Matematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia. Jolanta Rosiak
|
|
- Krzysztof Jastrzębski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia Jolanta Rosiak 3 grudnia 2018
2 2
3 Geometria analityczna w przestrzeni Przestrzeni R 3 nazywamy zbiór wszystkich uporz dkowanych trójek (x, y, z) liczb rzeczywistych, tzn. R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R}. Zbiór R 3 mo»na interpretowa geometrycznie wprowadzaj c trójwymiarowy prostok tny (kartezja«ski) ukªad wspóªrz dnych. P = (x, y, z) - punkt w przestrzeni R 3. lewoskr tny Ukªad prawoskr tny B dziemy rozwa»a ukªad prawoskr tny. Liczby x, y, z nazywamy wspóªrz dnymi punktu P ; OX, OY, OZ - oznaczenia osi ukªadu wspóªrz dnych; OXY, OY Z, OXZ - oznaczenia pªaszczyzn (zawieraj cych dwie wybrane osie ukªadu wspóªrz dnych); Podobnie jak dwuwymiarowy ukªad wspóªrz dnych dzieli pªaszczyzn na wiartki, tak trójwymiarowy ukªad wspóªrz dnych dzieli przestrze«na oktanty. Trójka (x, y, z) w przestrzeni R 3 mo»e by tak»e interpretowana jako wektor a = OP zaczepiony w punkcie O = (0, 0, 0), o ko«cu w punkcie P = (x, y, z). Podobnie, dwa punkty P i Q w przestrzeni wyznaczaj jednoznacznie zarówno odcinek P Q, jak i wektor P Q (jak równie» QP ). Uwaga. Zarówno wektory, jak i punkty w przestrzeni R 3 mog by podane s za pomoc wspóªrz dnych, wi c przy odró»nieniu wektora od punktu nale»y zwróci uwag na rodzaj u»ytych nawiasów (o ile to rozró»nienie nie wynika z kontekstu).
4 4 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI zapis (x, y, z) oznacza wspóªrz dne punktu, zapis [x, y, z] oznacza wspóªrz dne wektora. Je±li wspóªrz dnymi punktu s odpowiednie wspóªrz dne rzutów punktu na osie ukªadu wspóªrz dnych, to takie wspóªrz dne nazywamy kartezja«skimi (lub prostok tnymi). Wspóªrz dne punktu mo»na podawa tak»e za pomoc innych wielko±ci liczbowych, okre±laj cych jednoznacznie jego poªo»enie. Zamiast wspóªrz dnych prostok tnych mo»na stosowa wspóªrz dne cylindryczne lub wspóªrz dne sferyczne. Wspóªrz dne cylindryczne P = P (ρ, ϕ, z) ρ 0, ϕ [0, 2π) Zale»no±ci: Wspóªrz dne sferyczne P = P (ρ, θ, ϕ) ρ 0, θ [0, π), ϕ [0, 2π) Zale»no±ci: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z. x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ. Zadanie domowe: Poda wspóªrz dne
5 5 1. kartezja«skie punktu P, wiedz c,»e ma on wspóªrz dne cylindryczne ( 2π 3, π 4, 1) ; 2. cylindryczne punktu P, wiedz c,»e ma on wspóªrz dne kartezja«skie ( 1, 1, 6 ) ; 3. cylindryczne punktu P, wiedz c,»e ma on wspóªrz dne sferyczne ( 1, π, ) 3π 6 4 ; 4. kartezja«skie punktu P, wiedz c,»e ma on wspóªrz dne sferyczne ( 1, 5π 6, π 4 ) ; W dalszej cz ±ci wykªadu wspóªrz dne b d oznacza wspóªrz dne kartezja«skie. Je»eli A = (x A, y A, z A ) i B = (x B, y B, z B ), to wektor zaczepiony AB ma wspóªrz dne [x B x A, y B y A, z B z A ] Wektor [0, 0, 0] nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy 0. Wektor [ x a, y a, z a ] nazywamy wektorem przeciwnym do wektora a = [x a, y a, z a ] i oznaczamy ( a ). Wektorem swobodnym nazywamy zbiór wszystkich wektorów zaczepionych, które maj ten sam kierunek, zwrot i dªugo±. Dziaªania na wektorach okre±lamy nast puj co: 1. dodawanie wektorów [a x, a y, a z ] ± [b x, b y, b z ] = [a x ± b x, a y ± b y, a z ± b z ] 2. mno»enie wektora przez staª c R c [a x, a y, a z ] = [c a x, c a y, c a z ]
6 6 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Powy»sze dziaªania maj nast puj ce wªasno±ci: 1. a + b = b + a ; 2. ( a + b ) + c = a + ( b + c ); 3. a + 0 = a ; 4. a + ( a ) = 0 ; 5. (α + β) a = α a + β a dla α, β R; 6. α( a + b ) = α a + α b dla α R; 7. α a = 0 α = 0 a = 0 Dªugo± wektora a = [a x, a y, a z ] a = zad.dom: Wyprowadzi powy»szy wzór. Wªasno±ci dªugo±ci wektora: Dla dowolnych wektorów a, b zachodzi a 0; a = 0 a = 0 ; a + b a + b ; α a = α a dla α R. a 2 x + a 2 y + a 2 z Wersorem wektora a 0 nazywamy wektor a 0, który ma dªugo± 1 oraz ten sam kierunek i zwrot jak wektor a. Wersory osi ukªadu wspóªrz dnych b dziemy oznacza nast puj co: [1, 0, 0] = i (wersor osi 0X); [0, 1, 0] = j (wersor osi 0Y ); [0, 0, 1] = k (wersor osi 0Z)
7 7 Je»eli a = [a x, a y, a z ], to mo»emy zapisa a = ax i + ay j + az k Je»eli a = [a x, a y, a z ], to [ ] ax a 0 = a, a y a, a z jest wersorem wektora a. Zauwa»my, a»e: cos( ( a, OX)) = a x a cos( ( a, OY )) = a y a cos( ( a, OZ)) = a z a a x Liczby a, a y a, a z a (Wspóªrz dne wersora a 0 wektora a ) nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora a. Iloczynem skalarnym wektorów p i q nazywamy liczb Iloczyn skalarny oznaczamy symbolem p q cos( ( p, q )) p q. Iloczyn skalarny oznaczamy tak»e symbolem p q lub p q. W szczególno±ci iloczyn skalarny p p mo»na zapisa krótko p 2. Wªasno±ci iloczynu skalarnego: 1. a b = b a ; 2. a 0 = 0; 3. a ( b + c ) = a b + a c ; 4. a 2 = a 2 (tzn. a = a 2 ); 5. Je»eli a b = 0, to a b. Z powy»szych wªasno±ci wynika w szczególno±ci 5. i 2 = j 2 = k 2 = 1 6. i j = j k = i k = 0 7. Je»eli a = [a x, a y, a z ] i b = [b x, b y, b z ], to a b = ax b x + a y b y + a z b z
8 8 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Korzystaj c z denicji iloczynu skalarnego mo»emy wyznaczy miar k ta mi dzy wektorami: cos( ( p, p q q )) = p q. Zatem ( p, ( p ) q q ) = arccos p q W szczególno±ci z powy»szego wzoru wynika,»e je±li p q < 0, to k t ( p, q ) jest rozwarty. Rzutem prostok tnym wektora a w kierunku wektora b okre±lony wzorem a b c = b b 2 nazywamy wektor c Niech p, q 0 i p q. Iloczynem wektorowym uporz dkowanej pary wektorów p, q nazywamy wektor r speªniaj cy nast puj ce warunki: 1. r p i r q ; 2. r = p q sin( ( p, q )); 3. p, q, r tworz ukªad zgodny z orientacj przestrzeni. Iloczyn wektorowy oznaczamy symbolem Ponadto przyjmujemy: p 0 = 0 ; p q = 0 gdy p q. p q Z powy»szej denicji jasno wynika,»e iloczyn wektorowy jest okre±lony jednoznacznie. Dªugo± iloczynu wektorowego p q jest równa polu równolegªoboku rozpi tego na wektorach p i q. Wªasno±ci iloczynu wektorowego:
9 9 1. q p = p q (antyprzemienno± ); 2. (α p ) q = p (α q ) = α( p q ) dla α R; 3. ( p 1 + p 2 ) q = p 1 q + p 2 q ; 4. p ( q 1 + q 2 ) = p q 1 + p q 2 ; 5. p q p q. Z denicji iloczynu wektorowego wynika tak»e w szczególno±ci,»e i j = k ; j k = i ; k i = j. Je»eli p = [p x, p y, p z ] i q = [q x, q y, q z ], to wspóªrz dne wektora p q obliczamy za pomoc wyznacznika: i j k p q = p x p y p z q x q y q = z
