Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Transkrypt

1 Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach, które można dobrze (z dowolną dokładnością) przybliżyć np. pewnym ułamkiem w rozwinięciu dziesiętnym. Chociażby: π = możemy przybliżać kolejno przez 3, 3.1, 3.14, 3.141, , itd. Intuicja, aby skojarzyć z daną liczbą rzeczywistą ciąg liczb wymiernych do niej zbieżny generalnie jest słuszna, trzeba nią jednak posłużyć się rozważnie. Istnieje wiele ciągów liczb wymiernych zbieżnych do danej liczby rzeczywistej (kłopot z jednacznością) oraz nie jest trywialną sprawą określić liczbę rzeczywistą przez ciąg liczb wymiernych do niej zbieżny nie mając jednak jeszcze do dyspozycji samych liczb rzeczywistych (ciąg liczb wymiernych zbieżny do... No właśnie, czego?). W tej sprawie przychodzą nam w sukurs... Ciągi Cauchy ego i pewna relacja Z ciągami zbieżnymi silnie związane są ciągi Cauchy ego. Dla skupienie uwagi przywołajmy ich definicję. Definicja.1 Ciąg (x n ) n N nazywamy ciągiem Cauchy ego, jeśli: ( ϵ > 0)( N N)( m, n > N)( x n x m < ϵ) 1

2 Definicję tę jednak trzeba odrobinę stuningować, aby odpowiadała naszym potrzebom, tj. wyrugować z niej liczby rzeczywiste. Mamy więc następującą: Definicja. Ciąg (x n ) n N nazywamy ciągiem Cauchy ego, jeśli: ( ω > 0, ω Q)( N N)( m, n > N)( x n x m < ω) Ba! Możemy nawet zamienić ( ω > 0, ω Q)... na ( k N...) i zażądać x n x m < 1 k+1. Fakt.1 Powyższe definicje są równoważne. Dowód. ćw. Bycie ciągiem Cauchy ego ujmuje właśnie tę cechę, którą chcemy wyrazić, tzn. dla dostatecznie odległych wyrazów ciąg ten kumuluje się w pewnym małym otoczeniu. Dla ciągów zbieżnych jest to faktycznie otoczenie granicy ciągu, jednak żyjąc w liczbach wymiernych takiej granicy dla ciągu Cauchy ego może nie być. Chcemy zatem uzupełnić zbiór liczb wymiernych o te brakujące granice. W tym celu oznaczmy przez C zbiór ciągów Cauchy ego o wyrazach wymiernych oraz zdefiniujmy relację nad C: (x n ) (y n ) lim n (x n y n ) = 0 Słownie: dwa ciągi Cauchy ego liczb wymiernych są w relacji, jeśli od pewnego momentu są blisko siebie. Jak istotna jest to dla nas relacja, pokazuje następujące twierdzenie. Twierdzenie.1 jest relacją równoważności. Dowód. Trzeba sprawdzić, czy relacja ta jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Niech (p n ), (q n ) oraz (r n ) będą ciągami z C. Zwrotność: Oczywista, ponieważ lim n (p n p n ) = 0. Symetryczność:

3 Oczywista z własności modułu liczby wymiernej ( p n q n = q n p n ). Przechodniość: Trochę mniej oczywista. Niech (p n ) (q n ) oraz (q n ) (r n ). Ustalmy dowolne k N. Wtedy istnieje N 1 N, że dla każdego n > N 1 p n q n < 1 oraz (k+1) istnieje N N, że dla każdego n > N q n r n < 1. Wtedy też dla (k+1) n > max{n 1, N } mamy: p n r n = p n q n +q n r n p n q n + q n r n < 1 (k + 1) + 1 (k + 1) = 1 k + 1, co z dowolności k oznacza, że lim n (p n r n ) = 0, a zatem (p n ) (r n ). Jest zatem relacją równoważności i mamy rozbicie C na rozłączne klasy abstrakcji. Jeśli dwa ciągi są w danej klasie, to znaczy, że od odpowiednio dalekiego miejsca różnią się dowolnie mało. Wobec tego... (uwaga, uwaga!) Definicja.3 Zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy C/, tzn. liczbami rzeczywistymi są klasy abstrakcji ciągów Cauchy ego o wyrazach wymiernych. 3 Liczby rzeczywiste Możemy zatem się już cieszyć liczbami rzeczywistymi... Czy aby na pewno? Na pierwszy rzut oka nie przypomina to, wydawać by się mogło, starych i dobrze znanych liczb rzeczywistych. Pokażemy jednak, że rzeczywiście klasy abstrakcji ciągów Cauchy ego liczb wymiernych to liczby rzeczywiste. A uczynimy to przez sprawdzenie, że spełniają wszystkie wymagane aksjomaty. Na początek możemy zlokalizować, jak w tym zbiorze zlokalizować liczby wymierne. Definicja 3.1 Liczbą wymierną w C/ nazywamy [(q, q,...)] dla q Q. Następnie zobaczmy jak wygląda dodawanie i mnożenie w C/. Definicja 3. Niech x, y C/ oraz x = [(p n )] i y = [(q n )] dla pewnych ciągów (p n ), (q n ) C. Wtedy: 3

