Szczególna i ogólna teoia względności wybane zagadnienia Maiusz Pzybycień Wydział Fizyki i Infomatyki Stosowanej Akademia Góniczo-Hutnicza Wykład 11 M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 1 / 15
Wiująca czana dziua Wybane efekty fizyczne występujące w okolicach wiującej czanej dziuy: ❶ Istnieje obsza na zewnątz hoyzontu, w któym każdy obiekt musi się pouszać w dowolnych współzędnych globalnych. ❷ Istnieje obsza wewnątz hoyzontu, w któym uch nie musi się obdywać w kieunku śodka czanej dziuy występuje nawet odpychanie od śodka. ❸ Stabilne obity wokół wiującej czanej dziuy, nie pzecinające hoyzontu, osiągają mniejsze niż w pzypadku niewiującej czanej dziuy - powadzi to do powstania tzw. dysków akecyjnych. ❹ Niestabilne obity kołowe istnieją wewnątz hoyzontu w pobliżu osobliwości wiującej czanej dziuy. ❺ Wiująca czana dziua może być potężnym żódłem enegii dla zaawansowanej cywilizacji. ❻ Osobliwość wiującej czanej dziuy ma postać ingu pzez któy akieta może pzelecieć nie doznając uszkodzeń. ❼ Wiująca czana dziua może być bamą do innego wszechświata... Oczekuje się, że każda czana dziua we Wszechświecie obaca się wokół własnej osi - wynika to z mechanizmu twozenia czanej dziuy. M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 2 / 15
Wiująca czana dziua Bak symetii sfeycznej znacząco komplikuje ozwiązanie ównań Einsteina. Rozwiązanie znalezione dopieo w 1963 oku pzez Kea, ma postać dτ 2 = 1 2M ρ 2 dt 2 + 4Ma sin2 θ ρ 2 dtdφ ρ2 d2 ρ 2 dθ 2 sin2 θ ρ 2 [ 2 + a 2 2 a 2 sin 2 θ ] dφ 2 gdzie = 2 2M + a 2 oaz ρ 2, θ = 2 + a 2 cos 2 θ natomiast a = J/M jest momentem pędu czanej dziuy na jednostkę masy. Współzędne t,, θ, φ nazywamy współzędnymi Boyea-Lindquista. Uwaga: Dla a metyka Kea edukuje się do metyki Schwazschilda. W dalszej części wykładu będziemy ozważać metykę Kea jedynie w płaszczyźnie ównikowej θ = π/2: dτ 2 = 1 2M dt 2 + 4Ma dtdφ 1 2M 1 + a2 d 2 1 + a2 2 + 2Ma2 2 dφ 2 2 3 M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 3 / 15
Wnioski z metyki Kea dla płaszczyzny ównikowej Zedukowany obwód: R 2 2 1 + a2 + 2Ma2 2 3 Pomienie hoyzontu: H = M ± M 2 a 2 1/2 Wewnętzny pomień to tzw. hoyzont Cauchy ego - nie jest jasne czy mozna go pzekoczyć mass inflation singulaity - óżne części obiektu uzyskują względne pędkości dążące do pędkości światła Ganica statyczna: S = 2M Obsza pomiędzy S i + H to tzw. egosfea, w któej występuje efekt fame dagging. W pzypadkach stacjonanych z metyki wynika, że: dt shell = 1 2M 1/2 dt oaz d shell = 1 2M R/M 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 a =,.2M,.5M,.7M,.9M, M.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 /M 1/2 + a2 d Stosując zasadę maksymalnego stazenia się znajdujemy stałe uchu: E Enegia: m = 1 2M dt dτ + 2Ma dφ dτ L dφ Moment pędu: = R2 m dτ 2Ma dt dτ M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 4 / 15
Ekstemalna wiująca czana dziua Maksymalna watość paametu a wynika z ównania na pomień hoyzontu H = M ± M 2 a 2 1/2 i wynosi a = M. W tym pzypadku pomień hoyzontu Cauchy ego dąży do M. Metyka Kea pzyjmuje uposzczoną postać: dτ 2 = 1 2M dt 2 + 4M 2 dtdφ 1 M 2 d 2 1 + M 2 2 + 2M 3 3 2 dφ 2 Wnioski z metyki Kea dla ekstemalnej wiującej czanej dziuy: dt shell = 1 2M Enegia: E m = 1 2M Moment pędu: L dφ = R2 m dτ 2M 2 dt dτ 1/2 dt d shell = 1 M 1 d dt dτ + 2M 2 dφ dτ R 2 2 + M 2 + 2M 3 M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 5 / 15
