Fale elektromagnetyczne

Transkrypt

1 Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 11 Fale elektromagnetyczne

2 Równania Maxwella H=J D t E= B t D= B=0 D= E J= E B= H Ruch ładunku jest źródłem pola magnetycznego Zmiana pola magnetycznego w czasie jest źródłem pola elektrycznego Źródłem pola elektrycznego jest ładunek. Nie ma ładunków magnetycznych. Aproksymacja reakcji materii na pole elektryczne (i magnetyczne). Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 2

3 Równanie falowe dla E H=J D t D= E J= E H= E E t E= B t Zastąp przez E zarówno J jak i D Rotacja stronami D= E J= E B= H B=0 D= Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 3

4 Równanie falowe dla E H=J D t D= E J= E H= E E t E= B t E= H t Podstaw w miejsce H E= E t 2 E t 2 Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 4

5 Równanie falowe dla H E= B t E= H t H=J D t D= E J= E Podstaw H w miejsce B Zastąp przez E zarówno J jak i D i wykonaj rotację stronami H= E E t Podstaw w miejsce E H= H t 2 H t 2 Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 5

6 Równanie falowe przekształcenia Dla każdego wektora: A= A 2 A We wsp. kartezjańskich H jest bezźródłowe 2 H x = H x t 2 H y = H y t 2 H z = H z t 2 H x t 2 2 H y t 2 2 H z t 2 H=0 H= H t 2 H t 2 2 H= H t 2 H t 2 Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 6

7 Ciąg dalszy A= A 2 A Zwkle: E= E= E t 2 E t 2 =0 2 E= E t 2 E t 2 2 E= E t 2 E t 2 Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 7

8 Pola harmoniczne E r, t =E r sin t = Im E r e j t =Im E r e j t H r, t = =Im H r e j t D r, B r, J r Zespolone równania Maxwella H=J D t E= B t D= B=0 D= E J= E B= H H=J j D E= j B D= B=0 D= E J= E B= H H= j E E= j H H= j E = j Chcemy symetrii Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 8

9 Co to jest przewodnik H= j E=J J J = =tan J tan tan(δ) > 100 PRZEWODNIK Ten sam materiał może się zachowywać jak przewodnik lub izolator! tan(δ) < 0.01 IZOLATOR f Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 9

10 Przykład: woda morska =4 S /m, =7 10 F /m tan tan(δ) < 0.01 IZOLATOR tan(δ) > 100 PRZEWODNIK f Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 10

11 Przenikalność zespolona = j D P Dla w.cz. dipole nie nadążaja za zmianami pola! D= j ' ' E = j ' ' J = ' ' E tan = ' ' tan ' ' tan(δ) < 0.01 DIELECTRIC ' ' f Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 11

12 Przypadki specjalne 2 H= H t 2 H t 2, 2 E= E t 2 E t 2 Przewodnik 1) Dominuje prąd przewodnictwa (własności materiału l/lub relatywnie niska częstotliwość 2) Nie uwzględniamy ładunków.. 1) Dominuje prąd przesunięcia. 2) Rozważamy pole w próżni (bez ładunków) Dielektryk 2 H= H t 2 E= E t To jest równanie dyfuzji, występujące także w opisie przewodzenia ciepła. 2 H= 2 H t 2 2 E= 2 E t 2 Klasyczne równanie falowe 1 1 = = m/s =c Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 12

13 Fala harmoniczna E r,t =E r sin t = Im E r e j t =Im E r e j t, H r, D r, B r, J r H= j E E= j H 2 H = j H 2 H 2 E= j E 2 E 2 H = 2 H, 2 E= 2 E Równanie Helmholtza 2 = j 2 = 2 = j 2 = j = j Solution 2 A= 2 A or 2 2 A=0 A r =C 1 e j r C 2 e j r Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 13

14 Harmoniczna fala płaska z y E x, t S x,t H x,t S= E H x H r,t =[0 0 H z x,t ], H =[0 0 H z x ] E r, t =[0 E y x,t 0 ], E=[0 E y x 0 ] 2 E y x 2 2 E y =0 E y x =E 1 e x E 2 e x 2 H z x 2 2 H z =0 Fala padająca Fala odbita H z x =H 1 e x H 2 e x Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 14