4 1. x + y = [(p n + q n )]. x y = [(p n q n )] Definiując działania angażujące klasy abstrakcji musimy sprawdzić, czy są one dobrze określone, tzn. czy przypadkiem wybór innych reprezentantów z klasy nie spowoduje otrzymania innego wyniku dodawania lub mnożenia. Dowiedziemy następujący... Fakt 3.1 Dodawanie i mnożenie w C/ są dobrze określone. Dowód. Niech (p n) (p n ) i (q n) (q n ). Pokażemy najpierw, że [(p n +q n )] = [p n + q n]. Mamy: (p n + q n ) (p n + q n) = (p n p n) + (q n q n) n 0, Z równoważności odpowiednio ciągów (p n ) i (p n) oraz (q n ) i (q n). Dla mnożenia wygląda to następująco: p n q n p nq n = p n (q n q n) + q n(p n p n) n 0, Mając podstawowe działania łatwo pokazać, korzystając głównie z arytmetyki granic, że faktycznie C/ spełnia pozostałe aksjomaty tych działań dotyczące, jak przemienność, łączność, rozdzielność, i istnienie 0. Nieco więcej uwagi wymaga... Twierdzenie 3.1 Dla każdej liczby rzeczywistej x 0 istnieje liczba rzeczywista y taka, że xy = 1. Dowód. x = [(p n )] dla pewnego (p n ) / [(0, 0,...)]. Zauważmy, że... Lemat 3.1 Jeśli C (p n ) / [(0, 0,...)], to (p n ) ma wyrazy od pewnego miejsca oddalone od 0 o pewną dodatnią stałą. Dowód. (p n ) / [(0, 0,...)] oznacza, że (p n ) nie jest zbieżny do 0. Stąd istnieje k N, że dla każdego n N istnieje n 0 > n, że: p n0 1 k

5 (p n ) jest ciągiem Cauchy ego, zatem istnieje N N takie, że dla m, n > N: Dla N istnieje n 0 > N, że: Ponadto: p n p m < 1 (k + 1). p n0 1 k + 1. p n0 p n0 p n + p n i ponieważ n 0 > N, to dla n > N mamy: p n p n0 p n0 p n 1 k (k + 1) = 1 (k + 1). Wobec powyższego lematu istnieje M Q i N N takie, że dla n > N 1 1 p n > M > 0. Weźmy zatem ciąg (q n ) = (1, 1,..., 1, }{{} p N+1, p N+,...) i połóżmy N razy y = [(q n )]. Wtedy xy jest klasą abstrakcji ciągu od pewnego momentu stale równego 1, a więc xy = 1. Dowód jest prawie skończony, trzeba jeszcze tylko udowodnić legalność [(q n )], tzn., że (q n ) jest ciągiem Cauchy ego o wyrazach wymiernych. Lemat 3. Dla każdego ciągu (p n ) C nierównoważnego ciągowi (0, 0,...) ciąg (1/p n ) również należy do C. Dowód. ćw. Możemy teraz powiedzieć co nieco o porządku w C/. Definicja 3.3 Niech x = [(p n )] dla pewnego (p n ) C. Mówimy, że x > 0, jeśli x 0 i (p n ) ma od pewnego miejsca wyrazy dodatnie. Mówimy, że x > y, jeśli x y > 0. Naturalnie i tym razem powinniśmy sprawdzić, że powyższe definicje są dobrze określone. Argumentacja przebiega podobnie do tego, co działo się w Lemacie 3.1. Należałoby też sprawdzić, że > jest rzeczywiście (ostrym) porządkiem. Zostawimy to jako ćwiczenia. 5