10 10 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI = i p y q y p z q z j p x [ p = y p z, p x q y q z q x q x p z q z p z q z, p x + k p x q x p y q y q x ] p y q y = Iloczynem mieszanym uporz dkowanej trójki wektorów p, q, r nazywamy liczb ( p q ) r Iloczyn mieszany oznaczamy symbolem ( p, q, r ), tzn. ( p, q, r ) = ( p q ) r Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego: Warto± bezwzgl dna z iloczynu mieszanego ( p, q, r ) jest równa obj to±ci równolegªo±cianu rozpi tego na wektorach p, q i r. Je»eli p = [px, p y, p z ], to q = [qx, q y, q z ], r = [rx, r y, r z ], ( p, q, p x p y p z r ) = q x q y q z r x r y r z Mówimy,»e wektory p, q, r s komplanarne (wspóªpªaszczyznowe), je»eli stnieje pªaszczyzna, do której wszystkie trzy wektory s równolegªe Wªasno± : ( p, q, r ) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy i wektory s komplanarne. Mówimy,»e wektory p, q s kolinearne (wspóªliniowe), je»eli istnieje prosta, do której wszystkie obydwa wektory s równolegªe. Wªasno± : p i q s kolinearne wtedy i tylko wtedy gdy istnieje liczba α R taka,»e p = α q. Uwaga; Przyjmujemy,»e wektor 0 jest zarówno prostopadªy, jak i równolegªy do dowolnego wektora. Równania pªaszczyzny w przestrzeni R 3
11 I. Równanie ogólne pªaszczyzny Niech P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) R 3 b dzie ustalonym punktem. Rozwa»my niezerowy wektor n = [A, B, C]. 11 Pytanie: jakie jest miejsce geometryczne punktów P = (x, y, z) R 3, takich,»e wektory n i P 0 P s prostopadªe? Odpowied¹: punkty te tworz pªaszczyzn, która jest prostopadªa do wektora n i przechodzi przez punkt P 0. Wektor n = [A, B, C] nazywamy wektorem normalnym pªaszczyzny π. Wektor normalny pªaszczyzny π oznaczamy tak»e symbolem n π Poniewa» wektory P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ] i n = [A, B, C] s prostopadªe, wi c [x x 0, y y 0, z z 0 ] [A, B, C] = 0 Pªaszczyzna π jest wi c zbiorem punktów P = (x, y, z) speªniaj cych równanie (o zmiennych x, y, z): A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Oznaczmy D = Ax 0 By 0 Cz 0. Równanie ogólne pªaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 Pªaszczyzna ma niesko«czenie wiele postaci równania ogólnego, przy czym równania A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 opisuj t sam pªaszczyzn wtedy i tylko wtedy [A 1, B 1, C 1, D 1 ] = α[a 2, B 2, C 2, D 2 ] dla pewnej staªej α R. Je»eli trzy (ró»ne) punkty A, B, C s niewspóªliniowe, to istnieje dokªadnie jedna pªaszczyzna zawieraj ca punkty A, B, C.
12 12 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Wówczas np. wektor AB AC 0, jest prostopadªy do pªaszczyzny wyznaczonej przez punkty A, B, C, wi c w oparciu o powy»szy iloczyn wektorowy mo»na wyznaczy równanie ogólne pªaszczyzny przechodz cej przez punkty A, B, C. II. Równanie odcinkowe pªaszczyzny Niech π : Ax + By + Cz + D = 0 b dzie równaniem ogólnym pªaszczyzny π. Je»eli D 0, to mo»emy je przeksztaªci nast puj co: Ax + By + Cz = D \ : ( D) A D x B D y C D z = 1 Oznaczmy a = D A, b = D B, c = D C Równanie odcinkowe pªaszczyzny π : x a + y b + z c = 1 Je»eli równanie odcinkowe pªaszczyzny jest okre±lone, ma jednoznaczn posta. Zadanie domowe: Wyznaczy równanie ogólne pªaszczyzny: 1. równolegªej do osi OX, 2. równolegªej do osi OY, 3. równolegªej do osi OZ, 4. równolegªej do pªaszczyzny OXY, 5. równolegªej do pªaszczyzny OXZ, 6. równolegªej do pªaszczyzny OY Z. Równania prostej w przestrzeni R 3
13 13 I. Równanie parametryczne prostej Niech P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) b dzie ustalonym punktem. Rozwa»my niezerowy wektor v = [a, b, c]. Pytanie: Jakie jest miejsce geometryczne punktów P = (x, y, z) R 3, takich,»e wektory v i P 0 P s równolegªe? Odpowied¹: punkty te tworz prost l, równolegª do wektora v i przechodz c przez punkt P 0. Wektor v = [a, b, c] nazywamy wektorem kierunkowym prostej l. Wektor kierunkowy prostej l oznaczamy tak»e symbolem v l Równanie parametryczne prostej l : x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct, t R Prosta ma niesko«czenie wiele postaci równania parametrycznego, przy czym je±li l 1 : x = x 1 + a 1 t y = y 1 + b 1 t z = z 1 + c 1 t, l 2 : x = x 2 + a 2 s y = y 2 + b 2 s z = z 2 + c 2 s, to równania l 1 i l 2 opisuj t sam prost je»eli v l1 v l2 P 1 P 2, gdzie P 1 l 1 i P 2 l 2 (np. P 1 P 2 = [x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ]). II. Równanie kanoniczne prostej Je»eli (wspóªrz dne wektora) a, b, c 0, to: x = x 0 + at t = x x 0 a y = y 0 + bt t = y y 0 b z = z 0 + ct t = z z 0 c
14 14 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Równanie kanoniczne prostej x x 0 l : = y y 0 = z z 0 a b c 1. Je»eli co najmniej jedna ze wspóªrz dnych wektora kierunkowego jest równa 0, to posta kanoniczna prostej nie jest okre±lona. 2. Równanie kanoniczne jest zwane tak»e równaniem kierunkowym. 3. Je»eli istnieje jedna posta kanoniczna prostej l, to prosta l ma ich niesko«czenie wiele. III. Równanie kraw dziowe prostej Je»eli dwie pªaszczyzny nie s równolegªe, to ich cz ±ci wspóln (kraw dzi ) jest pewna prosta. Dla ka»dej prostej l istnieje niesko«czenie wiele par pªaszczyzn, dla których l jest ich wspóln kraw dzi. Zatem prosta mo»e by rozwa»ana jako zbiór rozwi za«ukªadu równa«(z niewiadomymi x, y, z): { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 gdzie [A 1, B 1, C 1 ] [A 2, B 2, C 2 ], i pªaszczyzny dane s równaniami π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Równanie kraw dziowe prostej l : { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 1. Prosta ma niesko«czenie wiele postaci równania kraw dziowego. 2. Wektor n π1 n π2 jest równolegªy do prostej l (wi c mo»e by wybrany jako wektor kierunkowy prostej). Wzajemne poªo»enie pªaszczyzn i prostych w przestrzeni R 3 Punkt P nazywamy rzutem prostok tnym punktu P na pªaszczyzn π, je»eli P π i P P π; prost l, je»eli P l i P P l;
15 15 Zbiór wszystkich rzutów prostok tnych punktów prostej l na pªaszczyzn π nazywamy rzutem prostok tnym prostej l na pªaszczyzn π. Niech π : Ax + By + Cz + D = 0 i P = (x 0, y 0, z 0 ). Odlegªo± punktu P od pªaszczyzny π d(p, π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 Zadanie domowe: wyprowadzi powy»szy wzór. (wskazówka: skorzysta z rzutu prostok tnego i iloczynu skalarnego.) Odlegªo± mi dzy pªaszczyznami równolegªymi Je»eli π 1 : Ax+By+Cz+D 1 = 0 i π 2 : Ax+By+Cz+D 2 = 0, to D 1 D 2 d(π 1, π 2 ) = A2 + B 2 + C. 2 Pªaszczyzny nierównolegªe przecinaj c si tworz k t dwu±cienny. Miara tego k ta jest równa mierze wektora, jaki tworz wektory normalne tych pªaszczyzn. Prosta i pªaszczyzna: 1. Je»eli prosta l jest nierównolegªa do pªaszczyzny π, to maj dokªadnie jeden punkt wspólny. Ten punkt nazywamy punktem przebicia (pªaszczyzny π prost l). 2. Je»eli prosta l ma co najmniej dwa punkty wspólne z pªaszczyzn π, to l π. 3. Prosta l jest równolegªa do pªaszczyzny π wtedy i tylko wtedy gdy wektor kierunkowy prostej jest prostopadªy do wektora normalnego pªaszczyzny. Dwie proste w przestrzeni: równe równolegªe rozª czne; przecinaj si (jeden punkt wspólny); sko±ne - gdy nie istnieje pªaszczyzna zawieraj ca obie proste. Odlegªo± prostych sko±nych Niech k, l b d prostymi sko±nymi o wektorach kierunkowych v l i v k odpowiednio. Niech K k i L l b d punktami. Wówczas: d = ( v l v k ) KL v l v k Zad. domowe: Przedstawi interpretacj geometryczn tego wzoru (wskazówka: skorzysta z interpretacji geometrycznej iloczynu mieszanego).
