Wykład 16. Jeszcze o geodezyjnych. Wrócę jeszcze do ruchu po zakrzywionej powierzchni, dla której

Transkrypt

1 Wykład 16 Jeszcze o dezyjnych Wócę jeszcze do uchu po zakzywionej powiezchni, dla któej dl dϕ d. Pawa zachowania momentu pędu (piszę je dla cząstki elatywistycznej: J a mv / 1 v / c ϕ & av m / 1 v / c m / 1 v / c i enegii, spowadzające się do stałości pędkości: ϕ& & v dzieliliśmy, po podniesieniu do kwadatu, stonami (dugie pzez piewsze i wykozystując to, że & / ϕ& d / dϕ, dostaliśmy ównanie dezyjnej, nadające się już wpost do konketnego ozwiązywania 1 g a Tym azem podzielę je stonami odwotnie, bez podnoszenia do kwadatu, i skozystam z tego, że: ϕ & / & dϕ / d otzymując: a Jest to dokładnie to samo ównanie, a nawet, chcąc ozwiązywać konketne zadanie, dla konketnego g, i tak tzeba by je ozwikłać względem pochodnej otzymując stae, ale ta nowa postać jest godna uwagi. Rozważmy długość odcinka dezyjnej, będącej ozwiązaniem powyższego ównania pomiędzy dwoma ustalonymi punktami i o współzędnych 1, ϕ i, ϕ. Rozwiązanie takie da się znaleźć, gdyż w ozwiązaniu ϕ ϕ(, opócz dowolnej stałej a, już obecnej w uzyskanym ównaniu óżniczkowym piewszego zędu, wystąpi dodatkowa stała całkowania C, azem dwie. ędziemy mieć ϕ ϕ(, a, C. Układając dwa ównania: ϕ (, a, C i ϕ (, a, C, wyznaczymy stałe a i C, któe pzestaną być dowolne. Rzeczywiście punkty końcowe i na płaszczyźnie wytyczają dezyjną. Mógłbym dobać owe dwie stałe ównież do waunku, że dezyjna statując w jednym punkcie, ma tam okeślony kieunek, czyli okeśloną watość pochodnej dϕ / d. To dugie jest często paktyczniejsze.

2 Na ysunku są te dwa punkty, jest fagment stosownej dezyjnej i kilka altenatywnych dóg, azem pięć, wiodących od do. Dokładniej mówiąc, owe pięć dóg odpowiada zależnościom ϕ ( ϕ ( + εδ(, dla ε 1, 0.5, 0, -0.5, -1, gdzie ϕ ( jest fagmentem dezyjnej (dla jakiejś metyki, któej nie specyfikuję, bo ozważania są ogólne. Z kolei δ ( jest jakąś, jedną z nieskończenie wielu możliwych, modyfikacją, (naukowo zwaną waiacją, naszej dezyjnej. Oczywistą własnością δ (, jeśli mamy poównywać długość odcinka dezyjnej z długością altenatywnych dóg od do, jest jej znikanie w punktach i δ( δ( 0 Nie jest tudno wyobazić sobie altenatywne dogi dla wszystkich watości ε pomiędzy 1, a +1. Oczywiście długość dogi staje się w tej sytuacji funkcją ε. Cokolwiek wybalibyśmy na funkcję δ (, watość ε 0, będzie odpowiadała akuat dezyjnej (w naszym ozumieniu tego okeślenia, jako dogi wybieanej pzez punkt mateialny, nie doznający żadnej siły w płaszczyźnie stycznej l ( ε dϕ ( d ( ( + εδ ( + Dla jakiej watości ε doga jest najkótsza? istotą dezyjnej, jako tou dla cząstek (albo światła, wszak widzimy że cząstka ultaelaty- g ( d To nie jest badzo tudne pytanie! Waunkiem koniecznym jest, by pochodna po ε była zeem! Domyślamy się, że tak właśnie będzie dla ε 0. Jak niebawem zozumiemy, fizyczną

