Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

Transkrypt

1 Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: jest równa 8. a = m + n + p, b = m n p, c = m + n 3p 3. Wykazać, że jeśli a b+b c+c a = 0 to wektory a, b, c są komplanarne.. Dany jest czworościan o wierzchołkach w punktach A(3,, ), B(,, ), C(,, 7) i D(3,, 9). Obliczyć jego objętość oraz wysokość poprowadzoną z wierzchołka D. 5. Objętość czworościanu ABCD o trzech danych wierzchołkach A(, 0, ), B(3,, ), C(,, 3) jest równa 5. Znaleźć współrzędne czwartego wierzchołka D wiedząc, że leży on na osi Oy. 6. Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkt A(7, 9) i stycznego do osi Ox w punkcie B(, 0). 7. Napisać równanie okręgu o środku leżącym na prostej 3x + y = 0 i przechodzącego przez punkty A( 3, ), B(, 3). 8. Wyznaczyć równanie okręgu przechodzącego przez trzy punkty A(, ), B( 5, 5), C(, 5). 9. Znaleźć warunek na a, b, c, aby równanie x +y +ax+by +c = 0 określało okrąg. 0. Dana jest elipsa 5x + 9y = 5. Wiedząc, że punkt A(, 5 ) leży na 3 elipsie wyznaczyć równania prostych przechodzących przez punkt A i przez ogniska tej elipsy.. W elipsę x + 9y = 36 wpisano sześciokąt o równych bokach, którego dwa wierzchołki leżą w końcach osi wielkiej. Znaleźć współrzędne pozostałych wierzchołków.

2 . Napisać równanie hiperboli ogniskach położonych na osi Ox, mając dane równanie asymptot y = ± 5 x i odległość między ogniskami c = Napisać równania stycznych do hiperboli x y = 36 prostopadłych do prostej x + 5y + = 0.. Napisać równania stycznych do hiperboli x y = 36 równoległych do prostej 3x y 7 = Znaleźć warunek konieczny i wystarczający, na to aby prosta o równaniu Ax + By + C = 0 była styczna do hiperboli b x a y = a b. 6. Napisać równanie paraboli o wierzchołku w początku układu i ognisku w punkcie F (, 0). 7. Napisać równanie paraboli o wierzchołku w początku układu, symetrycznej względem osi 0y i przechodzącej przez punkt A(, ). 8. Na paraboli y = x dany jest punkt odległy od ogniska o. Znaleźć odległość tego punktu od wierzchołka paraboli. 9. Znaleźć warunek, przy którym prosta y = mx+b jest styczna do paraboli y = px. 0. Z punktu A(0, 3) poprowadzić styczne do paraboli y = 36x.. Napisać równanie prostej stycznej do paraboli x = 6y i prostopadłej do prostej x + y 6 = 0.. Napisać równanie prostej stycznej do paraboli y = 8x i równoległej do prostej x + y 5 = Jaką krzywą przedstawiają równania: (a) x + y + x + 6y = 0, (b) x 3y + x 6y 8 = 0, (c) x + y x + 8y = 0, (d) y x + 6y = 0, (e) x + y x + 8y + 9 = 0, (f) x + y 6x + y + 5 = 0, (g) x xy = 0.

3 . Zbadać jakie krzywe przedstawiają równania: (a) 8x xy + 7y + 6x y + 3 = 0, (b) 7x 8xy 7y + 3x 8y + 7 = 0, (c) x + 3xy y + 5x + 0y = 0, (d) 6x 6xy + 9y x + 8y + = 0, (e) 5x xy + 5y x + 0y + 0 = Znaleźć miejsce geometryczne środków kół przechodzących przez punkt (3, 5) i stycznych do osi Ox. 6. Znaleźć miejsce geometryczne punktów, dla których stosunek odległości od punktów (, 0) i (, 0) jest równy. 7. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(,, ) i równoległej do dwóch wektorów a = [, 3, ] i b = [3,, 5]. 8. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(,, 3) i B(3,, ) i równoległej do wektora a = [ 3,, ]. 9. Dla jakich wartości parametrów m i k płaszczyzny: są równoległe? x 3y + 6kz 8 = 0, mx + y 3z = Dla jakiej wartości parametru m płaszczyzny: są wzajemnie prostopadłe? 7x y z = 0, mx + y 3z = 0 3. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do płaszczyzn: x y + 5z 7 = 0, x + y = z + 8 = Na osi Oy znaleźć punkt równo oddalony od płaszczyzny 3x+6y z 9=0 i od punktu M(, 0, ). 33. Wykazać, że jeżeli płaszczyzna odcina na osiach układu współrzędnych odcinki odowiednio równe a, b, c to odległość p początku układu współrzędnych od tej płaszczyzny spełnia zależność: a + b + c = p 3