16 16 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
17 Ukªady równa«liniowych Rozwa»my ukªad równa«liniowych: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (U) :. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m x 1,..., x n - niewiadome a ij - wspóªczynniki (1 i m, 1 j n) b 1,..., b m - wyrazy wolne Je»eli b 1 =... = b m = 0, to ukªad (U) nazywamy jednorodnym. Ukªad jednorodny ma co najmniej jedno rozwi zanie (x 1 =... = x n = 0) Rozwi zaniem ukªadu równa«(u) nazywamy dowolny ci g (x 1,..., x n ) speªniaj cy ka»de równanie w ukªadzie. Ukªad (U) nazywamy oznaczonym gdy ma dokªadnie jedno rozwi zanie; nieoznaczonym gdy ma wiele rozwi za«; sprzecznym gdy nie ma rozwi za«twierdzenie Ukªad (U) jest nieoznaczony, oznaczony lub sprzeczny dla dowolnego n R i dowolnych a 11,..., a mn, b 1,..., b m R. Zadanie domowe: Udowodni powy»sze twierdzenie dla przypadku, gdy (U) jest jednorodny (wskazówka: pokaza,»e je»eli ukªad (U) ma dwa ró»ne rozwi zania, to musi mie ich wiele, tzn na podstawie tych dwóch rozwi za«mo»na wskaza kolejne rozwi zanie.) Ukªad równa«(u) mo»emy interpretowa jako równo± dwóch macierzy jednokolumnowych: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 1. = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Dalej, zauwa»my,»e w tej równo±ci macierz po lewej stronie jest iloczynem macierzy: a 11 a a 1n x 1 a 21 a a 2n A = oraz X = x 2 Przy powy»szych oznaczeniach mo»emy. a m1 a m2... a mn x n ukªad (U) zapisa nast puj co: AX = B
18 18 UKŠADY RÓWNA LINIOWYCH, gdzie B = b 1 b 2. b m Twierdzenie Cramera Je»eli macierz A M n (R) (tzn. liczba równa«= liczba niewiadomych) i det(a) 0, to ukªad (U) ma dokªadnie jedno rozwi zanie dane wzorami: x i = det(b i) det(a) i = 1,..., n, gdzie B i jest macierz uzyskan przez zamian i-tej kolumny w macierzy A na macierz B. Je»eli det(a) 0, to ukªad (U) nazywamy ukªadem Cramera 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 3 Przykªad: 6x 1 x 2 + 9x 3 = 1 11x 1 8x 2 = det(a) = = det(b ) = , det(b ) = , det(b 3) = , Poniewa» det(a) = 404 0, wi c ukªad równa«ma na mocy Tw. Cramera dokªadnie jedno rozwi zanie: det(b 1 ) = 404, x 1 = det(b 1) det(a) = = 1 det(b 2 ) = 202, x 2 = det(b 2) det(a) = = 1 2 det(b 3 ) = 202, x 3 = det(b 3) det(a) = 1 2 A co je±li det(a) = 0 lub m n? Wprowadzimy pomocniczy zapis ukªadu równa«(u) za pomoc tzw. macierzy rozszerzonej: [ ] A.B Operacje na macierzy rozszerzonej b dziemy wykonywa TYLKO NA WIERSZACH. Na kolumnach mo»na jedynie zastosowa permutacj w obr bie macierzy A (co odpowiada zmianie kolejno±ci wyst powania niewiadomych w równaniach) zmieniaj zbioru rozwi za«ukªadu (U): Operacje, które nie 1. wykre±lenie wiersza zªo»onego z samych zer; 2. wykre±lenie wiersza proporcjonalnego z innym wierszem; 3. pomno»enie wiersza przez dowoln niezerow staª ;
19 19 4. zmiana kolejno±ci wierszy; 5. przemno»enie wybranego wiersza przez liczb i dodanie do innego wiersza; Powy»sze operacje b dziemy nazywa przeksztaªceniami równowa»nymi Metoda eliminacji Gaussa-Jordan Metoda ta polega na przeksztaªceniu macierzy rozszerzonej [ ] A.B do macierzy postaci [I r.p.b ], gdzie I r jest macierz jednostkow stopnia r, macierz P jest macierz parametrów (skªada si z n r kolumn, nie istnieje gdy r = n) i B kolumn wyrazów wolnych. Warto±ci parametrów mog by dowolne, a niewiadome odpowiadaj ce kolumnom macierzy I r s wyznaczone za pomoc parametrów i wyrazów wolnych. Liczb r nazywamy rz dem macierzy A. Rz d macierzy jest wyznaczony jednoznacznie. Ukªad jest sprzeczny, gdy w wyniku przeksztaªce«równowa»nych uzyskamy w macierzy wiersz a x 1 + 2x 2 + x 3 x 4 + 3x 5 = 4 Przykªad: 2x 1 + x 2 + x 4 + 5x 5 = 6 Tworzymy macierz rozszerzon : 3x 1 + 3x 2 + x 3 + 8x 5 = 10 wykre±lamy trzeci wiersz: [ [ w 1 ( 2)+w 2 w 1 ( 3)+w 3 w 1 ( 2)+w 2 w 1 ( 3)+w 3 ] ] w 2 3+w 1
20 20 UKŠADY RÓWNA LINIOWYCH [ [ [ x 5 x 2 ] k 5 k 2 ] w 2 ( 1) ] 1. x 3, x 4, x 2 -parametry, tj. x 3, x 4, x 2 R; 2. niewiadome (zmienne) x 1, x 5 obliczamy z równa«: { x1 5x 3 + 8x 4 7x 2 = 2 = x 1 = x 5 + 2x 3 3x 4 + 3x 2 = 2 = x 5 = Ostatecznie rozwi zanie jest nast puj ce: x 1 = 2 + 5x 3 8x 4 + 7x 2 x 5 = 2 2x 3 + 3x 4 3x 2 x 2, x 3, x 4 R
21 Wªasno±ci funkcji Przypomnienie: Funkcj ze zbioru X do zbioru Y nazywamy odwzorowanie, które ka»demu elementowi zbioru X przyporz dkowuje dokªadnie jeden element zbioru Y. Piszemy wówczas f : X Y W trakcie wykªadów ograniczymy si do funkcji, których zarówno dziedzina jak i zbiór warto±ci s zbiorami liczbowymi. Dziedzin naturaln funkcji f nazywamy zbiór wszystkich x R, dla których wyra»enie f(x) ma sens liczbowy. Dziedzin funkcji b dziemy oznacza symbolem D oznaczenie funkcji (D f - dziedzina funkcji f, D g - dziedzina funkcji g, itp) Zbiór warto±ci funkcji b dziemy oznacza symbolem W oznaczenie funkcji Uwaga Je±li dziedzina nie jest zadana dla danej funkcji, domy±lnie przyjmujemy dziedzin naturalnk. Monotoniczno± Funkcja staªa c R x Df f(x) = c Fakt, ze funkcja jest staªa b dziemy niekiedy zaznacza zapisem f(x) c. rosn ca na zbiorze X D f Funkcja Funkcja niemalej ca na zbiorze X D f x1,x 2 X x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ) x1,x 2 X x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Monotoniczno± Funkcja malej ca na zbiorze X D f Funkcja nierosn ca na zbiorze X D f x1,x 2 X x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ) x1,x 2 X x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Uwaga! Z faktu,»e funkcja ma tak sam monotoniczno± na zbiorach X oraz Y nie wynika monotoniczno± na zbiorze X Y.