3 wistyczna, pousza się na naszej powiezchni po takim samym toze jak i cząstka powolna, jest nie tyle jej najkótszość, ale właśnie to, by zmiany długości, pzy małych waiacjach, były popocjonalne do wyższych potęg ε niż 1. to właśnie pochodna mnoży piewszą potęgę pzyostu funkcji: f ( x + ε f ( x εf ( x + O( ε W większości postych sytuacji, dla dezyjnej (czyli dla ε 0 mamy zeczywiście minimum długości dogi, ale to akuat nie jest ważne. Wypada policzyć (dla watości ε 0 tę pochodną: dl ( ε dε ε 0 ( ( ( ( δ ( d ( ( ( ( dδ( Iloczyn pochodnej waiacji δ ( i pzyostu d zastąpiłem pzyostem δ ( d dδ(. Sztuczka z uzupełnianiem adb o bda do pełnego pzyostu d(ab, jest niezwykle użyteczna! Dopieo co, mieliśmy to pzy mpeze, a i teaz wato uzupełnić. Pzyosty pełnego iloczynu d ( ( ( δ( zsumują się nieuchonnie do totalnego pzyostu, ( czyli óżnicy watości tego iloczynu w punktach i. le tam jeden z czynników δ ( 0 δ( 0! 1, więc i cały iloczyn jest tam ówny zeu. Ponieważ pod całką dodaliśmy bda, co z istniejącym wyażeniem dało ostatecznie, tj. po wysumowaniu, 0, musimy jeszcze tylko uwzględnić człon, (bo uzupełnianie to pzecież dodanie i odjęcie owego bda. Zatem : dl dε ( ε ε 0 δ( d ( ( ( ( bda d δ( d ( ( le popatzmy na ównanie uzyskane z mechaniki. Toż mówi ono dokładnie to, iż wyażenie do zóżniczkowania: ( ( (, ( jest stałą. więc nasza definicja dezyjnej, jako tou fizycznej cząstki, najpostszej linii, pozwala udowodnić, że jest ona nie tylko minimalna pod względem kzywizny, ale i ( ( d 1 W pzypadku mpèa podobne znikanie wynikało z zamkniętości kontuu z pądem. Jest to szczególny pzypadek tzw. całkowania pzez części. 3

4 minimalna (czy ogólniej stacjonana pod względem długości. I na odwót 3. Jeśli ktoś definiuje dezyjną jako linię najkótszą, to powyższe ozumowanie dowodzi, że punkty mateialne i światło (zmuszone pozostawać na powiezchniach z dowolną metyką właśnie będą pouszać się po takich dezyjnych. Zapamiętajmy ten achunek. Gdy w całce F( y' ( x, x dx nie występuje samo y(x, a jedynie y (x, to zależność y(x minimalizująca tę całkę spełniać musi ównanie F( y', x constans y Jest to ewelacyjnie wygodny i skuteczny sposób dochodzenia do potzebnych ównań. Natua zmiennych nie ma znaczenia. Może to być, jak pzed chwilą, jako zmienna niezależna i kąt ϕ( jako zmienna zależna. Za chwilę, dla zbadania tou światła w gęstniejącym pionowo oztwoze, zmienną niezależną będzie z, a zmienną zależną x. Tochę później taką zmienną niezależną będzie czas, a zmienną zależną któaś ze współzędnych, a zaaz potem czas t stanie się zmienną zależną a jedna ze współzędnych zmienną niezależną. Wszystkie chwyty dozwolone. yle funkcja podcałkowa nie zawieała 4 zmiennej wybanej na zależną, a jedynie jej pochodną. Skupmy teaz uwagę na świetle. Gdy myślimy o nim, jako o fotonach (a więc skajnie elatywistycznych cząstkach, zasady mechaniki pozwalają wyznaczyć to, (co zobiliśmy w zakzywionej płaszczyźnie, bez odwoływania się do własności ekstemalności dogi. Gdy jednak pomyślimy o falach w waunkach, gdy jest sens mówić o pomieniach, a więc w ganicy fal kótkich, nasuwa się natychmiast konstukcja Huyghensa, w któej falę, w każdym punkcie P, można uważać za sumę fal od wielu, powiedzmy N punktów P wcześniejszego fontu (z óżnymi, zależnymi od odległości fazami. i φ ( P, P' e wszystkich P' a( P a( P' W każdym takim punkcie P, fala jest też sumą od wcześniejszego fontu, czyli od wielu punktów P, więc już mamy sumę podwójną: a iφ( P, P' iφ( P', P'' i( φ( P, P' +φ( P', P'' ( P e e a( P' ' e a( P wszystkich P' wszystkich P' ' wszystkich P' i P'' '', 3 Jeśli żądamy, by kzywa opisana funkcją ϕ ( była ekstemalą, (czyli albo minimalna, albo maksymalna, albo chociaż stacjonana żądać musimy znikania pochodnej ostatniej całki, dla każdej funkcji δ (, a to wymusza znikanie wzdłuż całego tou pochodnej występującego tam wyażenia, co oznacza jego stałość. 4 Tu znów ocieamy się o temat zekę. W jakimś sensie pawie, że istotę fizyki! ak zmiennej w wyażeniu, któe mogłoby ja w innych okolicznościach zawieać, nazywa się symetią. Gdy uch opisany jest waunkiem minimalności pewnej całki, każda symetia implikuje swoje pawo zachowania. Fizyka stoi na symetiach. 4

