Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci

Transkrypt

1 Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Twierdzenie o redukcji: Każdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym punkcie i pary o momencie równym momentowi układu względem punktu. Dane: Długości wektorów: P A = 5 P B = 0 P C = 8 P D = Punkty zaczepienia wektorów: A ( 5,0;,0; 0,0 ); B ( 4,0; 3,0; 0,0 ) C (,0;,7; 0,0 ); D (,8;,3; 0,0 ) Kąt nachylenia wektora P C do osi x α = 56,5 Współrzędne dowolnie przyjętego punktu K ( 3,0;,0; 0,0 ) Y B 3 PD K C α D PA A PC X Rys. Dany układ wektorów na płaszczyźnie x y. bliczenie współrzędnych wektorów P A, P B, P C, P D P A = ( a x, a y, a z ) = ( 5,0; 0,0; 0,0 ) P B = ( b x, b y, b z ) = ( 0,0; 0,0; 0,0 ) P C = ( c x, c y, c z ) gdzie: c x = P C cos α = 8 cos 56,5 = 0,0 c y = P C cos(90 α) = 8 sin 56,5 = 4,97 c z = 0,0 P C = ( 0,0; 4,97; 0,0 ) P D = ( 0,0;,0; 0,0 ) Uwaga: działania na wektorach przeprowadzamy w tabelach i tak np. zapis wektora P C = ( 0,0; 4,97; 0,0 ) zastępujemy zapisem wektora w tabeli: P C 0,0 4,97 0,0 /6

2 . Redukcja danego układu wektorów w punkcie.. bliczenie sumy S układu wektorów S = P A + P B + P C + P D P A -5,0 0,0 0,0 P B 0,0-0,0 0,0 P C 0,0-4,97 0,0 P D 0,0,0 0,0 S -5,0 -,97 0,0.. bliczenie momentu M układu wektorów względem punktu ( 0, 0, 0 ) M = M ) + M ) + M ) + M ) = P A xa + P B xb + P C xc + xd ( P A ( P B ( P C ( P D P D P A -5,0 0,0 0,0 A -5,0 -,0 0,0 P A xa 0,0 0,0 5 P B 0,0-0,0 0,0 B -4,0-3,0 0,0 P B xb 0,0 0,0-40,0 P C 0,0-4,97 0,0 C -,0 -,7 0,0 P C xc 0,0 0,0-3,97 P D 0,0,0 0,0 D -,8 -,3 0,0 P D xd 0,0 0,0 33,6 M 0,0 0,0-3,37 Dany układ wektorów redukuje się w punkcie do sumy S = ( -5,0; -,97; 0,0 ) o początku w punkcie i pary o momencie M = ( 0,0; 0,0; -3,37 ) równym momentowi układu względem punktu. /6

3 3. Redukcja danego układu wektorów w punkcie K 3. bliczenie momentu M K układu wektorów względem punktu K ( 3,, 0 ) M = M ) + M ) + M ) + M ) = P A xak + P B xbk + P CK + xdk K K ( P A K ( P B K ( P C K ( P D C x P D P A -5,0 0,0 0,0 AK xak P A -,0,0 0,0 0,0 0,0-5 P C CK P C xck 0,0-4,97 0,0,0 0,3 0,0 0,0 0,0 3,94 0,0-0,0 0,0 P D 0,0,0 0,0 BK -,0 -,0 0,0 DK 0, 0,7 0,0 xbk P B 0,0 0,0-0,0 P D xdk 0,0 0,0 -,4 M K 0,0 0,0 5, bliczenie momentu M K układu wektorów względem punktu K ( 3,, 0 ) korzystając z twierdzenia o zmianie bieguna M K = M + S x K M 0,0 0,0-3,37 S -5,0 -,97 0,0 K 3 0 S xk 0,0 0,0 8,9 M K 0,0 0,0 5,54 Dany układ wektorów redukuje się w punkcie K do sumy S = ( -5,0; -,97; 0,0 ) o początku w punkcie K i pary o momencie M K = ( 0,0; 0,0; 5,54 ) równym momentowi układu względem punktu K. 4. bliczenie parametru k układu wektorów k = M S = M K S = 0 3/6

4 5. Redukcja do najprostszej postaci redukcja do wypadkowej 5.. Wyznaczenie parametrycznego równania osi środkowej płaskiego układu wektorów Parametryczne równanie osi środkowej: r (r x, r ) = y SxM S + S t = * + S t S -5,0 -,97 0,0 M SxM 0,0 0,0-3,37 303,09-6,85 0,0 Y,569,8 X S = 5,0 +,97 = 93, S - -0,604 * * = SxM S,569-0,604 0,0 - W r x =,569-5,00 t r = -0,604 -,97 t y -3 dla t = 0,0 * (,569; -0,604; 0,0 ) Po wyrugowaniu t otrzymujemy równanie osi środkowej: r y =,594 r x 4, ,674 oś środkowa y =,594x - 4,674 Rys.. Graficzne przedstawienie osi środkowej na płaszczyźnie x y 5.. bliczenie momentu M * układu wektorów względem punktu * (,569; -0,604; 0,0 ) leżącego na osi środkowej korzystając z twierdzenia o zmianie bieguna M * = M + S x * M 0,0 0,0-3,37 S -5,0 -,97 0,0 *,569-0,604 0,0 S x * 0,0 0,0 3,37 M * 0,0 0,0 0,0 ś środkowa układu wektorów na płaszczyźnie jest to prosta o tej własności, że moment układu wektorów względem dowolnego jej punktu jest równy zeru. Dany płaski układ wektorów redukuje się do wypadkowej W = ( -5,0; -,97; 0,0 ) 4/6

5 5.3. Wyznaczenie osi środkowej (prostej działania wypadkowej) z warunku równoważności dwóch układów wektorów Dwa układy wektorów nazywamy równoważnymi, jeżeli mają równe sumy i równe momenty liczone względem każdego punktu. Układ wektorów I Suma danego układu wektorów jest różna od zera Układ wektorów II Wektor wypadkowej W S = P A + P B + P C + P D 0 Moment układu wektorów wzgl. np. punktu M = M ( P A, P B, P C, P D ) = Moment wektora wypadkowej wzgl. punktu M = M ( W) = W xr 0 P A xa + P B xb + P C xc + P D xd 0 Układ wektorów I jest równoważny układowi wektorów II, a zatem S = W M ( P A, P B, P C, P D ) = M ( W) bieramy dowolny punkt R leżący na osi środkowej R ( x, y, 0 ) bliczamy moment wektora wypadkowej M ( W) względem punktu : M ( W) = W -5,0 -,97 0,0 R x y 0,0 W xr 0,0 0,0 5,0 y,97 x M ( P A, P B, P C, P D ) 0,0 0,0-3,37 Porównując odpowiednie współrzędne M ( P A, P B, P C, P D ) i M ( W ) otrzymujemy równanie osi środkowej ( prostej działania wypadkowej ): 5,0 y,97 x = 3,37 y =,594 x 4, /6

6 6. Metoda graficzna - redukcja do najprostszej postaci danego płaskiego układu wektorów - graficzne wyznaczenie wektora wypadkowej [ m ] 3 Y dany wektor na płaszczyźnie linie konstrukcyjne wektor przesunięty po kierunku jego działania B wektor wypadkowej oś środkowa y =,594x - 4,674 skala sił 0 KN C PD D PC PA PA A PD PA + PA + + PD PA + + PD W PA [ m ] X W = PA + + PD + PC PC Rys.3. Graficzne wyznaczenie wektora wypadkowej danego układu wektorów na płaszczyźnie x y 6/6