Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Transkrypt

1 METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1

2 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 2

3 Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 3

4 Wartość funkcji Y 1 (αr) dąży do nieskończoności, gdy argument dąży do zera, a wartość wektorowego potencjału magnetycznego dla r dążących do zera musi mieć wartość skończoną, należy więc przyjąć C 4 (α) = 0 we wszystkich obszarach. 0 0 Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 4

5 Uwzględniając zachowanie funkcji eksponencjalnej przy dążeniu argumentu do nieskończoności, należy przyjąć za zerowe C 1 (α) w obszarze I i C 2 (α) w obszarze IV. Z równań (12-13): Otrzymujemy więc: w obszarze I: w obszarze II i III: w obszarze IV: wszędzie: A Z z =C 2.I e 1 z A Z z =C 1.II III e z 1 C 2.II III e 1 z A Z z =C 1.IV e 1 z A R r =C 3 J 1 r Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 5

6 (14) (15) (16) (17) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 6

7 Aby znaleźć niewiadome występujące w równaniach, konieczne jest określenie warunków brzegowych (ciągłości): 1) ciągłość wektorowego potencjału magnetycznego w całym obszarze, 2) skok składowej stycznej wektora natężenia pola magnetycznego na granicy między obszarami I i II o wartość okładu prądowego 3) oraz ciągłość składowej stycznej wektora natężenia pola magnetycznego na pozostałych granicach. Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 7

8 Warunki ciągłości wektorów D, E, B i H na granicy obszarów 1 i 2 ciągłość składowej stycznej natężenia pola elektrycznego E: n (E 1 E 2 ) = 0, skok normalnej wektora D o wartość gęstości powierzchniowej ładunku ρ s : n (D 1 D 2 ) = ρ s skok stycznej wektora H o wartość gęstości powierzchniowej prądu J s : n (H 1 H 2 ) = J s ciągłość składowej normalnej wektora indukcji magnetycznej B: n (B 1 B 2 ) = 0. n wektor normalny do granicy, skierowany od obszaru 2 do obszaru 1; Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 8

9 Pole magnetyczne wewnątrz i na zewnątrz przewodu Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 9

10 Pole magnetyczne wewnątrz i na zewnątrz przewodu Określenie warunków brzegowych nie jest wprawdzie trudne, jednak sprawia pewne kłopoty natury matematycznej, gdy rozpatruje się cewkę o nieskończenie cienkim przekroju. Formalnie wartość o jaką zmienia się składowa styczna wektora natężenia pola magnetycznego na powierzchni z = z0 oddzielającej dwa środowiska jest równa gęstości powierzchniowej prądu na tej powierzchni. Gdy założymy, że całkowity prąd I płynie w przewodzie o postaci cienkiej folii, o grubości dążącej do zera i szerokości Δr, gęstość powierzchniową prądu można będzie wyznaczyć dzieląc jego wartość przez szerokość folii: Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 10

11 Pole magnetyczne wewnątrz i na zewnątrz przewodu Zmiana składowej stycznej pola magnetycznego będzie równa dokładnie tej wartości. Można sprawdzić, że zależność ta jest słuszna dla dowolnej szerokości folii rysunek przedstawia obliczone metodą elementów skończonych wartości składowej Hr dla dwu różnych folii (Δr = 0,2 mm i Δr = 0,1 mm), przy założeniu, że w obu płynie prąd o jednakowej wartości I = 1A. Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 11

12 Pole magnetyczne wewnątrz i na zewnątrz przewodu Jeżeli jednak szerokość folii również będzie dążyć do nieskończenie małej wartości (Δr 0), to w wyrażeniu na gęstość powierzchniową prądu pojawi się dzielenie przez zero, zatem gęstość powierzchniowa prądu będzie dążyć do nieskończoności. Jednocześnie, w każdym innym punkcie przestrzeni wartość gęstości prądu będzie zerowa, zatem nigdzie indziej nie wystąpi skokowa zmiana pola magnetycznego. Wartość gęstości powierzchniowej prądu trzeba więc opisać funkcją, która dla określonej wysokości z 0, przyjmuje wartości zerowe dla każdego r z wyjątkiem jednego, gdzie ma wartość nieskończenie wielką. Równocześnie, całka z tej funkcji po promieniu r musi dać wartość prądu płynącego w cewce. Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 12

13 Pole magnetyczne wewnątrz i na zewnątrz przewodu Funkcją dokładnie spełniającą oba te warunki jest iloczyn prądu i delty Diraca: gdzie delta Diraca jest zdefiniowana w następujący sposób: a jej własności są określone równaniami: Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 13