6 Twierdzenie 3. Dla liczb rzeczywistych x, y, z, jeśli x > y, to x+z > y+z. Dowód. Niech x = [(p n )], y = [(q n )] oraz z = [(r n )]. x y > 0, zatem ciąg (p n q n ) ma od pewnego miejsca wyrazy większe od 0. Tym samym taką własność ma ciąg ((p n + r n ) (q n + r n )) i nadal nie jest to ciąg równoważny ciągowi stale równemu 0. Stąd x + z > y + z. Nieomal identycznie dowodzi się, że... Twierdzenie 3.3 Dla liczb rzeczywistych x, y i z, jeśli x > y i z > 0, to xz > yz. Zachodzi również... Twierdzenie 3.4 (Prawo trychotomii) Dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y zachodzi dokładnie jedno z: x > y, x = y, y > x. Dowód. Załóżmy, że x y. Niech x = [(p n )] i y = [(q n )]. Wtedy (p n q n ) jest ciągiem Cauchy ego nierównoważnym ciągowi stale równemu 0. Na mocy Lematu 3.1 ciąg ten jest oddzielony od 0 dodatnią stałą, a ponieważ jest Cauchy ego, to nie zmienia znaku. Wobec tego x y > 0 lub x y < 0. Pokażemy także, że zbiór Q (dobrze rozumiany) jest gęsty w C/, tzn. Twierdzenie 3.5 Niech x i y będą liczbami rzeczywistymi. Jeśli x > y, to istnieje q Q, że x > q > y. Dowód. Niech x = [(p n )] i y = [(q n )]. x > y, więc x y > 0, a stąd istnieje M > 0 (wymierne) i N 1 N, że p n q n > M dla n > N 1 (Lemat 3.1). Ponadto, ponieważ q n jest Cauchy ego, to dla M istnieje N, że dla n, m > N mamy q n q m < M. Ustalmy N > N 1, N. Wtedy dla n > N 1, N : p n > M + q N, ponieważ: p n q N = p n q n + q n q N > M, co daje p n > M + q N. Ponadto M + q N > q n, bo M > q n q N. Zatem ostatecznie: p n > M + q N > q n 6

7 i M + q N x, y. To daje nam tezę twierdzenia. Przyda nam się również... Twierdzenie 3.6 (Zasada Archimedesa dla C/ ) Niech 0 < x < y będą liczbami rzeczywistymi. Wtedy istnieje N N, że Nx > y. Dowód. Z gęstości Q w C/ istnieje q Q, że 0 < q < x. To oznacza, że również q < y. Niech y = [(p n )]. Z definicji istnieje n 0 N, że dla n > n 0 p n q > 0. Ponadto... Lemat 3.3 Ciągi Cauchy ego są ograniczone. Dowód. Niech (x n ) będzie ciągiem Cauchy ego. Ustalmy ϵ = 1. Istnieje N N, że dla n, m > N x n x m < 1. Niech M = max{ x 0, x 1,..., x N+1 }. Wtedy jeśli n < N + 1, to x n M, a jeśli n N + 1, to: x n x n x N+1 x N+1 M + 1. Zatem (p n ) jest ograniczony, powiedzmy że przez M. Wtedy z zasady Archimedesa dla liczb wymiernych istnieje N N, że Nq > M. Dla wszystkich n > n 0 mamy Nq > M p n, więc Nq > y, a zatem również Nx > y. Będąc wyekwipowani w porządek możemy zdefiniować dla liczb rzeczywistych moduł tak samo, jak dla liczb wymiernych, tzn. Definicja 3.4 Niech x będzie liczbą rzeczywistą. Wtedy x = x, gdy x 0 i x = x, gdy x < 0. x nazywamy modułem liczby x. Wraz z modułem dostajemy wszystkiego jego normalne własności, w tym np. nierówność trójkąta (proste ćwiczenie). Za dobrze określonym modułem liczby rzeczywsitej przychodzi również dobrze określona zbieżność ciągów liczb rzeczywistych oraz własność Cauchy ego. W ten sposób zbliżamy się do ostatniej własności zbioru liczb rzeczywistych, którą chcemy udowodnić. Mianowicie... Twierdzenie 3.7 C/ spełnia aksjomat ciągłości Dedekinda, tzn. dla każdego ograniczonego z góry niepustego zbioru A C/ mamy sup A C/. 7