22 22 WŠASNO CI FUNKCJI Przykªad: f(x) = tgx. Mówimy»e funkcja jest monotoniczna przedziaªami je»eli dziedzin mo»na przedstawi w postaci sumy przedziaªów, na których funkcja jest monotoniczna Funkcj f nazywamy ograniczon z doªu je»eli istnieje m R taka,»e m < f(x) dla ka»dego x D f. Funkcj f nazywamy ograniczon z góry je»eli istnieje M R taka,»e f(x) < M dla ka»dego x D f. Funkcj f nazywamy ograniczon je»eli istniej staªe m, M R takie,»e m < f(x) < M dla ka»dego x D f Funkcj f nazywamy okresow, je»eli istnieje T R + taka»e f(x + T ) = f(x) dla ka»dego x D f. Najmniejsz liczb T speªniaj c warunek f(x + T ) = f(x) (o ile taka istnieje) nazywamy okresem podstawowym funkcji f. Funkcj f nazywamy parzyst, je»eli f( x) = f(x) dla ka»dego x D f. Funkcj f nazywamy nieparzyst, je»eli f( x) = f(x) dla ka»dego x D f. Funkcj f nazywamy ró»nowarto±ciow (iniekcj ), je»eli f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. lub równowa»nie: x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Warunek zawarty w denicji oznacza,»e ka»da warto± funkcji jest osi gana dla jednego argumentu. Zadanie domowe: Rozstrzygn prawda czy faªsz (odpowied¹ uzasadni ) 1. Ró»nica funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcj parzyst. 2. Iloczyn funkcji nieparzystych jest funkcj parzyst. 3. Iloczyn funkcji ró»nowarto±ciowych jest ró»nowarto±ciowy. 4. Suma funkcji okresowych jest funkcj okresow. 5. Suma funkcji ró»nowarto±ciowych jest ró»nowarto±ciowa. 6. Iloczyn funkcji rosn cych jest funkcj niemalej c. 7. Ka»da funkcja nieparzysta jest ró»nowarto±ciowa. 8. Ka»da funkcja rosn ca jest ró»nowarto±ciowa. 9. Ka»da funkcja okresowa jest parzysta lub nieparzysta. 10. adna funkcja parzysta nie jest ró»nowarto±ciowa. 11. adna funkcja nieparzysta nie jest ograniczona. 12. Ró»nica funkcji ograniczonych z doªu jest ograniczona z góry. 13. adna funkcja parzysta nie jest nieparzysta.
23 adna funkcja okresowa nie jest monotoniczna. 15. Je»eli funkcja nie jest ograniczona, to jest ró»nowarto±ciowa. Przegl d wa»niejszych funkcji i ich wªasno±ci 1. Funkcja liniowa f(x) = ax + b, a, b R Wªasno±ci: D f = R; W f = R dla a 0; funkcja monotoniczna (a > 0 rosn ca, a < 0 majel ca, a = 0 staªa); ró»nowarto±ciowa dla a 0; wykresem jest prosta, a = tan α; Zadanie domowe: Wykaza,»e funkcja liniowa jest; parzysta a = 0, oraz nieparzysta b = Funkcja kwadratowa f(x) = ax 2 + bx + c a 0, b, c R D f = R; wykres funkcji nazywamy parabol ; monotoniczna przedziaªami; parzysta dla b = 0, ani parzysta ani nieparzysta w przeciwnym przypadku; miejsca zerowe: dwa, jedno lub brak; ograniczona z doªu lub z góry; posta kanoniczna: ( ax 2 + bx + c = a x + b ) 2 2a 4a posta iloczynowa ( 0): ax 2 + bx + c = a (x x 1 )(x x 2 ) 3. Funkcja pot gowa f(x) = x α 3.1. Przypadek α N 3.1.a. α = 2k, gdzie k N
24 24 WŠASNO CI FUNKCJI Wªasno±ci funkcji: D f = R; W f = 0, + ); funkcja monotoniczna przedziaªami; parzysta(( x) 2k = x 2k ) miejsce zerowe x = 0; ograniczona z doªu nie jest ró»nowarto±ciowa (x 2k = c 2k x = c) Uwaga: wykres dla k 2 nie jest parabol. 3. Funkcja pot gowa f(x) = x α 3.1. Przypadek α N 3.1.b. α = 2k + 1, gdzie k N Wªasno±ci funkcji: D f = R; W f = R; funkcja rosn ca; nieparzysta(( x) 2k+1 = x 2k+1 ); miejsce zerowe x = 0; ró»nowarto±ciowa (x 2k+1 = c 2k+1 x = c); 3.2. α R + \N (wykres) Wªasno±ci funkcji: D f = 0, + ); W f = 0, + );
25 25 funkcja rosn ca (x α > c α x > c); ró»nowarto±ciowa (x α = c α x = c); miejsce zerowe x = 0; (wykres) 4. Funkcja homograczna f(x) = ax + b cx + d, c 0 Wªasno±ci: D f = R\{ d c }; W f = R\{ a c }; funkcja przedziaªami rosn ca lub przedziaªami malej ca; ró»nowarto±ciowa wykres nazywamy hiperbol 5. Funkcje trygonometryczne 5.1. f(x) = sin x Wªasno±ci: D f = R; W f = 1, 1 ; funkcja okresowa T = 2π funkcja przedziaªami monotoniczna; nie jest ró»nowarto±ciowa (sin x = sin α x = α)
26 26 WŠASNO CI FUNKCJI miejsce zerowe x = kπ, gdzie k Z; nieparzysta (sin( x) = sin x) ograniczona 5. Funkcje trygonometryczne 5.2. f(x) = cos x Wªasno±ci: D f = R; W f = 1, 1 ; funkcja okresowa T = 2π funkcja przedziaªami monotoniczna; nie jest ró»nowarto±ciowa (cos x = cos α x = α) miejsce zerowe x = π 2 + kπ, gdzie k Z; parzysta (cos( x) = cos x) ograniczona 5. Funkcje trygonometryczne 5.3. f(x) = tan x Wªasno±ci: D f = R\{x = π 2 + kπ : k Z}; W f = R; funkcja okresowa T = π funkcja przedziaªami rosn ca;
27 nie jest ró»nowarto±ciowa (ale ma t wªasno± po zredukowaniu do jednego okresu podstawowego) miejsce zerowe x = kπ, gdzie k Z; nieparzysta (tan( x) = tan x) 5. Funkcje trygonometryczne 5.4. f(x) = cot x 27 Wªasno±ci: D f = R\{x = kπ : k Z}; W f = R; funkcja okresowa T = π funkcja przedziaªami malej ca; nie jest ró»nowarto±ciowa (ale ma t wªasno± po zredukowaniu do jednego okresu podstawowego) miejsce zerowe x = π 2 + kπ, gdzie k Z; nieparzysta (cot( x) = cot x) Przypomnienie: Wzory redukcyjne Wzory redukcyjne pozwalaj wyra»a warto±ci funkcji trygonometrycznych dowolnego k ta za pomoc warto±ci funkcji k tów ostrych. Znaki funkcji trygonometrycznych w wiartkach:
28 28 WŠASNO CI FUNKCJI α I. ( ) ( 0, π 2 II. π, π) III. ( π, 3π) IV. ( 3π, 2π) sin α + + cos α + + tan α + + cot α + + Stosujemy dwie proste zasady: 1. Ustalamy, do której wiartki nale»y k t i zapisujemy miar k ta w postaci kπ ± α, gdzie α ( 0, π 2 ) ; 2. po zredukowaniu dostajemy t sam funkcj trygonometryczn k ta α ze znakiem plus lub minus, stosownie do znaku, który funkcja ma w wiartce 'wyj±ciowej. (przykªady) 6. Funkcja wykªadnicza f(x) = a x 6.1 Przypadek a > 1 Wªasno±ci: 1. D f = R; 2. W f = R + ; 3. rosn ca (a x > a c = x > c); 4. ró»nowarto±ciowa (a x = a c = x = c); 5. miejsce zerowe - brak; 6. nie jest okresowa, parzysta ani nieparzysta 7. ograniczona z doªu 6. Funkcja wykªadnicza f(x) = a x 6.2 Przypadek a (0, 1)
29 29 Wªasno±ci: 1. D f = R; 2. W f = R + ; 3. malej ca (a x > a c = x < c); 4. ró»nowarto±ciowa (a x = a c = x = c); 5. miejsce zerowe - brak; 6. nie jest okresowa, parzysta ani nieparzysta 7. ograniczona z doªu Przypomnienie: Wªasno±ci dziaªa«na pot gach: 1. a α a β = a α+β 2. a α a β = aα β 3. (a α ) β = a α β 4. a α b α = (ab) α 5. a α ( a ) α b = α b 6. a α β = β a α = β a α 7. a α = 1 a α (o ile ka»da ze stron w powy»szych równo±ciach jest okre±lona) Przypomnienie: Denicja logarytmu Niech a, b > 0, a 1 log a b = c df a c = b 7. Funkcja logarytmiczna f(x) = log a x 7.1 Przypadek a > 1
30 30 WŠASNO CI FUNKCJI Wªasno±ci: 1. D f = R + ; 2. W f = R; 3. rosn ca (log a x > log a c = x > c); 4. ró»nowarto±ciowa (log a x = log a c = x = c); 5. miejsce zerowe x = 1; 6. nie jest okresowa, parzysta ani nieparzysta 6. Funkcja logarytmiczna f(x) = log a x 7.2 Przypadek a (0, 1) Wªasno±ci: 1. D f = R + ; 2. W f = R; 3. malej ca (log a x > log a c = x < c); 4. ró»nowarto±ciowa (log a x = log a c = x = c); 5. miejsce zerowe x = 1; 6. nie jest okresowa, parzysta ani nieparzysta
31 31 Wªasno±ci dziaªa«na logarytmach 1. log a x 1 + log a x 2 = log a (x 1 x 2 ) ( ) x1 2. log a x 1 log a x 2 = log a x 2 3. α log a x = log a (x α ) 4. a log a x = x (dla x > 0) 5. log a a x = x 6. log a b = log c b log c a (wzór na zmian podstawy logarytmu, c 'nowa' podstawa) Je»eli f : X Y i g : Y Z, to funkcj h : X Z okre±lon wzorem h(x) = g(f(x)) nazywamy zªo»eniem funkcji f z funkcj g i oznaczamy symbolem g f. g - funkcja zewn trzna zªo»enia g f; f - funkcja wewn trzna zªo»enia g f. Funkcj h nazywamy funkcj zªo»on, je»eli h(x) = g(f(x)) dla pewnych funkcji f, g. Funkcj f : X Ynazywamy na zbiór Y (lub suriekcj ), je»eli W f = Y. Piszemy wówczas f : X na Y. Uwaga Zapis f : X Y informuje jedynie,»e D f = X oraz W f Y. Je»eli funkcja f : X na Y jest ró»nowarto±ciowa, to nazywamy j bijekcj. Funkcj odwrotn do f : X na Y nazywamy funkcj g : Y na X speªniaj c warunek: x X,y Y f(x) = y g(y) = x. Funkcj odwrotn oznaczamy symbolem f 1. Je»eli istnieje funkcja odwrotna do f, to mówimy,»e funkcja f jest odwracalna. Twierdzenie Funkcja f : X Y jest odwracalna f jest bijekcj. Twierdzenie Dla dowolnej funkcji odwracalnej f zachodz nast puj ce równo±ci: 1. (f f 1 ) (y) = y; 2. (f 1 f) (x) = x; 3. Wykresy funkcji f i f 1 s wzajemnie obrazami (odbiciami) w symetrii wzgl dem prostej y = x. Przykªad. f(x) = a x oraz g(x) = log a x dla a (0, 1) (1, ).