14 Ponieważ wektorowy potencjał magnetyczny A ma tylko jedną składową zależną od r i z, to wektor natężenia pola magnetycznego będzie miał dwie składowe: Podstawiając do powyższego równania A φ oraz odpowiednie jego pochodne, otrzymuje się natężenie pola magnetycznego w żądanym obszarze. Dla obszaru II składowa promieniowa natężenia pola magnetycznego przyjmuje postać: Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 14

15 Dla obszaru II składowa promieniowa natężenia pola magnetycznego przyjmuje postać: Biorąc, dla cewki nad płytą, tylko składowe styczne na granicy między obszarami I a II otrzymujemy różnicę składowych pola jako całkę: Różnica ta musi być równa wartości gęstości prądu na granicy obszarów: Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 15

16 Do funkcji po prawej stronie: można zastosować przekształcenie Hankela wg schematu: i zapisać ją w postaci: Następnie, stosując przekształcenie odwrotne: można zapisać ją jako: Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 16

17 Przekształcenie Hankela zostało zastosowane aby wyrażenie δ(r r 0 ) przedstawić w takiej postaci, w jakiej występuje zmiana natężenia pola magnetycznego mianowicie jako całka (po α) liczona w granicach od zera do nieskończoności. Stosując przekształcenie proste i odwrotne, gęstość powierzchniową prądu można wyrazić równaniem: Możemy teraz porównać funkcje występujące po prawej stronie równańi wyznaczyć szukane parametry a i, b i. Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 17

18 Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 18

19 Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 19

20 Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 20

21 (18) (19) (20) (21) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 21

22 Parametry układu: przenikalność magnetyczna materiału płyty: μ r = 1, przewodność elektryczna materiału płyty: σ = 35 MS/m, amplituda prądu w zwoju wymuszającym pole: I m = 12 A, częstotliwość prądu w zwoju: promień zwoju: położenie zwoju na osi Z: grubość płyty: f = 10 khz, r 0 = 10 mm, z 0 = 8 mm, d = 3 mm. Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 22

23 Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 23

24 Na podstawie wektorowego potencjału magnetycznego można obliczyć wszystkie inne wielkości, np. gęstość prądu indukowanego w przewodzącej płycie (podobnie jak wektorowy potencjał magnetyczny, gęstość prądu ma tylko jedną składową): (22) Dla danych parametrów układu wynosi ona: (22.1) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 24

25 Moduł gęstości prądu J φ (A/mm 2 ) indukowanego w aluminiowej płycie przez nieskończenie cienki zwój kołowy, obliczony na podstawie równania μ r = 1, σ = 35 MS/m, I m = 12 A, f = 10 khz, r 0 = 10 mm, z 0 = 8 mm, d = 3 mm Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 25

26 Gęstość prądu indukowanego na dolnej powierzchni płyty zmienia się z częstotliwością. Rysunek przedstawia zależność modułu gęstości prądu od częstotliwości, dla różnych odległości r od osi 0Z. Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 26

27 Rysunek przedstawia zależność modułu gęstości prądu od częstotliwości, dla różnych odległości r od osi 0Z. Obliczenia wykonano dla płyty aluminiowej o grubości d = 10 mm, i wzbudzeniu prądem płynącym w zwoju o promieniu r 0 = 10 mm umieszczonym na wysokości z 0 = 8 mm nad płytą. Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 27

28 Rysunek przedstawia zależność modułu gęstości prądu od częstotliwości, dla różnych odległości r od osi 0Z. Obliczenia wykonano przy wzbudzeniu prądem płynącym w zwoju o promieniu r 0 = 10 mm umieszczonym na wysokości z 0 = 8 mm nad płytą. Kolejny rysunek przedstawia wyniki podobnych obliczeń dla płyty o grubości d = 20 mm. Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 28

29 Obliczenia gęstości prądu na dnie płyty wykonano przyjmując również inne grubości płyt d i różne promienie r 0 zwoju wzbudzającego pole. Rysunek przedstawia częstotliwości f MAX, dla których indukowane na dnie płyt gęstości prądów były największe. Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 29

30 Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u 0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której brzegiem jest zwój o promieniu r, umieszczony na wysokości z Przy założonej wcześniej sinusoidalnej zmienności w czasie prądu zasilającego wzbudnik, napięcie indukowane w cewce sygnałowej wyrazi się zależnością: a napięcie indukowane w cewce wielozwojowej będzie sumą napięć indukowanych w n zwojach: (23) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 30