8 Dowód. Określmy dwa ciągi liczb wymiernych: (l n ) oraz (u n ). u 0 = p Q, p > M, l 0 = q dla pewnego q < a dla dowolnego a A. Dla n > 0 niech: u n+1 = u n + l n, jeśli u n+l n jest ograniczeniem górnym A, w przeciwnym razie u n+1 = u n ; l n+1 = u n + l n, jeśli u n+l n nie jest ograniczeniem górnym A, w przeciwnym razie l n+1 = l n. Pokażemy, że te ciągi są ciągami Cauchy ego. Ujmiemy to ogólnie w... Lemat 3.4 Jeśli ciąg (x n ) jest niemalejący i ograniczony z góry, to jest ciągiem Cauchy ego. Dowód. Niech M będzie jego ograniczeniem z góry i przypuśćmy, że nie jest Cauchy ego. Wtedy istnieje ϵ > 0, że dla każdego n N istnieją n 0, m 0 > n, że: x n0 x m0 > ϵ. Z zasady Archimedesa istnieje N N, że Nϵ > M x 0. Dla n = 0 istnieją n 0, m 0 > 0, n 0 > m 0, że x n0 x m0 > ϵ, skąd x n0 x 0 > ϵ Dla n = n 0 istnieją n 1, m 1 > n 0, n 1 > m 1, że x n1 x m1 > ϵ, skąd x n1 x 0 > ϵ.. Iterując tak N-razy otrzymujemy x nn x 0 > Nϵ > M x 0, czyli x nn > M. Sprzeczność dowodzi tezy. Ciąg (l n ) jest ograniczony z góry i niemalejący, więc z marszu jest on Cauchy ego. (u n ) jest nierosnący i ograniczony z dołu, więc ( u n ) jest niemalejący i ograniczony z góry, więc jest Cauchy ego, a stąd również (u n ) jest Cauchy ego. Ponadto ciągi te są równoważne. Mamy: lub u n l n = u n 1 + l n 1 l n 1 = 1 (u n 1 l n 1 ) u n l n = u n 1 u n 1 + l n 1 = 1 (u n 1 l n 1 ), co w obu przypadkach daje to samo. Proste rozumowanie indukcyjne pokazuje, że: u n l n = n (u 0 l 0 ), 8

9 co oczywiście jest zbieżne do 0. Udowodnimy, że u = [(u n )] = sup A. Przypuśćmy najpierw, że istnieje a A, że a > u. Z gęstości Q wynika, że istnieje w Q, że a > w > u. To oznacza, że istnieje N N, że dla n > N w > u n i także a > u n, co jest sprzeczne z określeniem (u n ). Stąd u jest ograniczeniem górnym A. To może u nie jest najmniejszym ograniczeniem? Tu posłużymy się z kolei ciągiem (l n ). Przypuśćmy, że istnieje M- ograniczenie górne A takie, że M < u. Wtedy z kolei istnieje liczba wymierna w taka, że M < w < u. Wtedy też dla prawie wszystkich n N w < l n i także M < l n, co jest sprzeczne z określeniem (l n ). Stąd ostatecznie u jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru A i zbiór C/ spełnia aksjomat ciągłości Dedekinda. To w zasadzie kończy konstrukcję liczb rzeczywistych. Teraz z czystym sumieniem możemy napisać, że R = C/ i wiemy, że liczby rzeczywiste rzeczywiście istnieją, a nie funkcjonują li tylko jako aksjomatyczna struktura. 9