Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Transkrypt

1 Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015

2 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele stanów stabilnych, histereza, straty energii w wyniku tarcia. W praktyce, dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się ich linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu liniowego zjawiska, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najczęściej nominalnym lub uśrednionym warunkom pracy układu). Stosowany aparat matematyczny: opis zjawiska w postaci równań różniczkowych, linearyzacja modelu, rachunek operatorowy.

3 Metody opisu działania elementów (układów) liniowych Podstawowymi formami matematycznego opisu działania elementu (układu) są: równanie dynamiki, transmitancja operatorowa, równania stanu. W przypadku elementu (układu) o jednym sygnale wejściowym x(t) i jednym sygnale wyjściowym y(t) równanie dynamiki wyraża związek zachodzący pomiędzy sygnałem wyjściowym y(t) i sygnałem wejściowym x(t). Posługując się przykładami kilku elementów elementów rozważmy pojęcia: sygnał, wielkość wejściowa, wielkość wyjściowa, sygnał wejściowy, sygnał wyjściowy.

4 Opis matematyczny układów liniowych - równania dynamiki Układ liniowy Układ, w którym zachowana jest zasada superpozycji. Mówi się, że przestrzeń rozwiązań równania spełniającego zasadę superpozycji jest przestrzenią liniową. y(x 1 + x 2 ) = y(x 1 ) + y(x 2 ), oraz y(0) = 0 (1) gdzie: y(x i ) oznacza odpowiedź układu na wymuszenie x i. Układ nieliniowy Układ, w którym nie jest zachowana jest zasada superpozycji. Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego: d n y a n dt n +a d n 1 y n 1 dt n 1 + +a d m x 0y = b m dt m +b d m 1 x m 1 dt m 1 + +b 0x (2) gdzie: y- sygnał wyjściowy, u - sygnał wejściowy, a i, b i - stałe współczynniki.

5 Elementy bezinercyjne Rysunek : Element bezinercyjny - przykład W elemencie przedstawionym na rysunku sygnałem wejściowym x(t) jest przebieg napięcia U 1 (t), sygnałem wyjściowym y(t) jest przebieg napięcia U 2 (t). Równanie dynamiki, przedstawia zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem wyjściowym elementu: Równanie elementu bezinercyjnego U 2 (t) = R 2 R 1 + R 2 U 1 (t) y(t) = kx(t) (3)

6 Elementy inercyjne Rysunek : Elementy inercyjne - przykłady V dp a) 2(t) αrθ dt b) J dω(t) R dt c) L du 2(t) R dt Równanie elementu inercyjnego T dy(t) dt + p 2 (t) = p 1 (t) + ω(t) = 1 R M(t) + U 2 (t) = U 1 (t) + y(t) = kx(t) (4)

7 Charakterystyka statyczna Charakterystyka statyczna Charakterystyka statyczna f st przedstawia zależność sygnału wyjściowego układu y od sygnału wejściowego x w stanie ustalonym. Stan ustalony Stanem ustalonym nazywamy jest stan, w którym wszystkie pochodne sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego są równe zero Rysunek : Charakterystyka statyczna układu liniowego.

8 Charakterystyka statyczna - przykład Przykład 1 Rysunek : Przykład układu - charakterystyka statyczna.

9 Linearyzacja Tworzenie opisu liniowego na podstawie opisu nieliniowego nazywa się linearyzacją. Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań algebraicznych nazywa się linearyzacją statyczną. (brak pochodnych) Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań różniczkowych nazywa się linearyzacją dynamiczną. Metody linearyzacji statycznej linearyzacja metodą siecznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym w określonym przedziale zmian zmiennej niezależnej. linearyzacja metodą stycznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym dla określonej wartości zmiennej niezależnej, a więc i określonej wartości zmiennej zależnej.

10 Linearyzacja statyczna Rysunek : Linearyzacja statyczna; a) metoda siecznej, b) metoda stycznej. Ponieważ w automatyce rozważa się zachowanie układów w otoczeniu określonego punktu pracy, w dalszych rozważaniach przydatny jest linearyzacja metodą stycznej.

11 Linearyzacja metodą stycznej Przeprowadzony proces linearyzacji metodą stycznej polega na : zastąpieniu krzywej, reprezentującej nieliniową zależność y = f (x) styczną do niej w punkcie pracy, przeniesieniu początku układu współrzędnych do punktu pracy, zastąpieniu w modelu matematycznym zmiennych absolutnych x i y odchyleniami tych zmiennych od punktu pracy - zmiennymi przyrostowymi x i y. Charakterystyka statyczna wyznaczona na podstawie równania zlinearyzowanego względem określonego punktu pracy jest funkcją liniową. Można ją także wyznaczyć linearyzując charakterystykę rzeczywistą względem tego samego punktu pracy

12 Linearyzacja statyczna Przykład 2 Wyznaczyć zlinearyzowaną funkcję określającą zależność strumienia masy Q cieczy przepływającej przez zawór od ciśnień p1 i p2 oraz od odległości x grzybka od gniazda zaworu. Rysunek : Przykład układu - linearyzacja statyczna.

13 Linearyzacja dynamiczna Przykład równania różniczkowego, będącego nieliniową zależnością pomiędzy funkcjami x(t) i y(t) i ich pochodnymi. F [y(t), ẏ(t), ÿ(t),..., y (n) (t), x, ẋ(t), ẍ(t),..., x (m) (t)] = 0 (5) Podczas linearyzacji dynamicznej funkcje x(t) i y(t) jak i ich pochodne traktuje się analogicznie jak zmienne funkcji uwikłanej. n i=0 {[ ] } F y (i) + y (i) 0 m j=0 {[ ] } F x (j) = 0 (6) x (j) 0 gdzie: y = y(t) y 0, ẏ = d y,..., y (n) = d n y dt dt n x = y(t) x 0, ẋ = d x dt,..., x (m) = d m x dt m

14 Przekształcenie Laplacea Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową, przejście z dziedziny czasu rzeczywistego t na dziedzinę zmiennej zespolonej s. Przekształcenie Laplace a f (t) f (s), gdzie s = c + jω (7) f (s) = L[f (t)] = 0 f (t)e st dt (8) Odwrotne przekształcenie Laplace a - całka Riemanna Mellina f (t) = L 1 [f (s)] = 1 2πj c+jω c jω F (s)e st ds (9) Transformata Laplace a wykorzystywana jest w automatyce do analizy układów. Jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest płaszczyzna zespolona S, na której mnożenie przez s daje efekt różniczkowania a dzielenie przez s całkowania. Analiza pierwiastków zespolonych równania liniowego, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu.

15 Przekształcenie Laplace a układów liniowych Aby można było wyznaczyć transformatę funkcji muszą być spełnione następujące warunki: f (t) ma w każdym przedziale skończonym wartość skończoną, df (t) dt f (t) ma pochodną w każdym przedziale skończonym, istnieje zbiór liczb rzeczywistych C, dla których całka e ct jest absolutnie zbieżna. 0

16 Przekształcenie Laplace a układów liniowych d n y a n dt n +a d n 1 y n 1 dt n 1 + +a d m x 0y = b m [ d n ] y L dt n dt m +b m 1 d m 1 x dt m 1 + +b 0x (10) = s n y(s) s n 1 y(0 + ) y n 1 (0 + ) (11) przy zerowych warunkach początkowych [ d n ] y L dt n = s n y(s) (12) Tak więc przekształcenie Laplace a układu liniowego przy zerowych warunkach początkowych przyjmuje postać y(s)(a n s n +a n 1 s n 1 + +a 0 ) = x(s)(b m s m +b m 1 s m 1 + +b 0 ) (13)

17 Transmitancja operatorowa Transmitancja operatorowa Transmitancja operatorowa to stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych y(s)(a n s n +a n 1 s n 1 + +a 0 ) = x(s)(b m s m +b m 1 s m 1 + +b 0 ) (14) G(s) = y(s) x(s) = b ms m + b m 1 s m b 0 a n s n + a n 1 s n a 0 (15) przyjmuje się następujące oznaczenia oznaczenia M(s) = b m s m + b m 1 s m b 0 (16) N(s) = a n s n + a n 1 s n a 0 (17)

18 Transmitancja operatorowa obiektów MIMO G MIMO (s) = Rysunek : Obiekt MIMO. G 11 (s) G 12 (s)... G 2p (s) G 21 (s) G 22 (s)... G 2p (s).... G r1 (s) G r2 (s)... G rp (s) (18) G ij (s) = y i(s), gdzie i = 1,..., r, j = 1,..., p. (19) x j (s)

19 Wyznaczanie charakterystyki statycznej z transmitancji operatorowej x 0 = lim t x(t), na podstawie twierdzenia o wartości końcowej y 0 = lim y(t), (20) t y 0 = lim y(t) = lim sy(s) = lim sg(s)x(s) (21) t s 0 s 0 x 0 = const x(s) = 1 s x 0 (22) ostatecznie y 0 x 0 = lim s 0 G(s) (23) y 0 = b 0 a 0 x 0 (24)

20 Właściwości układów Właściwości dynamiczne prezentacja przebiegu wielkości wyjściowej y(t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia x(t) Rysunek : Postać charakterystyki dynamicznej układu.

21 Metody wyznaczania odpowiedzi układu dynamicznego d n y a n dt n +a d n 1 y n 1 dt n 1 + +a d m x 0y = b m dt m +b d m 1 x m 1 dt m 1 + +b 0x (25) Klasyczna: Założenie warunków początkowych x(0), y(0) Rozwiązanie równań różniczkowych Operatorowa: f (t) = L 1 [y(s)] = L 1 [G(s)x(s)] (26) W zastosowaniach praktycznych do wykonywania transformacji prostej i odwrotnej, które są podstawowymi operacjami w rachunku operatorowym, zwykle nie zachodzi potrzeba wykorzystywania wzorów definicyjnych. Najczęściej wystarczy znajomość podstawowych własności przekształceń Laplace a i tablice transformat typowych funkcji zmiennej rzeczywistej.

22 Typowe sygnały wymuszające Wymuszenie skokowe jednostkowe (funkcja Heaveside a) x(t) = { 1(t) dla t 0 0 dla t < 0 x(s) = 1 s Wymuszenie skokowe o wartość stałą x(t) = { xst 1(t) dla t 0 0 dla t < 0 x(s) = x st 1 s Impuls - Delta Diraca x(t) = δ(t) = { 0 dla t 0 dla t = 0 x(s) = 1 Wymuszenie liniowo narastające x(t) = at x(s) = a s 2

23 Współrzędne stanu Współrzędne stanu Współrzędne stanu to wielkości charakteryzujące zachowanie się układu dynamicznego, opisujące jego stan (np. położenie, prędkość, przyspieszenie). Wektor stanu Wektor stanu układu dynamicznego to minimalny zbiór współrzędnych stanu wystarczający łącznie ze znajomością wielkości wejściowych do określenia zachowania się układu w przyszłości. Liczba współrzędnych stanu jest równa rzędowi równania różniczkowego opisującego obiekt. Opis układów we współrzędnych stanu jest trudniejszy do interpretacji fizycznej niż opis w postaci transmitancji i niemożliwy do bezpośredniego określenia na drodze pomiarowej. Jest jednak wygodniejszy do celów modelowania oraz projektowania wielowymiarowych układów sterowania i regulacji.

24 Równania stanu i wyjść z n warunkami początkowymi: Ogólna postać równania stanu dx 1(t) dt = f 1 (x 1, x 2,..., x n ; u 1, u 2,..., u p ; t); x 1 (t 0 ) = x (27) dx n(t) dt = f n (x 1, x 2,..., x n ; u 1, u 2,..., u p ; t); x n (t 0 ) = x n0 Ogólna postać równania wyjść y 1 (t) = g 1 (x 1, x 2,..., x n ; u 1, u 2,..., u p ; t)... y q (t) = g q (x 1, x 2,..., x n ; u 1, u 2,..., u p ; t) (28)

25 Zlinearyzowane równania stanu i wyjść Po linearyzacji w otoczeniu wybranego stanu ustalonego (nominalnego punktu pracy), równania przyjmują postać: Zlinearyzowana postać równania stanu dx 1(t) dt = n i=1... dx n(t) dt = n i=1 f 1(t) x i x i + p j=1 f n(t) x i x i + p j=1 f 1(t) u j u j + f1 t t Zlinearyzowana postać równania wyjść y 1 = n i=1... y q = n i=1 g 1(t) x i x i + p j=1 g q(t) x i x i + p j=1 (29) f n(t) u j u j + fn t t g 1(t) u j u j + g1 t t (30) g q(t) u j u j + gq t t

26 Postać macierzowa modelu zmiennych stanu Macierzowa postać równań stanu i wyjść { Ẋ (t) = ANL (X, U, t) Y (t) = C NL (X, U, t) (31) Macierzowa postać zlinearyzowanych równań stanu i wyjść { Ẋ (t) = A(t)X (t) + B(t)U(t) (32) Y (t) = C(t)X (t) + D(t)U(t) Układ niestacjonarny Układ niestacjonarny to układ, którego wyjście zależy wprost od czasu - parametry układu zależą od czasu. Układ stacjonarny Układ stacjonarny to układ, którego wyjście nie zależy wprost od czasu.

27 Równania stanu liniowych układów stacjonarnych Macierzowa postać równań stanu i wyjść - układ stacjonarny { Ẋ (t) = AX (t) + BU(t) (33) Y (t) = CX (t) + DU(t) gdzie: A R n n - macierz stanu, B R n p - macierz wejść, C R q n - macierz wyjść, D R q p - macierz przenoszenia (transmisyjna). Rysunek : Schemat blokowy układu linowych równań stacjonarnych

28 Przestrzeń stanów Przestrzeń stanów, przestrzeń fazowa Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu X (t) w chwilach t tworzy przestrzeń stanów układu (przestrzeń fazową). Rysunek : Trajektoria fazowa - przykład trajektoria stanu Zbiór wartości wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu tworzy w tej przestrzeni krzywą, zwaną trajektorią stanu układu (trajektorią fazową).

29 Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015