ci logarytmu, funkcji wykªadniczych i pot gowych pozwalaj wskaza pochodne tych funkcji: (ln x) = 1 x (2.1.4) (a x ) = a x ln a, (e x ) = e x, (2.1.5) (x α ) = α x α 1. (2.1.6) Zgodnie z denicj (2.1.3), formuªa (2.1.4) jest innym zapisem (1.3.17), a (2.1.5) i (2.1.6) s przeformuªowaniami wzorów (1.3.21) i (1.3.26), odpowiednio Reguªy ró»niczkowania Wyznaczanie pochodnej funkcji nazywa si ró»niczkowaniem. Je±li pewn funkcj otrzymuje si z funkcji elementarnych przez kolejne stosowanie operacji algebraicznych i operacji zªo»enia, to przy ró»niczkowaniu tej funkcji korzysta si zwykle z formuª podanych w i nast puj cych reguª ró»niczkowania zªo»enia, sumy, iloczynu i ilorazu funkcji (gdzie zakªadamy istnienie pochodnych rozwa»anych funkcji w odpowiednich punktach): (g f) (a) = g (f(a)) f (a), (2.1.7) (f + g) (a) = f (a) + g (a), (f g) (a) = f (a) g (a), (2.1.8) (f g) (a) = f (a) g(a) + f(a) g (a), (2.1.9)

29 2.1. POCHODNA FUNKCJI 29 ( ) f (a) = f (a) g(a) f(a) g (a). (2.1.10) g g 2 (a) Szczególnym przypadkiem (2.1.9) jest gdzie c jest staª, bo (c) = 0, zob (cf) (a) = c f (a), (2.1.11) Dla uzasadnienia reguªy ró»niczkowania funkcji zªo»onej (2.1.7), zauwa»my,»e (g f)(a + h) (g f)(a) h = (g f)(a + h) (g f)(a) f(a + h) f(a) f(a + h) f(a). h Przyjmuj c u = f(a+h) f(a), mamy (g f)(a+h) g(f(a)) f(a+h) f(a) lim h 0 f(a + h) f(a) = 0, = g(f(a)+u) g(f(a)) u i poniewa» lim h 0 (g f)(a + h) g(f(a)) f(a + h) f(a) = lim u 0 g(f(a) + u) g(f(a)) u = g (f(a)). Mamy te» lim h 0 f(a+h) f(a) h = f (a), wi c lim h 0 (g f)(a+h) (g f)(a) h = g (f(a)) f (a). Sprawdzimy reguª (2.1.9) ró»niczkowania iloczynu funkcji (uzasadnienie reguªy (2.1.8) jest podobne, ale prostsze). Mamy (f g) (a) = lim h 0 f(a + h) g(a + h) f(a) g(a) h = = lim h 0 [( a poniewa» lim h 0 h g (a), otrzymujemy (2.1.9). f(a + h) f(a) g(a + h) g(a) ) g(a + h) + ( ) f(a)], h h f(a+h) f(a) = f (a), lim h 0 g(a+h) = g(a), i lim h 0 g(a+h) g(a) h = Formuª (2.1.10) mo»na teraz uzasadni nast puj co: zauwa»my najpierw,»e ( 1 g ) (a) = 1 lim h 0 h ( 1 g(a+h) 1 g(a) ) = lim h 0 ( g(a+h) g(a) 1 ) h g(a+h) g(a) = g (a), sk d zgodnie z reguª ró»niczkowania iloczynu (2.1.9), ( f g ) (a) = f 1 g 2 (a) (a) g(a) + f(a) ( 1 g ) (a) = f 1 (a) g(a) f(a) g (a), co po sprowadzeniu do wspólnego mianownika daje reguª ró»- g 2 (a) niczkowania ilorazu. Przykªady. Znale¹ pochodne funkcji. 1. x2 5x + 6 x 2 + x x 3 3 x 2 + x 7 3 x 3. e x x 4. x x 2