32 32 WŠASNO CI FUNKCJI Granica ci gu liczbowego Przypomnienie: Ci giem liczbowym nazywamy ka»d funkcj o warto±ciach w zbiorze R, której dziedzina jest podzbiorem zbioru N. Warto±ci ci gu oznaczamy symbolami a 1, a 2,..., a n,... i nazywamy wyrazami ci gu. (a n ) - ci g a n - nty wyraz ci gu. W dalszej cz ±ci ograniczymy si do ci gów, których dziedzin naturaln jest zbiór N. W przypadku ci gów okre±lenie monotoniczno±ci przyjmuje postaci: malej cy gdy nierosn cy gdy rosn cy gdy niemalej cy gdy ci g staªy n N n N n N n N a n+1 < a n a n+1 a n a n+1 > a n a n+1 a n Je»eli w powy»szych denicjach warunek n N zast pimy warunkiem n0 N n>n0, to mówimy»e ci g jest monotoniczny od pewnego miejsca. Granica ci gu: Je»eli istnieje liczba g R taka»e ε>0 n0 N n>n0 a n g < ε to nazywamy j granic ci gu a n. Mówimy wówczas»e ci g a n jest zbie»ny do g i piszemy lim a n = g.
33 33 Granica niewªa±ciwa + : Je»eli M>0 n0 N n>n0 a n > M to mówimy»e ci g a n jest rozbie»ny do + lub ma granic niewªa±ciw + i piszemy lim a n = +. Analogicznie deniujemy granic niewªa±ciw. Uwaga Je»eli lim a n = ±, to mówimy,»e ci g (a n ) jest rozbie»ny do ± Twierdzenie Je»eli ci g ma granic (wªa±ciw lub niewªa±ciw ), to jest ona wyznaczona jednoznacznie. Je»eli ci g nie ma granicy to mówimy,»e jest rozbie»ny. Zadanie domowe: Wykaza,»e je»eli a n = c, to lim a n = c. Wªasno±ci granic wªa±ciwych: Je»eli lim a n = a oraz lim b n = b, to lim (a n ± b n ) = a ± b, lim (a n b n ) = a b (w szczególno±ci, lim (α b n ) = α b dla dowolnej liczby α R), a n lim = a b n b, o ile b n 0 dla n N oraz b 0). Powy»sze twierdzenie nie rozstrzyga, czy: 1. ci g ( an b n ) ) 2. ci g ((a n ) bn jest zbie»ny gdy lim b n = 0; jest zbie»ny gdy lim a n = lim b n = 0 Pozostaje tak»e nierozstrzygni ty problem zbie»nosci ci gów (a n ± b n ), (a n b n ), ( an b n ) ), ((a n ) bn w przypadku gdy co najwy»ej jeden z ci gów (a n ), (b n ) jest zbie»ny. Arytmetyka symboli W niektórych przypadkach, nie daj cych rozstrzygn za pomoc powy»szych twierdze«, mo»na stosowa dziaªania symboliczne. Symbole dzielimy na oznaczone nieoznaczone
34 34 WŠASNO CI FUNKCJI Symbole oznaczone Symbole oznaczone, to symbole których rozstrzygni cie jest jednoznaczne. Notacja Symbolem g + b dziemy oznacza granic ci gu a n, gdy dodatkowo speªniony jest warunek: n N a n > g. Symbolem g b dziemy oznacza granic ci gu a n, gdy dodatkowo speªniony jest warunek: n N a n < g. Symbole nieoznaczone Istniej symbole, które nie dadz si rozstrzyga w sposób jednoznaczny. Te symbole nazywamy nieoznaczonymi. (Przykªady) [ ] 0 [ Symbole nieoznaczone,, [ 0], [ ], [1 0 ] ], [0 0 ], [ 0 ], Twierdzenia: 1. Ka»dy ci g zbie»ny ma dokªadnie jedn granic. 2. Je»eli ci g jest zbie»ny, to jest ograniczony. 3. Je»eli lim a n = 0 oraz ci g (b n ) jest ograniczony, to lim (a n b n ) = Je»eli ci g jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbie»ny. Zadanie domowe: Rozstrzygn prawda czy faªsz: 1. Je»eli ci g jest ograniczony, to jest zbie»ny. 2. Je»eli ci g jest zbie»ny to jest monotoniczny. Odpowied¹ uzasadni. Zadanie domowe: wykaza z denicji,»e 1. lim 2n 1 n+1 = 2 2. lim 2 n 1 2 n +1 = 1 Twierdzenie: Je»eli lim a n = 0 oraz ci g (b n ) jest ograniczony, to lim (a n b n ) = 0. Liczba e Ci g a n = ( 1 + n) 1 n jest ograniczony i monotoniczny (dowód pomijamy), wi c na podstawie Twierdzenia 4 jest zbie»ny. Granic tego ci gu deniujemy jako liczb e, tj. ( e = denicja lim ) n n Liczb e 2, nazywamy liczb Nepera. log e x = oznaczenie ln x }{{} logarytm naturalny Twierdzenie: Je»eli lim a n = 0, to lim (1 + a n ) 1 an = e.