15 Harmoniczna fala płaska z y E x, t S x,t H x,t S= E H x Pola E i H niekoniecznie są w fazie (ale łatwiej je tak narysować ;-) = j 2 = j = 2 1 tan 1 = 2 1 tan 1 tan = E y x,t =E 1 e x sin t x e1 E 2 e x sin t x e2 H z x, t =H 1 e x sin t x h1 H 2 e x sin t x h2 Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 15

16 Rozchodzenie się fal E y x,t =E 1 e x sin t x e1 E 2 e x sin t x e2 t x e1 =const, t x e1 =const = x t = = T = f = T = 2 Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 16

17 Harm. Fala Płaska w dielektryku = j 2 = 2 = j E y x, t =E 1 sin t x e1 E 2 sin t x e2 = Z = E c H = j j = = = 1 Próżnia: 0 = , 0 = Z c 377 =c m/s f =300 MHz 1 m Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 17

18 Harm. Fala Płaska w przewodniku = j 2 j = 2 = = 2 = = 2 = 2 =2 f j 2 Z c = E H = j = e j /4 Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 18

19 Harm. Fala Płaska w przewodniku E y x,t =E 1 e x sin t x e1 e Pole (fala) jest błyskawicznie tłumione (mniej niż 2 na dług. fali) Głębokość wnikania: (amplituda maleje e-krotnie) d = 1 = 2 = 2 2 f = 2 Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 19

20 Głębokość wnikania Materiał d dla f=50 Hz (mm) d dla f=1ghz(μm) Stal (grube przybliżenia) Aluminium Miedź Złoto Srebro Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 20

21 Fala (hfp) na granicy materiałów E x,t Z c1 Z c2 S x,t H x,t E 1 =E 1p e 1 x E 1o e 1 x H 1 =H 1p e 1 x H 1o e 1 x E 1 / H 1 =Z c1 E 1p E 1o =E 2p H 1p H 1o =H 2p E 2 =E 2p e 2 x H 2 =H 2p e 2 x E 2 / H 2 =Z c2 E 1o =M E 1p E 2p =N E 1p H 1o = M H 1p H 2p =Z c1 / Z c2 N H 1p Wsp. odbicia Wsp. przejścia M = Z c2 Z c1 Z c2 Z c1 N = 2 Z c2 Z c2 Z c1 Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 21

22 Fala (hfp) na granicy przewodnika H x,t E x, t S x,t 0 E 2 =0 H 2 =0 E 1 =E 1p e 1 x E 1o e 1 x E 1p E 1o =E 2p H 1 =H 1p e 1 x H 1o e 1 x H 1p H 1o =H 2p Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 22

23 Fale poprzeczne Fala rozchodząca się bez tłumienia (α=0) w dodatnim kierunku osi OZ: E= E x x E y y E z z e j z = E t t E z z e j z H = H x x H y y H z z e j z = H t t H z z e j z E z =0 H z =0 E z =0, H z =0 Poprzeczna elektrycznie (Transverse Electric -TE) Poprzeczna magnetycznie (Transverse Magnetic - TM) Transverse ElectroMagnetic -TEM H z E z H z H E z z H E E Fala płaska jest falą TEM Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 23

24 Falowody Falowody to puste wewnątrz struktury (rury, kanały) służące do kierowania fal EM. Ich wewnętrzne ściany są pokryte dobrze przewodzącym materiałem (miedź, srebro, złoto). W rezultacie pole E jest w pobliżu ściany prostopadłe do niej, a H styczne można sobie wyobrażać falę jak zygzak odbijający się od ścian falowodu i podążający wzdłuż niego. W falowodzie zamkniętym nie jest możliwa propagacja fali TEM. Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 24

25 Rodzaje (mody pracy) Wyznaczenie rozkładu pola w falowodzie polega na rozwiązaniu r. Maxwella z odpowiednimi warunkami brzegowymi. Dla każdego falowodu otrzymamy w ten sposób szereg rozwiązań o częstotliwościach będących wielokrotnościami pewnej granicznej wartości, poniżej której propagacja nie jest możliwa. Ta graniczna częstotliwość określa podstawowy tryb (mod) pracy falowodu. Pole elektryczne dla modów TE10 (niebieski), TE20 (zielony) i TE30 (czerwony) w falowodzie prostokątnym. Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 25 Mod 31w falowodzie prostokątnym dla f=32 GHz. Pole elektryczne w kier x. Falowód jest rozcięty wzdluż, aby pokazać rozkład pola. Created using Matlab, OfficeXP, PhotoScape by formulae from C.A. Balanis:Advanced engineering electromagnetics (Willey, 1989) Public domain picture from wikipedia