30 30 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 5. (2x 2 + 3x) 4 6. (ln x) x 3 1 x 3 8. (3 2 ln(1 + 5x)) 5 9. e 3x2 ln(x 3 + 1) ln(x 2 + e 2x ) x e 3x ln(1 + 3 x ) 13. x + x + x 14. x 2x 15. (1 + 1 x )x 16. ( x ) 1 x. 17. Znale¹ styczn do wykresu funkcji x 2 ln x w punkcie (e, e2 ), Pochodna funkcji odwrotnej Niech f : I R b dzie funkcj ci gª, rosn c lub malej c, maj c w punkcie a I pochodn f (a) 0. Wówczas pochodna funkcji f 1 odwrotnej do f jest opisana wzorem (f 1 ) (b) = 1, dla b = f(a). (2.1.12) f (a) Powy»sza formuªa staje si jasna, je±li pochodn interpretuje si jako nachylenie stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie, zob. równanie (2.1.2). Przykªady. 1. Znajd¹ pochodn funkcji odwrotnej do funkcji f(x) = x+e 2x w punkcie Napisz równanie prostej stycznej w punkcie (e, e 1) do wykresu funkcji odwrotnej do funkcji okre±lonej dla x > 0 wzorem f(x) = (x + 1) ln(x + 1). 3. Znajd¹ równanie prostej stycznej w punkcie (4, 1) do wykresu funkcji odwrotnej do funkcji f(x) = x + 3 x.

31 2.1. POCHODNA FUNKCJI Ró»niczkowanie funkcji trygonometrycznych Je±li funkcja f(t) opisuje ruch punktu po prostej, pochodna f (t) jest pr dko- ±ci w tym ruchu w chwili t. Podobnie, je±li para funkcji (f(t), g(t)) opisuje ruch punktu na pªaszczy¹nie, wektorem pr dko±ci chwilowej w tym ruchu w chwili t jest [f (t), g (t)]. Para (cos t, sin t) funkcji cosinus i sinus opisuje ruch punktu po okr gu jednostkowym, ze staª szybko±ci równ 1 (tzn. w czasie t punkt przemieszcza si po ªuku okr gu o dªugo±ci t), w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Rysunek 2.1: Wektor pr dko±ci styczny do trajektorii ruchu Poniewa» wektor pr dko±ci [cos t, sin t] w tym ruchu jest w ka»dej chwili t prostopadªy do wektora wodz cego punktu [cos t, sin t], wskazuje kierunek ruchu i ma dªugo± 1, w ka»dej chwili t mamy [cos t, sin t] = [ sin t, cos t], a wi c cos t = sin t, sin t = cos t. (2.1.13) Poniewa» punkt porusza si z szybko±ci równ 1, liczba dodatnia t jest wi c dªugo±ci drogi na okr gu, jak przebyª ten punkt do chwili t, w szczególno±ci, poniewa» 2π jest dªugo±ci okr gu jednostkowego,

32 32 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ cos(t + 2π) = cos t, sin(t + 2π) = sin t. (2.1.14) Ponadto cos t = cos( t), sin( t) = sin t, (2.1.15) oraz (przypomnijmy,»e punkt (cos t, sin t) le»y na okr gu jednostkowym) cos 2 t + sin 2 t = 1. (2.1.16) Dla funkcji arcsin : ( 1, 1) ( π, π ) odwrotnej do obci cia funkcji sinus 2 2 do przedziaªu ( π, π ) oraz funkcji arccos : ( 1, 1) (0, π) - odwrotnej do 2 2 obci cia funkcji cosinus do przedziaªu (0, π), (arcsin x) = 1 1 x 2, (arccos 1 x) =. (2.1.17) 1 x 2 Mamy bowiem (arcsin x) = 1, gdzie x = sin y, a wi c (arcsin x) = 1 (sin y) cos y i cos y = 1 sin 2 y = 1 x 2. Ró»niczkuj c funkcj tan x = sin x, zgodnie z reguª (2.1.10), mamy cos x tan x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x. (2.1.18) Funkcja arctan : R ( π, π ) - odwrotna do funkcji tangens rozpatrywanej 2 2 na przedziale ( π, π ), ma pochodn 2 2 (arctan x) = x 2. (2.1.19) Istotnie, (arctan x) = 1, gdzie x = tan y. Zatem (arctan x) = cos 2 y, (tan y) x = tan y, a poniewa» 1+tan 2 y = 1, cos 2 y cos2 y = 1, otrzymujemy (2.1.19). 1+x Przykªady. 2 Znale¹ pochodne funkcji 1. cos 3 x sin(3 x ) 2. 2 tan( 1 x ) 3. (cos x) sin x 4. ln(1 + (arcsin x) 2 ) arctan( x).