35 35 Tw. (o trzech ci gach): Je»eli ci gi (a n ), (b n ) oraz (c n ) speªniaj warunki: 1. n0 N n n0 a n b n c n, to 2. lim a n = g = lim c n, Granica specjalna lim lim b n = g. n n = [ }{{} 0] = 1 =n 1 n S siedztwem Granice funkcji prawostronnym (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór (x 0, x 0 + r). Oznaczamy je symbolem S + (x 0 ; r). lewostronnym (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór (x 0 r, x 0 ). Oznaczamy je symbolem S (x 0 ; r). (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór S + (x 0 ; r) S (x 0 ; r). Oznaczamy je symbolem S (x 0 ; r). W praktyce, je±li warto± r nie jest zadana lub nie jest istotna, pomijamy w zapisie r, tj. piszemy : S + (x 0 ) zamiast S + (x 0 ; r), S (x 0 ) zamiast S (x 0 ; r), S (x 0 ) zamiast S (x 0 ; r). Poni»sze denicje granic funkcji nosz nazw denicji wg Heine'go Granica funkcji w punkcie: Niech f : X R i S (x 0 ; r) X dla pewnego r > 0. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki: 1. n N x n X 2. lim x n = x 0 zachodzi lim f (x n) = g to liczb g nazywamy granic funkcji f w punkcie x 0. Piszemy wówczas lim f (x) = g x x 0 Granica niewªa±ciwa funkcji w punkcie Niech f : X R i S (x 0 ; r) X dla pewnego r > 0. Je»eli dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki:
36 36 WŠASNO CI FUNKCJI 1. n N x n X 2. lim x n = x 0 zachodzi lim f (x n) = + [ ] to mówimy,»e funkcja f ma granic niewªa±ciw + [ ] w punkcie x 0. Piszemy wówczas lim x x 0 f (x) = + [ ] Granica lewostronna funkcji w punkcie: Niech f : X R i S (x 0, r) X dla pewnego r > 0. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki: 1. n N x n S (x 0 ) 2. lim x n = x 0 zachodzi lim f (x n) = g, to liczb g nazywamy granic lewostronn funkcji f w punkcie x 0. Piszemy wówczas lim f (x) = g. x x 0 Granica prawostronna funkcji w punkcie: Niech f : X R i S + (x 0 ; r) X dla pewnego r > 0. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki: 1. n N x n S + (x 0 ) 2. lim x n = x 0 zachodzi lim f (x n) = g, to liczb g nazywamy granic prawostronn funkcji f w punkcie x 0. Piszemy wówczas lim f (x) = g. x x + 0 Twierdzenie Granica lim f (x) (wªa±ciwa lub niewªa±ciwa) istnieje istniej granice x x0 lim f (x) oraz lim f (x), i s sobie równe. x x 0 x x + 0 Granica funkcji w + : Niech f : X R i (a, + ) X dla pewnego a R. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki: 1. n N x n > a 2. lim x n = +
37 37 zachodzi lim f (x n) = g to liczb g nazywamy granic funkcji f w +. Piszemy wówczas lim f (x) = g x + Granica funkcji w : Niech f : X R i (, a) X dla pewnego a R. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki: 1. n N x n < a 2. lim x n = zachodzi lim f (x n) = g, to liczb g nazywamy granic funkcji f w. Piszemy wówczas lim f (x) = g. x Granica niewªa±ciwa funkcji w + [ ]: Niech f : X R i (a, + ) X [(, a) X] dla pewnego a R. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki 1. n N x n > a [x n < a] 2. lim x n = + [ ] zachodzi lim f (x n) = ±, to mówimy,»e funkcja f ma w + [ ] granic niewªa±ciw ±. Piszemy wówczas [ ] lim f (x) = ± lim f (x) = ±. x + x Na mocy powy»szych denicji, wªasno±ci granic funkcji wynikaj wprost z wªasno±ci granic ci gów, tj. itd. (patrz: wªasno±ci granic ci gów.) Twierdzenie (granice specjalne): lim x 0 a x 1 x = [ 0 0] = ln a, lim x 0 sin x x = [ 0 0] = 1, lim x 0 ln(x + 1) x lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x0 x x0 = [ 0 0] = 1.
38 38 WŠASNO CI FUNKCJI Twierdzenie Je»eli istniej granice lim x x0 f (x) = a oraz lim y a g (y) = b, to lim g (f(x)) = b. x x 0 Uwaga Powy»sze twierdzenie jest prawdziwe, tak»e gdy x 0 = ±. Otoczeniem Ci gªo± funkcji prawostronnym (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór x 0, x 0 + r). Oznaczamy je symbolem O + (x 0 ; r), lewostronnym (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór (x 0 r, x 0. Oznaczamy je symbolem O (x 0 ; r), (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór (x 0 r, x 0 + r). Oznaczamy je symbolem O (x 0 ; r). W praktyce, je±li warto± r nie jest zadana lub nie jest istotna, pomijamy w zapisie r, tj. piszemy : O + (x 0 ) zamiast O + (x 0 ; r), O (x 0 ) zamiast O (x 0 ; r), O (x 0 ) zamiast O (x 0 ; r). Ci gªo± funkcji w punkcie: Niech f : X R i O (x 0 ; r) X dla pewnego r > 0. Mówimy,»e funkcja f jest ci gªa w punkcie x 0, je»eli speªnione s nast puj ce warunki: 1. istniej granice wªa±ciwe lim f (x) oraz lim f (x) x x + 0 x x 0 2. lim f (x) = lim f (x) = f (x 0). x x 0 x x + 0 Mówimy,»e funkcja f jest ci gªa na zbiorze X D f, je»eli jest ci gªa w ka»dym punkcie zbioru X. Funkcja elementarna jest to funkcja, która mo»e by uzyskana z funkcji podstawowych (pot gowe, trygonometryczne, logarytmiczne, wykªadnicze, cyklometryczne, itd) w wyniku sko«czonej liczby operacji arytmetycznych (dodawanie, odejmowanie, mno»enie, dzielenie, pot gowanie) lub operacji skªadania. Twierdzenie: Ka»da funkcja elementarna jest ci gªa w swojej dziedzinie. Tw. (Wªasno± ) Darboux: Je»eli funkcja f : X R jest ci gªa na przedziale a, b X, to dla ka»dej liczby p le» cej pomi dzy f (a) i f (b) [tzn. speªniaj cej warunek: f (a) p f (b) lub f (b) p f (a)] istnieje c a, b takie,»e p = f (c). Wªasno± Darboux mo»e nie zachodzi, je±li nie zakªadamy,»e funkcja jest ci gla. Wniosek: Je»eli funkcja f : X R speªnia warunki: 1. jest ci gªa na przedziale a, b X; 2. f (a) f (b) < 0,
39 39 to istnieje c (a, b) takie,»e f (c) = 0. Przykªad: Wykaza,»e równanie arc ctg x = x ma rozwi zanie w przedziale (0, 1). Rozwa»my funkcj f(x) = arc ctg x x. D f = R. Funkcja f jest ci gªa na przedziale [0, 1]. f(0) = arc ctg 0 0 = π 2 > 0 f(1) = arc ctg 1 1 = π 4 1 = π 4 < 0 4 zatem na mocy Wniosku z Tw. Darboux istnieje c 0, 1 takie,»e f(c) = 0, tj. Ostatecznie c.n.w. ( ) Zad. domowe: Wykaza,»e 1. równanie ma rozwi zanie w przedziale (1, e); 2. wielomian arc ctg c c = 0. arc ctg c = c dla pewnego c 0, 1 ln x = 1 x W (x) = x 4 x 1 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Punkty, w których funkcja f nie jest ci gªa nazywamy punktami nieci gªo±ci funkcji f. Przypomnijmy,»e funkcja jest ci gªa w punkcie x 0, gdy speªnione s warunki: 1. istniej granice wªa±ciwe: lim f (x) oraz lim f (x) x x + 0 x x 0 2. lim f (x) = lim f (x) = f (x 0). x x 0 x x + 0 Rodzaje nieci gªo±ci I rodzaju pierwszy z powy»szych warunków jest speªniony, a drugi nie II rodzaju pierwszy z powy»szych warunków nie jest speªniony Przykªad: Zbada ci gªo± funkcji e πx 1 dla x < 0 2x arccos x dla 0 < x 1 f(x) = ln(x + 1) dla x {0} (1, + )
40 40 WŠASNO CI FUNKCJI Rozwi zanie: Funkcja f jest ci gªa na zbiorze R\{0, 1}, bo na tym zbiorze jest okre±lona za pomoc funkcji elementarnych. Badamy ci gªo± w punkcie x = 0: granica lewostronna: e πx 1 lim f(x) = lim x 0 x 0 2x granica prawostronna: lim f(x) = lim arccos x =π x 0 + x warto± funkcji w punkcie x = 0: f(0) = ln(0 + 1) = ln 1 = 0. Ostatecznie = [ 0 e 0] πx 1 lim π x 0 2x π = lim x 0 x 0 lim e πx 1 x 0 } {{ πx } granica specjalna(=1) f(x) = lim f(x) f(0), + zatem funkcja f jest nieci gªa w punkcie x = 0. Badamy ci gªo± w punkcie x = 1: granica lewostronna: lim x 1 x 1 f(x) = lim arccos x = arccos 1 = 0 granica prawostronna: lim x 1 Czyli x 1 f(x) = lim ln(x + 1) = ln π 2 = π 2 lim f(x) lim f(x), x 1 x 1 + zatem funkcja f jest nieci gªa w punkcie x = 1. Oznaczenia: Niech f b dzie funkcj okre±lon na O(x 0, r) dla pewnego r > 0 (tzn. O(x 0, r) D f dla pewnego r > 0). x - przyrost argumentu (rozwa»amy x 0) f - przyrost warto±ci funkcji Przy powy»szych oznaczeniach b dziemy zapisywa x = x 0 + x Iloraz ró»nicowy f x = f(x 0 + x) f(x 0 ) x Iloraz ró»nicowy wyra»a tangens k ta nachylenia siecznej do osi OX, tj. wspóªczynnik kierunkowy tej siecznej. Pochodna funkcji w punkcie: Je»eli istnieje granica wªa±ciwa: f lim x 0 x = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ), x
41 41 to nazywamy j pochodn funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy symbolem df dx (x 0) lub f (x 0 ). Je»eli istnieje f (x 0 ), to mówimy,»e funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie x 0. Zgodnie z oznaczeniem x = x 0 + x denicj pochodnej funkcji f w punkcie x 0 mo»emy zapisa tak»e nast puj co: f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x x0 x x 0 Zad. domowe: Obliczy z denicji f (x 0 ): 1. f(x) = x + 1, x 0 = 3; 2. f(x) = e 3x, x 0 = 1; 3. f(x) = cos 2x, x 0 = 0; 4. f(x) = 1 x, x 0 = 2 Interpretacja geometryczna pochodnej w punkcie: Liczba f (x 0 ) jest wspóªczynnikiem kierunkowym stycznej do krzywej y = f(x) w punkcie (x 0, f(x 0 )). Interpretacja zyczna pochodnej w punkcie: Je»eli rozwa»ymy drog s jako funkcj czasu, tj. s = s(t), to iloraz ró»nicowy s wyra»a ±redni predko± w czasie t, natomiast t ds (t dt 0) wyra»a pr dko± chwilow w chwili t = t 0. Inaczej mówi c, pr dko± jest pochodn s(t) drogi po czasie (v = lim ). t 0 t Pytanie: Rozwa»my pr dko± v jako funkcj czasu, tj. v = v(t). Jak wielko± zyczn wyra»a dv(t dt 0)? Odpowied¹: przyspieszenie chwilowe w chwili t = t 0. zadanie domowe: poda przykªady interpretacji ekonomicznej oraz urbanistycznej(?) pochodnej. Twierdzenie: Je»eli funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, to jest w tym punkcie ci gªa. Powy»sze twierdzenie oznacza,»e ci gªo± w punkcie jest warunkiem koniecznym istnienia pochodnej funkcji w punkcie. Nie jest to jednak warunek wystarczaj cy. Zadanie dom.: Wykaza»e funkcja f(x) = x nie jest ró»niczkowalna w punkcie x 0 = 0. Twierdzenie: Je»eli funkcje f i g s ró»niczkowalne w punkcie x 0, to istniej pochodne ( f ± g ), ( α f ), ( f g ) i: 1. ( f(x 0 ) ± g(x 0 ) ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ); 2. ( α f(x 0 ) ) = α f (x 0 ) dla α R; 3. ( f(x 0 ) g(x 0 )) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ). Je±li ponadto g(x 0 ) 0, to istnieje pochodna funkcji f g : ( ) f(x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g(x 0 ) (g(x 0 )) 2.
