Równanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru

Transkrypt

1 Równanie Schödingea dla elektonu w atomie wodou m 1 d dp l( l + ) P = P sinθ Równanie funkcji kąta biegunowego P(θ) 1 sin θ sinθ dθ ma ozwiązania w postaci stowazyszonych funkcji Legende a P lm ( θ ) = ( sinθ ) l l! m d d ( cosθ ) l+ m Zależność kątową ozwiązań ównania Schödingea opisują funkcje kuliste Y θ, φ = P θ exp imφ lm ( ) ( ) ( ) lm Unomowane funkcje kuliste dla l=, 1, są podane w tabeli. Funkcje kuliste są funkcjami własnymi opeatoa kwadatu momentu pędu ( θ, φ) = l( l + 1) h Y ( θ, φ) ˆ L Ylm lm i opeatoa składowej z momentu pędu Lˆ z Y lm ( θ, φ) = mh Y ( θ, φ) Liczby l i m są liczbami kwantowymi, któe okeślają kwadat i składową z wektoa momentu pędu elektonu. lm l ( cos θ 1), l =,1,, 3,... m l dθ Równanie Schödingea dla elektonu w atomie wodou h dr h l( l + 1) k e d Równanie adialne dla funkcji R() R R + E = m d d m ma ozwiązania wyażone pzez wielomiany Laguee a () = l R nl Anl exp Lnl na a h 1 a = =,59 1 m jest pomieniem Boha najmniejszej obity atomu wodou. k e m Liczba kwantowa n=1,,3,... musi być większa od liczby kwantowej l. Enegia elektonu jest okeślona pzez liczbę kwantową n E n k e m = h ,6eV = n n Funkcja falowa opisująca uch obitalny elektonu w atomie wodou ψnlm(, θ, φ) = R nl ( ) Ylm( θ, φ) jest okeślona pzez tzy liczby kwantowe n, l, m. 1

2 Stan podstawowy atomu wodou n=1, l=, m= () = 3 exp 1 a a π ψ () () a a P d exp 4 d 4 d 3 = = ψ π V d 4 d π = Objętość powłoki sfeycznej Radialne funkcje własne R n,l (ρ) elektonu w atomie wodou w zależności od odległości od jąda podzielonej pzez pomień Boha ρ=/a.

3 Stany atomu wodou o głównej liczbie kwantowej n= Stany o dużej głównej liczbie kwantowej n Gdy obitalna liczba kwantowa ma największą dozwoloną watość l=n-1 moment pędu jest ( l + 1) = h ( n ) n nh L = h l 1 obital jest podobny do kołowej obity w modelu Boha atomu wodou 3

4 Model Boha atomu wodou postulaty 1. Elekton pousza się po obicie kołowej dookoła jąda atomowego. Enegia elektonu jest stała (nie wypomieniowuje enegii).. Dozwolone są obity, dla któych obitalny moment pędu elektonu L jest ówny całkowitej wielokotności wyażenia h/π=ħ, h=6, Js h L n = n n - liczba kwantowa π 3. Wypomieniowanie lub pochłanianie kwantu enegii następuje wtedy, kiedy elekton pzeskakuje z jednej dozwolonej obity na dugą. Częstotliwość ν wyemitowanego (pochłoniętego) pomieniowania elektomagnetycznego odpowiada zmianie enegii elektonu E = hν Model Boha enegia elektonu e n m u n = Ze 4πε n Ln = meunn = h n π E( n) = E ( n) E ( n) E( n) = p + m Z e ( 4πε ) h n e k 4 1 n=1 stan podstawowy n= stan zjonizowany Stała Rydbega z popawką na masę zedukowaną Długość fali pomieniowania 1 λ 1 4πε 4 m e πhe c n m = R H = 1+ R m e m p R stała Rydbega m e masa elektonu m p masa potonu 4

5 Poziomy enegetyczne elektonu w atomie wodou Staa i nowa teoia kwantowa Zasada koespondencji: Kwantowy opis staje się klasycznym dla dużych liczb kwantowych. Baki teoii Boha: - podane jedynie długości fali linii widmowych, bak natężeń - nie opisuje atomów z więcej niż 1 elektonem Hipoteza de Boglie a (falowe własności mateii) λ=h/p L h = meunn n nλ=π π n = Na obwodzie obity dozwolonej w modelu Boha mieści się całkowita liczba długości fal de Boglie a. 5

6 Atom wodou - liczby kwantowe - główna liczba kwantowa (n = 1,,3...) okeśla enegię elektonu (nume powłoki elektonowej) - poboczna liczba kwantowa (l =,1,...,n 1) okeśla watość bezwzględną obitalnego momentu pędu L (nume podpowłoki) - magnetyczna liczba kwantowa (m l = l,..., 1,,1,...,l) okeśla zut obitalnego momentu pędu na wybaną oś - magnetyczna spinowa liczba kwantowa (m s =1/ lub m s = 1/) wskazuje zwot spinu względem wybanej osi J=L+S Wektoy momentu pędu obitalny i spinowy sumują się. Notacja spektoskopowa Powłoki Podpowłoki Obitale l=3 3f m l =-3,-,-1,,+1,+,+3 N l= 3d m l =-,-1,,+1,+ n=4 l=1 3p m l =-1,,+1 l= 3s m l = M l= 3d m l =-,-1,,+1,+ n=3 l=1 3p m l =-1,,+1 l= 3s m l = L l=1 p m l =-1,,+1 n= l= s m l = K l= s m l = n=1 Poziomy enegii atomu wodou i pzejścia spełniające egułę wybou l=±1 6

7 Funkcje falowe elektonu w atomie wodou - obitale l= l=1 l= n=1 n= n=3 Gęstość pawdopodobieństwa znalezienia elektonu - pzekój w płaszczyźnie x-z (y=) ψ n,l,m (x,y=,z) dla n=1,,3; l=,1,; m=. Kolo biały największa gęstość. Obacając pzekój wokół osi z można otzymać gęstość w pzestzeni tójwymiaowej. Kwadaty modułu tójwymiaowych funkcji falowych elektonu w atomie wodou są zależne tylko od odległości od jąda i kąta biegunowego θ. 7

8 Kształty obitali powłoki M n=3 8

9 Znaczenie liczb kwantowych Główna liczba kwantowa n okeśla enegię elektonu Poboczna (obitalna) liczba kwantowa l okeśla moment pędu elektonu E( n) = m Z ( 4πε ) h n e L = l( l +1)h e 4 1 Doświadczenie Einsteina de Haasa Z obitalnym momentem pędu elektonu związany jest moment magnetyczny µ e µ = L = µ B l( + 1) m e eh µ B = = 9,7 1 me µ B magneton Boha 4 J/T Znaczenie liczb kwantowych Magnetyczna liczba kwantowa m l okeśla składową z momentu pędu L z = m l h i składową z obitalnego momentu magnetycznego elektonu e µ z = Lz = ml µ B me W polu magnetycznym o indukcji B=[,,B z ] skieowanej wzdłuż osi z moment magnetyczny ma enegię l= m l = m l =1 m l = m l =-1 m l =- Kwantowanie pzestzenne momentu pędu potencjalną U=-µ B=-µ z B z Poziom enegii o obitalnej liczbie kwantowej l> ulega ozszczepieniu na l+1 poziomów o enegii zależnej od magnetycznej liczby kwantowej m l E = µ B = m µ B z z Jest to obsewowane jako ozszczepienie linii widmowych w polu magnetycznym zjawisko Zeemana. l B Z Rozszczepienie poziomów enegii o l= i l=1. 9 zaznaczonych pzejść spełnia egułę wybou m l =, ±1 i daje 3 óżne watości zmiany enegii: E -µ B B z, E, E +µ B B z tzy linie widmowe. 9

10 Spin elektonu moment pędu i moment magnetyczny Elekton ma wewnętzny moment pędu spin opisany liczbą kwantową s=1/ S = S = h s( s + 1) = h 3, któego składowa z może pzyjmować dwie watości: s z = h i sz = + h dla magnetycznej spinowej liczby kwantowej m s =+1/, -1/. Składowa z spinowego momentu magnetycznego elektonu może pzyjmować dwie watości µ z =-m s gµ B, gdzie g=,319 jest czynnikiem żyomagnetycznym. Doświadczenie Stena-Gelacha 19. W niejednoodnym polu magnetycznym na moment magnetyczny działa siła: U Bz Fz = = µ z z z W polu magnetycznym B z enegia spinu pzyjmuje watości: U + =+µ Β B z dla m s =+1/ U - =-µ B B z dla m s =-1/ W doświadczeniu badano odchylenie wiązki atomów seba i zaobsewowano dwie linie na detektoze, co odpowiada dwu watościom magnetycznej spinowej liczby kwantowej. Moment magnetyczny atomu seba jest ówny spinowemu momentowi magnetycznemu pojedynczego elektonu. Spin i stuktua subtelna Stuktua subtelna: uch elektonu wokół jąda wytwaza pole magnetyczne, któe oddziałuje ze spinowym momentem magnetycznym elektonu, co powoduje ozszczepienie linii widmowych tzw. oddziaływanie spin-obita Stuktua subtelna wodou Dublet sodowy 1

11 Obazowanie metodą ezonansu magnetycznego MRI - Magnetic Resonance Imaging Uządzenie do obazowania metodą ezonansu magnetycznego z elektomagnesem nadpzewodnikowym Cewki wytwazające pole magnetyczne o częstotliwości adiowej są nakładane na pacjenta pzy badaniu ezonansem magnetycznym 11

12 Pzekój głowy - obaz mózgu z widocznym guzem óżne sposoby obazowania metodą ezonansu magnetycznego Spin i moment magnetyczny jąde atomowych Jąda atomowe składają się z potonów i neutonów, któe mają spin s=1/. Jąda zawieające pazystą liczbę potonów i neutonów mają spin zeo I= ( 4 He, 1 C) inne jąda mają spin połówkowy I=1/ ( 13 C), I=3/ ( 11 B), lub całkowity I=1 ( 14 N, H). Jednostką momentu magnetycznego jąde jest magneton jądowy eh 7 7 µ N = 5,5 1 J/T, gdzie mp 1,67 1 kg jest masą potonu mp Neuton ma niezeowy moment magnetyczny µ=-1,913 µ N, mimo że ma zeowy ładunek elektyczny, co wiąże się tym, że składa się z 3 kwaków udd o ładunkach +e/3, e/3. Poton o ładunku +e, złożony z kwaków uud, ma moment magnetyczny µ=,793 µ N. Składowa z momentu magnetycznego (ównoległa do pola B ) pzyjmuje watości: µ = γ hm, gdzie m = I, I + 1,..., I 1 I dla potonu γ, T -1 s -1 z I I I, Różnica enegii między dwoma ustawieniami spinu potonu w polu magnetycznym o indukcji B =1 T jest dużo mniejsza niż śednia enegia temiczną k B T w tempeatuze pokojowej, pzez co óżnica między liczbą potonów N + o momencie magnetycznym zgodnym ze zwotem B a liczbą potonów N - o odwotnie zwóconym momencie magnetycznym stanowi badzo mały ułamek całkowitej liczby potonów N=N + +N N γhb γhb ozkład Boltzmanna: = exp 1+ N kbt N N γhb 6 = 3,4 1 + kbt N + N kbt Mimo to można zaejestować sygnał jądowego ezonansu magnetycznego NMR. 1

13 Pecesja momentu pędu (spinu) J i momentu magnetycznego µ wokół kieunku indukcji magnetycznej B µ = γj Równanie uchu obotowego w mechanice klasycznej moment siły dj N = = µ B = γj B dt dj zgodnie z ysunkiem = γjb sin θ dt zmiana wektoa momentu pędu pzy obocie dj = J sin θdφ dφ 1 dj częstość kołowa pecesji ω = = = γb dt J sinφ dt czynnik magnetomechaniczny potonu γ, T -1 s -1 Częstotliwość zmiennego pola elektomagnetycznego w ezonansie z pecesją potonów w polu magnetycznym o indukcji B = 1T jest ν =γ/π=4,57 MHz Zgodnie z mechaniką kwantową dla potonu o spinie s=1/ µ z = γ J z = γhms Enegia momentu magnetycznego w polu magnetycznym B E = µ zb = γh pzy zmianie ustawienia spinu z m s =-1/ na m s =1/ zmiana enegii ówna jest enegii emitowanego fotonu E = γh B = hω o częstości kołowej ω = γb m sb W układzie odniesienia wiującym z częstością Lamoa ω =γb na moment magnetyczny M działa tylko popzeczne pole magnetyczne B 1 oscylujące z częstością ω. Moment magnetyczny M wykonuje pecesję wokół pola B 1, któe w tym układzie osi ma stały kieunek. 13

14 Moment magnetyczny obócony pzez pecesję w polu B 1 do kieunku postopadłego do stałego pola magnetycznego B wiuje z częstością Lamoa ω =γb i wytwaza w cewce odbionika sygnał zanikający w czasie, tzw. sygnał swobodnej pecesji (Fee Induction Decay - FID) (a) Sekwencja impulsów echa spinowego z gadientem pola magnetycznego (b) Moment magnetyczny obócony początkowo w kieunku y (c) Fazy otacji spinów ozkładają się w wachlaz pod działaniem gadientu pola magnetycznego d) Pod działaniem gadientu pola B o pzeciwnym znaku spiny odzyskują jednakową fazę - skupiają się w jednym kieunku - powstaje sygnał echa spinowego (e) 14

15 Sekwencja impulsów echa spinowego (b) moment magnetyczny obócony postopadle do pola B pzez impuls 9; (c) ozsypywanie się momentów magnetycznych w wachlaz (zóżnicowanie fazy otacji) na skutek oddziaływania spin-spin i niejednoodności pola magnetycznego B ; (d) impuls 18 obaca spiny o 18 o - fazy zmieniają się na pzeciwne; (e) na skutek takich samych zmian fazy, co popzednio, spiny wacają do jednakowego ustawienia - powstaje sygnał echa spinowego (f). Uzyskiwanie tójwymiaowych obazów wymaga stosowania odpowiedniej sekwencji impulsów pola magnetycznego i zaawansowanej analizy sygnałów 15

16 16

17 Dwuwymiaowa tansfomata Fouiea 17