33 2.2. POCHODNE A MONOTONICZNO I WYPUKŠO FUNKCJI Zasada Fermata, twierdzenie o warto±ci ±redniej, przedziaªy monotoniczno±ci funkcji, wypukªo± i wkl sªo± funkcji Zasada Fermata Denicja 2.4. Niech f : I R. Mówimy,»e f ma w punkcie a I maksimum (minimum) lokalne, je±li istnieje δ > 0 takie,»e dla ka»dego x I, je±li a x < δ, to f(x) f(a) (f(x) f(a)). Punkty w których funkcja ma maksimum lub minimum lokalne nazywamy punktami ekstremum lokalnego tej funkcji. Twierdzenie 2.5 (Zasada Fermata). Je±li funkcja f : I R, ró»niczkowalna w punkcie a, ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to f (a) = 0. Istotnie, je±li dla pewnego δ > 0, f(x) f(a), dla x (a δ, a+δ) I, to lim f(a+h) f(a) h 0 + h 0, lim f(a+h) f(a) h 0 0, a poniewa» obie granice s równe pochodnej f w punkcie a, h mamy f (a) = 0. Punktami krytycznymi funkcji ci gªej f : I R okre±lonej na przedziale I nazywamy punkty a, w które speªniaj jeden z nast puj cych warunków: pochodna f nie jest okre±lona w punkcie a (w szczególno±ci tak jest je±li a jest ko«cem przedziaªu I) lub te» f (a) = 0. Zgodnie z zasad Fermata, funkcja mo»e mie ekstremum lokalne tylko w punkcie krytycznym. Odnotujmy jednak,»e zero jest punktem krytycznym funkcji f(x) = x 3, ale f jest funkcj ±ci±le rosn c, wi c nie ma ekstremów lokalnych. Uwaga 2.6. Zgodnie z Twierdzeniem 1.14, funkcja ci gªa okre±lona na przedziale domkni tym [a, b] osi ga zawsze warto± maksymaln i minimaln - warto±ci te musz by przyj te w punktach krytycznych tego przedziaªu. Punkty a, b s punktami krytycznymi z denicji, je»eli za± warto± najwi ksza (najmniejsza) przyjmowana jest w punkcie c (a, b), to w szczególno±ci f ma w tym punkcie maksimum (minimum) lokalne. Zgodnie z Zasad Fermata, je»eli f ma w punkcie c okre±lon pochodn, to f (c) = 0.

34 34 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ W przypadku, gdy funkcja f : (a, b) R okre±lona jest na przedziale otwartym (a, b) (równie» gdy a = lub b = + ), f mo»e nie przyjmowa najwi kszej i najmniejszej warto±ci nawet, je»eli jest na tym przedziale ograniczona. Uwaga 2.7. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj ci gª okre±lon na przedziale otwartym (a, b), gdzie a < b +, tak,»e istniej granice lim f(x) = A, lim x a + f(x) = B. x b Wówczas je»eli przynajmniej jedna z granic A, B jest wi ksza (mniejsza) od f(c), dla wszystkich punktów krytycznych c z przedziaªu (a, b), to f nie przyjmuje w przedziale (a, b) warto±ci najwi kszej (najmniejszej). W przeciwnym przypadku, f przyjmuje warto± najwi ksz (najmniejsz ) w jednym z punktów krytycznych z przedziaªu (a, b). Uzasadnimy Uwag 2.7 w przypadku gdy < a < b < + oraz < A, B < +. Rozwa»my funkcj h : [a, b] R okre±lon wzorem h(x) = A, dla x = a, f(x), dla a < x < b, B, dla x = b. Wówczas h jest ci gªa na [a, b], przyjmuje zatem na [a, b] warto± najwi ksz i najmniejsz, a jej punktami krytycznymi s punkty a, b oraz punkty krytyczne funkcji f nale» ce do przedziaªu (a, b). Dla ustalenia uwagi rozwa»my zagadnienie istnienia warto±ci najwi kszej i przyjmijmy wpierw,»e liczba A jest wi ksza od warto±ci f we wszystkich punktach krytycznych z (a, b). Wtedy f nie mo»e przyjmowa warto±ci najwi kszej w (a, b) - gdyby przyjmowaªa tak warto± w punkcie c z (a, b), to c byªby punktem krytycznym funkcji f. Poniewa» jednak A > f(c), to dla x (a, b) odpowiednio bliskich a, mamy f(x) > f(c). Je»eli za± dla pewnego punktu krytycznego funkcji f mamy f(c) A i f(c) B, to warto± najwi ksza funkcji h na przedziale [a, b] przyjmowana jest w pewnym punkcie krytycznym z przedziaªu (a, b). Tym samym, warto± najwi ksza funkcji f przyjmowana jest w (a, b). Przykªady. 1. Znale¹ najmniejsz i najwi ksz warto± funkcji f(x) = xx na przedziale e x [ 1, e] Silos do przechowywania ziarna ma mie ksztaªt walca przykrytego kopuª. Cz ± walcowa ma pomie±ci 10 4 m 3 zbo»a. Koszt wykonania jednego