26 Kabel koncentryczny Kabel koncentryczny to przewodzący rdzeń, osłonięty warstwą dielektryka, osłoniętego przewodzącym ekranem. Parametry charakterystyczne Zwykle wygodniej jest traktować kable jako obwody. Do tego celu potrzebujemy obwodowych parametrów kabla: pojemności i indukcyjności jednostkowej. Rezystancja wzdłużna i konduktancja poprzeczna są zwykle pomijalnie małe. W zakresie częstotliwości radiowych, aż do kilku GHz w kablu mamy do czynienia z falą TEM.. Powyżej częstotliwości odcięcia pojawiają się mody TE i TM nie opłaca się więc praca powyżej tej częstotliwości (z grubsza cz. odcięcia jest odwrotnie proporcjonalna do zewnętrznej średnicy kabla). C= 2 ln D/d L= ln D/d 2 Z 0= L C = R 0, G d średnica rdzenia D wewnętrzna średnica ekranu ln D/d 138 r log 10 D/ d Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 26

27 Linia długa Niektóre urządzenia elektryczne nie mogą być traktowane jak obwody, gdyż ich wymiary są porównywalne z długością fali. W wielu urządzeniach długość przewodów nie może być pomijana: napięcie nie może być uznane za identyczne we wszystkich punktach przewodu. Jeśli napięcie zmienia się w czasie, który jest porównywalny z czasem propagacji sygnału w przewodzie, to taki przewód należy traktować jako linię długą. Równania linii długiej w obecnej postaci opublikował Oliver Heaviside w 1885, lecz już w 1855 Lord Kelvin sformułował model natężenia prądu w kablu podmorskim w postaci równania dyfuzji, co pozwoliło przewidzieć słabą efektywność transatlantyckiego telegrafu budowanego w 1858 roku U x = R j L I x x I x x Parametry charakterystyczne = G j C U x R 0 G = R j L G j C, = j LC 2 U x 2 LC U x =0 x 2 2 I x 2 L C I x =0 x 2 Z 0= R j L G j C, Z 0= L C x Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 27

28 Rozw. Równań linii długiej 2 U x = 2 U x x 2 2 I x = 2 I x x 2 U x =U + e x U - e x I x = U + e x U - e x Z 0 = R j L G j C, = j L C Z 0= R j L G j C, Z 0= L C u x, t = 2U + e x sin t x + 2U - e x sin t x - i x, t = 2 V + e x sin t x + 2 V - e x sin t x - Z 0 Z 0 Jeśli na początku linii napięcie i prąd to: U x=0 =U 1, I x=0 =I 1 U 1 =U + U - Z 0 I 1 =U + U - U + = U 1 Z 0 I 1 2, U - = U 1 Z 0 I 1 2 Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 28

29 Rozw. Równań linii długiej (kontynuacja) U x =U + e x U - e x I x = U + e x U - e x Z 0 U + = U 1 Z 0 I 1 2, U - = U 1 Z 0 I 1 2 = R j L G j C, = j L C Z 0= R j L G j C, Z 0= L C U x = U 1 Z 0 I 1 2 e x U 1 Z 0 I 1 2 e x e x e x e x e x =U 1 Z 2 0 I 1 2 I x = U 1 Z 0 I 1 e x U 1 Z 0 I 1 e x = U 1 e x e x e x e x I 2 Z 0 2 Z 0 Z U x =U 1 cosh x Z 0 I 1 sinh x I x = U 1 Z 0 sinh x I 1 cosh x Napięcie i prąd w odległości x od początku linii można wyrazić przez napięcie i prąd na początku. Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 29

30 Rozw. Równań linii długiej U x =U 1 cosh x Z 0 I 1 sinh x I x = U 1 Z 0 sinh x I 1 cosh x I 1 I x I 2 (kontynuacja) Napięcie i prąd w odległości x od początku linii można wyrazić przez napięcie i prąd na początku. U 1 U x U 2 x l z U z =U 2 cosh z Z 0 I 2 sinh z I z = U 2 Z 0 sinh z I 2 cosh x Napięcie i prąd w odległości x od końca linii można wyrazić przez napięcie i prąd na końcu linii. Podstawiając x=l w pierwszym zestawie lub z=l w drugim, otrzymamy relację U,I na końcach linii. Podstawy elektromagnetyzmu, wykład 11, slajd 30