Podstawy Automatyki. wykład 1 ( ) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Transkrypt

1 Podstawy Automatyki wykład 1 ( ) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1

2 Sprawy organizacyjne Książki: Marek Żelazny; Podstawy Automatyki; PWN Zaliczenie: 2x kolokwium egzamin (45%) Wykład: 2

3 Automatyka? dyscyplina naukowa zajmująca się teorią i praktyczną realizacją urządzeń sterujących procesami technologicznymi bez udziału człowieka teoria sterowania automatyzacja sterowanie procesami złożonymi pomiary automatyczne przetwarzanie i utrwalanie danych mechatronika 3

4 Proces technologiczny Sterowanie procesem sterowanie procesem oddziaływanie na strumień energii lub materiałów w taki sposób, aby zrealizowany został zamierzony przebieg procesu 4

5 Mechanizacja vs. Automatyzacja 5

6 Pojęcia podstawowe automatyki sygnał dowolna wielkość fizyczna występująca w procesie sterowania będąca funkcją czasu wykorzystywany do przekazywania informacji oznaczenia: WE x przykłady sygnałów elektryczne napięcie (U) prąd (I) częstotliwość (f) WY - y pneumatyka hydraulika mechaniczne przesunięcie ciśnienie (p) 6

7 Pojęcia podstawowe automatyki informacja dane zawarte w wartości lub kształcie sygnału element (człon) automatyki dowolny zespół, podzespół, przyrząd lub urządzenie występujące w układzie automatyki, w którym można wyróżnić sygnał wejściowy (WE / I) i wyjściowy (WY / O) 7

8 Pojęcia podstawowe automatyki układ automatyki zespół elementów stanowiących: obiekt sterowania, urządzenie sterujące zapewniające przebieg sterowanego procesu zgodnie z założonym algorytmem. 8

9 Rodzaje układów automatyki otwarty w sygnał wymuszenia z zakłócenia x sygnał sterujący y wielkość sterowana US urządzenie sterujące O obiekt sterowany przykład 9

10 Rodzaje układów automatyki zamknięty w sygnał wymuszenia z zakłócenia x sygnał sterujący y wielkość sterowana US urządzenie sterujące R - regulator O obiekt sterowany ε uchyb regulacji ε = x0 - y regulator układ mający za zadanie generowanie sygnału sterującego powodującego minimalizację ε 10

11 Rodzaje układów automatyki zamknięty 11

12 Klasyfikacja URA podział ze względu na zadanie układu stabilizujące (stałowartościowe) x0 = const. cel: utrzymanie stałej wartości wielkości regulowanej (y) programowe x0 = x0(t) 12

13 Klasyfikacja URA podział ze względu na zadanie układu nadążne x0 = x0(w) w wartość zmieniająca się w nieznany sposób (losowy) w czasie y u 45º po ło że ni e (w ) ε R 13

14 Klasyfikacja URA podział ze względu na zadanie układu sterowania optymalnego cel: maksymalizacja lub minimalizacja funkcji wielu zmiennych f (x1,..., xn) sens funkcji f: wydajność produkcji, zysk, koszt produkcji, zużycie paliwa 14

15 Klasyfikacja URA podział ze względu na zadanie układu sterowania sekwencyjnego cel: zapewnienie wykonania składowych operacji procesu technologicznego w określonej kolejności 15

16 Klasyfikacja URA podział ze względu na sposób działania elementów układu układy o działaniu ciągłym wszystkie elementy układu działają w sposób ciągły w czasie i poziomie => sygnały są funkcjami ciągłymi i mogą przybierać każdą wartość ze zbioru ich zmienności 16

17 Klasyfikacja URA podział ze względu na sposób działania elementów układu układy o działaniu dyskretnym co najmniej jeden element układu działa w sposób dyskretny => sygnał przyjmuje tylko wybrane wartości lub występuje tylko w niektórych chwilach czasu cyfrowe sygnał na wyjściu przyjmuje tylko kilka określonych wartości DO 0, 1 AO

18 Klasyfikacja URA podział ze względu na sposób działania elementów układu układy o działaniu dyskretnym impulsowe sygnał na wyjściu pojawia się w określonych chwilach czasu (impulsowania) nośnik informacji: wysokość (amplituda), szerokość, częstotliwość impulsów. 18

19 Klasyfikacja URA podział ze względu na liniowość elementów układu układy liniowe zawierają wyłącznie elementy o prostoliniowych charakterystykach statycznych opisywane za pomocą liniowych równań różniczkowych, różnicowych, całkowych lub algebraicznych układy nieliniowe układ zawierający co najmniej jeden element nieliniowy 19