5 czyli sumę po N łamanych z fazą każdego składnika zależną od dogi, czyli od owej łamanej. Kontynuując myślenie o fali w punkcie P jako sumie wkładów od fontu jeszcze wcześniejszego, dostaniemy sumę N 3 składników, dla dwukotnie załamanych segmentów: a i( φ( P, P' +φ( P', P'' +φ( P'', P''' ( P e a( P wszystkich P', P'' i P''' ' '' W pzestzeni o stałej długości fali, ale pzestzeni zakzywionej, faza składnika (po dotaciu z konstukcją aż do źódła fali, to będzie po postu wielkość popocjonalna do długości dogi: π φ (, l(, λ Suma wielu składników z óżnymi fazami niechybnie uśedni się do zea. Jedyny istotny wkład da gupa łamanych o niemal identycznej fazie, czyli (dla stałej długości fali o niemal identycznej długości łamanej. taką gupą łamanych jest gupa skupiona wokół dogi ekstemalnej. Tu wato podkeślić, że tajektoie wyóżnione pzez istotę konstuktywnej intefeencji, muszą się chaakteyzować owym bakiem zmiany waz z ε (w pzybliżeniu liniowym, watości fazy gdy nieco modyfikujemy tajektoię. Czyli znikanie pochodnej po ε całki okeślającej fazę jest konieczne i wystaczające, by tajektoia była możliwym pomieniem światła. Nie musi to być minimum, (choć najczęściej jest. Zamiast stale się zastzegać, że szukamy minimum, albo maksimum, albo punktu pzegięcia, mówimy z eguły o minimum, wiedząc, że to pewien skót myślowy. Rozpatzmy taki banalny pzykład. Weźmy najpostszą funkcję z minimum: x. Zapytajmy, z głupia fant, w jakim szeokim pzedziale watość funkcji óżni się o mniej niż 1/ dla dwóch pzypadków: wokół zea i wokół jedynki. W pobliżu jedynki dostajemy oszacowanie: (1 ± ε 1 < 1/ ε < 1/ , gdy w pobliżu zea pzedział jest 5 itd. 000 azy szeszy! (0 ± ε 0 < 1/ ε < 1/ Dla popagacji fal, dogi, czyli wkłady do zasady Huyghensa od óżnych łamanych, konstuktywnie intefeują, gdy faza takiej łamanej nie óżni się więcej od dogi centalnej niż ćwieć długości fali. Gdyby łamana miała jeden wiezchołek, to owo symboliczne 000 azy oznaczałoby tyle azy więcej wkładów intefeujących konstuktywnie dla dogi minimalnej, niż dla bylejakiej. le gdy waunek nałożony jest na sumy, liczba kombinacji, gdy można sobie pozwolić na dużo większy błąd, owe 000, ośnie jak wysoka potęga (zędu liczby węzłów łamanych tej liczby!. Kótko mówiąc, tajektoie nie ekstemalne i ich otoczenie zupełnie się nie liczą. Można ustawić szeeg ekanów wycinających takie wkłady, a światło

