YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy przypadki: słabe łumienie: < silne łumienie: > łumienie kryyczne: G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB Słabe łumienie: p ± i 4 [ ] () C exp * exp ( i ) C exp ( i ) Inne ormy zapisu: ampliuda począkowa 44 43 4 () exp cos( ϕ ) ampliuda () exp ( B cos B sin ) () Re D exp i! Drgania łumione drgania harmoniczne o ampliudzie zanikającej z czasem p! mpliuda maleje o czynnik e gdy czas wzrasa o / - czas relaksacji q G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB Częsość drgań: < 99,9 % Dla << (zw. bardzo słabe łumienie): ( można zasąpić ). arunki począkowe R.R drugiego rzędu dwie sałe dowolne, określone przez warunki brzegowe. Np. masa wyprowadzona z położenia równowagi na odległość w prawo i zwolniona dla.. Dla drgań swobodnych: () cos ( ϕ ) ( ) cosϕ, & ( ) sinϕ ϕ π cosϕ > ϕ () cos 3 G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /.. 4. Dla drgań łumionych: ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ g sin cos, cos & ( ) g cos ϕ ϕ ".." 4 okres π τ amp. począkowa
YKŁD FIZYKIIIB Dekremen logarymiczny drgań exp - czynnik łumienia ln δ () ( T ) T exp ln exp ( T ) ln exp T T dekremen logarymiczny δ ~ b - współczynnik łumienia b b m, δ T, b δ m m T m b ln T () ( T ) δ ln ln Dla słabego łumienia: <<, δ... 5 G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB Sray energii: cons d d ( m & k)& d d d d & d & d m& d d d d k prawdziwe dla wszyskich przypadków drgań łumionych (słabo, silnie, kryycznie) d d b& Z równania ruchu: Dla przypadku drgań mechanicznych: d d d d ( mx && kx)x& 443 bx& - z równań ruchu d b x& x&; Fr υ d Pochodna energii jes równa mocy raconej na opory ruchu. Szybkość zaniku energii średniej (średnia po wielu okresach): () exp cos( ϕ ) & T V m k 6 G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB Dla słabego łumienia: 4 m e cos [ ( ϕ )] sin [ ( ϕ )] Energia średniowana po wielu cyklach: < > m e Średnia energia maleje o czynnik /e gdy czas wzrasa o /. zględna sraa energii na jednoskę czasu: < d > < d > Znając charakerysykę zaniku energii można znaleźć. Zanik energii dla drgań słabo łumionych: 7 G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB Dobroć (): Sosunek / określa wielkość łumienia. Dla układu słabo łumionego: - dobroć > >> Dla układu bardzo słabo łumionego: Po cyklach, zn. po czasie maleje o czynnik: exp π τ π ampliuda exp π e - Z czasu po jakim ampliuda spada do 4%. Zanik ampliudy dla układów o różnej dobroci : π.43 8 G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /.. 9 Dobroć a sray energii Dla () x (maksymalne wychylenie): () () k ( ) ( ) T k T Niech () ( ) T, () ( ) ( ) k k T Dla słabego łumienia: δ ( ) [ ] ; T T δ π π δ π π
YKŁD FIZYKIIIB Silne łumienie Niech > p, - rzeczywise, ujemne µ p µ p µ > > 4 4 µ µ µ < () C exp ( µ ) C ( µ ) exp C, C rzeczywise, bo () rzeczywise. C, C z warunków począkowych µ, µ dane przez własności układu C, C mogą być dodanie, ujemne, mogą różnić się znakiem. Jeśli en sam znak nigdy nie zmieni znaku (np. masa nigdy nie przejdzie przez położenie równowagi) Jeśli różny znak zmienia znak gdy oba człony są równe co do warości (np. masa przechodzi raz przez położenie równowagi ylko raz!). To nie są prawdziwe drgania! Ruch aperiodyczny G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB Niech & ( ) C C ( ) ( µ C µ C ) ( ) ( ) () [ µ exp µ µ exp µ ] µ µ Masa wychylona i puszczona () dla 4 ; µ 3.73 ; µ. 68 : Dla dużych czasów można zaniedbać drugi człon i mamy wykładniczy zanik ruchu: µ µ µ () exp ( µ ) Bardzo silne łumienie >> µ µ 4 G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB µ Jeśli () & ( ) ( ) C C exp exp ( >> ) ( ) exp - zanik prawie wykładniczy. ( ) Czas relaksacji (wychylenie zmniejsza się e-kronie) r b k τ ( m) b b & τ r! (bo Fr k Fs ) () k Inne warunki począkowe: Niech & - układ prawie zrównoważony ( ) C C ( ) ( µ C µ C ) υ - masa pchnięa z lewa na prawo ak, że ma prędkość υ przy przejściu przez. G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB () υ [ exp( µ ) ( µ ) ] exp µ µ Tłumienie kryyczne p Rozwiązanie p Ce nie jes dobre jedna sała! - za mało dla ogólnego rozwiązania r.r. II-go sopnia. Dla układu słabo łumionego było: [ ] () C exp * exp ( i ) C exp ( i ) 3 G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB Jeśli - szybsze łumienie, dąży do zera częsość znikają oscylacje. Można spróbować rozwiązania w posaci iloczynu zaniku wykładniczego i linii prosej. (nie sam.) () ( C C ) ( ) exp C, a Niech C aby wymiar obu sałych był aki & ( ) ( ) C C C () ( ) ( ) exp C C Tłumienie kryyczne wychylenie w unkcji czasu: Dla łumienia kryycznego zanik długoczasowy jes szybszy niż dla silnego, bo - - sała zaniku ampliudy dla łumienia kryycznego jes większa od µ - sałej zaniku dla łumienia silnego. nalogicznie dla słabego: -. 4 G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB Sysem o danej uspokaja się najszybciej jeśli jes łumiony kryycznie (znaczenie prakyczne). ; Dobroć: Dla obwodu RLC: d& L d & R L R & & LC R L C Tłumienie kryyczne: dobroć L R ładunek. LC L R 5 G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..
YKŁD FIZYKIIIB Sray energii: de d d d L& C & L && C R& de 3 & R d Ciepło Joule a Drgania łumione na płaszczyźnie azowej: przypadku b łumienie jes znacznie większe, niż w przypadku a. 6 G:\Z dysku E\_yklad \FIN\DOC\Drglum.doc /..