20 Opis matematyczny układów dynamicznych ciągłych układ dynamiczny: dowolny układ fizyczny rozpatrywany z punktu widzenia jego zachowania się w czasie, opisywany przez rachunek różniczkowy => równania różniczkowe nazywane są równaniami dynamiki, charakterystyka czasowa - graficzna reprezentacja rozwiązania równania różniczkowego charakterystyka statyczna graficzna reprezentacja zależności y=f(x) w stanie ustalonym (t-> ) 20

21 Opis matematyczny układów dynamicznych ciągłych Model matematyczny ciągłego elementu lub układu składa się z: równania charakterystyki statycznej, równania różniczkowego lub operatorowego, które opisuje własności statyczne i dynamiczne w otoczeniu wybranego punktu pracy Jeśli charakterystyka statyczna jest: liniowa równanie różniczkowe lub operatorowe nieliniowa (krzywoliniowa) równanie różniczkowe i operatorowe linearyzacja 21

22 Linearyzacja statyczna Jeśli przesuniemy oś rzędnych do punktu x0, w badaniach ograniczymy sygnał wejściowy do wartości xmax=x1 to możemy układ traktować jako liniowy 22

23 Linearyzacja dynamiczna linearyzacja dynamiczna zastąpienie krzywoliniowego odcinka charakterystyki statycznej odcinkiem prostoliniowym, stycznym do rzeczywistej charakterystyki statycznej w wybranym punkcie 23

24 Linearyzacja dynamiczna Jeśli człon automatyki opisywany jest przez równanie różniczkowe nieliniowe postaci: f x, x,, x n, y, y,, y n =0 gdzie: x = i 1 dx dt x = i d x i=2,3,, n i dt to, o ile istnieją pochodne funkcji f dostatecznie wysokiego rzędu względem wszystkich argumentów, możemy dokonać linearyzacji równania (1) przez rozwinięcie w szereg Taylora w punkcie pracy (x0, y0) i odrzucenie składników nieliniowych. 24

25 Linearyzacja dynamiczna Rozwinięcie funkcji f w szereg Taylora ma postać: f x0, y0 x x0 x x n n n x 0 x 0 x 0 x 0 n + y y0 y n y + y 0 y 0 y f f x x0 2 2 x R x 0 x 0 reszta x część nieliniowa N - wartość pochodnej funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x 0 0, y0) 25

26 Linearyzacja dynamiczna Aby otrzymać równanie zlinearyzowane odrzucamy wszystkie składniki nieliniowe oraz część R. Charakterystykę statyczną otrzymamy z równania (1) po przyrównaniu wszystkich pochodnych do zera. f x 0, y 0 + n x x 0 x x n x x 0 x 0 x 0 x 0 y y 0 y n y n + y 0 y 0 y 0 2 f 2 f x x x R x 0 x 0 reszta część nieliniowa N 26

27 Linearyzacja dynamiczna 2 f 2 f n n 2 f x 0, y 0 x x 0 x n x y y 0 n y 2 2 x x x 2 R x 0 x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 x 0 N Niech x=x x 0 y= y y 0 to x = x y = y oraz przyjmując, że f x 0, y 0 =0 otrzymujemy zlinearyzowane równanie różniczkowe dla przyrostów Δx oraz Δy n n x x n x y n y =0 x 0 x 0 y 0 x 0 y 0 27

28 Linearyzacja dynamiczna Gdyby człon automatyki opisywało równanie nieliniowe pierwszego rzędu postaci f x, x, y, y =0 to zlinearyzowane równanie różniczkowe dla przyrostów Δx oraz Δy miało by postać x x y y =0 x 0 x 0 y 0 y 0 28

29 Przykład Wyznacz charakterystykę statyczną i zlinearyzowane równanie różniczkowe dla g y y = x h y funkcji: równanie to można przedstawić w postaci: f x, y, y = g y y x h y=0 uwzględniając ponadto cechę charakterystyki statycznej f x 0, y 0 =0 gdzie: x, y stałe 0 0 otrzymujemy: gdzie y0 g y 0 y 0 x0 h y 0=0 y 0=0 ostatecznie więc x0 h y 0=0 y0= x h x0 29

30 Przykład Linearyzacja przez fozwinięcie w szereg Taylora n n x x n x y n y =0 x 0 x 0 y 0 x 0 y 0 f x, y, y = g y y x h y=0 x y y =0 x 0 y 0 y 0 30