6 w punkcie docelowym, nawet tego nie zauważy! Oczywiście, dopóki pzesłony nie zbliżą się do pomienia na odległość poównywalną z długością fali. To jest wyjaśnienie niezwykle sugestywnej zasady Femata. Obowiązuje ona dla wszystkich fal, nie tylko dla światła. Należy jednak unikać mówienia o najkótszym czasie. Tzeba mówić o fazie fali. dl minimum λ( W najpostszym pzypadku zwykłej optyki, gdy zmienny jest współczynnik załamania, długość fali to λ Tv( Tc / n(, gdzie T to okes dgań w fali, stąd w zasadzie Femata można zastąpić odwotność długości fali, pędkością fazową: dl minimum v( co daje złudne ważenie, że fotonowi się gdzieś spieszy! Można też użyć współczynnika załamania:: n( 5 dl minimum W zeczywistości, nawet dla światła, wskutek dyspesji, czas wędowania paczki falowej, wyznaczony jest pzez pędkość gupową, óżną od pędkości fazowej. w zasadzie Femata musi być pędkość fazowa, bo to intefeencja fal wyznacza istotny obsza w pzestzeni, w któym wiązka światła ma natężenie zauważalnie óżne od zea. W pzestzeni zakzywionej i fale i cząstki wybieają toy o minimalnej długości. W pzestzeni o zmiennej pędkości, pomienie światła wybieają toy najkótszej dogi optycznej, czyli najkótszej fazy. Ruchy w pzestzeniach zakzywionych, ale ze stałą pędkością jest tylko szczególnym pzypadkiem tej samej zasady. le i cząstki podlegające mechanice Newtona mają swoją badzo piękna zasadę, dla któej zasada wybou dogi najkótszej w pzestzeni zakzywionej, ale bez potencjału, jest tylko szczególnym pzypadkiem. 5 Rozważmy pomień światła statujący poziomo, w ośodku, w któym, n( z n k z. Jaka będzie tajektoia? Tzw. doga optyczna, któa ma być minimalna wynosi: ( n 0 kz dx + dz ( n0 kz 1+ dz min 6 0. Kozystając z eguły znajdowania paw zachowania, dostajemy: n kz( / 1+ a n kz / z 1. Jeśli światło statuje z początku układu poziomo, to dla z 0, musi być z 0, więc a n 0. Podstawiamy tę watość i wyliczamy całkujemy w pamięci: z kx / n0 n x z + C k n / kz 0, 0. Ponieważ statujemy z początku układu, musi być: C 0, czyli:. To paabola. Wiązka będzie wnikać w obsza z<0, tj. osnącego współczynnika załamania.

7 Dopieo dzisiaj uświadomiłem sobie, że dla dosyć postego, ale pouczającego pzypadku można ją z powodzeniem Wam zapezentować. Tak jak się ją zazwyczaj pezentuje, pzypawia o ból głowy! Pozwólcie, że zacytuję fagment z podęcznika wybitnego matematyka i fizyka teoetyka W. I. nolda: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. C. Jacobi w wykładach dynamiki z lat (C. Jacobi, Volesungen ube Dynamic, elin 1866 wyaził opinię: >>We wszystkich niemal podęcznikach, nawet w tych najlepszych, zasada ta jest pzedstawiona w taki sposób, że nie da się jej zozumieć<<. Nie śmiem tu nauszać tej tadycji. Pzed laty, gdy zaczynałem mieć wykłady mechaniki teoetycznej wypacowałem swój sposób dowodzenia zasady Jacobiego, któy uważam za zozumiały, ale bynajmniej nie łatwy. Dlatego, z ogomnym żalem, (bo sama zasada jest sfomułowana posto, jej sens fizyczny jest piękny, a użyteczność w ozwiązywaniu poblemów, niesamowita, musiałem się zgodzić, że o niej wspomnę, ale na zasadzie mądzy ludzie udowodnili. tego oganicznie nie znoszę. Wolę wybać sytuację szczególną, łatwiejszą, ale pokazać wszystkie elementy ozumowania. Oto owo wypowadzenie: Rozpatzmy uch cząstki w płaszczyźnie x,z pod działaniem siły potencjalnej opisanej potencjałem V(z. W poblemie tym są dwa pawa zachowania. Składowej poziomej pędu: m x& p x i całkowitej enegii: m ( x& m & &, dzielimy pzez (1 + z i wyciągamy piewiastek: + z& + V ( z E Pzepisujemy dugie pawo w postaci: ( E V ( z m ( x + z (1 + z px 1 m ( E V ( z 1+ z px Jeszcze tylko mnożymy ułamek w liczniku i mianowniku pzez dx/dz, oznaczane jako x i mamy: m ( E V ( z px + 1 Lewa stona jest pochodną po x wyażenia m ( E V ( z + 1, a zaazem stałą. Zatem ównanie tou spełnia zasadę: m( E V ( z + 1d z minimum m( E V ( z d x + Jest to dokładna analogia zasady Femata. 7 d z

8 Wiemy skąd inąd, że w polu ciężkości z potencjałem mgz, wszelkie zuty opisywane sa paabolami. Nic dziwnego, że pzykład z optyki z współczynnikiem załamania z liniową funkcją pod piewiastkiem, dopowadził nas też do paaboli. Nie ukywam, że dobieając dający się łatwo ozwiązać pzykład ilustujący zasadę Femata, wiedziałem o lotach piłek tenisowych i o zasadzie Jacobiego. Teaz zasadne jest zapytać, dlaczego pawa mechaniki pzewidują tę samą tajektoię, któa w nazucający się sposób wynika z intefeencji fal? Chyba wiecie, dlaczego!!! o mateia, to też fale. Stało się to jasne osiemdziesiąt kilka lat temu. dla fal de oglie a, długość fali (nieelatywistycznej cząstki, to h h h λ, p mv( m( E V ( Zasada Jacobiego ma pędkość w liczniku a nie w mianowniku jak zasada Femata. Po postu dla fal mateii o innych pędkościach od fal elektomagnetycznych, inny jest też związek długości fali z pędkością uchu paczek falowych. To, że dla światła (w niektóych zesztą tylko pzypadkach pojawia się czas jako wielkość najkótsza, to czysty pzypadek nie waty wzmiankowania. Liczy się faza. Sens falowy zasady Jacobiego (i innej, podobnej podanej pzez siebie pzeczuwał współczesny mu Hamilton, ale do odkycia i udowodnienia falowego chaakteu wszelkiej mateii było jeszcze daleko. To, dlatego, Newtonowi, taktującemu światło jako ój zwykłych cząstek, dla wyjaśnienia pawa załamania musiało wyjść, że współczynnik załamania jest popocjonalny a nie odwotnie popocjonalny do pędkości tegoż światła w ośodku! Hamonia między mechaniką, optyką a dezyjnymi (i, nieco ogólniej, zasadą Femata a zasadą Jacobiego jest możliwa dzięki faktycznemu falowemu chaakteowi mateii. dl λ( minimum Według mnie jest to najciekawsze ównanie fizyki. Jest ównie pawomocne w optyce, mechanice kwantowej (a pzez to w zwykłej mechanice i mechanice elatywistycznej, czyli elektodynamice cząstek, w teoii gawitacji, w teoii stun, czyli teoii wielowymiaowych czasopzestzeni, z któych n-4 jest zwatych w mikoskopowych ozmiaach. poza tym bije w oczy swoją oczywistością. 8