35 2.2. POCHODNE A MONOTONICZNO I WYPUKŠO FUNKCJI 35 metra kwadratowego kopuªy jest dwukrotnie wi kszy od kosztu wykonania jednego metra kwadratowego cz ±ci walcowej. Znale¹ promie«podstawy walca, który zapewni minimalny koszt budowy silosa. 3. Czªowiek chce dosta si z wyspy poªo»onej 5 km od najbli»szego punktu na wybrze»u do domu odlegªego o 6 km od tego punktu, wzdªu» wybrze»a. Czªowiek porusza si ªódk z pr dko±ci 2 km/godz i chodzi z pr dko±ci 4 km/godz. Do jakiego punktu wybrze»a ma dopªyn, aby zminimalizowa czas podró»y? Twierdzenie o warto±ci ±redniej Przy wykorzystaniu rachunku ró»niczkowego do badania zmienno±ci funkcji i ksztaªtu jej wykresu, podstawow rol gra nast puj ce twierdzenie o warto±ci ±redniej i wynikaj ce z niego wnioski. Twierdzenie 2.8. Niech f, g : [a, b] R b d funkcjami ci gªymi i ró»niczkowalnymi na przedziale (a, b). Istnieje wówczas ξ (a, b) takie,»e ( f(b) f(a) ) g (ξ) = ( g(b) g(a) ) f (ξ). Dla uzasadnienia rozwa»my funkcj h(x) = ( f(b) f(a) ) g(x) ( g(b) g(a) ) f(x) na [a, b]. Wówczas h(a) = f(b)g(a) g(b)f(a) = h(b). Z twierdzenia Weierstrassa (Twierdzenie 1.14) istnieje wi c punkt ξ (a, b), w którym h przyjmuje warto± najwi ksz lub najmniejsz na [a, b]. Z Zasady Fermata (Twierdzenie 2.5), h (ξ) = 0, sk d ( f(b) f(a) ) g (ξ) ( g(b) g(a) ) f (ξ) = 0, a wi c ξ ma» dan wªasno±. Wniosek 2.9 (Twierdzenie Lagrange'a o warto±ci ±redniej). Niech f : [a, b] R b dzie funkcj ci gª, ró»niczkowaln na (a, b). Istnieje wówczas c (a, b) takie,»e f (c) = Wystarczy przyj g(x) = x w Twierdzeniu 2.8. f(b) f(a). b a

36 36 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Rysunek 2.2: Twierdzenie Lagrange'a: sieczna jest równolegªa do stycznej w punkcie po±rednim Monotoniczno± funkcji Wniosek Je±li f jest funkcj ró»niczkowaln na przedziale (a, b) i f (x) > 0 (odpowiednio, f (x) < 0) dla x (a, b) to f ro±nie (maleje) na (a, b), tzn. f(x) < f(y) (f(x) > f(y)) dla a < x < y < b. Z twierdzenia Lagrange'a o warto±ci ±redniej, f(y) f(x) y x = f (ξ), gdzie ξ le»y mi dzy x i y. Je±li wi c pochodna f jest dodatnia na (a, b), to f(y) f(x) > 0, dla a < x < y < b. Uwaga Je±li f 0 (f 0) na przedziale (a, b), to f jest niemalej ca (nierosn ca) na (a, b). Istotnie, je±li f 0, to dla dowolnego ustalonego n, (f(x)+ x n ) = f (x)+ 1 > 0, zatem z Wniosku 2.10, f(x) + x < f(y) + y, dla a < x < y < b. n n n Poniewa» n byªo dowolne, wynika st d,»e f(x) f(y), dla a < x < y < b.