42 42 WŠASNO CI FUNKCJI Dowód (iv): Z denicji pochodnej mamy: f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim, g g(x) g(x 0 ) (x 0 ) = lim. x x0 x x 0 x x0 x x 0 Dalej, ( f(x 0 ) g(x 0 ) ) = lim x x 0 f(x) f(x 0) g(x) g(x 0 ) x x 0 = lim x x0 f(x)g(x 0 ) f(x 0 )g(x) g(x)g(x 0 ) x x 0 = = lim x x0 f(x)g(x 0 ) f(x 0 )g(x) g(x)g(x 0 )(x x 0 ) f(x)g(x 0 ) f(x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g(x) = lim x x0 g(x)g(x 0 )(x x 0 ) ( ) ( ) g(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f(x 0 ) g(x) g(x 0 ) = lim x x0 g(x)g(x 0 )(x x 0 ) = g(x 0 ) f(x) f(x0) (x x = lim 0 f(x ) 0 ) g(x) g(x 0) x x 0 x x0 g(x)g(x 0 ) =... Zad. domowe: Udowodni (iii) Twierdzenie (o pochodnej funkcji zªo»onej): Je»eli funkcja g jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie u 0 = g(x 0 ), to ( f (g(x 0 )) ) = f (u 0 ) g (x 0 ). Pochodna jako funkcja: Funkcj f : x f (x) nazywamy pochodn funkcji f. Inne oznaczenia pochodnej: df, Df. dx Uwaga: Oznacze«f (x) oraz df u»ywamy tylko dla funkcji jednej zmiennej. Oznaczenie dx Df jest uniwersalne, tj. mo»na stosowa dla funkcji o dowolnej sko«czonej liczbie zmiennych. Zapis df - oznacza,»e x jest jedyn zmienn funkcji f; dx f oznacza,»e funkcja f ma co najmniej dwie zmienne. x Pochodne podstawowych funkcji: (c) = 0 (1) (x) = 1 (2) w szczególno±ci ( x α ) = αx α 1 dla α R\{0, 1} (3) ( ( 1 x ) = 1 x 2 (3.1) n x ) = 1 n ( n x) n 1 (3.2)
43 43 Pochodne podstawowych funkcji (a x ) = a x ln a (4) w szczególno±ci (e x ) = e x (4.1) w szczególno±ci (log a x) = 1 x ln a (ln x) = 1 x (5) (5.1) (cos x) = sin x (6) (sin x) = cos x (7) (tan x) = 1 cos 2 x (cot x) = 1 sin 2 x (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 (8) (9) (10) (11) Uwagi (arctan x) = x 2 (12) (arc ctg x) = x 2 (13) Przykªady 1. Oznaczenia nad znakami równo±ci odnosz si do numerów wzorów w danym przeksztaªceniu u»ytych; 2. Oznaczenie (P F Z) oznacza zastosowanie twierdzenia o pochodnej funkcji zªo»onej; 3. Aby skoncentrowa uwag na samym stosowaniu wzorów, w poni»szych przykªadach b dziemy pomija wyznaczanie dziedziny naturalnej. Obliczy pochodn funkcji i przeksztaªci do najprostszej postaci: Przykªad 1. f(x) = 1 3 5x 2
44 44 WŠASNO CI FUNKCJI Przykªad 2. f(x) = x 7 x Przykªad 3. f(x) = e x sin x Przykªad 4. f(x) = f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) (w skrócie f = f 1 f 2 f 3 ) Przykªad 5. f(x) = x x x + 1 Przykªad 6. f(x) = tan 2 x Przykªad 7. f(x) = (2x + 1) 4 Przykªad 8. f(x) = ln(8x) Przykªad 9. f(x) = 1 arctan x Przykªad 10. f(x) = ln(cos 2x) arc ctg 7x Przykªad 11. f(x) = π Przykªad 12. f(x) = arcsin x Przykªad 13. f(x) = ln 2 x 2 Uwaga Równo± ln x 2 = 2 ln x jest prawdziwa przy zaªo»eniu x > 0. Dziedzin naturaln funkcji f(x) = ln 2 x 2 jest zbiór R\{0}, wi c przeksztaªcenie ln x 2 = 2 ln x jest dla tej funkcji bª dem (lewa strona równania nie jest okre±lona dla x < 0) Przykªad 14 (wa»ny). f(x) = ln ( x + x 2 + k ), gdzie k = const, k > 0 Przykªad 15 (wa»ny). f(x) = arccos x 1 + x 2 Zastosowania pochodnych do analizy funkcji Przypomnienie: Ilorazem ró»nicowym nazywamy iloraz f x = f(x 0 + x) f(x 0 ) x Przyrost warto±ci funkcji mo»emy zapisa nast puj co: f = f(x 0 + x) f(x 0 ) x Poniewa» granic f x jest f (x 0 ), wi c dla x 0 mamy f f (x 0 ) x Ró»niczka funkcji: Iloczyn f (x 0 ) x nazywamy ró»niczk funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy symbolem df, tj. df = df(x 0 ) = f (x 0 ) x x
45 45 Dla ujednolicenia oznacze«przyrost x oznaczymy symbolem dx. Wówczas df = f (x) dx Ró»niczka funkcji mo»e by rozwa»ana zarówno jako funkcja zmiennej x, jak i zmiennej dx. Równanie stycznej : l : y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) mo»na wi c zapisa za pomoc ró»niczki nast puj co: l : y = df + f(x 0 ) St d mo»emy oblicza za pomoc ró»niczki przybli»on warto± funkcji f: f(x) f(x 0 ) + df = f(x 0 ) + f (x 0 )dx (o ile dx 0) Twierdzenie Lagrange'a Niech f : X R b dzie funkcj ci gª na przedziale a, b X i ró»niczkowaln na przedziale (a, b). Wówczas dla pewnego c (a, b) (tzn. istnieje takie c,»e) zachodzi równo± : f f(b) f(a) (c) = b a Wnioski z tw. Lagrange'a Wniosek 1: Je»eli f (x) 0 na przedziale (a, b), to funkcja f jest staªa na przedziale (a, b). W szczególno±ci, je»eli f (x) g (x) na przedziale (a, b), to funkcje f i g ró»ni si o staª. Przykªad: Wykaza,»e x R arccos x 1 + x 2 = arc ctg x Rozwi zanie: Przeksztaªcimy najpierw równanie tak, aby prawa strona byªa staªa: arccos Rozwa»my funkcj f(x) = arccos Wyka»emy,»e f(x) 0 na zbiorze R. Zauwa»my najpierw,»e D f = R. Zatem zaªo»enie 1 oznacza,»e D f = R. Obliczmy teraz f (x): f (x) = 1 + x2 > }{{} x 2 = x x 1 + x 2 x arc ctg x = x 2 x arc ctg x. 1 + x 2 x 1 + x 2 < 1 x 1 + x 2 1, 1 1 (dziedzina arccos) jest speªnione dla x R, co ( ) x arccos arc ctg x = 1 ( 1 + x x 1 ) = x 2
46 46 WŠASNO CI FUNKCJI Zatem na mocy wniosku z tw. Lagrange'a funkcja f jest staªa, tj. f(x) c dla pewnego c R. Aby teraz zako«czy dowód, wystarczy pokaza,»e c = 0. Poniewa» funkcja f jest staªa, wiec wybieramy dowoln liczb x 0 z dziedziny i obliczymy f(x 0 ), np niech x 0 = 1 : 1 2 f(1) = arccos arc ctg 1 = arccos π 4 = π 4 π 4 = 0 Ostatecznie arccos Zadanie domowe: Wykaza,»e x 1,1 arccos( x) + arccos x = π; x R arc ctg( x) + arc ctg x = π. x arc ctg x = 0 dla x R 1 + x 2 Wniosek 2: Je»eli f (x) > 0 [f (x) < 0] na przedziale (a, b), to funkcja f jest rosn ca [malej ca] na przedziale (a, b). Przykªad: Wyznaczy przedziaªy monotoniczno±ci funkcji f(x) = ln x x Twierdzenie (reguªa) de L'Hospitala: Niech f i g b d funkcjami okre±lonymi i ró»niczkowalnymi przynajmniej w pewnym S(x 0 ). Je»eli 1. f(x) g(x) jest w punkcie x = x 0 symbolem [ 0 0] lub [ ] ; f 2. istnieje granica lim (x) x x0 g (x) f(x) to istnieje granica lim x x0 g(x) (wªa±ciwa lub niewªa±ciwa), i zachodzi równo± : f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Powy»sza reguªa zachodzi tak»e w przypadku x 0 = ± oraz dla granic jednostronnych. Uwagi do reguªy de L'Hospitala Uwaga 1: Fakt stosowania reguªy de L'Hospitala b dziemy odnotowywa nast puj co: lub [ f(x) 0 lim x x 0 g(x) = [H] 0 ] f (x) lim x x 0 g (x) f(x) [ ] lim x x 0 g(x) = [H] f (x) lim x x 0 g (x). Uwaga 2: Ka»d funkcj maj c symbol nieoznaczony mo»na przeksztaªci równowa»nie do symbolu nieoznaczonego [ [ 0 0] lub ]. [ ]: f(x) g(x) = }{{} [ ] 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x) }{{} [ 0 0]