31 Przykład x y y =0 x 0 y 0 y 0 f x, y, y = g y y x h y=0 = 1 x 0 h y h = = y 0 y 0 2 y0 h y y 1 =h =h y y 2 y = g y 0 =g y 0 y 0 Równanie zlinearyzowane ma postać: x h 2 y0 y g y 0 y =0 Δx sygnał WE, Δy sygnał WY 31

32 Opis dynamiki układów automatyki Metody opisu dynamiki elementów liniowych można rozciągnąć na elementy linearyzowane, ale trzeba pamiętać o przyjętych ograniczeniach. Własności ciągłego liniowego elementu automatyki o parametrach stałych (stacjonarnego) można opisać za pomocą równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach, który ma postać: n m bi y i = a j x j i=0 j =0, m n 2 d j x x = j dt j Jeśli a j = f t i bi= f t to równanie (2) nazywanym niestacjonarnym (opisuje układ niestacjonarny). 32

33 Opis dynamiki układów automatyki n m bi y i = a j x j i=0 j =0, m n 2 Równanie charakterystyki statycznej: a0 y= x b0 W przypadku układu automatyki o wielu WE i WY ich model stanowi układ równań różniczkowych. 33

34 Ocena dynamiki układów automatyki By ocenić dynamikę układu automatyki wymagane jest rozwiązanie równania (układu równań) różniczkowego. Sposoby rozwiązania równania różniczkowego: podejście klasyczne stworzenie równania charakterystycznego y a y by=0 r 2 ar b=0 obliczenie pierwiastków =b2 4ac r1 = b 2a r 2= b 2a wyznaczenie stałych na podstawie warunków brzegowych metoda operatorowa 34

35 Metoda operatorowa pozwala zastąpić równanie różniczkowo-całkowe równaniem algebraicznym W celu przekształcenia wykorzystywane jest przekształcenie całkowe postaci: b X s = x t K t, s dt a które przyporządkowuje funkcji x(t) pewną funkcję X(s) przy założeniu, że całka jest zbieżna (ma granicę skończoną). Przekształcenie to można ogólnie zapisać w postaci: X s =T [ x t ] a jego odwrotność: x t =T 1 [ X s ] 35

36 Przekształcenie Fourier'a X j = x t e j t dt 0 odwrotne przekształcenie Fouriera + 1 j t x t = X j e d 2 - TF 3 TF transformata Fouriera ω częstość kołowa Ponieważ w (3) x(t) składa się z nieskończonej liczby nietłumionych drgań harmonicznych dlatego dla większości sygnałów (np. skok jednostkowy) całka nie jest zbieżna. 36

37 Przekształcenie Laplace'a t j t X s = x t e e 0 WT dt= x t e st 0 dt s= j O WT współczynnik tłumienia O oryginał s operator całkowy X s = L[ x t ] Przekształcenie Laplace'a istnieje dla funkcji czasu spełniających warunki: x(t)=0 dla t<0 x(t) jest funkcją ciągłą x(t) narasta szybciej niż WT 37

38 Odwrotne przekształcenie Laplace'a 1 x t = 2 j j X s e st ds dla t 0 j 1 x t = L [ X s ] 38

39 Zastosowanie rachunku operatorowego 39

40 Własności rachunku operatorowego twierdzenie o dodawaniu L[a1 x1 t a 2 x 2 t ]=a 1 L [ x 1 t ] a 2 L [ x 2 t ] twierdzenie o iloczynie stałej i funkcji L[a x t ]=a L[ x t ]=a X s twierdzenie o transformacie pochodnej + L [ x t ]=s X s x 0 x 0+ wartość początkowa funkcji x t w punkcie t=0 + prawostronna granica 40

41 Własności rachunku operatorowego twierdzenie o transformacie II pochodnej L [ x t ]=s X s sx 0 x 0 twierdzenie o transformacie n-tej pochodnej [ ] d n x t n n 1 + n 1 + L =s X s s x 0 x 0 n dt twierdzenie o transformacie całek [ t ] X s L x t dt = s 0 41

42 Własności rachunku operatorowego twierdzenie o transformacie całek ogólnie X s L. x t dt = n s [ ] n twierdzenie o przesunięciu rzeczywistym L[ x t ]=e s X s przesunięcie czasowe 42

43 Przykład Rozwiąż równanie postaci dy =5 e 2t dt o warunku początkowym y 0 =0 ponieważ L[ x t ]=s Y s y 0+ L[e at ]= więc 1 s a 1 s Y s y 0 =5 s [ Y s = 5 s s 2 ] 1 1 t = e 1 s s ponieważ L więc 5 y t = e 2t

44 KONIEC CDN... Pytania 44