37 2.2. POCHODNE A MONOTONICZNO I WYPUKŠO FUNKCJI 37 Uwaga Odnotujemy nast puj ce wa»ne nierówno±ci, dla x > 0, (1 + 1 x )x < e < (1 + 1 x )x+1, (2.2.1) przy czym funkcja po lewej stronie nierówno±ci jest rosn ca, a funkcja po prawej stronie - malej ca. W szczególno±ci, podstawiaj c w (2.2.1) x = 1000, otrzymujemy 2, 717 < e < 2, 719. Niech f(x) = (1 + 1 x )x, g(x) = (1 + 1 x )x+1. Wówczas f (x) = (1 + 1 x )x [ln(1 + 1 x ) 1 1+x ] = ], g (x) = (1+ 1 x )x [ln(1+ 1 x ) 1 ]. Jak wyja±nili±my w uzasadnieniu x (1+ 1 x )x [ln(1+ 1 x ) x 1 1+ x 1 wªasno±ci logarytmu naturalnego (1.3.11), dla h > 0 g (x) < 0, a wi c f ro±nie, a g maleje. h 1+h < ln(1 + h) < h, sk d f (x) > 0, Wypukªo± i wkl sªo± funkcji Denicja Funkcja f : I R okre±lona na przedziale I jest wypukªa (wkl sªa), je±li dla»adnej trójki punktów a c b z przedziaªu I punkt (c, f(c)) nie le»y powy»ej (poni»ej) odcinka ª cz cego punkty (a, f(a)) i (b, f(b)) na wykresie funkcji. Zbiór W na pªaszczy¹nie jest wypukªy, je±li dla dowolnej pary punktów z W, odcinek ª cz cy te punkty jest zawarty w W. Wypukªo± funkcji f : I R oznacza,»e zbiór punktów {(x, y) : x I i y f(x)} nie le» cych poni»ej wykresu f jest wypukªy, a wkl sªo± funkcji f : I R odpowiada wypukªo±ci zbioru punktów {(x, y) : x I i y f(x)} nie le» cych powy»ej wykresu f. Nie ma bezpo±redniego zwi zku pomi dzy monotoniczno±ci, a wypukªo- ±ci funkcji. Funkcja wypukªa lub wkl sªa mo»e by zarówno rosn ca, jak i malej ca. Uwaga Niech f : I R b dzie funkcj okre±lon na przedziale I. Dla x, y I, f(y) f(x) N(x, y) = y x jest nachyleniem prostej przechodz cej przez punkty (x, f(x)) i (y, f(y)) na wykresie funkcji f. Wypukªo± f oznacza,»e dla ka»dego przedziaªu [a, b] I, N(a, x) N(a, b), dla x [a, b], (2.2.2)

38 38 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Rysunek 2.3: Wkl sªo± i wypukªo± a wkl sªo±ci f odpowiada przeciwna nierówno±. Proste argumenty geometryczne pokazuj,»e nierówno± (2.2.2) jest równowa»na nierówno±ci N(a, b) N(x, b), dla x [a, b]. (2.2.3) Twierdzenie Funkcja ró»niczkowalna f : I R na przedziale I jest wypukªa (wkl sªa) wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna f jest niemalej ca (nierosn ca). Zaªó»my,»e funkcja f jest wypukªa i niech [a, b] I. Zgodnie z (2.2.2), f (a) = lim x a + N(a, x) N(a, b). Poniewa» zachodzi tak»e (2.2.3), f (b) = lim x b N(x, b) N(a, b). Zatem f (a) f (b). Na odwrót, zaªó»my,»e funkcja f jest niemalej ca i niech [a, b] I. Z Wniosku 2.9, N(a, b) = f (ξ), dla pewnego ξ (a, b). Je±li x (a, ξ), odwoªuj c si ponownie do twierdzenia o warto±ci ±redniej, mamy N(a, x) = f (η), dla pewnego η (a, x), a poniewa» f (η) f (ξ), dostajemy (2.2.2). Je±li x (ξ, b), to podobnie, N(x, b) = f (λ), dla pewnego λ (x, b), f (ξ) f (λ), zatem mamy (2.2.3), a wi c tak»e (2.2.2). Mówimy,»e funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie ró»niczkowalna na (a, b), jesli jej pochodna f istnieje w ka»dym punkcie x (a, b) oraz f :

39 2.2. POCHODNE A MONOTONICZNO I WYPUKŠO FUNKCJI 39 (a, b) R jest funkcj ró»niczkowaln na (a, b). Funkcj f = (f ) nazywamy drug pochodn funkcji f. Wniosek Niech f : (a, b) R b dzie funkcj dwukrotnie ró»niczkowaln. Wówczas f jest funkcj wypukª (wkl sª ) wtedy i tylko wtedy, gdy f 0 (f 0). Zgodnie z Wnioskiem 2.10, warunek f = (f ) 0 oznacza bowiem,»e pochodna jest funkcj niemalej c. Przykªady. Znale¹ przedziaªy, w których funkcja f jest rosn ca lub malej ca, wkl sªa lub wypukªa i naszkicowa wykres funkcji f. 1. f(x) = ln 3 x, gdzie x > 0 2. f(x) = (x + 1)e 3x x 3. f(x) = (x 4)e 2 x Uwaga (A) Niech f : I R b dzie wypukª (wkl sª ) funkcj ró»- niczkowaln na przedziale I. Dla ka»dego punktu (x, f(x)), x I,»aden punkt z wykresu funkcji f nie le»y poni»ej (powy»ej) stycznej do wykresu f w punkcie (x, f(x)). Ta wªasno± charakteryzuje wypukªo± lub wkl sªo± funkcji ró»niczkowalnych. (B) Niech f : I R b dzie funkcj wypukª na przedziale I i [a, b] I. Je±li λ, µ 0, λ + µ = 1, to ±rednia wa»ona λa + µb punktów a, b z wagami λ, µ nale»y do [a, b], oraz punkt (λa + µb, λf(a) + µf(b)) le»y na odcinku ª cz cym punkty (a, f(a)) i (b, f(b)). Mamy wi c nierówno± f(λa + µa) λf(a) + µf(b), λ, µ 0, λ + µ = 1. (2.2.4) Jest to nierówno± Jensena, charakteryzuj ca funkcje wypukªe. Analogiczna formuªa, ze zmienionym kierunkiem nierówno±ci, charakteryzuje funkcje wkl sªe. (C) cisªa wypukªo± funkcji f : I R oznacza,»e w okre±leniu wypukªo±ci (wkl sªo±ci), zob. Denicja 2.13, wªasno± nie le»y poni»ej zast puje si wªasno±ci le»y powy»ej, je±li tylko c (a, b). cisªa wypukªo± odpowiada nierówno±ci f > 0 i ostrej nierówno±ci w (2.2.4), je±li tylko λ, µ > 0. Analogicznie jest dla poj cia ±cisªej wkl sªo±ci.

40 40 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wzór Taylora Je±li f : (a, b) R i operacj ró»niczkowania funkcji f mo»na wykonywa (n + 1)-krotnie, to kolejne pochodne oznaczamy nast puj co: f = (f ), f = (f ),..., f (n+1) = (f (n) ). Funkcj f (n) nazywamy n-t pochodn, lub pochodn rz du n funkcji f. Nast puj ce twierdzenie pozwala w wielu wa»nych sytuacjach przybli»a z du» dokªadno±ci funkcj (n + 1)-krotnie ró»niczkowaln w pewnym otoczeniu zera wielomianem stopnia n. Twierdzenie Niech f : ( α, α) R ma w przedziale ( α, α) pochodne f, f,..., f (n), f (n+1) rz du 1, 2,..., n, n + 1. Wówczas, dla ka»dego x ( α, α) istnieje ξ le» ce mi dzy 0 i x takie,»e f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2 (formuª (2.2.5) nazywa si wzorem Taylora). x f (n) (0) x n + f (n+1) (ξ) n! (n + 1)! xn+1 (2.2.5) Dla n = 0, wzór Taylora f(a) = f(0) + f (ξ)a wynika natychmiast z twierdzenia Lagrange'a o warto±ci ±redniej, zob. Wniosek 2.9. Uzasadnimy wzór Taylora dla n = 1, tzn. poka»emy,»e dla dowolnego a ( α, α) istnieje ξ le» ce mi dzy 0 i a takie,»e f(a) = f(0) + f (0) a + f (ξ) a 2. (2.2.6) 2 Rozpatrzmy w tym celu wielomian g(x) = A + Bx + Cx 2 speªniaj cy warunki g(0) = f(0), g (0) = f (0), g(a) = f(a), który okre±la si przyjmuj c A = f(0), B = f (0), C = f(a) f(0) f (0)a a 2. Z twierdzenia o warto±ci ±redniej, zob. Wniosek 2.9, dla pewnego b le» cego mi dzy 0 i a mamy f (b) = g (b). Poniewa» f (0) = g (0), stosuj c do pochodnych f, g ponownie twierdzenie o warto±ci ±redniej, otrzymujemy ξ le» ce mi dzy 0 i b (a wi c tak»e mi dzy 0 i a), dla którego f (ξ) = g (ξ). Zatem sk d co jest innym zapisem (2.2.6). f (ξ) = 2C = 2 f(a) f(0) f (0)a a 2, f (ξ) a 2 = f(a) f(0) f (0)a, 2 Wzór Taylora dla dowolnego n uzasadnia si podobnie, rozpatruj c wielomian g(x) stopnia n + 1 taki,»e g(0) = f(0), g (0) = f (0),..., g (n) (0) = f (n) (0), oraz g(a) = f(a),