47 [ 0]: [1 ], [0 0 ], [ 0 ] f(x) }{{} g(x) }{{} 0 = f(x) 1 g(x) }{{} [ ] = g(x) 1 f(x) }{{} [ 0 0] (f(x)) g(x) = e ln(f(x))g(x) g(x) ln(f(x)) = e na{ przykªad [1 ] f(x) 1 l : = g(x) ln (f(x)) [ 0] g(x) (Funkcja (f(x)) g(x) wymaga zaªo»enia f(x) > 0) Przypomnienie: S(x 0 ) = O(x 0 )\{x 0 } Mówimy,»e funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie x 0 (lub»e f(x 0 ) jest maksimum lokalnym funkcji f), je»eli funkcja f jest okre±lona przynajmniej na pewnym O(x 0 ) i x S(x0 ) f(x 0 ) > f(x) Mówimy,»e funkcja f ma minimum lokalne (lub»e f(x 0 ) jest miminum lokalnym funkcji f) w punkcie x 0, je»eli funkcja f jest okre±lona przynajmniej na pewnym O(x 0 ) i x S(x0 ) f(x 0 ) > f(x) Maksima i minima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi. Twierdzenie Fermata: Je»eli funkcja f ma extremum lokalne w punkcie x 0 i jest ró»niczkowalna w tym punkcie, to f (x 0 ) = 0 Powy»sze twierdzenie daje warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego. Nie jest to jednak warunek wystarczaj cy. Twierdzenie Funkcja f mo»e mie extremum lokalne tylko w punkcie x 0, w którym f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie istnieje. Twierdzenie: Niech funkcja f b dzie okre±lona przynajmniej na pewnym O(x 0 ) i ró niczkowalna na zbiorze S(x 0 ). Je»eli: 1. f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie istnieje; 2. na zbiorach S (x 0 ) i S + (x 0 ) pochodna ma przeciwne znaki to funkcja f ma extremum lokalne w punkcie x 0. Powy»sze twierdzenie nazywamy I warunkiem wystarczaj cym istnienia ekstremum lokalnego. Niech n N, n 2. Pochodn rz du n (lub n-t pochodn ) funkcji f nazywamy pochodn okre±lon rekurencyjnie: f (n) (x) = ( f (n 1) (x) ) [ d n f dx = d ( )] d n 1 f n dx dx n 1 Rz d pochodnej oznaczamy tak»e rzymskimi cyframi: f II (x), f III (x), f IV (x), itd. Twierdzenie Niech funkcja f b dzie okre±lona i przynajmniej n-krotnie ró»niczkowalna na pewnym O(x 0 ). Je»eli dla pewnej liczby parzystej n 2 zachodzi: 1. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 47
48 48 WŠASNO CI FUNKCJI 2. f (n) (x 0 ) 0 to funkcja f ma extremum lokalne w punkcie x 0. f (n) (x 0 ) < 0 - funkcja f ma w punkcie x 0 max lokalne; f (n) (x 0 ) > 0 - funkcja f ma w punkcie x 0 min lokalne Powy»sze twierdzenie nazywamy II warunkiem wystarczaj cym istnienia ekstremum lokalnego. Mówimy,»e funkcja f ma maksimum absolutne (globalne) w punkcie x 0 (lub»e f(x 0 ) jest maksimum absolutnym funkcji f), je»eli x Df f(x) f(x 0 ) Mówimy,»e funkcja f ma minimum absolutne (globalne) w punkcie x 0 (lub»e f(x 0 ) jest minimum absolutnym funkcji f), je»eli x Df f(x) f(x 0 ) Wzór Taylora i Maclaurina Niech n 2 i f b dzie funkcj n-krotnie ró»niczkowaln w punkcie x 0. Wielomian T n okre±lony wzorem T n (x) = f(x 0 ) + n k=1 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! nazywamy wielomianem Taylora rz du (stopnia) n dla funkcji f. Mo»na tak»e traktowa funkcj f jako pochodn rz du 0 i wówczas T n (x) = n k=0 Wielomian Taylora ma nast puj c wªasno± : T n (x 0 ) = f(x 0 ), T n (x 0 ) = f (x 0 ), T n (x 0 ) = f (x 0 ), f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k!. T (n) n (x 0 ) = f n (x 0 ). Twiedzenie Taylora Je»eli funkcja f jest n- krotnie ró»niczkowalna na przedziale (x 0, x), przy czym f (n 1) jest funkcj ci gª na przedziale [x 0, x], to istnieje c (x 0, x) takie,»e f(x) = T n 1 (x) + f (n) (c) (x x 0 ) n } n! {{} R n(x) Wielomian R n (x) nazywamy reszt Lagrange'a. W szczególno±ci, gdy x 0 = 0, wielomian Taylora nazywamy wielomianem Maclaurina. Dla x 0 = 0 wielomian ma posta ogóln. f(x) = f(0) + n 1 k=1 f (k) (0) k! x k + f (n) (c) x n n! gdzie c (0, x) lub c (x, 0) Wielomiany Maclaurina wa»niejszych funkcji: e x = 1 + x + x2 2! xn 1 (n 1)! + xn n! ec,
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoArkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoFunkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoZbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoMatematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Bardziej szczegółowoKrzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoSzkice rozwi za«zada«z egzaminu 1
Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowo1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowo( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb
Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoKolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowosin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoMacierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 semestr zimowy 2015 dr Damian Wi±niewski, KAiRR Moje dane e-mail : dawi@matman.uwm.edu.pl www: http://wmii.uwm.edu.pl/ kairr/dawi godziny konsultacji : poniedziaªki 9:45-10:30, 12:45-14:00
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan
Plan Spis tre±ci 1 Gradient 1 1.1 Pochodna pola skalarnego...................... 1 1.2 Gradient................................ 3 1.3 Operator Hamiltona......................... 4 2 Ró»niczkowanie pola
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo