Fala stojąca Stokesa krytyczna analiza wzorów wynikających z aproksymacji 2 rzędu

Transkrypt

1 Fala stojąca Stokesa krytyczna analiza wzorów wynikających z aproksymacji rzędu Dr hab. inż. Waldemar Magda Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii ądowej i Środowiska Znaczenie zjawiska fali stojącej jest oczywiste w praktyce inżynierskiej z zakresu budownictwa morskiego i inżynierii brzegowej. Wartość obciążenia morskiej konstrukcji hydrotechnicznej (w tym przede wszystkim grawitacyjnych falochronów pionowościennych) falą stojącą zależy od charakterystyki samej konstrukcji (budowla niska, wysoka, na fundamencie narzutowym itp.), ale także od rodzaju falowania przyjętego do rozważań. O ile odpowiednie wzory dla rzędnej swobodnej powierzchni oraz ciśnienia hydrodynamicznego pod falą progresywną można znaleźć w wielu publikacjach polsko- i obcojęzycznych, o tyle w przypadku fali stojącej sprawa przedstawia się już dużo gorzej. Okazuje się bowiem, że poza wzorami wynikającym z liniowej teorii fali powierzchniowej (teorii fali Stokesa o aproksymacji 1 rzędu, zlinearyzowanej w przypadku ciśnienia hydrodynamicznego) trudno jest natrafić w literaturze fachowej na odpowiednie i do tego jeszcze poprawne wzory otrzymane na bazie teorii fali Stokesa wyższego rzędu. Uwaga ta odnosi się również do polskiej ogólnodostępnej literatury fachowej. Z tego przede wszystkim względu Autor niniejszego artykułu opublikował niedawno pracę [], w której przedstawił m.in. odpowiednie wzory wynikające z aproksymacji rzędu fali stojącej Stokesa, opracowane na podstawie analitycznego rozwiązania uzyskanego metodą perturbacji (metodą małego błędu) przez profesora R. J. Sobera z Imperial College w ondynie []. W pracy [] przedstawiono współczynniki szeregów potęgowych umożliwiających otrzymanie rozwiązania dokładnego do 5 rzędu włącznie. Było to podstawą wykonania analizy porównawczej, której wyniki zaprezentowano w pracy [], gdzie rozwiązania i 5 rzędu porównano ze sobą ilościowo na przykładzie poziomej siły hydrodynamicznej obciążającej falochron pionowościenny w wyniku utworzenia się na jego przedpolu fali stojącej. Stosowanie rozwiązań dla fali stojącej Stokesa o aproksymacji (przybliżeniu) rzędu stało się już powszechną praktyką projektową. Trzeba jednak zauważyć, że często projektanci stosują bezkrytycznie dostępne w literaturze fachowej wzory, zawierzając całkowicie autorom tych publikacji. Wśród bardzo skąpej pod tym względem fachowej literatury polskojęzycznej należy w tym miejscu wspomnieć o Poradniku hydrotechnika [7]. Praca ta jest bardzo bogata, jeśli chodzi o różnorodność tematów w niej poruszanych wraz z licznymi wzorcowymi przykładami obliczeniowymi. Biorąc jednak pod uwagę wyłącznie aproksymację rzędu fali stojącej Stokesa, należy stwierdzić, INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01 77

2 że w pracy [7] znajdują się błędy wymagające starannej analizy zamieszczonych wzorów i ostrożnego podejścia do celów obliczeniowych na użytek inżynierów projektantów. Praca [7], chociaż wydana w 199 roku, do dnia dzisiejszego nie doczekała się żadnego zrewidowanego wydania, nie mówiąc już o zwykłej erracie w odniesieniu do bardziej istotnych błędów w niej popełnionych. Niestety, błędne wzory, dotyczące aproksymacji fali stojącej Stokesa rzędu są do dnia dzisiejszego stosowane w różnych opracowaniach projektowych, a także w ekspertyzach naukowo-technicznych. Biorąc powyższe pod uwagę, przedstawiono poprawne postaci rozwiązań opisujących: wzniesienie poziomu falowania (rzędną swobodnej powierzchni) dla fali stojącej, ciśnienie hydrodynamiczne pod falą stojącą, otrzymane dla fali stojącej Stokesa o aproksymacji rzędu. Dodatkowo dla wybranych warunków wodno-falowych, opierając się na poprawnych rozwiązaniach i dokonując odpowiedniej analizy porównawczej, wykazano i przedyskutowano błędne rozwiązania zawarte w pracy [7]. W niniejszej pracy odniesiono się także do kilku publikacji obcojęzycznych. WZNIESIENIE POZIOMU FAOWANIA W artykule [] omówiono bardzo eleganckie rozwiązanie, opublikowane w pracy [], pozwalające na opis zmienności parametrów fali stojącej Stokesa. Rozwiązanie to uzyskano metodą perturbacji (metodą małego błędu). Metoda ta dąży do przedstawienia rozwiązania danego problemu za pomocą szeregu potęgowego z niewielkim parametrem określającym odchylenie (zaburzenie) od dokładnie rozwiązywalnego problemu. Odchylenie to oznaczane jest zwykle przez ε. Dla małych wartości ε czynniki coraz wyższych rzędów stają się zaniedbywalne. Oto postać rozwiązania dla rzędnej swobodnej powierzchni fali stojącej (fr. clapotis) Stokesa względem poziomu spokoju, aproksymowanego następującym szeregiem potęgowym []: N i i 1 i η ( x, t) = ε b cos( jkx)sin( mωt) (1) ijm k i = 1 j = 0 m = 0 η rzędna swobodnej powierzchni fali stojącej Stokesa [m], k liczba falowa (k = π/) [1/m], długość fali [m], N rząd aproksymacji fali stojącej Stokesa [ ], ε parametr aproksymacji [ ], b ijm współczynniki aproksymacji [ ], h głębokość wody [m], ω częstość kołowa fali (ω = π/t) [1/s], T okres fali [s], t czas [s], x współrzędna pozioma płaskiego prostokątnego układu odniesienia Oxz (oś Ox pokrywa się z poziomem spokoju; rys. 1) [m]. ERRATA: W tym miejscu Autor niniejszego artykułu chciałby przeprosić Czytelnika i skorygować błąd, jaki wkradł się do artykułu [] we wzorze opisującym funkcję potencjału prędkości. Dolną granicą zmienności indeksu i powinno być 1 (i = 1), a nie 0 (i = 0), jak to podano błędnie we wzorze o numerze (1) w pracy []). Parametr aproksymacji określony jest następująco []: ε= k () H s wysokość fali stojącej przy pełnym odbiciu (współczynnik odbicia K = 1,0) [m], H wysokość fali progresywnej inicjującej zjawisko fali stojącej [m], a długość fali dla każdego rzędu aproksymacji należy obliczać ze związku dyspersyjnego opisanego w metodzie perturbacji następującym szeregiem potęgowym []: H s N 1/ i 1 ω= ( gk) ε Ci () C i współczynniki aproksymacji fali stojącej Stokesa [ ]. Poniżej podano wzory opisujące 5 współczynników aproksymacji niezbędnych dla określenia rzędnej swobodnej powierzchni fali stojącej Stokesa i długości fali do rzędu (N = ) włącznie []: b b,,0 i= 1 b 1,1,1 = 11 () 11 q = (5) 8 q 1 q,, = (6) 8 q C1 = q (7) Rys. 1. Schemat fali stojącej przed typową pionowościenną morską konstrukcją hydrotechniczną, jaką jest stawiany falochron grawitacyjny 78 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01

3 w których: C = 0 (8) q = tgh( kh) (9) Na podstawie rozwiązania przedstawionego w pracy [] wyprowadzono następujący wzór opisujący rzędną swobodnej powierzchni fali stojącej Stokesa rzędu: η ( x, t) = H cos( kx)cos( ω t) kh cos( kx) 1 tgh ( kh) 1 cos( t) ω 8 tgh( kh) tgh ( kh) (10) Dla fazy szczytu (dolny indeks s) fali (dla t = 0 zachodzi: sin(wt) = 0 i cos(wt) = 1) w profilu ściany pionowej (dla x = 0 zachodzi: sin(kx) = 0 i cos(kx) = 1) otrzymano: kh tgh ( kh) η s = H (11) 8 tgh ( kh) natomiast dla fazy dna (dolny indeks d) fali stojącej (t = T/ zachodzi: sin(wt) = 0 i cos(wt) = -1) w profilu ściany pionowej (dla x = 0 zachodzi: sin(kx) = 0 i cos(kx) = 1) otrzymano: kh tgh ( kh) η = H (1) s 8 tgh ( kh) Długość fali wyznaczona ze związku dyspersyjnego () dla fali stojącej Stokesa rzędu, jest opisana dobrze znaną zależnością w postaci równania nieliniowego: gt π = tgh h = 0 tgh( kh) π (1) g przyspieszenie ziemskie (g = 9,81 m/s ), 0 długość fali głębokowodnej [m]. Wzór na długość fali według aproksymacji rzędu (N = ) jest identyczny ze wzorem wynikającym z aproksymacji 1 rzędu (N = 1), czyli z teorii liniowej falowania. Warto w tym miejscu poświęcić chwilę na precyzyjne definicje pewnych określeń w odniesieniu do profilu fali (stojącej, ale nie tylko) (patrz rys. 1). W Poradniku hydrotechnika [7] można znaleźć następujące definicje: grzbiet (szczyt) fali najwyższy punkt profilu fali względem poziomu spokoju, dolina (dno) fali najniższy punkt profilu fali względem poziomu spokoju. Wydaje się, że utożsamianie grzbietu fali z jej szczytem oraz doliny fali z jej dnem jest niewłaściwe. Terminem szczyt w ścisłym znaczeniu oznacza się najwyższy punkt pewnej wypukłej formy (np. terenu: góry, grzbietu, grani, wzgórza, wydmy itp.) i tylko zwyczajowo określenie to występuje jako synonim całej formy (np. góry, zwłaszcza o dużej wysokości względnej i stromych stokach). Grzbiet i dolina oznaczają pewien obszar (bryłę), natomiast szczyt i dno są punktami. Ponieważ najbardziej podstawowym poziomem odniesienia dla zjawisk (w tym także falowych) zachodzących na akwenie wodnym jest poziom spokoju, a dodatkowo rzędne: szczytu fali, η = η s oraz dna fali, η = η d, mierzone zwykle względem poziomu spokoju, proponuje się stosowanie następujących definicji (patrz rys. 1): grzbiet fali część profilu fali znajdująca się powyżej poziomu spokoju, dolina fali część profilu fali znajdująca się poniżej poziomu spokoju, szczyt fali najwyższy punkt grzbietu fali, dno fali najniższy punkt doliny fali. Należy przy okazji zaznaczyć, że podane wyżej definicje szczytu i dna fali pozostają w zgodności z definicjami zaproponowanymi przez prof. S. Hueckla w pracy [1], chociaż nie wiadomo dlaczego grzbiet i dolina fali są tam słownie definiowane względem poziomu falowania, natomiast graficznie (rys..1 w pracy [1]) są odniesione do poziomu spokoju. W przypadku teorii falowych (np. teorii liniowej), w których tor ruchu cząstki wody jest torem zamkniętym (czyli orbitą), pionowa półoś orbity cząstki powierzchniowej jest równa połowie wysokości fali. Inaczej mówiąc, płaszczyzna dzieląca profil fali na połowę, czyli płaszczyzna tak samo oddalona od ekstremalnie położonych punktów (szczytu i dna) krzywej opisującej kształt fali, jest równocześnie miejscem geometrycznym środków orbit cząstek powierzchniowych i nosi nazwę płaszczyzny lub poziomu falowania [1]. Jednak według niektórych, bardziej zawansowanych teorii falowych, w tym także teorii fali Stokesa drugiego lub wyższego rzędu (tak progresywnej, jak i stojącej), poziom falowania nie jest identyczny z poziomem spokoju, na jakim ułożyłaby się powierzchnia akwenu, gdyby tego falowania nie było, lecz jest wzniesiony ponad poziom spokoju o wysokość nazywaną wzniesieniem poziomu falowania lub w skrócie wzniesieniem falowania, h (patrz rys. 1). Według fachowej terminologii anglojęzycznej (np. []), w odniesieniu do wzniesienia poziomu falowania używa się zwykle określenia clapotis set-up. Jak podaje S. Hueckel [1], takie wzajemne położenie obu poziomów wynika z asymetrii pól założonego profilu fali względem jej osi poziomej, odpowiadającej w rozpatrywanym wypadku poziomowi falowania. Takie stwierdzenie nie jest do końca jasne, gdyż w pracy [1] nie zostało zdefiniowane pojęcie asymetrii pól. Wydaje się, że lepiej jest mówić o równości pól powierzchni tych obszarów, co z resztą pokazano na rys..1 w pracy [1]. Pole powierzchni obszaru w profilu poprzecznym fali, zawarte między poziomem falowania a linią grzbietu fali jest poza przypadkiem teorii liniowej falowania (zwanej również teorią fali o małej amplitudzie, teorią Airy ego lub teorią fali sinusoidalnej) mniejsze od pola powierzchni obszaru zawartego między poziomem falowania a pozostałym odcinkiem linii profilu fali, czyli linii doliny fali. Jak to dalej uzasadnia S. Hueckel [1], ponieważ warunki fizyczne wymagają, aby w odniesieniu do poziomu spokoju, grzbiet fali zawierał tyle wody, ile jej ubyło w dolinie, poziom spokoju musi leżeć poniżej poziomu falowania. A swoją drogą ciekawe dlaczego progresywną falę regularną, której kształt swobodnej powierzchni przedstawia się w płaskim układzie współrzędnych prostokątnych w postaci funkcji kosinus (patrz np. [7]), nazywa się falą sinusoidalną, a nie kosinusoidalną. A zatem, niezbędne w tym przypadku definicje mają następujące postaci: poziom spokoju poziom na jakim ułożyłaby się powierzchnia morza, gdyby nie było falowania, INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01 79

4 poziom (płaszczyzna) falowania miejsce geometryczne środków orbit cząstek powierzchniowych przy ruchu falowym, wzniesienie poziomu falowania (wzniesienie falowania) wzniesienie poziomu falowania nad poziom spokoju. Konsekwencją tych definicji są następujące ogólnie zapisy (patrz rys. 1): η s = h H (1) η d = h H (15) η s rzędna szczytu fali (względem poziomu spokoju) [m], η d rzędna dna fali [m], H wysokość fali podchodzącej (inicjującej, progresywnej) [m], h wzniesienie poziomu falowania [m]. Biorąc pod uwagę wzory (11) i (1), można określić wartość wzniesienia poziomu falowania dla fali stojącej Stokesa rzędu: kh tgh ( kh) h = (16) 8 tgh ( kh) Warto w tym miejscu zadać sobie pytanie, czy bezpośrednia znajomość wartości wzniesienia poziomu falowania jest niezbędna. Odpowiedź brzmi: i tak, i nie. Tak, jeżeli: zachodzi potrzeba przyjęcia fali opisanej teorią wyższego rzędu niż teoria liniowa (teoria fali Stokesa 1 rzędu) i jednocześnie rzędna swobodnej powierzchni w ruchu falowym jest określana w sposób przybliżony na podstawie prostego wzoru wynikającego właśnie z teorii liniowej. Jeżeli natomiast: zachodzi potrzeba przyjęcia fali opisanej teorią inną niż teoria liniowa i jednocześnie rzędna swobodnej powierzchni w ruchu falowym jest określana w sposób dokładny na podstawie wzoru wynikającego z danej teorii falowej (np. teorii fali Stokesa wyższego rzędu), to wówczas taki wzór uwzględnia już w swojej postaci wartość wzniesienia poziomu falowania. W pracy [6], wykorzystującej wyniki opisu teoretycznego fali według teorii falowej Miche a (Miche a-biesela), podano następujący wzór na wzniesienie poziomu falowania: πh 1 h0 = ctgh( kh) 1 sinh ( ) cosh kh ( kh ) (17) Należy w tym miejscu zaznaczyć, że rzędna swobodnej powierzchni fali Miche a rzędu (w przybliżeniu), zarówno w odniesieniu do fali progresywnej, jak i stojącej, jest opisana wzorem identycznym ze wzorem wynikającym z teorii Stokesa rzędu [1]. Ograniczając się wyłącznie do pierwszego (liniowego ze względu na funkcje hiperboliczne) członu wzoru (17), można zapisać [, 6]: πh πh h0 = ctgh (18) lub po uwzględnieniu wzoru (1) [6]: πh 0 0 h = (19) Po uwzględnieniu zależności dla liczby falowej k = π/ we wzorze (17), wprowadzeniu oznaczenia h dla h 0 (patrz rys. 1) i przekształceniu w celu uzyskania postaci pierwszego członu identycznej z postacią pierwszego członu we wzorze (10), otrzymano: kh 1 h[6] = ctgh( kh) 8 sinh ( kh) cosh ( kh) (0) Po wykonaniu kilku operacji matematycznych można wykazać poniższą równość: ctgh( ) 1 tgh ( kh) kh sinh ( ) cosh = ( ) tgh kh kh ( kh ) a za tym idzie także i równoważność wzorów (16) i (0). (1) Znacznie gorzej przedstawia się sprawa ze wzorem przedstawionym w pracy [7], w której rzędną swobodnej powierzchni w fazie szczytu fali stojącej względem poziomu spokoju (rzędną szczytu fali względem poziomu spokoju) opisano następującym wzorem (wzór (.1) w pracy [7]): πh tgh πh h π ξ g = H cosh 1 πh sinh () Po uwzględnieniu zależności dla liczby falowej k = π/ we wzorze () oraz wprowadzeniu oznaczenia η s (dolny indeks s dla szczytu fali) w zamian za ξ g (dolny indeks g dla grzbietu fali, patrz rys. 1) otrzymano następującą równoważną postać wzoru (): kh tgh η s = H cosh( kh) 1 sinh ( kh) ( kh) co w powiązaniu ze wzorem (1) prowadzi do zapisu: kh tgh h[7] = cosh( kh) 1 sinh ( kh) ( kh) () () W tym przypadku, po wykonaniu kilku operacji matematycznych, można wykazać następującą równość: ( kh) ( ) 1 tgh = 1 (5) sinh ( kh) cosh ( kh) sinh kh która dotyczy wyrażeń ujętych w nawiasy kwadratowe we wzorach (0) i (). Niestety różnica w członach występujących przed nawiasem kwadratowym w obu wzorach (coth(kh) we wzorze (0) oraz cosh(kh) we wzorze ()) powoduje, że wzór podany w pracy [7] należy uznać za błędny. Można pokazać, jak duży błąd zostanie popełniony w obliczeniach z wykorzystaniem tego wzoru w porównaniu do wyników obliczeń wykonanych przy użyciu wzoru poprawnego, tzn. wzoru (16) lub wzoru (0). Przyjmując stosunkowo szeroki zakres warunków wodno-falowych obliczono wzniesienie poziomu falowania, korzystając ze wzoru poprawnego (16) oraz ze wzoru błędnego () i dodatkowo obliczone wartości porównano ze sobą, stosując następujący parametr: 70 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01

5 hwzór () h = (6) h wzór (16) Wyniki analizy porównawczej zestawiono w tabl. 1. Jak pokazują to wartości parametru h, błędne rozwiązanie może zarówno niedoszacowywać ( h < 1), jak i przeszacowywać ( h > 1) rozwiązanie poprawne, przy czym wartość błędna może różnić się wielokrotnie od wartości poprawnej. Różnice te mogą okazać się najbardziej dotkliwe w przypadkach, gdzie wartość dokładna wzniesienia poziomu falowania jest znaczna. Tak jest w sytuacji stosunkowo małej głębokości wody przy stosunkowo długiej fali (dużym okresie fali). Przykładowo, dla h = m i T = 1 s wzniesienie poziomu falowania obliczone błędnym wzorem () jest prawie trzykrotnie mniejsze ( h = 0,15 m) od wartości poprawnej ( h = 0,9078 m) obliczonej wzorem (16). Natomiast dla znacznych głębokości wody błędne wyniki zaczynają tracić zupełnie sens. I tak, dla h = 100 m oraz T = 6 s wzniesienie poziomu falowania wyznaczone z użyciem błędnego wzoru () równa się absurdalnej wartości h = 000 km! Wzór opisujący wzniesienie falowania w obcojęzycznej pracy [8] stanowi szczególny przykład braku poszanowania dla elementarnych podstaw matematyki. Oto jego postać zaprezentowana w oryginalnym zapisie: πh πd h = cot h (7) We wzorze tym h oznacza wzniesienie poziomu falowania (h h), a d oznacza głębokość wody (d h). W tym miejscu należy wyraźnie zaznaczyć, że użyty symbol matematyczny cot jest często stosowanym w pracach angielsko- i niemieckojęzycznych oznaczeniem funkcji trygonometrycznej kotangens (ctg). Powyższy wzór, nie wiadomo dlaczego, podano w postaci funkcji uwikłanej. Trudno jest także zdecydować, co jest argumentem funkcji kotangens. Ale tak jest zawsze, gdy bagatelizuje się ujmowanie argumentu funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych w odpowiednie nawiasy. W znaczącej dla polskiego czytelnika pracy [5] zagadnienie wzniesienia poziomu falowania odniesiono wyłącznie do liniowej teorii falowania, dla której zachodzi h = 0. Poza stosowaniem przedstawionych poprawnych wzorów, do obliczenia wzniesienia poziomu falowania można także wykorzystać nomogramy podane m.in. w pracach [9] (rys. ; h 0 h, H i H, d h) i [7] (rys. ; H p H). Jak łatwo zauważyć, oba nomogramy są prawie identyczne. Nie jest oczywiście żadną tajemnicą, że spora część materiału przedstawionego w pracy [7] jest przetłumaczoną na język polski kalką odpowiedniego materiału zawartego w pracy [9]. Słowo prawie zostało tu użyte celowo, gdyż oba nomogramy różnią się zawartym w nich wzorem na wzniesienie poziomu falowania dla warunków głębokowodnych. I tak, w pracy [9] wzór ten przedstawia się następująco (zastosowano oznaczenia obowiązujące w niniejszym artykule): h H = π (8) H Uwzględniając następujące zależności dla warunków głębokowodnych: 0 gt π gt k = oraz 0 = π (9) 0 długość fali głębokowodnej, można wykazać równoważność wzoru (8) z wcześniej wyprowadzonym poprawnym wzorem (16), czyli: kh tgh ( kh) kh h = h = dla kh (0) 8 tgh ( kh) 8 Po uwzględnieniu wartości π,116 we wzorze (8) można przedstawić ten wzór w postaci: h H = 19,7 (1) H gt Tabl. 1. Wartości wzniesienia poziomu falowania obliczone wzorami (16) i () Głębokość wody h [m] Okres fali T [s] kh [ ] h wzór (16) [m] h wzór () [m] h [ ] , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9 10 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01 71

6 Rys.. Wzniesienie średniego poziomu falowania nad poziom spokoju. Fala stojąca (nie załamana) K r = 1 (wersja oryginalna nomogramu z pracy [9]) Rys.. Wzniesienie średniego poziomu falowania nad poziom spokoju. Fala stojąca (nie załamana) K r = 1 (wersja oryginalna nomogramu z pracy [7]) 7 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01

7 Porównanie wartości współczynnika liczbowego w powyższym wzorze z wartością 18,08 podaną na rys., prowadzi do wniosku, że nomogram przedstawiony w pracy [7] jest błędny. Niczym nie uzasadniona zamiana poprawnej wartości 19,7 na wartość 18,08 powoduje zaniżenie wartości wzniesienia poziomu falowania głębokowodnego o prawie 8,5% wartości poprawnej. CIŚNIENIE HYDRODYNAMICZNE Na podstawie rozwiązania przedstawionego w pracy [], a także wykorzystując erratę do tej pracy przedstawioną w artykule [], wyprowadzono następujący wzór opisujący ciśnienie hydrodynamiczne pod falą stojącą Stokesa rzędu []: [ kh z] p cosh ( ) = H cos( kx )cos( ωt ) ρg cosh( kh) kh 1 tgh ( kh) 1 cos( ω t) 8 tgh( kh) tgh ( kh) 1 1 tgh ( kh) tgh ( kh) [ kh z] cosh ( ) cos( kx ) cosh( kh) sin ( ωt) { cosh [ k ( h z ) ] sin ( kx ) cosh ( kh) sinh [ kh ( z) ] cos ( kx) } k H tgh ( kh) 1 sin( ωt)sin( ωt) 8 tgh ( kh) cosh( kh)cosh( kh) { [ k h z ] [ k h z ] kh kx [ k h z ] [ k h z ] kh kx } cosh ( ) cosh ( ) sin( )sin( ) sinh ( ) sinh ( ) cos( )cos( ) 9kH tgh ( kh) 1 sin ( ωt) { 7 18 tgh ( kh) cosh ( kh) [ k h z ] kx [ k h z ] kx } cosh ( ) sin ( ) sinh ( ) cos ( ) () p ciśnienie hydrodynamiczne pod falą stojącą Stokesa rzędu [kpa], ρ gęstość wody morskiej [t/m ], g przyspieszenie ziemskie (g = 9,81 m/s ), H wysokość fali podchodzącej (inicjującej, progresywnej) [m], k liczba falowa (k = π/) [1/m], długość fali [m], ω częstość kołowa fali (ω = π/t) [1/s], T okres fali [s], h głębokość wody [m], t czas [s], x współrzędna pozioma płaskiego prostokątnego układu odniesienia Oxz (oś Ox pokrywa się z poziomem spokoju; rys. 1) [m], z współrzędna pionowa płaskiego prostokątnego układu odniesienia Oxz (ujemna oś Oz skierowana jest w stronę dna morskiego; rys. 1) [m]. inearyzacja równania Bernoulliego ze względu na prędkości orbitalne cząsteczki wody (u = w = 0) prowadzi do następującego, znacznie prostszego, wzoru na ciśnienie hydrodynamiczne: [ kh z] p cosh ( ) = H cos( kx )cos( ωt ) ρg cosh( kh) kh 1 tgh ( kh) 1 cos( ω t) 8 tgh( kh) tgh ( kh) 1 1 tgh ( kh) tgh ( kh) cosh[ kh ( z) ] cos( kx ) cosh( kh) () Równanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) () oraz równanie zlinearyzowane () przyjmują taką samą postać, gdy rozpatrywane są przypadki ekstremalnego położenia zwierciadła wody w profilu ściany pionowej. Jest to oczywiste, gdyż składowe prędkości orbitalnej w profilu pionowym pokrywającym się z profilem strzałki fali stojącej są zerowe dla faz szczytu i dna fali stojącej. I tak, dla fazy szczytu fali w profilu ściany pionowej oba równania () i () upraszczają się do postaci []: [ ] ( kh) p s cosh kh ( z) = H cos( kx )cos( ωt ) ρg cosh kh tgh( kh) [ ] tgh ( kh) tgh ( kh) 1 cosh kh ( z) 8 cosh( kh) () natomiast dla fazy dna fali w profilu ściany pionowej oba równania () i () upraszczają się do postaci: [ ] p cosh kh ( z) d kh = H cos( kx )cos( ωt ) ρg cosh( kh) 8 tgh( kh) [ ] kh kh z kh cosh( kh) tgh ( ) 1 cosh ( ) tgh ( ) (5) W pracy [7] ciśnienie hydrodynamiczne pod falą stojącą w profilu ściany pionowej (x = 0) zostało opisane następującą zależnością (patrz wzór (.1) w pracy [7]): p [N/m ] π ( h z) cosh πt =γh sin h T π cosh πh π ( h z) πt cosh cos h T π sinh πh πh πh tgh π ( h z) cosh cos πh πh sinh sinh πt T (6) Wyrażenie w nawiasie kwadratowym występujące po lewej stronie równania (6) to oczywiście wymiar parametru, jakim jest ciśnienie hydrodynamiczne obliczane ze wzoru (6). Tego INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01 7

8 rodzaju zapis należy uznać za dziwny i mało praktyczny. Oznacza on odgórne narzucenie jednostki miar parametru p w sytuacji, gdy wymiar ten jest przecież pochodną wymiarów niektórych parametrów występujących po prawej stronie równania (6), czyli: ciężaru właściwego wody morskiej γ oraz wysokości fali H. Najczęściej parametry te wyraża się w następujących jednostkach: γ [kpa] i H [m]; wartości liczbowe tych parametrów, występujące w licznych przykładach obliczeniowych zawartych w pracy [7], podawane są przecież w takich właśnie jednostkach, a to oznacza, że ciśnienie hydrodynamiczne p obliczone ze wzoru (6), będzie wyrażone w [kpa] (lub w jednostce równoważnej [kn/m ]), a nie w narzuconej jednostce [N/m ]. Narzucenie przez autorów pracy [7] jednostki [N/m ] jest mylące i może być powodem poważnych błędów obliczeniowych! Wieloletnie doświadczenie dydaktyczne Autora niniejszego artykułu pokazuje niezbicie, że kwestie przyjmowania i stosowania odpowiednich jednostek miar i wag w procedurach obliczeniowych jest niedoceniane przez studentów różnych kierunków nauczania na wyższych uczelniach, a to niestety jest niewątpliwie bardzo często pochodną bagatelizowania tej kwestii przez nauczycieli akademickich. Po wprowadzeniu parametru liczby falowej k = π/ do wzoru (6), a także po podzieleniu obustronnym przez γ = ρg i wymnożeniu członów prawej strony równania (6) przez wysokość fali podchodzącej H otrzymano bardziej zwarty zapis wzoru (6) w postaci: [ kh z] p cosh ( ) = H sin( ωt ) ρg cosh( kh) kh 1 { cosh[ kh ( z) ] } cos ( ω t) sinh( kh) kh kh tgh( kh) [ kh z] cosh ( ) cos( t) ω sinh ( kh)sinh( kh) (7) Jak już wspomniano, także w przypadku tego bardzo istotnego dla praktyki inżynierskiej wzoru autorzy pracy [7] nie sprostali zadaniu, o czym świadczyć może poniższa analiza porównawcza. W celu umożliwienia porównania wzoru poprawnego () ze wzorem błędnym (7) w procedurze obliczeniowej konieczne było dokonanie zrównania faz ruchu oscylacyjnego opisanego dwoma wzorami, gdyż w pierwszym członie równania () występuje funkcja cos(ωt), natomiast we wzorze (7) funkcja sin(ωt). Obliczenia porównawcze Rys.. Zakresy stosowalności teorii falowych [] (wg [8, 9]) z zaznaczonymi punktami obliczeniowymi Podobnie jak miało to miejsce w pracy [], w celu przeprowadzenia analizy porównawczej posłużono się wykresem przedstawiającym zakresy stosowalności różnych teorii falowych (rys. ) i zaznaczono na nim cztery punkty obliczeniowe, przy czym wartości parametrów wodno-falowych, charakteryzujące te punkty, zestawiono w tabl.. Punkt P1 odpowiada warunkom wodno-falowym przyjętym w pracach [] i []. Współrzędne punktu P1 wskazują na istnienie warunków głębokowodnych (patrz rys. ), a stromość fali wynosi δ = H/ = 0,0. Kolejny punkt P wybrano tak, aby zachowując tę samą wartość okresu fali (T = 10 s) znacznie wzrosła stromość fali (δ = 0,18) poprzez czterokrotne zwiększenie wysokości fali (H = 0 m). Efekt pewnego zwiększenia stromości fali uzyskano także przechodząc z punktu P1 (δ = 0,0) do punktu P (δ = 0,01), zachowując tę samą wysokość fali (H = 5 m) i zmniejszając głębokość wody do h = 0 m. Punkt P znajduje się w strefie ograniczonej głębokości wody (patrz rys. ). Dodatkowo do analizy przyjęto także punkt P, Tabl.. Wartości zmiennych parametrów wodno-falowych dla wybranych punktów obliczeniowych (do obliczeń przyjęto g = 9,81 m/s ) Punkt h (rys. ) gt [ ] H gt [ ] Głębokość wody h [m] Okres fali T [s] Długość fali [m] Wysokość fali H [m] Stromość fali δ [ ] P1 0,1 0, ,00 156,0 5,0 0,0 P 0,1 0, ,00 156,0 0,0 0,18 P 0,0 0, ,00 156,0 5,0 0,01 P 0,0 0,01 8 6, 8,5,0 0,08 7 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01

9 w którym stromość fali wzrosła dwukrotnie (δ = 0,08) względem stromości fali w puncie P, co uzyskano poprzez zmniejszenie zarówno okresu fali (T = 6, s), jak i głębokości wody (h = 8 m). Punkt P także znajduje się w strefie ograniczonej głębokości wody. Co więcej, warunki falowe charakteryzujące położenie punktów P i P na rys. można uznać za bliskie ekstremalnych dla pracy morskich budowli hydrotechnicznych, jakimi są masywne falochrony pionowościenne. Na kolejnych rysunkach od rys. 5 do 8, odpowiednio dla punktów od P1 do P (patrz rys. ), przedstawiono przebiegi ciśnienia hydrodynamicznego w czasie (t = 0 ½T) w profilu ściany pionowej (x = 0) pod falą stojącą Stokesa rzędu na głębokościach: (a) z = 0, (b) z = h / i (c) z = h. Obliczenia wykonano z krokiem czasowym t = 1/ T. a) Ciśnienie hydrodynamiczne w postaci względnej (tzw. wysokość ciśnienia hydrodynamicznego) p/(ρg) obliczono według następujących trzech wzorów: wzoru () rozwiązanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) rzędu (oznaczenie w legendzie rysunku N = ), wzoru () rozwiązanie zlinearyzowane (po przyjęciu założenia u = w = 0 linearyzującego równanie Bernoulliego) rzędu (oznaczenie w legendzie rysunku N = ), wzoru (7) rozwiązanie rzędu przedstawione w pracy [7] (oznaczenie w legendzie rysunku N = PH), pamiętając o potrzebie zrównania fazy oscylacji ciśnienia (ruchu falowego) z fazą oscylacji charakteryzującą wzory () i (). a) b) b) c) c) Rys. 5. Rozkład w czasie (t = 0 T) ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa w profilu ściany pionowej (x = 0), wyznaczony według: N = aproksymacji rzędu, N = aproksymacji rzędu (zlinearyzowanej), N = PH wzoru (.1) z pracy [7]: (a) z = 0, (b) z = h /, (c) z = h (dane wodno-falowe: H = 5 m, T = 10 s, h = 100 m (punkt P1, patrz tabl. ) Rys. 6. Rozkład w czasie (t = 0 T) ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa w profilu ściany pionowej (x = 0), wyznaczony według: N = aproksymacji rzędu, N = aproksymacji rzędu (zlinearyzowanej), N = PH wzoru (.1) z pracy [7]: (a) z = 0, (b) z = h /, (c) z = h (dane wodno-falowe: H = 0 m, T = 10 s, h = 100 m (punkt P, patrz tabl. ) INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01 75

10 Zaobserwowane różnice pomiędzy rozwiązaniem,,pełnym (tzn. nie zlinearyzowanym) aproksymacji fali stojącej Stokesa rzędu (N = ) a zlinearyzowaną wersją tego rozwiązania (N = ) są stosunkowo niewielkie i często z praktycznego punktu widzenia mogą być pominięte. Kwestie wpływu linearyzacji na jakość uzyskiwanego rozwiązania dokładnie przeanalizowano w pracy [] w odniesieniu do fali stojącej Stokesa w aproksymacji i 5 rzędu. Wyniki obliczeń przedstawionych w niniejszym artykule pozwalają na sformułowanie dodatkowego spostrzeżenia. Chodzi mianowicie o to, że różnice pomiędzy rozwiązaniami (N = ) i (N = ) są największe dla z = 0 i ulegają stopniowemu zanikowi wraz z głębokością. Oczywiście w punktach czasowych t = 0 i t = ½T różnice nie występują i to bez względu na pozycję punktu obliczeniowego w profilu pionowym (z = 0 h). Jest to spowodowane tym, że we wspomnianych punktach czasowych prędkość orbitalna cząsteczki wody w ruchu falowym jest zerowa (u = w = 0). Zgodność rozwiązań zadanych wzorem () (N = ) i wzorem (7) (N = PH), przedstawionym w pracy [9], występuje wyłącznie w dwóch charakterystycznych punktach czasowych badanego okresu, tzn. w t = 0 i t = ½T. Dla wszystkich innych punktów czasowych występują różnice, czasami bardzo znaczne. W celu ilościowego zilustrowania różnic pomiędzy rozwiązaniami (N = ) oraz (N = PH) posłużono się następującym wzorem porównawczym: a) a) b) b) c) c) Rys. 7. Rozkład w czasie (t = 0 T) ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa w profilu ściany pionowej (x = 0), wyznaczony według: N = aproksymacji rzędu, N = aproksymacji rzędu (zlinearyzowanej), N = PH wzoru (.1) z pracy [7]: (a) z = 0, (b) z = h /, (c) z = h (dane wodno-falowe: H = 5 m, T = 10 s, h = 0 m (punkt P, patrz tabl. ) Rys. 8. Rozkład w czasie (t = 0 T) ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa w profilu ściany pionowej (x = 0), wyznaczony według: N = aproksymacji rzędu, N = aproksymacji rzędu (zlinearyzowanej), N = PH wzoru (.1) z pracy [7]: (a) z = 0, (b) z = h /, (c) z = h (dane wodno-falowe: H = m, T = 6, s, h = 8 m (punkt P, patrz tabl. ) 76 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01

11 pn= PH pn= p = 100 (8) P N = p względna różnica wysokości ciśnienia hydrodynamicznego na głębokości z pod falą stojącą Stokesa rzędu [%], p N = PH wysokość ciśnienia hydrodynamicznego na głębokości z według aproksymacji rzędu, przedstawionej w pracy [7] (patrz wzór (7)) [m], p N = wysokość ciśnienia hydrodynamicznego na głębokości z według pełnej (tzn. nie zlinearyzowanej) aproksymacji rzędu (patrz wzór ()) [m], P amplituda,,górna (tzn. dla wartości dodatnich) oscylacji wysokości N = ciśnienia hydrodynamicznego na głębokości z według pełnej (tzn. nie zlinearyzowanej) aproksymacji rzędu [m], przy czym wysokość ciśnienia hydrodynamicznego wyrażono następującym związkiem: p p p = = (9) ρg γ p wysokość ciśnienia hydrodynamicznego [m], p ciśnienie hydrodynamiczne [kpa], r gęstość wody morskiej (ρ = 1,05 t/m ), g przyspieszenie ziemskie (g = 9,81 m/s ), γ ciężar właściwy wody morskiej (γ = 10,06 kn/m ). Dla warunków głębokowodnych (punkty P1 (patrz rys. 5) i P (patrz rys. 6)) różnice pomiędzy rozwiązaniem prawidłowym (wzór ()) i rozwiązaniem błędnym (wzór (7)) są ogromne. W przypadku warunków wodno-falowych charakteryzujących punkt P1 dla z = 0 maksymalna różnica, obliczona ze wzoru (8), wynosi pmax = 50,6% i występuje w punktach czasowych t = ¼T i t = ¾T. Wraz ze wzrostem głębokości różnice pomiędzy dwoma rozwiązaniami ulegają zmniejszeniu. Dla z = h / maksymalna różnica wynosi pmax = 10,6% (dla t = ¼T i t = ¾T), a w poziomie dna (z = h) jest jeszcze mniejsza i wynosi pmax =,59% (dla t = ¼T i t = ¾T). Podobna analiza przeprowadzona dla punktu P, dla którego stromość fali jest jeszcze większa (patrz tabl. ), dysproporcja pomiędzy rozwiązaniem prawidłowym i rozwiązaniem błędnym ulega spotęgowaniu; dla z = 0 pmax = 1581,0% (dla t = ¼T i t = ¾T), przy czym nadal obserwuje się zjawisko zaniku różnic pomiędzy tymi rozwiązaniami przy coraz większych głębokościach; dla z = h pmax =,% (dla t = ¼T i t = ¾T). Dla z = 0 rozwiązanie poprawne ma jedno ekstremum dodatnie (dla t = 0) i jedno ekstremum ujemne (dla t = ½T). Natomiast w rozwiązaniu błędnym pojawiają się dwa ekstrema dodatnie (większe dla t = 0 i mniejsze dla t = ½T) oraz dwa identyczne ekstrema ujemne (dla t = ¼T i t = ¾T). Dla pośredniej głębokości (z = h / ) oba rozwiązania mają po dwa ekstrema ujemne i dwa ekstrema dodatnie, przy czym oba rozwiązania nie mają żadnego ekstremum wspólnego. Co więcej, to co jest ekstremum dodatnim w jednym rozwiązaniu jest jednocześnie ekstremum ujemnym w rozwiązaniu drugim i na odwrót. Dopiero dla poziomu dna morskiego (z = h) daje się zauważyć stosunkowo duża i akceptowalna zgodność obu rozwiązań. Biorąc już tylko pod uwagę rozwiązanie prawidłowe, można zauważyć ciekawe zachowanie się oscylacji ciśnienia hydrodynamicznego. Chodzi mianowicie o to, że ekstremum ujemne występuje zawsze dla tego samego punktu czasowego (t = ½T) bez względu na wartość współrzędnej z = 0 h. Jeśli chodzi o ekstrema dodatnie to tylko jedno występuje dla z = 0 i to w chwili t = 0. Zejście z poziomem obliczeniowym na większe głębokości powoduje pojawienie się drugiego identycznego ekstremum dodatniego, ale chwile ich występowania są już zależne od współrzędnej z. I tak, dla z = h / ekstrema dodatnie występują przy t = / T i t = 8/ T, natomiast dla z = h miejsca występowania tych ekstremów ulegają dalszym przesunięciom i wynoszą odpowiednio t = ¼T i t = ¾T. Porównując wyniki obliczeń dla punktów P1 (rys. 5) i P (rys. 6) z wynikami otrzymanymi dla punktów P (rys. 7) i P (rys. 8), można przede wszystkim stwierdzić znacznie lepszą zgodność rozwiązań poprawnego i błędnego w przypadku warunków ograniczonej głębokości (punkty P1 i P), niż ma to miejsce w sytuacji warunków głębokowodnych (punkty P i P). W przypadku warunków wodno-falowych charakteryzujących punkt P dla z = 0 maksymalna różnica, obliczona ze wzoru (8), wynosi pmax = 1,06% i występuje w punktach czasowych t = 9/ T i t = / T. Przy głębokości pośredniej (z = h / ) różnice pomiędzy dwoma rozwiązaniami ulegają zmniejszeniu; maksymalna różnica wynosi pmax = 1,61% (dla t = 10/ T i t = / T), ale w poziomie dna (z = h) ponownie wzrastają; p = 10,% (dla t = ¼T i t = ¾T). max Podobnie jak było to w przypadku warunków głębokowodnych, analiza obliczeniowa przeprowadzona dla punktu P, dla którego stromość fali jest jeszcze większa niż dla punktu P (patrz tabl. ), dysproporcja pomiędzy rozwiązaniem prawidłowym i rozwiązaniem błędnym ulega pewnemu (około dwukrotnemu) spotęgowaniu; dla z = 0 pmax = 1,06% (dla t = 9/ T i t = / T), dla z = h / pmax =,8% (dla t = 10/ T i t = / T), a dla z = h pmax = 18,80% (dla t = ¼T i t = ¾T). W przypadku błędnego rozwiązania dla punktu P należy zwrócić uwagę na jego jeszcze jedną ciekawą cechę. Chodzi mianowicie o miejsca występowania ekstremów. Nie wiadomo dlaczego, projektanci wykonujący obliczenia z wykorzystaniem błędnego wzoru (7) i poszukujący np. dodatniego ekstremum siły poziomej obciążającej pionową ścianę falochronu, dokonują tylko jednokrotnego obliczenia zakładając, że faza szczytu fali ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą występuje dla dowolnego poziomu obliczeniowego zawsze w chwili: t = 0, jeżeli bierze się pod uwagę niniejszą analizę obliczeniową i wyniki przedstawione na rys. 5 do 8, lub t = ¼T, jeżeli korzysta się ze wzoru (7) bez jego dodatkowej adaptacji w celu zrównania fazy oscylacji z fazą charakteryzującą wzór poprawny (). Przecież, jak tego dowodzą wyniki obliczeń przedstawione na rys. 8, na poziomie dna morskiego (z = h) dwa identyczne ekstrema dodatnie występują w punktach t = / T i t = 8/ T, a nie dla t = 0! Podobnie ma się sprawa z przypadkiem poszukiwania ujemnego ekstremum siły poziomej obciążającej pionową ścianę falochronu. Tu, dla z = 0 dwa identyczne ekstrema ujemne występują w punktach t = 1/ T i t = 18/ T, a nie dla t = ½T, jak czyni to większość projektantów. Wydaje się, że powszechnie stosowaną normą w obliczeniach obciążeń hydrodynamicznych powodowanych falowaniem powinno być wykonywanie szerszych analiz, pozwalających określić zachowanie się danego zjawiska np. w pełnym cyklu falowym, a nie tylko dla jednego lub dwóch domniemanych charakterystycznych punktów czasowych. INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01 77

12 Pewnie czysty zbieg okoliczności spowodował, że co zostało wykazane dla każdego z czterech analizowanych przypadków (punkty P1, P, P i P) rozwiązania wynikające z poprawnego wzoru () i błędnego wzoru (7) są spójne tylko dla dwóch punktów czasowych, a mianowicie t = 0 i t = ½T. W wyniku przeprowadzonej analizy wykazano dodatkowo nieco lepszą zgodność obu rozwiązań dla przypadku punktów P i P, leżących w strefie ograniczonej głębokości wody niż dla punktów P1 i P, położonych w strefie głębokowodnej (patrz tabl. ). Należy jeszcze raz wyraźnie podkreślić, że wzór (7) przedstawiony w pracy [7] jest błędny i jako taki nie może być wykorzystywany i nie można się na niego powoływać. Odnosi się to zarówno do działalności dydaktycznej, jak i profesjonalnych obliczeń inżyniersko-projektowych. PODSUMOWANIE W artykule przedstawiono poprawne postaci wzorów, pozwalające obliczyć: rzędną swobodnej powierzchni η, wzniesienie poziomu falowania h, ciśnienie hydrodynamiczne p, dla przypadku fali stojącej Stokesa o aproksymacji rzędu. Przedstawione wzory skonfrontowano z istniejącymi wzorami, zawartymi m.in. w pracy pt. Poradnik hydrotechnika [7], powszechnie znanej na polskim rynku literatury fachowej. We wstępnej informacji zawartej w pracy [7] można przeczytać: Książka jest przeznaczona dla pracowników biur projektowych, pracowników naukowych z dziedziny hydrotechniki, oceanologii i okrętownictwa, studentów wyższych uczelni o tematyce morskiej. Niestety w odniesieniu do wyżej wspomnianych parametrów (η, h i p) praca [7] nie wnosi niczego nowego poza dezorientacją i wprowadzeniem czytelnika w błąd. Trudno jednak, aby za każdym razem inżynier-projektant musiał analizować każdy stosowany przez siebie wzór pod względem poprawności jego formalnego zapisu. Trudno także każdorazowo wymagać od inżyniera-projektanta oceny poprawności podanego mu wzoru pod względem merytorycznym. Tego rodzaju zadanie powinno być wykonane przez specjalistów danej dziedziny naukowej, a przedmiotowy wzór powinien być przedstawiony w bezbłędnej i jednocześnie jak najbardziej przystępnej formie na potrzeby praktycznych zastosowań inżyniersko-projektowych. Należy tylko żałować, że błędne postaci istotnych dla praktycznych zastosowań i obliczeń projektowo-inżynierskich wzory doczekały się korekty dopiero po dwóch dekadach od ich oficjalnej publikacji. ITERATURA 1. Goda Y.: The fourth order approximation to the pressure of standing waves. Coastal Engineering in Japan, Vol. 10, 1967, Hueckel S.: Budowle morskie, tom I. Wydawnictwo Morskie, Gdańsk. Magda W.: Fala stojąca Stokesa aproksymacja ciśnienia hydrodynamicznego czy 5 rzędu? Inżynieria Morska i Geotechnika, nr /01, Sobey R. J.: Analytical solutions for steep standing waves. Engineering and Computational Mechanics 16, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Issue EM, December 009, Maritime structures. Part1: Code of practice for general criteria. British Standard 69, Morskie budowle hydrotechniczne. Zalecenia do projektowania i wykonywania Z1 Z5. Zespół Roboczy Zasad Projektowania Budowli Morskich, wydanie IV, Fundacja Promocji Przemysłu Okrętowego i Gospodarki Morskiej, Gdańsk OCE1: Marine Structure Designs. ecture no. 17: Wave Forces on Walls. University of Rhode Island, Kingston, USA. 8. Poradnik hydrotechnika. Obciążenia budowli hydrotechnicznych wywołane przez środowisko morskie. Wydawnictwo Morskie Gdańsk, Recommendations of the Committee for Waterfront Structures, Harbours and Waterways (EAU 1996), 7th English Edition, English Translation of the 9th German Edition, Issued by the Committee for Waterfront Structures of the Society for Harbour Engineering and the German Society for Soil Mechanics and Foundation Engineering, ISBN , Ernst & Sohn, Berlin Shore Protection Manual, Coastal Engineering Research Center, Department of the Army, Waterways Experiment Station, Corps of Engineers, Vol. I i II, Vicksburg, Mississippi, USA, INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 6/01