4 3. Dana jest prosta 6x + y z 9 = 0, 3x + y + z = 0. Zapisać jej równanie w postaci kanonicznej. 35. Dla jakiej wartości parametru D prosta: przecina oś Ox. x + y z + = 0, x y + z + D = Znaleźć punkty przecięcia prostej: x = y + = z 5 z płaszczyznami układu współrzędnych. 37. Napisać równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i przez punkt przecięcia prostych: l : x = y + = z 3, l : x + = y + = z Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(, 3, 0) względem prostej: x = y = z Znaleźć rzut punktu A(,, ) na prostą x + = y + 8 = z. 0. Wykazać, że proste x = + t, y = t, z = t, x = + 8s, y = 6 + s, z = + s przecinają się i znaleźć równania dwusiecznych kątów utworzonych przez te proste.

5 . Znaleźć odległość punktu A(,, ) od prostej x = y + = z 8.. Znaleźć odległość między prostymi skośnymi: l : x 9 = y + 3 = z, l : x = y = z. 3. Znaleźć równania prostej przechodzącej przez punkt A(,, ) i przecinającej dwie proste: l : x = y + 3 = z, l : x = y = z 3.. Dla jakiej wartości parametru B prosta: x + By z + 3 = 0, x y + z = 0 jest równoległa do płaszczyzny x + y + z = Znaleźć rzut punktu A(0,, ) na płaszczyznę x y + z = Znaleźć punkt symetrycznie położony do A(, 0, ) względem płaszczyny x + y z + = Znaleźć odległość między prostymi l i l : l : x + = y = z +, l : x + 5 = y 5 3 = z Znaleźć rzut prostej na płaszczyznę π : x + y + z = 0. l : x = y = z + 9. Dane są dwie proste skośne: l : x = y = z, l : x = y = z. 5

6 Znaleźć rzut prostej l na płaszczyznę π poprowadzoną przez prostą l i równoległą do l. 50. Znaleźć środek i promień sfery o równaniu: x + y + z + x y + 6z = Znaleźć równanie sfery o promieniu r = 3 stycznej do płaszczyzny w punkcie P ( 3,, ). x + y + z + 3 = 0 5. Wyznaczyć środek i promień okręgu powstałego z przecięcia sfery płaszczyzną x 3y + 6z 30 = 0. (x ) + (y 5) + (z + ) = Znaleźć równanie sfery przechodzącej przez okrąg: x + y + z = 9, x + y + z = i przez początek układu współrzędnych. 5. Znaleźć równanie sfery o środku leżącym na prostej: 5x + y + z = 0 x + y z 7 = 0 i stycznej do płaszczyzn x + y z = 0, x + y z + = Dla jakiej wartości parametru m płaszczyzna x y z + m = 0 jest styczna do elipsoidy: x + y 36 + z 9 =? 56. Napisać równanie powierzchni powstałej z obrotu elipsy: y + z =, b c x = 0 6

7 dookoła osi Oy. 57. Wyznaczyć półosie elipsy powstałej z przekroju elipsoidy: płaszczyzną z = 0. x + y + z 6 = 58. Wyznaczyć półosie i wierzchołki hiperboli powstałej z przekroju hiperboloidy jednopowłokowej: płaszczyzną y = 0. x 3 + y z 8 = 59. Znaleźć proste przechodzące przez punkt (6,, 8) i leżące całkowicie na hiperboloidzie jednopowłokowej: x 9 + y z 6 =. 60. Dla jakiej wartości parametru m płaszczyzna x y z + m = 0 jest styczna do paraboloidy eliptycznej: x 9 + z = y. Znaleźć współrzędne punktu styczności. 6. Napisać równanie walca, którego tworzące przecinają krzywą x + y = 9, i są równoległe do wektora p = [, 3, ]. z = 6. Znaleźć równanie walca obrotowego, którego osią jest dwusieczna kąta yoz, a promień równa się. 63. Napisać równanie stożka o wierzchołku w początku układu współrzędnych, którego tworzące przecinają krzywą: x z + = 0, y z + = 0. 7

8 6. Znaleźć równanie stożka powstałego przez obrót prostej: dookoła osi Oz. x mz b = 0, y = Znaleźć równanie stożka o wierzchołku S(8, 0, 0) opisanego na sferze o środku P (0,, ) i promieniu r = Znaleźć kąt między tworzącą a osią stożka obrotowego x + y z 3 = 0. 8