Geometria Struny Kosmicznej

Transkrypt

1

2 Spis treści 1 Wstęp 2 Struny kosmiczne geneza 3 Czasoprzestrzeń struny kosmicznej 4 Metryka czasoprzestrzeni struny kosmicznej 5 Wyznaczanie geodezyjnych 6 Wykresy geodezyjnych 7 Wnioski 8 Pytania

3 Wstęp Geometria nauka badająca własności figur oraz zachodzące między nimi związki. Szkolna geometria bierze swój początek od Euklidesa i jest geometrią przestrzeni płaskich. Ogólna Teoria Względności mówi jednak, że czasoprzestrzeń, w której żyjemy nie jest płaska, ponieważ każda masa zakrzywia przestrzeń wokół siebie.

4 Wstęp Z jaką geometrią mamy do czynienia? Najprościej zmierzyć sumę kątów w trójkącie. geometria płaska suma kątów w trójkącie = π, geometria zamknięta suma kątów w trójkącie > π, geometria otwarta suma kątów w trójkącie < π.

5 Struny kosmiczne geneza Około 1 1 lat temu nastąpił Wielki Wybuch.

6 Struny kosmiczne geneza Struny kosmiczne są hipotetycznymi, jednowymiarowymi i nieskończenie długimi, topologicznymi defektami w strukturze czasoprzestrzeni. Powstały na drodze łamania symetrii osiowej. Są ekstremalnie cienkie, gdyż ich promień szacuje się na kilkanaście rzędów wielkości mniejszy od promienia atomu wodoru. Mają niezmiernie dużą gęstość liniową (1 22 g cm ), w wyniku czego generują wokół charakterystyczną koniczną (stożkową) czasoprzestrzeń.

7 Czasoprzestrzeń struny kosmicznej W jaki sposób możemy dostrzec istnienie strun? Czasoprzestrzeń generowana przez nieskończenie długą i prostą strunę ma postać koniczną. Powstaje ona w wyniku wycięcia z hiperpłaszczyzny pewnego kąta zwanego deficytem kąta i sklejenia jej brzegów. W efekcie otrzymamy lokalnie płaską, ale globalnie zakrzywioną przestrzeń, z osobliwością w wierzchołku stożka.

8 Czasoprzestrzeń struny kosmicznej Pole grawitacyjne od takiej struny może dawać interesujący efekt podwójnego obrazu. Promienie świetlne wysyłane z odległego kwazaru natrafiając w przestrzeni na prostą strunę kosmiczną, poruszają się po geodezyjnych zerowych, zakrzywionych w kierunku struny. Obserwator dostrzeże dwa obrazy tego samego kwazaru odseparowane od siebie kątem rzędu, leżące na przedłużeniu stycznych do geodezyjnych.

9 Metryka czasoprzestrzeni struny Metryka czasoprzestrzeni struny we współrzędnych cylindrycznych (struna leży wzdłuż osi z) ds 2 = dt 2 + dr 2 + r 2 dθ 2 + dz 2, gdzie t, z R, r (, ), θ [,2π ), [,2π). θ = kφ, k = 1 2π. ϱ = kr, ds 2 = dt k 2 dϱ2 + ϱ 2 dφ 2 + dz 2 gdzie t, z R, ϱ (, ), φ [,2π), k (,1].

10 Metryka czasoprzestrzeni struny Czasoprzestrzeń struny jest czterowymiarowa. Aby móc zobaczyć w pełni jej kształt, musimy ją oglądać z przestrzeni przynajmniej pięciowymiarowej. Chcemy udowodnić, że rzeczywiście posiada ona geometrię stożkową. W tym celu zapisujemy równanie stożka dla pięciowymiarowej przestrzeni i przy użyciu zmiennych cylindrycznych uzyskujemy wyrażenie na interwał zanurzonego w pięciowymiarowej przestrzeni stożka R 2 cos 2 ϕ + R 2 sin 2 ϕ = az 4 ds 2 = dt sin 2 α dr2 + R 2 dϕ + dz 2 gdzie t, z R, R (, ), ϕ [,2π), α (, π 2 ]. Łatwo widać, że a R = ϱ, ϕ = φ, k = sin α = a Metryka czasoprzestrzeni struny kosmicznej jest metryką wyindukowaną na stożku.

11 Wyznaczanie geodezyjnych Ruch cząstki materialnej w polu grawitacyjnym jest określony za pomoca zasady najmniejszego działania. Trajektoria będąca rozwiązaniem tego równania wariacyjnego jest najkrótszą linią łączącą dwa punkty (linia geodezyjna). Wyróżniamy trzy rodzaje linii geodezyjnych: czasowe, ds 2 <, przestrzenne, ds 2 >, zerowe, ds 2 =. Wyróżniamy jeszcze jeden, bardziej ogólny podział dwie klasy geodezyjnych: geodezyjne zupełne, p φ, geodezyjne niezupełne, p φ =.

12 Wyznaczanie geodezyjnych Geodezyjne zostały wyznaczone przy pomocy metody Hamiltona-Jacobiego. Rozwiązanie zagadnienia o ruchu układu mechanicznego tą metodą sprowadza się do następujących operacji. Mając funkcję Hamiltona formułuje się równanie Hamiltona-Jacobiego i znajduje przy pomocy tzw. rozdzielenia zmiennych całkę zupełną S = α t + α 2 φ + α 3 z + f (ϱ). Różniczkując tę całkę zupełną względem dowolnych stałych alpha i przyrównując pochodne do nowych stałych beta,

13 Wyznaczanie geodezyjnych otrzymujemy s równań algebraicznych S α i = β i, po rozwiązaniu których znajdujemy współrzędne q, jako funkcje czasu i 2s dowolnych stałych. Zależność pędów od czasu można natomiast znaleźć na podstwaie równań p i = S q i.

14 Wykresy geodezyjnych a) b) Rysunek: Wykres geodezyjnej a) zerowej b) czasowej dla =.

15 Wykresy geodezyjnych a) b) Rysunek: Wykres geodezyjnej a) zerowej b) czasowej dla = 18.

16 Wykresy geodezyjnych a) b) Rysunek: Wykres geodezyjnej a) zerowej b) czasowej dla = 288.

17 Wykresy geodezyjnych a) b) Rysunek: Wykres geodezyjnej a) zerowej b) czasowej dla = 32.

18 Wykresy geodezyjnych a) b) Rysunek: Wykres geodezyjnej niezupełnej a) zerowej b) czasowej dla = 18.

19 Wnioski a) b) Rysunek: a) Efekt podwójnego obrazu. b) Zderzenie się dwóch części chmury gazowej.

20 Wnioski a) b) Rysunek: a) Efekt podwójnego obrazu dla deficytu kąta równego 18. b) Zderzenie się dwóch części chmury gazowej dla deficytu kąta równego 18.

21 Wnioski -5-1 Z Rysunek: Wykres przedstawiający zachowanie się gwiazd chmury gazowej w pobliżu struny kosmicznej o deficycie kąta = 39.

22 Wnioski -5 Z Rysunek: Wykres przedstawiający dwie różne geodezyjne niezupełne.

23 Wnioski Z Rysunek: Wykres przedstawiający geodezyjną równoległą do struny.

24 Pytania Dlaczego nie obserwujemy strun kosmicznych? skwantowany deficyt kąta, świat utkany strunami? brak strun we Wszechświecie?

25 KONIEC KONIEC ;)