Ruch światła w geometii Kea Rozpatzmy początkowy uch światła w kieunku stycznym d =. Z metyki Kea dla światła dτ = dostajemy: R 2 dφ dt 2 4Ma Równanie to ma dwa ozwiązania: 2Ma R dφ dt = 2Ma 2 R ± + 1 2M R dφ dt 1 2M = = 2Ma R ± 2 2M + a 2 R W szczególności na ganicy statycznej S = 2M, R 2 S = 6M 2 dostajemy: dφ dt = oaz dφ dt = a 3M 2 Oznacza to, że światło a tym badziej cząstka mateialna po pzekoczeniu ganicy statycznej, z punktu widzenia odległego obsewatoa, nie może pouszać się w kieunku pzeciwnym do kieunku obotu czanej dziuy. Uwaga: Bak stacjonanych ingów stwaza koncepcyjny poblem pomiau zedukowanego pomienia R. M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 6 / 15
Ruch światła w geometii Kea Rozpaczmy początkowy uch światła w kieunku adialnym dφ =. Z metyki Kea dlaświatła dτ = dostajemy: a stąd: d dt = ± 1 2M 1 2M 1/2 1 2M 1 2 + a2 d 2 1 2M dt + a2 2 Dla < S = 2M pędkość ta jest uojona, co oznacza, że wewnątz egosfey nie jest możliwy uch tylko w kieunku adialnym. Na hoyzoncie ekstemalnej wiującej czanej dziuy, H = M, pomień światła wysłany w kieunku stycznym w dowolną stonę pousza się zawsze z pędkością światła w kieunku obotu czanej dziuy. = -1 1 2 3 4 5 6 7 8 /M M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 7 / 15 Initial speed of light Rdφ/dt o d/dt 1.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 H /M=1+1-a/M 2 1/2 R S /M=2 Rdφ/dt in diection of otation d/dt a =,.6M, M Rdφ/dt opposite to diection of otation
Swobodny spadek na wiującą czaną dziuę Pzykład: Cząstka o masie m, znajdująca się początkowo w spoczynku, spada swobodnie z dużej odległości na wiującą czaną dziuę. Ruch odbywa się w płaszczyźnie ównikowej czanej dziuy. Z zasad zachowania enegii i pędu: E m = 1 = 1 2M dt dτ + 2Ma dφ dτ oaz wykozystując metykę Kea dostajemy: d = 2 2M + a 2 a 2 +a 2 1/2 dφ dφ = 2M L dφ = = R2 m dτ 2Ma 2 M a d M M dt dτ 2 M 2 2 M + a2 2 1/2 M 2 M + a2 2 M 2 Zamiana zmiennych u = /M oaz wpowadzenie oznaczenia a = a/m, daje: 2ua du 2 dφ = u 2 2u + a 2 u2 + a 2 1/2 Rezultaty dla ekstemalnej czanej dziuy pzedstawia ysunek. -1 Pędkość na wewnętznym ingu wynosi: R dφ dt = 2M 2 R = = M, R = 2M = 1-2 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 /M M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 8 / 15 /M 1
Swobodny spadek na wiującą czaną dziuę Podobnie, kozystając z zasad zachowania enegii i pędu oaz metyki Kea można znaleźć pędkość adialną miezoną pzez obsewatoa w jego układzie odniesienia spadającego swobodnie w płaszczyźnie ównikowej wiującej czanej dziuy: d 2M dτ = ± 1/2 1 + a2 2 1/2 Ponieważ z zasad zachowania enegii i pędu wynika, że: dτ = 1 2M 2 2Ma + dt R więc pędkość adialna spadającego obsewatoa względem obsewatoa odległego dana jest pzez: d dt = ± 1 2M + 2Ma R d/dτ lub d/dt 4 3.5 3 2.5 2 1.5 2 2M 1/2 1 + a2 1 H /M=1+1-a/M 2 1/2 a =,.3M,.7M, M d/dτ.5 d/dt.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 /M 1/2 M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 9 / 15 2
Obsewato o zeowym momencie pędu Cząstka o masie m i zeowym momencie pędu, spadająca swobodnie na wiującą czaną dziuę ma pędkość kątową: L dφ = = R2 m dτ 2Ma dt ω dφ dτ dt = 2Ma R 2 Obsewatoa znajdującego się na ingu pouszającym się z taką pędkością kątową nazywamy obsewatoem o zeowym momencie pędu ZAMO. dφ dt = dφ ing + 2Ma.5 dt R 2.4 Metyka w układzie ZAMO t ing, φ ing jest lokalnie płaska d = : dτ 2 = 1 2M dt 2 + 4Ma dtdφ R 2 dφ 2.3 dτ 2 = 2 + a 2 2M dt 2 R 2 dφ 2 ing R 2 dτ 2 = dt 2 ing R 2 dφ 2 ing gdzie: dt ing = 2 + a 2 2M 1/2 dt R Układ ZAMO jest lokalnie płaski. Pędkość światła wynosi 1. Mdφ/dt.2.1 H /M=1+1-a/M 2 1/2 a =.1M,.3M,.6M, M 1 2 3 4 5 6 /M M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 1 / 15
Cząstki o ujemnej enegii W pobliżu wiującej czanej dziuy cząstka o masie m może znaleźć się w stanie o ujemnej enegii gdy: E m = 1 2M dt dτ + 2Ma dφ dτ < R dφ R2M < dt 2Ma Cząstka o masie m nie może pouszać się w danym obszaze czasopzestzeni szybciej niż światło. A więc ujemną enegię może mieć jedynie w obszaze egosfey ysunek. Znaczenie ujemnej enegii całkowitej: Mechanika Newtona dowolność wybou zea dla enegii potencjalnej. STW masa spoczynkowa jest zawsze dodatnia. Metyka Schwazschilda cząstka spoczywająca na hoyzoncie ma enegię zeo. Rdφ/dt 1.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 H /M=1+1-a/M 2 1/2 S /M=2 light in diection of otation Region of negative enegy a = M light opposite to diection of otation -.8 paticle with zeo enegy -1 1 2 3 4 5 6 7 8 /M M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 11 / 15
Cząstki o ujemnej enegii Chcemy znaleźć zakes pędkości stycznych cząstki względem obsewatoa na ingu v ing dla któych enegia cząstki miezona w nieskończoności będzie ujemna. Kozystając z dφ = dφ ing + 2Ma R 2 dt oaz dt ing = 2 + a 2 2M 1/2 dt R dostajemy dla E/m = : R dφ ing dt ing = 2Ma 2 + a 2 2M 1/2 Zakes pędkości dla któych enegia jest ujemna zależy od pomienia ingu: na ganicy statycznej nawet uch z pędkością światła daje enegię zeo, na hoyzoncie każda watość wstecznej pędkości daje enegię ujemną. Mechanizm pobou enegii od wiującej czanej dziuy bazujący na ujemnej enegii cząstki nosi nazwę pocesu Penose a. v ing -.2 -.4 -.6 -.8-1 H /M=1+1-a/M 2 1/2 a =.7M,.9M, M negative enegy S /M=2.25.5.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 /M M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 12 / 15
Całkowita enegia cząstki na ingu Nieedukowalna masa wiującej czanej dziuy cały moment pędu odebany w pocesie Penose a lub w inny sposób: M 2 i = 1 2 [M 2 + MM 2 a 2 1/2] lub M 2 = M 2 i + J 2 Dla ekstemalnej czanej dziuy mamy: M i = M 2.71M Enegia cząstki spoczywającej na ingu: E m = 1 2M dt + 2Ma dφ dt ing = 2 + a 2 2M 1/2 R dt ing Z wykesu obok można odczytać watość enegii dostępnej do emisji pzez cząstkę spadającą z dużej odległości od stanu spoczynku na obitę o danym pomieniu. E/m 1.9.8.7.6.5.4.3.2 H /M=1+1-a/M 2 1/2 4M 2 i.1 a =,.6M,.9M, M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 /M M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 13 / 15
Dyski akecyjne Dysk akecyjny - gaz, pył i inny mateiał międzygwiezdny kążący wokół masywnego obiektu centalnego czana dziua, gwiazda, biały kazeł,... Spadająca na centalny obiekt mateia geneuje ogomne ilości enegii w postaci pomieniowania kwazay. M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 14 / 15
Miko czane dziuy W wysokoenegetycznych zdezeniach potonów, potencjalnie mozliwe jest wytwozenie miko czanych dziu jeśli potony zbliżą się do siebie na odległość poniżej pomienia Schwazschilda. Pzed uuchomieniem akceleatoa LHC istniała obawa, że taka miko czana dziua może zniszczyć Ziemię. Dotychczas nie zaobsewowano jednoznacznych sygnałów keacji miko czanych dziu na LHC. Gdyby jednak taka dziua powstała to oczekuje się, że jej czas życia byłby 1 27 s. Black holes in LHC - Webcams view M. Pzybycień WFiIS AGH Szczególna Teoia Względności Wykład 11 15 / 15