41 2.2. POCHODNE A MONOTONICZNO I WYPUKŠO FUNKCJI 41 tzn. wielomian g(x) = T n(x) + Cx n+1, gdzie T n(x) = f(0) + f (0)x f (n) (0) 2 3 n xn i C = f(a) T n(a) a n+1. Stosuj c twierdzenie o warto±ci ±redniej (n+1)-krotnie, dostajemy kolejno ξ 1, ξ 2,..., ξ n+1, gdzie ξ 1 le»y miedzy 0 i a, oraz ξ i+1 le»y mi dzy 0 i ξ i, takie,»e f (ξ 1 ) = g (ξ 1 ), f (ξ 2 ) = g (ξ 2 ),..., f (n+1) (ξ n+1 ) = g (n+1) (ξ n+1 ). Poniewa» g (n+1) (x) = (n + 1) n 2 C, przyjmuj c ξ = ξ n+1 mamy f (n+1) (ξ) 2 3 (n+1) an+1 = f(a) T n (a), czyli wzór Taylora Reguªa de l'hospitala Z twierdzenia o warto±ci ±redniej wynika te» nast puj ca Reguªa de l'hospitala, b d ca u»ytecznym narz dziem do znajdowania granic funkcji. Wniosek 2.19 (Reguªa de l'hospitala). Niech f, g : (a, b) R b d funkcjami ró»niczkowalnymi takimi,»e lim f(x) = 0 = lim g(x), x a + x a + g nie zeruje si na (a, b) i istnieje (sko«czona lub niesko«czona) granica Wówczas istnieje te» granica f (x) lim x a + g (x). f(x) lim x a + g(x) = lim f (x) x a + g (x). oraz dla przedziaªów nie- Podobnie jest dla granic lewostronnych lim x b sko«czonych, gdzie a = lub b = +. Dla uzasadnienia w przypadku, gdy a jest liczb, przedªu»amy f i g do funkcji ci gªych na [a, b) przyjmuj c f(a) = 0 = g(a). Zgodnie z twierdzeniem o warto±ci ±redniej, dla ka»dego x (a, b) istnieje ξ x (a, x) takie,»e Poniewa» f(x) f(x) f(a) = g(x) g(x) g(a) = f (ξ x) g (ξ. x) f (ξ x ) lim x a + g (ξ x ) = lim f(x) x a + g(x), otrzymujemy tez Reguªy de l'hospitala w rozpatrywanym przypadku.

42 42 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Przykªady. Znale¹ granice. 1 + x cos x 1 + 2x 1. lim x 0 ln(1 + x) x e 2. x 1 + 2x lim x 0 ln(cos x) 3. lim x 0 e x sin x x x 2 x 3 ( 1 5. lim x 0 sin x 1 ) x 3x x 2 + x 2 lim x 1 5x 3 + x 6 ) ( 1 6. lim x 0 sin 2 x 1 x 2

43 Rozdziaª 3 Rachunek caªkowy 3.1 Denicja i podstawowe wªasno±ci caªki Rysunek 3.1: Obszar ograniczony funkcj schodkow Funkcj schodkow u : [a, b] R nazywamy funkcj, dla której istnieje podziaª przedziaªu [a, b] punktami a = a 0 < a 1 <... < a n = b na przedziaªy [a i 1, a i ] wewn trz których funkcja u jest staªa. Caªk funkcji schodkowej u okre±lamy formuª 43

44 44 ROZDZIAŠ 3. RACHUNEK CAŠKOWY b a u(x)dx = n i=1 u( a i 1 + a i ) x i, gdzie x i = a i a i 1. (3.1.1) 2 Caªka funkcji schodkowej u jest miar zorientowanego obszaru ograniczonego wykresem funkcji u i osi x, przy czym pole cz ±ci wykresu nad osi x liczy si ze znakiem plus, a pole cz ±ci wykresu pod osi x liczy si ze znakiem minus. B dziemy mówi,»e funkcja f : [a, b] R ma co najwy»ej sko«czenie wiele punktów nieci gªo±ci, je±li istniej punkty a 0 = a < a 1 <... < a n = b takie,»e funkcja f jest ci gªa na ka»dym przedziale (a i 1, a i ), i = 1,..., n. Je±li funkcja ograniczona f : [a, b] R ma jedynie sko«czenie wiele punktów nieci gªo±ci, mo»na j przybli»a funkcjami schodkowymi z doªu i z góry tak, aby pole obszaru zawartego mi dzy nimi byªo dowolnie maªe. Dokªadnie wyja±nimy to w nast puj cym twierdzeniu, na którym oprzemy poj cie caªki. Rysunek 3.2: Funkcje schodkowe u, v poni»ej i powy»ej f - zakreskowane pole obszaru ograniczonego przez u i v

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu) Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAT1317

Analiza Matematyczna MAT1317 Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,

Bardziej szczegółowo

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu

Bardziej szczegółowo

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +

Bardziej szczegółowo

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji). Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl

Bardziej szczegółowo

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010 WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.

Bardziej szczegółowo

sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),

sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]), WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Kolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona

Kolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,

Bardziej szczegółowo

Informacje pomocnicze:

Informacje pomocnicze: dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:

punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio: 5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona

Bardziej szczegółowo

Szkice rozwi za«zada«z egzaminu 1

Szkice rozwi za«zada«z egzaminu 1 Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Materiaªy do Repetytorium z matematyki Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:

Bardziej szczegółowo

FAQ ANALIZA R c ZADANIA

FAQ ANALIZA R c ZADANIA FAQ ANALIZA R c ZADANIA Rachunek ró»niczkowy wersja wst na uwaga na bª dy!!! Zadania oznaczone R maj wskazówki lub rozwi zania na ko«cu liku. Zadania rozwi zywali: Grzegorz Cieciura, Katarzyna Grabowska,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Zadania. 4 grudnia k=1

Zadania. 4 grudnia k=1 Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy

Bardziej szczegółowo

Informacje pomocnicze

Informacje pomocnicze Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykªadnicza

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykªadnicza Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykªadnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym ukªadzie wspóªrz dnych wykresy

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,

Bardziej szczegółowo

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków

Podstawy matematyki dla informatyków Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie fajne równania

Ekstremalnie fajne równania Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne 1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Byªo: Zbiór argumentów; zbiór warto±ci; monotoniczno± ; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotno±ci; funkcja

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0, XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1

Bardziej szczegółowo

Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa

Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno± ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Funkcja. Poj cie funkcji i podstawowe wªasno±ci. Dziedzina

Funkcja. Poj cie funkcji i podstawowe wªasno±ci. Dziedzina Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci Alina Semrau-Giªka Uniwerstet Technoloiczno-Przrodnicz 30 stcznia 209 Funkcj ze zbioru X w zbiór Y nazwam odwzorowanie, które ka»demu elementowi ze zbioru X przporz

Bardziej szczegółowo

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0 WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Funkcje. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Funkcje Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Uzasadnij,»e równanie x 3 + 2x 2 3x = 6 ma dwa niewymierne pierwiastki. Funkcja f dana jest wzorem f (x) = 2x + 1. Rozwi» równanie f (x +

Bardziej szczegółowo

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2 Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia. Jolanta Rosiak

Matematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia. Jolanta Rosiak Matematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia Jolanta Rosiak 3 grudnia 2018 2 Geometria analityczna w przestrzeni Przestrzeni R 3 nazywamy zbiór wszystkich uporz dkowanych

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA 1 semestr zimowy 2015 dr Damian Wi±niewski, KAiRR Moje dane e-mail : dawi@matman.uwm.edu.pl www: http://wmii.uwm.edu.pl/ kairr/dawi godziny konsultacji : poniedziaªki 9:45-10:30, 12:45-14:00

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema

1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych

Bardziej szczegółowo

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Interpolacja funkcjami sklejanymi Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych

Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo