Fala stojąca Stokesa aproksymacja ciśnienia hydrodynamicznego 2-go czy 5-go rzędu?

Transkrypt

1 Fala stojąca Stokesa aproksymacja ciśnienia hydrodynamicznego -go czy 5-go rzędu? Dr hab. inż. Waldemar Magda Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Znaczenie zjawiska fali stojącej jest oczywiste dla praktyki inżynierskiej z zakresu budownictwa morskiego i inżynierii brzegowej. Wartość obciążenia morskiej konstrukcji hydrotechnicznej falą stojącą zależy od charakterystyki samej konstrukcji (budowla niska, budowla wysoka, budowla na fundamencie narzutowym itp., ale także od rodzaju falowania przyjętego do rozważań. O ile odpowiednie wzory dla ciśnienia hydrodynamicznego pod falą progresywną można znaleźć w wielu publikacjach polsko- i obcojęzycznych, o tyle w przypadku fali stojącej sprawa przedstawia się już dużo gorzej. Okazuje się bowiem, że poza wzorem wynikającym z liniowej teorii fali powierzchniowej trudno jest natrafić w literaturze fachowej na odpowiednie i do tego jeszcze poprawne (! wzory otrzymane na bazie teorii fali Stokesa. Jeżeli już mowa o fali Stokesa, to należałoby postawić sobie pytanie o rząd aproksymacji (przybliżenia rozwiązania dla fali Stokesa, którym trzeba się posłużyć w celu obliczenia wartości obciążenia (siły poziomej i w konsekwencji momentu wywracającego satysfakcjonującej z praktycznego punktu widzenia. Poniżej przedstawiono w zwięzłej formie rozwiązanie dla ciśnienia hydrodynamicznego, otrzymane dla fali stojącej Stokesa o aproksymacji -go rzędu. Dodatkowo na przykładzie wypadkowej poziomej siły hydrodynamicznej obciążającej falochron pionowo-ścienny, dokonano także analizy porównawczej odpowiednich rozwiązań w przypadku fali stojącej Stokesa rzędu -go i rzędu 5-go dla wybranych warunków wodno-falowych. ROZWIĄZANIE PROBLEMU METODĄ PERTURBACJI Ostatnio zaprezentowano w pracy [] bardzo eleganckie rozwiązanie, pozwalające na opis zmienności parametrów stojącej fali Stokesa. Rozwiązanie to uzyskano metodą perturbacji (metodą małego błędu. Metoda ta dąży do przedstawienia rozwiązania danego problemu za pomocą szeregu potęgowego z niewielkim parametrem określającym odchylenie (zaburzenie od dokładnie rozwiązywalnego problemu. Odchylenie to oznaczane jest zwykle przez ε. Dla małych wartości ε czynniki coraz wyższych rzędów stają się zaniedbywane. Oto postać podstawowej funkcji potencjału prędkości, aproksymowanej szeregiem potęgowym [] ( g k 1/ φ (, xzt, = / N i i jk ( h z i A + ijm cos( jkx sin( m t (1 i= 0 j= 0 m= 0 ( jkh ε ω φ funkcja potencjału prędkości [m/s ], g przyspieszenie ziemskie (g = 9,81 m/s, k liczba falowa (k = π/l [1/m], L długość fali [m], N rząd aproksymacji fali stojącej Stokesa [ ], ε parametr aproksymacji [ ], A ijm współczynniki aproksymacji [ ], h głębokość wody [m], ω częstość kołowa fali (ω = π/t [1/s], T okres fali [s], t czas [s], x, z współrzędne (pozioma i pionowa płaskiego prostokątnego układu odniesienia [m]. Parametr aproksymacji określony jest następująco ε= k ( H s wysokość fali stojącej przy pełnym odbiciu (współczynnik odbicia K r = 1,0 [m], H wysokość fali progresywnej inicjującej zjawisko fali stojącej [m]. Oczywiście dla zjawisku pełnego odbicia fali (K r = 1,0 zachodzi poniższa równość Hs H s ( Ciśnienie hydrodynamiczne pod falą stojącą jest opisane równaniem Bernoulliego p φ 1 = B u + w ρ t p ciśnienie hydrodynamiczne pod falą stojącą Stokesa [kpa], ρ gęstość wody morskiej [kg/m ], B stała Bernoulliego [m /s ], u, w składowe (pozioma i pionowa prędkości orbitalnej cząsteczki wody w ruchu falowym [m/s]. Stała Bernoulliego w metodzie perturbacji zadana jest następującym szeregiem potęgowym g B = ε ( N i Di (5 k i = 1 D i współczynniki aproksymacji fali stojącej Stokesa [ ], a składowe prędkości orbitalnej cząsteczki wody w ruchu falowym są obliczane ze wzorów φ u = (6 x φ w = (7 z Poniżej podano wzory opisujące 7 współczynników aproksymacji niezbędnych dla określenia ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa do -go rzędu (N = włącznie: C1 = q (8 C = 0 (9 D 1 = 0 ( INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr /01

2 w których 1 q 1 D = (11 8 q A A A 1,1,1 1 = (1 q 11+ q = (1 16 q,0, / 1+ q = (1 16 q,, 7/ q = tgh( kh (15 Długość fali należy dla każdego rzędu aproksymacji obliczać ze związku dyspersyjnego opisanego w metodzie perturbacji następującym szeregiem potęgowym N Ci (16 i= 1 1/ i 1 gk ω= ε C i współczynniki aproksymacji fali stojącej Stokesa [ ]. W pracy [] podano postaci wszystkich 5 współczynników wymaganych do obliczenia rzędnej swobodnej powierzchni i ciśnienia hydrodynamicznego dla fali stojącej Stokesa w aproksymacji do 5-go rzędu włącznie. Niestety niektóre ze współczynników, dotyczących aproksymacji -go i 5-go rzędu, podano w pracy [] błędnie. Jednak ogólnie bardzo wysoka jakość pracy [] zachęciła Autora niniejszej publikacji do poświęcenia jej więcej czasu w celu skorygowania wspomnianych błędów. W wyniku krótkiej lecz bardzo owocnej współpracy z autorem pracy [] prof. R. J. Sobey em z Imperial College (Department of Civil and Environmental Engineering w Londynie udało się zidentyfikować wszystkie istotne błędy w pracy []. W tabl. 1 zaprezentowano erratę do artykułu [], która wkrótce ukaże się drukiem w tym samym czasopiśmie, co przedmiotowa praca []. W celu zapoznania się z postaciami pozostałych współczynników Czytelnika odsyła się do pracy [], gdyż przytoczenie w niniejszym artykule postaci wszystkich współczynników znacznie wykracza poza jego ramy. W pracy [] udowodniono, że zaprezentowane tam analityczne rozwiązanie jest rozwiązaniem dokładnym do 5-go rzędu włącznie. Poprawność rozwiązania wykazano z zastosowaniem metody ekstrapolacyjnej Richardsona. Jednocześnie poddano w wątpliwość inne istniejące teorie fali stojącej Stokesa w aprok- Tabl. 1. ERRATA do artykułu R. J. Sobeya,,Analytical Solutions for Steep Standing Waves, Engineering and Computational Mechanics, 16: , 15 November 011 [] Pozycja w artykule [] Postać członu w artykule [] Powinno być φ = t Wzór (18 w( g k 1/ /... φ =ω t ( g k 1/ /... Wzór (5 jk h k( h+ z kh kh Appendix 1. (b,, 6 +8q 6 +8q Appendix 1.5 (A 5,1, 65q + 86q 78q 170q q 170q 8 6 Appendix 1.5 (A 5,5, 1555q +1555q Appendix 1.5 (A 5,5,5 870q +870q Appendix 1.5 (A 5,, q q Appendix 1.5 (A 5,1, q q Appendix 1.5 (A 5,,1 6 8q 6 +8q Appendix 1.5 (A 5,, q q Appendix 1.5 (b 5,1, q q Appendix 1.5 (b 5,, +1588q 1588q Appendix. A (,, = 0, A,, = 0, INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr /01 151

3 symacji -go i -go rzędu (np. [1,, ], wykazując, że ich dokładność jest ograniczona do aproksymacji o jeden lub nawet dwa rzędy mniej, niż podali to autorzy odpowiednich teorii. Aproksymacja 1-go rzędu Poniżej przedstawiono wyniki aproksymacji dla ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa 1-go rzędu (N = 1, parametr oznaczony górnym indeksem I w celu ich konfrontacji z powszechnie znanymi i stosowanymi wzorami. I tak, korzystając z podstawowego wzoru ( i po wykonaniu odpowiednich operacji matematycznych, otrzymano ( + cos cos( ( kh sin ( ωt ( kh ( kh p I k h z kx ωt kh sinh { k h z sin kx sinh k h z cos kx } (17 Linearyzacja równania Bernoulliego ze względu na prędkości orbitalne cząsteczki wody (u = w = 0 prowadzi do następującego wzoru na ciśnienie hydrodynamiczne ( + ( kh p I k h z cos kx ωt cos (18 Równanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane (17 oraz równanie zlinearyzowane (18 przyjmują taką samą postać, gdy rozpatrywane są przypadki ekstremalnego położenia zwierciadła wody w profilu ściany pionowej. Jest to oczywiste, gdyż składowe prędkości orbitalnej w profilu pionowym pokrywającym się z profilem strzałki fali stojącej są zerowe. I tak, dla fazy szczytu (dolny indeks s fali (dla t = 0 zachodzi: sin (wt = 0 i cos (wt = 1 w profilu ściany pionowej (dla x = 0 zachodzi: sin (kx = 0 i cos (kx = 0 oba równania (17 i (18 upraszczają się do postaci I p k h s ( kh (19 natomiast dla fazy dna (dolny indeks d fali (dla t = T / zachodzi: sin (wt = 0 i cos (wt = 1 w profilu ściany pionowej (dla x = 0 zachodzi: sin (kx = 0 i cos (kx = 1 oba równania (17 i (18 upraszczają się do postaci I p k h d =H ( kh Aproksymacja -go rzędu (0 W dalszej części artykułu przedstawiono wyniki aproksymacji dla stojącej fali Stokesa -go rzędu (N =, parametry oznaczone górnym indeksem II. I tak, ciśnienie hydrodynamiczne pod falą stojącą w rozwiązaniu przybliżonym -go rzędu opisane jest wzorem: ( kh ( kh ( + ( kh p II k h z cos( kx cos( ωt kh 1 tgh ( kh 1+ cos( ω t 8 tgh ( kh ( kh tgh 1 1 tgh ( kh + + tgh k h cos( kx + ( ωt { k ( h z sin ( kx ( kh k ( h z cos ( kx } tgh ( kh 1 sin( ωt sin( ωt tgh ( kh ( kh ( kh k ( h z k ( h z ( kx ( kx k ( h z k ( h z ( kx ( kx} sin sinh kh + 8 { + + sin sin + + sinh + sinh + cos cos { tgh ( kh 1 7( kh sin ( ωt ( kh k ( h z ( kx k( h z } 9kH 18 tgh + sin + sinh co + + s kx (1 dużo bardziej skomplikowanym niż miało to miejsce w przypadku aproksymacji 1-go rzędu (patrz wzór (17. Linearyzacja równania Bernoulliego ze względu na prędkości orbitalne cząsteczki wody (u = w = 0 prowadzi do następującego znacznie prostszego wzoru na ciśnienie hydrodynamiczne ( + II p k h z kh 1 cos( kx cos( ωt kh 8 tgh kh tgh ( kh 1 cos( t 1 tgh ( kh tgh ( kh 1 k( h+ z + cos ( kx tgh ( kh ( kh + ω + + ( Równanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane (1 oraz równanie zlinearyzowane ( przyjmują taką samą postać, gdy rozpatrywane są przypadki ekstremalnego położenia zwierciadła wody w profilu ściany pionowej. Jest to oczywiste, gdyż składowe prędkości orbitalnej w profilu pionowym pokrywającym się z profilem strzałki fali stojącej są zerowe. I tak, dla fazy szczytu fali w profilu ściany pionowej oba równania (1 i ( upraszczają się do postaci ( kh II p k h s cos( kx cos( ωt ( kh ( kh kh tgh kh 1 k h+ z tgh( kh + 8 tgh ( 15 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr /01

4 natomiast dla fazy dna fali w profilu ściany pionowej oba równania (1 i ( upraszczają się do postaci ( kh II p k h s =H cos( kx cos( ωt ( kh ( kh kh tgh kh 1 k h+ z tgh( kh + 8 tgh ( W pracy [] przedstawiono wyniki obliczeń dla aproksymacji fali Stokesa 1-go rzędu (N = 1 zlinearyzowanej po przyjęciu warunku u = w = 0 oraz dla aproksymacji fali Stokesa 5-go rzędu (N = 5, przy czym przyjęte w pracy [] wartości parametrów wodno-falowych wskazywały na warunki głębokowodne. Znana jest powszechnie opinia o potrzebie stosowania aproksymacji 5-go rzędu do opisu progresywnej fali Stokesa w sytuacji istnienia warunków głębokowodnych oraz znacznej, bliskiej granicznej stromości fali. Trudno jest jednak sobie wyobrazić aby w warunkach pełnego morza lub oceanu istniała praktyczna sytuacja, w której dochodzi do powstania fali stojącej. Oddziaływanie falowania na pełnomorskie konstrukcje hydrotechniczne (np. pionowe kolumny nośne platformy półzanurzanej, czy też stałej stalowej lub betonowej platformy morskiej ma charakter opływu, a obciążenie charakteryzuje się przewagą sił bezwładności z udziałem procesów dyfrakcyjnych. Z falą stojącą można mieć bez wątpienia do czynienia w warunkach o ograniczonej głębokości akwenu i posadowionych tam morskich konstrukcji hydrotechnicznych, jakimi są masywne falochrony pionowo-ścienne. Czy dla takich sytuacji może zaistnieć konieczność stosowania aproksymacji 5-go rzędu dla opisu fali stojącej Stokesa? Jakiej różnicy w takim wypadku można się spodziewać dla ciśnienia hydrodynamicznego, i w konsekwencji obciążenia hydrodynamicznego, otrzymanych przy użyciu aproksymacji -go i 5-go rzędu? W dalszej części artykułu podjęto próbę odpowiedzi na te pytania. Przykład obliczeniowy W tym celu posłużono się diagramem przedstawiającym zakresy stosowalności teorii falowych (rys. 1, na którym zaznaczono wybrane trzy punkty obliczeniowe. Wartości parametrów wodno-falowych wspólne dla punktów od P1 do P przedstawiają się następująco: głębokość wody h = 10 m okres fali T = 7,1 s długość fali L = 61,9 m co implikuje wartości parametrów bezwymiarowych h / (gt = 0,0 i w h / g 0,79. Zmienność pozostałych parametrów falowych, przyjętych do analizy obliczeniowej, przedstawiono w tabl.. Punkty P1 do P znajdują się w strefie ograniczonej głębokości wody (patrz rys. 1, przy czym punkt P1 charakteryzuje się najmniejszą stromością fali (δ = 0,0081 a punkt P największą (δ = 0,081. Ponadto warunki wodno-falowe charakteryzujące położenie punktu P można uznać za bliskie ekstremalnych dla pracy morskich budowli hydrotechnicznych, jakimi są falochrony pionowo-ścienne. Rys. 1. Zakresy stosowalności teorii falowych (wg [5, 6] z zaznaczonymi punktami obliczeniowym Tabl.. Wartości zmiennych parametrów wodno-falowych dla wybranych punktów obliczeniowych (do obliczeń przyjęto g = 9,81 m/s Punkt H Wysokość (rys. 1 gt [ ] fali H [m] Stromość fali δ [ ] Na podstawie wyników analizy stosowalności, przedstawionej w pracy [] w odniesieniu do opracowanej teorii fali stojącej Stokesa, można stwierdzić, że wybrane w niniejszym artykule punkty obliczeniowe (charakteryzowane parametrami bezwymiarowymi w h / g i w H / g są do zaakceptowania z punktu widzenia odpowiednio małej wartości parametru aproksymacji ε. Na rys. i, odpowiednio dla punktów P1 i P (patrz rys. 1 przedstawiono dla profilu ściany pionowej (x = 0 przebiegi w czasie (t = 0 T / : ciśnienia hydrodynamicznego p, względnej różnicy ciśnienia hydrodynamicznego p, pod falą stojącą Stokesa na głębokości z = h / =, m, przy czym ciśnienie hydrodynamiczne zostało wyrażona w postaci wysokości ciśnienia p p p = = (5 g p wysokość ciśnienia hydrodynamicznego [m], r gęstość wody morskiej (ρ = 1,05 t/m, g przyspieszenie ziemskie (g = 9,81 m/s, g ciężar właściwy wody morskiej (γ = 10,06 kn/m, ω g P1 0,001 0,5 0,0081 0,09 P 0,005,5 0,007 0,197 P 0,01 5,0 0,081 0,95 H [ ] INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr /01 15

5 a a b b Rys.. Rozkład w czasie (t = 0 T / w profilu ściany pionowej (x = 0 a ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa, b względnej różnicy ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa (punkt P1, patrz tabl. ; dane wodno-falowe: H = 0,5 m, T = 7,1 s, h = 10 m, z = h / =, m; oznaczenia aproksymacji rozwiązania: N = 1L 1-go rzędu zlinearyzowana, N = 1 1-go rzędu, N = L -go rzędu zlinearyzowana, N = -go rzędu, N = 5 5-go rzędu Rys.. Rozkład w czasie (t = 0 T / w profilu ściany pionowej (x = 0 a ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa, (b względnej różnicy ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa (punkt P, patrz tabl. ; dane wodno-falowe: H = 5,0 m, T = 7,1 s, h = 10 m, z = h / =, m; oznaczenia aproksymacji rozwiązania: N = 1L 1-go rzędu zlinearyzowana, N = 1 1-go rzędu, N = L -go rzędu zlinearyzowana, N = -go rzędu, N = 5 5-go rzędu a względna różnica ciśnienia hydrodynamicznego została obliczona ze wzoru pn= i pn= p = 100 (6 + P N = p względna różnica ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa [%], p N = i ciśnienie hydrodynamiczne według aproksymacji i-go rzędu (i = 1, 1L,, L i 5 [m], p = ciśnienie hydrodynamiczne według aproksymacji -go rzędu [m], N P + N = amplituda,,górna (tzn. dla wartości dodatnich oscylacji ciśnienia hydrodynamicznego według aproksymacji -go rzędu [m]. Dodatkowo, w celu zbadania wpływu efektu linearyzacji równania Bernoulliego na wartość ciśnienia hydrodynamicznego posłużono się następującym wzorem porównawczym pn= il pn= i pl = 100 (7 + P N= i p L względna różnica ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa [%], p N = il ciśnienie hydrodynamiczne według aproksymacji i-go rzędu zlinearyzowanej po przyjęciu założenia u = w = 0 (i = 1, [m], p N = i ciśnienie hydrodynamiczne według aproksymacji i-go rzędu nie zlinearyzowanej (i = 1, [m], P + N= i amplituda,,górna (tzn. dla wartości dodatnich oscylacji ciśnienia hydrodynamicznego według aproksymacji i-go rzędu nie zlinearyzowanej (i = 1, [m]. Oznaczenia N = 1L i N = L w legendach rysunków symbolizują aproksymacje ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa, odpowiednio 1-go i -go rzędu w postaci zli- 15 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr /01

6 nearyzowanej, co uzyskano poprzez przyjęcie zerowych składowych prędkości orbitalnej cząstki wody (u = w = 0 w równaniu Bernoulliego (patrz wzór (, z którego wyprowadzono odpowiednie wzory na ciśnienie hydrodynamiczne (patrz wzory (18 i (. Jak wykazuje praktyka, najwyższym rzędem aproksymacji progresywnej fali Stokesa, wykorzystywanym przez inżynieraprojektanta, jest rząd -gi. Z tego względu wartości względne ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa zostały odniesione właśnie do rozwiązania rzędu -go, w jego pełnej nie zlinearyzowanej postaci (N =. Ze względu na symetrię rozwiązań względem czasu t = T /, na rys. i przedstawiono przebiegi badanych funkcji tylko w przedziale czasowym równym połowie okresu fali (t = 0 T /. Obliczenia wykonano z krokiem czasowym t = 1/ T. Na podstawie analizy wyników obliczeń porównawczych ciśnienia hydrodynamicznego, zilustrowanych przykładowo na rys. (dla punktu P1 i rys. (dla punktu P, można wysnuć następujące wnioski: 1. Rozwiązania zlinearyzowane rzędu 1-go ( N = 1L i -go (N = L niewiele różnią się od odpowiednich rozwiązań pełnych (tzn. nie zlinearyzowanych rzędu 1-go (N = 1 i -go (N = w przypadku stosunkowo mniejszej stromości fali. Wzrost stromości fali powoduje pewne zwiększenie różnic. W analizowanych przypadkach obliczeniowych, dla których głębokość obliczeniowa wynosiła z = h/ =, m, względna różnica ciśnienia hydrodynamicznego, obliczona ze wzoru (7, wyniosła: w przypadku rozwiązań 1-go rzędu ( N = 1 i N = 1L: punkt P1: = 0, 9% (t = ¼T i t = ¾T, p L punkt P: =, 61% (t = ¼T i t = ¾T, p L punkt P: = 9, % (t = ¼T i t = ¾T, p L w przypadku rozwiązań -go rzędu ( N = i N = L: punkt P1: p L = 0, 9% (t = ¼T i t = ¾T; patrz rys., punkt P: =, 75% (t = 7/ T i t = 5/ T, p L punkt P: p L = 10, 70% (t = 6/ T i t = 6/ T; patrz rys... Dla fazy szczytu fali stojącej ( t = 0 rozwiązania zlinearyzowane (rzędu 1-go (N = 1L i rzędu -go (N = L są identyczne z odpowiednimi rozwiązaniami pełnymi (nie zlinearyzowanymi. Jest to oczywiste, gdyż dla tej fazy ruchu falowego zachodzi u = w = 0, co z drugiej strony stanowi założenie w procesie linearyzacji równania Bernoulliego.. W przypadku umiarkowanej stromości fali (punkt P1, δ = 0,0081, rys. rozwiązanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane dla ciśnienia hydrodynamicznego otrzymane z aproksymacji rzędu 1-go (N = 1 jest zbliżone do rozwiązania pełnego z aproksymacji -go rzędu (N =. Maksymalna różnica w tym wypadku wynosi p = 1, 6% (t = 9/ T i t = / T. Dziesięciokrotne zwiększenie stromości fali do δ = 0,08 (punkt P, rys. skutkuje także około dziesięciokrotnym wzrostem różnicy pomiędzy tymi rozwiązaniami, przy czym maksymalna wartość tej różnicy wynosi p = 15, % (t = 9/ T i t = / T.. W przypadku umiarkowanej stromości fali (punkt P1, δ = 0,0081, rys. rozwiązanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane dla ciśnienia hydrodynamicznego otrzymane z aproksymacji rzędu 5-go (N = 5 jest także zbliżone do rozwiązania z aproksymacji -go rzędu (N = w całym badanym przedziale czasowym (t = 0 T. Maksymalna różnica w tym wypadku wynosi p = 0, 61% (t = 0. Dziesięciokrotne zwiększenie stromości fali do δ = 0,08 (punkt P, rys. skutkuje stosunkowo znacznym wzrostem różnicy pomiędzy tymi rozwiązaniami, przy czym maksymalna wartość tej różnicy wynosi p = 7,1% (t = Rozwiązania wynikające z aproksymacji 1-go rzędu (N = 1L i N = 1 i -go rzędu (N = L, N = wykazują w przedziale czasowym t = 0 T istnienie tylko jednego maksimum lokalnego właściwego (dla t = 0 faza szczytu fali stojącej i jednego minimum lokalnego właściwego (dla t = ½T faza dna fali stojącej. Oba ekstrema lokalne są w tym przypadku jednocześnie ekstremami globalnymi. Przy większej stromości fali (punkt P, Rys. w przypadku aproksymacji 5-go rzędu (N = 5 zaobserwowano wystąpienie w przedziale czasowym t = 0 T dwóch identycznych maksimów lokalnych właściwych i dwóch różnych minimów lokalnych właściwych (dla t = 0 i t = ½T, przy czym minimum lokalne właściwe osiągane dla t = ½T jest jednocześnie minimum globalnym. Kolejny etap analizy porównawczej aproksymacji -go i 5-go rzędu rozwiązania dla ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa poświęcono bardziej praktycznej stronie zagadnienia, a mianowicie obliczenia i porównania obciążenia falą stojącą Stokesa, działającego na pionową ścianę morskiej konstrukcji hydrotechnicznej, jaką jest grawitacyjny (masywny falochron pionowo-ścienny (rys.. W tym celu wykonano obliczenia ciśnienia hydrodynamicznego w profilu ściany pionowej (x = 0 dla 6 poziomów: z = 0 (poziom spokoju, 0,1h, 0,h, h/, 0,5h i h (poziom dna morskiego dla punktów od P1 do P (patrz rys. 1. Przykładowe wyniki obliczeń, wykonanych dla punktu P, zilustrowano na rys. 5. W celu porównania na rys. 5 pokazano także rozwiązanie dla z = 0 (oznaczone w legendzie rysunku jako,,z = 0 (L, wynikające z teorii liniowej, czyli zlinearyzowanej postaci aproksymacji fali stojącej Stokesa 1-go rzędu. Następnie po scałkowaniu otrzymanych rozkładów ciśnienia po wysokości ściany na odcinku, na który oddziałuje fala stojąca Stokesa, uzyskano wartość wypadkowej poziomej siły hydrodynamicznej działającej na konstrukcję falochronu, a odpowiednie rozkłady tej siły w czasie przedstawiono na rys. 6 do rys. 8, odpowiednio dla punktów P1 do P. Dodatkowo na tych samych rysunkach pokazano przebieg w czasie względnej różnicy siły poziomej wynikającej z porównania rozwiązań dla aproksymacji 5-go rzędu z odpowiednim rozwiązaniem uzyskanym z aproksymacji -go rzędu. Względną różnicę siły poziomej obliczono według następującego wzoru INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr /01 155

7 a a b b Rys.. Schemat obciążenia falochronu pionowo-ściennego falą stojącą Stokesa a faza grzbietu (w szczególności szczytu fali, b faza doliny (w szczególności dna fali w którym F N= 5 F N= F = 100 (8 + V N = Rys. 5. Przebieg ciśnienia hydrodynamicznego w czasie w profilu ściany (x = 0 pod falą stojącą Stokesa: a aproksymacja -go rzędu (N =, b aproksymacja 5-go rzędu (N = 5 (dane wodno-falowe: H = 5,0 m, T = 7,1 s, h = 10 m; punkt P, patrz tabl. F F F = = g (9 F względna wypadkowa pozioma siła hydrodynamiczna w wyniku oddziaływania fali stojącej Stokesa [(kn/m/(kn/m ], F wypadkowa pozioma siła hydrodynamiczna w wyniku oddziaływania fali stojącej Stokesa [kn/m], ρ gęstość wody morskiej (ρ = 1,05 t/m, g przyspieszenie ziemskie (g = 9,81 m/s, γ ciężar właściwy wody morskiej (γ = 10,06 kn/m, F względna różnica wypadkowej poziomej siły hydrodynamicznej w wyniku oddziaływania fali stojącej Stokesa [%], F N = 5 wypadkowa pozioma siła hydrodynamiczna dla aproksymacji 5-go rzędu [(kn/m/(kn/m ], F N = wypadkowa pozioma siła hydrodynamiczna dla aproksymacji -go rzędu [(kn/m/(kn/m ], V + N = amplituda,,górna (tzn. dla wartości dodatnich oscylacji wypadkowej poziomej siły hydrodynamicznej dla aproksymacji -go rzędu [(kn/m / (kn/m ]. W przypadku punktu P1 różnice pomiędzy rozwiązaniami otrzymanymi z aproksymacji -go i 5-go rzędu są znikome. Oto zestawienie charakterystycznych wartości (rys. 6: dla t = 0 F N = =,91 (kn/m / (kn/m maksimum lokalne F N = 5 =,88 (kn/m / (kn/m maksimum lokalne F =0,61%, dla t = ½T F N = =,61 (kn/m / (kn/m minimum lokalne właściwe i minimum globalne F N = 5 =,59 (kn/m / (kn/m minimum lokalne właściwe i minimum globalne F =0,5%, 156 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr /01

8 Rys. 6. Rozkład w czasie (t = 0 T w profilu ściany pionowej (x = 0: a hydrodynamicznej wypadkowej siły poziomej, b względnej hydrodynamicznej wypadkowej siły poziomej dla aproksymacji -go i 5-go rzędu fali stojącej Stokesa (dane wodno-falowe: H = 0,5 m, T = 7,1 s, h = 10 m; punkt P1, patrz tabl. Rys. 7. Rozkład w czasie (t = 0 T w profilu ściany pionowej (x = 0 a hydrodynamicznej wypadkowej siły poziomej, b względnej hydrodynamicznej wypadkowej siły poziomej dla aproksymacji -go i 5-go rzędu fali stojącej Stokesa (dane wodno-falowe: H =,5 m, T = 7,1 s, h = 10 m; punkt P, patrz tabl. W przypadku punktu P, gdzie stromość fali jest 5-krotnie większa niż dla punktu P1, różnice pomiędzy rozwiązaniami otrzymanymi z aproksymacji -go i 5-go rzędu ulegają znaczącemu zwiększeniu. Oto zestawienie charakterystycznych wartości (rys. 7: dla t = 0 F N = =, 1 (kn/m / (kn/m maksimum lokalne F N = 5 = 18, 7 (kn/m / (kn/m maksimum lokalne F =15, 7%, dla t = ½T F N = =15, 6 (kn/m / (kn/m minimum lokalne właściwe i minimum globalne F N = 5 =1, 9 (kn/m / (kn/m minimum lokalne właściwe i maksimum globalne F =6,9%. Przejście z punktu P do punktu P oznacza dalsze dwukrotne powiększenie stromości fali. Różnice pomiędzy rozwiązaniami otrzymanymi z aproksymacji -go i 5-go rzędu ulegają dalszemu zwiększeniu, ale wyłącznie w rejonie czasowym t = 0. Oto zestawienie charakterystycznych wartości (rys. 8: dla t = 0 F N = = 5, 7 (kn/m / (kn/m maksimum lokalne F N = 5 = 9, 6 (kn/m / (kn/m minimum lokalne właściwe, F = 5, 61%, dla t = ½T F N = =9, 7 (kn/m/(kn/m minimum lokalne właściwe i minimum globalne, F N = 5 =8,15 (kn/m / (kn/m minimum lokalne F =,9%, Rys. 8. Rozkład w czasie (t = 0 T w profilu ściany pionowej (x = 0: a hydrodynamicznej wypadkowej siły poziomej, b względnej hydrodynamicznej wypadkowej siły poziomej dla aproksymacji -go i 5-go rzędu fali stojącej Stokesa (dane wodno-falowe: H = 5,0 m, T = 7,1 s, h = 10 m; punkt P, patrz tabl. maksimum lokalne właściwe i maksimum globalne dla aproksymacji 5-go rzędu F N = 5 = 7, 51 (kn/m / (kn/m dla t = / T i t = 9/ T, gdzie jednocześnie F N = = 9, (kn/m / (kn/m oraz F =,%. PODSUMOWANIE W niniejszym artykule dokonano analizy wypadkowej poziomej siły hydrodynamicznej działającej na ścianę falochronu pionowo-ściennego i generowanej falą stojącą Stokesa. W analizie porównano ze sobą rozwiązania wynikające z aproksymacji fali stojącej Stokesa -go i 5-go rzędu, które zastosowano do przypadku warunków ograniczonej głębokości wody (punkty P1, P i P, patrz rys. 1. Na podstawie wyników przykładowych obliczeń można stwierdzić, co następuje: INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr /01 157

9 1. W przypadku mniejszej stromości fali (punkt P1 względna różnica wypadkowej poziomej siły hydrodynamicznej F (patrz wzór (9, pomiędzy wartością wypadkowej poziomej siły hydrodynamicznej otrzymaną z aproksymacji fali stojącej Stokesa 5-go rzędu, a odpowiednią wartością wynikającą z aproksymacji -go rzędu, jest: bardzo mała w strefach stosunkowo mniejszych wartości siły (t ¼T i t ¾T, mała (rzędu kilku procent w strefach zbliżonych do punktów czasowych t = 0 i t = ½T.. W przypadku znacznej stromości fali (punkt P względna różnica wypadkowej poziomej siły hydrodynamicznej F, jest: mała w znacznej środkowej strefie analizowanego okresu oscylacji fali, a wykazane różnice nie przekraczają kilku procent, istotna (rzędu nawet kilkudziesięciu procent w punkcie czasowym t = 0. Trzeba jednak zauważyć, że w punkcie czasowym t = 0 dokładniejsze rozwiązanie otrzymane z aproksymacji 5-go rzędu nie osiąga swego maksimum globalnego. Identyczne maksima globalne dla aproksymacji 5-go rzędu występują w punktach czasowych t = / T i t = 9/ T i dla tych właśnie punktów czasowych ich wartość praktycznie pokrywa się z rozwiązaniem wynikającym z aproksymacji -go rzędu (różnica wynosi tylko około %. Biorąc jednak pod uwagę tylko maksima globalne rozwiązań otrzymanych z aproksymacji fali stojącej Stokesa -go i 5-go rzędu, wykazano, że maksimum globalne wypadkowej siły hydrodynamicznej dla aproksymacji 5-go rzędu jest mniejsze o około trzydzieści procent (dokładnie 1,1% od maksimum globalnego wypadkowej siły hydrodynamicznej wynikającej z aproksymacji -go rzędu.. Stosunek maksimum globalnego wypadkowej siły hydrodynamicznej do bezwzględnej wartości minimum globalnego wypadkowej siły hydrodynamicznej ulega zmianie wraz ze wzrostem stromości fali i dla analizowanych przypadków wynosi: dla punktu P1 (δ = 0,0081 1,08 (aproksymacja -go rzędu 1,08 (aproksymacja 5-go rzędu dla punktu P (δ = 0,007 1, (aproksymacja -go rzędu 1, (aproksymacja 5-go rzędu dla punktu P (δ = 0,081 1,85 (aproksymacja -go rzędu 1, (aproksymacja 5-go rzędu W analizowanych przypadkach obliczeniowych dla punktów P1 do P maksimum globalne wypadkowej siły hydrodynamicznej przewyższa bezwzględną wartość minimum globalnego. Obserwacja ta ma istotne znaczenie dla większości praktycznych przypadków projektowych, w obliczeniach których wystarczy uwzględniać maksimum globalne wypadkowej poziomej siły hydrodynamicznej. Należy jednak pamiętać, że niektóre przypadki analizy stateczności falochronu pionowo-ściennego mogą również wymagać znajomości minimum globalnego wypadkowej poziomej siły hydrodynamicznej oddziaływującej na falochron. Wykazane różnice w wartościach wypadkowej poziomej siły hydrodynamicznej działającej na falochron pionowo-ścienny w wyniku powstania stojącej fali Stokesa wykazują konserwatywność rozwiązania otrzymanego z aproksymacji fali Stokesa -go rzędu. Obecnie w większości procedur projektowych są wykorzystywane odpowiednie wzory wynikające z aproksymacji fali Stojącej Stokesa -go rzędu, które co trzeba wyraźnie podkreślić są o wiele prostsze w matematycznym zapisie w porównaniu z odpowiednimi wzorami dla aproksymacji 5-go rzędu. Dokładniejsze rozwiązanie otrzymane z aproksymacji 5-go rzędu, wymagające znajomości wartości wielu odpowiednich współczynników szeregów potęgowych opisanych na początku niniejszego artykułu, pozwala otrzymać wartości maksimum globalnego wypadkowej siły hydrodynamicznej mniejsze od wartości wynikających z aproksymacji -go rzędu, przy czym maksymalna różnica wykazana w analizowanych przypadkach wyniosła około 0% (punkt P wartości maksimum globalnego wypadkowej siły hydrodynamicznej wynikającej z aproksymacji -go rzędu. Czy fakt ten wart jest uwzględnienia w procesie projektowym rzeczywistych konstrukcji? Odpowiedź na to pytanie Autor niniejszego artykułu pozostawia projektantom, którzy sami muszą zdecydować, czy mniejsza wartość ekstremalnego obciążenia falochronu poziomą siłą hydrodynamiczną będzie miała swoje konsekwencje w istotnych zmianach konstrukcyjnych falochronu, a co za tym idzie czy tą drogą można poczynić oszczędności materiałowe, dające oczywiście wymierne korzyści finansowe. LITERATURA 1. Goda Y.: The fourth order approximation to the pressure of standing waves. Coastal Engineering in Japan, Vol. 10, 1967, Hsu J. R. C., Tsuchiya Y., Silvester R.: Third-order approximation to short-crested waves. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 90, 1979, Sobey R. J.: Analytical solutions for steep standing waves. Engineering and Computational Mechanics 16, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Issue EM, December 009, Tadjbakhsh I., Keller J. B.: Standing surface waves of finite amplitude. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 8, No., 1960, Recommendations of the Committee for Waterfront Structures, Harbours and Waterways (EAU 1996, 7th English Edition, English Translation of the 9th German Edition, Issued by the Committee for Waterfront Structures of the Society for Harbour Engineering and the German Society for Soil Mechanics and Foundation Engineering, ISBN , Ernst & Sohn, Berlin, Shore Protection Manual, Coastal Engineering Research Center, Department of the Army, Waterways Experiment Station, Corps of Engineers, Vol. I i II, Vicksburg, Mississippi, USA, INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr /01