Modele wzrostu populacji w czasie dyskretnym
|
|
|
- Wiktor Janicki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Temat wykładu: Modele wzrostu populacji w czasie dyskretym Kody kolorów: Ŝółty owe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa kometarz * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 1
2 Zagadieia 1) Idea modelu matematyczego 2) Przykłady: a) ciąg Fiboacciego b) model podstawowy c) model Lesliego Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 2
3 Model matematyczy Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 3
4 Model matematyczy Model matematyczy zjawiska przyrodiczego to teoretyczy opis tego zjawiska. Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 4
5 Model matematyczy Model matematyczy zjawiska przyrodiczego to teoretyczy opis tego zjawiska. Opis te wykoay jest za pomocą arzędzi matematyczych: rówań, układów rówań, macierzy, fukcji, pochodych, całek, rówań róŝiczkowych, itd. Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 5
6 Model matematyczy Model matematyczy zjawiska przyrodiczego przedstawia opis uproszczoy zjawiska rzeczywistego. Uproszeie ie powio być admiere. Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 6
7 Model matematyczy Model matematyczy moŝa zastosować do: przedstawieia istoty zjawiska z pomiięciem elemetów przypadkowych (przedstawieia mechaizów, prawidłowości) progozowaia (p. przewidywaia zmia w czasie) projektowaia (badaia skutków ewetualych zmia) Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 7
8 Przykład ciąg Fiboacciego Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 8
9 Ciąg Fiboacciego Ciąg Fiboacciego historyczy model wzrostu populacji z czasem dyskretym. Fiboacci (Leoard z Pizy) przedstawił ok r. problem opisujący liczebość populacji królików. Kometarz Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 9
10 Kometarz czas dyskrety Obserwacja wielkości populacji astępuje w ustaloych mometach czasu p. po kolejych cyklach rozwojowych. umer obserwacji wielkość populacji = 1 = 2 = 3... a 1 a 2 a 3... Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 10
11 Kometarz wielkość populacji Wielkość populacji moŝe być wyraŝoa przez: liczebość (liczbę osobików) zagęszczeie (liczebość a jedostkę powierzchi lub objętości) Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 11
12 Króliki Fiboacciego reguły Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 12
13 Króliki Fiboacciego reguły 1. Izolujemy parę owoarodzoych królików samca i samicę. 2. Zapewiamy im pokarm i przestrzeń. 3. Para osiąga dojrzałość po upływie jedego cyklu; w kolejym wydaje potomstwo samca i samicę. 4. śade osobik ie giie. 5. Koleja para (i kaŝda astępa) takŝe podlega regułom Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 13
14 Króliki Fiboacciego reguły cd. Ile par królików wyhodujemy po 12 cyklach (po k cyklach)? Rysuek a tablicy Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 14
15 Wzór rekurecyjy: Ciąg Fiboacciego a a a a 1 = 1, a 2 = 1, a 3 = a 2 + a 1 = 2, a 4 = a 3 + a 2 = 3, a 5 = a 4 + a 3 = 5, a 6 = a 5 + a 4 = 8, a 7 = a 6 + a 5 = 13,... itd. Kostrukcja a tablicy 1 2 = = 1 1 = a Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 15 + a
16 Ciąg Fiboacciego a Wzór ogóly: ( ) 1 5 ( ) + = Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 16
17 Ciąg Fiboacciego a Wzór ogóly: ( ) 1 5 ( ) + = Dla = 12 ( ) ( 1 5 ) 12 + a = = Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 17
18 Ciąg Fiboacciego a Wzór ogóly: ( ) 1 5 ( ) + = Dla = 12 ( ) ( 1 5 ) 12 + a = = Dla = 13 a 13 = 233 Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 18
19 Graica ciągu Fiboacciego lima = + Iterpretacja Liczebość populacji rośie do ieskończoości. Kometarz Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 19
20 Model podstawowy rozwoju populacji Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 20
21 Model podstawowy reguły Model opisuje rozwój jedej populacji (p. jede gatuek) w pewym stałym środowisku (stałe zasoby, waruki). W modelu tym ie uwzględiamy struktury wieku, płci, imigracji, emigracji. Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 21
22 Model podstawowy reguły 1. W jedym cyklu obserwacji osobiki rozmaŝają się tylko jede raz. 2. W jedym cyklu obserwacji liczba potomków przypadających średio a jedego osobika (per capita) wyosi r, r 0 (r współczyik reprodukcji). 3. Udział procetowy osobików, które przeŝyły do astępego cyklu wyosi s, s ( 0 ; 1 (s współczyik przeŝywalości). Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 22
23 Model podstawowy reguły Uwaga. Dla uproszczeia przyjmujemy, Ŝe współczyiki r, s są stałe (ie zaleŝą od wieku osobików, ai od zagęszczeia). Ozaczeia: Zagęszczeie osobików w kolejych latach ozaczamy 1, 2, 3,... Uzasadieie wzoru a +1 a tablicy Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 23
24 Model podstawowy rówaie Zagęszczeie osobików w (+1)-szym roku wyosi +1 = s ( 1+ r ) Kometarz Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 24
25 Uwaga o wzorach a ciągi Wzór rekurecyjy a (+1)-szy wyraz ciągu geometryczego o ilorazie q: +1 = q Wzór ogóly a -ty wyraz ciągu geometryczego o ilorazie q: = 1 q -1 Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 25
26 Model podstawowy rówaie Był wzór rekurecyjy a (+1)-szy wyraz ciągu geometryczego o ilorazie q = s ( 1+ r ): +1 = s ( 1+ r ) Wzór ogóly tego ciągu: = 1 [ s ( 1+ r )] -1 Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 26
27 Graica ciągu geometryczego Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 27
28 Tw. o graicy ciągu geometryczego Dla ciągu geometryczego (a ), gdzie a = q -1, zachodzi: limq 1 = + 1, 0, ie, gdy gdy gdy istieje, gdy q q q q > 1 = 1 ( 1; 1 ) 1 Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 28
29 Model podstawowy cd. Jeśli zagęszczeie osobików w (+1)-szym cyklu wyosi = 1 [ s (1+ r)] -1 1 > 0, s > 0, r 0, to +, [ ( )] lim1 s 1+ r = 1, 0, gdys (1 + r) > 1 gdys (1 + r) = gdys (1 + r) 1 ( 0 ; 1 ) Kometarz Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 29
30 Model Lesliego reguły Model ze strukturą wieku Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 30
31 Model Lesliego reguły Model ze strukturą wieku 1. W populacji wydziela się k grup wiekowych (lub stadiów rozwojowych) Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 31
32 Model Lesliego grupy wiekowe Nr grupy i : k-1 k W kolejych grupach coraz starsze osobiki: w grupie 1. owoarodzoe w grupie 2. trochę starsze, po jedym cyklu rozwojowym w grupie 3. po dwóch cyklach rozwojowych itd. w grupie k-tej ajstarsze Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 32
33 Model Lesliego reguły 2. Grupę wiekową o umerze i, i = 1,..., k, charakteryzują: a) liczba potomstwa od jedego osobika m i, m i 0 b) procet osobików s i, które rozwijają się w trakcie cyklu, a w kolejym przechodzą do starszej grupy wiekowej; s i opisuje przeŝywalość w i-tej grupie s 0 ; 1 i Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 33
34 Model Lesliego charakterystyka grup m i opisuje rozrodczość w i-tej grupie s i opisuje przeŝywalość w i-tej grupie Nr grupy i m i s i 1 m 1 s 1 2 m 2 s 2 3 m 3 s 3 : : : k-1 m k-1 s k-1 k m k 0 W kolejych grupach przeŝywalość i rozrodczość mogą być róŝe. Wszystkie osobiki, które zalazły się w ajstarszej, k-tej grupie, po kolejym cyklu rozwojowym gią, stąd s k =0. Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 34
35 Model Lesliego ozaczeia Ozaczeia 0, i liczebość obserwowaa w chwili początkowej = 0 w i tej grupie wiekowej, i = 1, 2,..., k Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 35
36 Model Lesliego ozaczeia dla = 0 Nr grupy i m i s i Liczebość 0,i 1 m 1 s 1 0,1 2 m 2 s 2 0,2 3 m 3 s 3 0,3 : : : : k-1 m k-1 s k-1 0,k-1 k m k 0 0,k Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 36
37 Model Lesliego ozaczeia Ozaczeia 1,i liczebość obserwowaa po pierwszym cyklu, tj. w chwili = 1, w i -tej grupie wiekowej, i = 1, 2,..., k Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 37
38 Model Lesliego ozaczeia dla = 1 Nr gr. i m i s i Liczebość 0,i 1,i 1 m 1 s 1 0,1 1,1 2 m 2 s 2 0,2 1,2 3 m 3 s 3 0,3 1,3 : : : : : k-1 m k-1 s k-1 0,k-1 1,k-1 k m k 0 0,k 1,k Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 38
39 Model Lesliego liczebości dla = 1 Objaśieie wzorów Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 39
40 Model Lesliego liczebości dla = 1 Osobiki, które w chwili =1 zaliczoo do grupy i=1 (ajmłodszej) urodziły się w pierwszym cyklu; mogą być potomstwem osobików z kaŝdej grupy wiekowej w poprzediej chwili =0. 1,1 = m 1 0,1 + m 2 0, m k 0,k potomstwo osobików, które w poprzediej chwili (=0) były w grupie i=1 potomstwo osobików, które w poprzediej chwili (=0) były w grupie i=2 potomstwo osobików, które w poprzediej chwili (=0) były w grupie i=k Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 40
41 Model Lesliego liczebości dla = 1 Osobiki, które w chwili =1 zaliczoo do starszej grupy wiekowej (i=2), we wcześiejszej chwili (=0) juŝ były w populacji w grupie młodszej (i=1) i przeŝyły do astępej chwili (=1). 1,2 = s 1 0,1 osobiki, które w poprzediej chwili (=0) były w grupie i=1 i przeŝyły do astępej chwili Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 41
42 Model Lesliego liczebości dla = 1 Osobiki, które w chwili =1 zaliczoo do starszej grupy wiekowej (i=3), we wcześiejszej chwili (=0) juŝ były w populacji w grupie młodszej (i=2) i przeŝyły do astępej chwili (=1). 1,3 = s 2 0,2 osobiki, które w poprzediej chwili (=0) były w grupie i=2 i przeŝyły do astępej chwili Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 42
43 Model Lesliego liczebości dla = 1 Osobiki, które w chwili =1 zaliczoo do ajstarszej grupy wiekowej (i=k), we wcześiejszej chwili (=0) juŝ były w populacji w grupie młodszej (i=k-1) i przeŝyły do astępej chwili (=1). 1,k = s k-1 0,k-1 osobiki, które w poprzediej chwili (=0) były w grupie i=k-1 i przeŝyły do astępej chwili Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 43
44 Model Lesliego liczebości dla = 1 Zapis Liczebości w grupach wiekowych po upływie pierwszego cyklu (chwila =1):... = k 1, 1 i = 1 1, 2 = s1 1, 3 = s2 m i 0, 0, 1 2 0, 1, k = sk 1 0, k 1 i Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 44
45 Model Lesliego ozaczeia,i liczebość obserwowaa po tym cyklu, tj. w chwili, w i tej grupie wiekowej, i = 0, 1,..., k +1,i liczebość obserwowaa po (+1)-szym cyklu, tj. w chwili +1, w i tej grupie wiekowej, i = 0, 1,..., k Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 45
46 Model Lesliego liczebości dla +1 Nr gr. i m i s i Liczebość 0,i 1,i...,i +1,i 1 m 1 s 1 0,1 1,1...,1 +1,1 2 m 2 s 2 0,2 1,2...,2 +1,2 3 m 3 s 3 0,3 1,3...,3 +1,3 : : : : : : : k-1 m k-1 s k-1 0,k-1 1,k-1...,k-1 +1,k-1 k m k 0 0,k 1,k...,k +1,k Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 46
47 Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW Model Lesliego liczebości dla +1 Liczebości w grupach wiekowych po upływie (+1)-go cyklu: = + = k i i i m 1, 1, 1 1, 1 2, 1 s = + 2, 2 3, 1 s = + 1, 1, 1 + = k k k s
48 Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW Model Lesliego zapis macierzowy Otrzymae wyraŝeia a liczebości moŝa potraktować jak układ rówań liiowych i zapisać w postaci macierzowej: = k k k k s s s m m m m,,3,2, , 1,3 1,2 1, M M M M M K K K M
49 Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW Model Lesliego zapis macierzowy = k k k k s s s m m m m,,3,2, , 1,3 1,2 1, M M M M M K K K M M - macierz Lesliego wektor liczebości w chwili +1, oz.: + 1 wektor liczebości w chwili, oz.:
50 Model Lesliego zapis macierzowy Wzór rekurecyjy: +1 = M (1) moŝa zapisać w postaci ogólej: = M 0 (2) Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 50
51 Zapis: Model Lesliego ozaczeia +1 = [ +1, 1, +1, 2,..., +1, k ] T przedstawia wektor liczebości populacji w momecie (+1)-szym, a zapis: = [, 1,, 2,...,, k ] T wektor liczebości populacji w momecie -tym = 0, 1, 2,... Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 51
52 Model Lesliego ozaczeia We wzorze (2): M iloczy macierzy: MM...M czyików Kometarz o stabilej i cykliczej strukturze wieku. Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 52
53 Model Lesliego - przykład Wzrost populacji rośliy dwuletiej o cyklu Ŝyciowym opisaym astępująco: w pierwszym roku z asio wyrastają części wegetatywe (przeŝywalość do astępego roku wyosi s 0 ; 1 w drugim roku powstają orgay geeratywe i rozsiewae są asioa (z kaŝdej rośliy mateczej powstaje m 0 rośli potomych) po wydaiu asio roślia obumiera; asioa zimują i w kolejym roku powstają części wegetatywe Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 53
54 Model Lesliego - przykład Postać macierzy Lesliego w modelu: M = 0 s m 0 Przez idukcję dowodzi się, Ŝe: M 2 ( ms) = 0 0 ( ms) oraz M 2+ 1 m 0 = + 1 s m s. Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 54
55 Model Lesliego - przykład Po wykoaiu moŝeia macierzy mamy liczebości: = M 0, 2 ( ms) , = M = 0,2 0, 1s oraz 0, 1 ( ms) 2 2 0, 1 2 = M 0 = M = 0, 2 0, 2 m Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 55
56 Model Lesliego - przykład Według przyjętego modelu, sta populacji po wielu cyklach przedstawiają graice: 0, 0, gdy gdy 0 < ms ms < 1 ( populacja wymiera), > 1 ( populacjarozrastasię ieograiczeie) Gdy ms=1, oba ciągi są stałe. Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 56
57 Model Lesliego - przykład Przyjmując wartości: m=2 (z kaŝdej rośliy dojrzałej powstają dwie owe rośliy potome, s=1/2 (p-stwo przeŝycia rośliy potomej i wejście w fazę dojrzałą), w kolejych cyklach obserwacji mamy: 0,1 2 0,2 0,1 2 0,2 0 =, 1 =, 2 =, 3 =,K 0,2 0,5 0,1 0,2 0,5 0,1 czyli cyklicze zmiay struktury wieku (oscylacje). Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 57
Ciąg liczbowy. Granica ciągu
Temat wykładu: Ciąg liczbowy. Graica ciągu Kody kolorów: Ŝółty owe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa kometarz * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 1 Zagadieia 1. Przykłady
Model Lesliego. Oznaczmy: 0 m i liczba potomstwa pojawiającego się co jednostkę czasu u osobnika z i-tej grupy wiekowej, i = 1,...
Model Lesliego Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Wyodrębiamy w populaci k grup wiekowych. Po każde edostce czasu astępuą arodziy i zgoy oraz starzeie (przechodzeie do astępe grupy wiekowe). Chcemy
Statystyczny opis danych - parametry
Statystyczy opis daych - parametry Ozaczeia żółty owe pojęcie czerwoy, podkreśleie uwaga * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW Zagadieia. Idea
2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
WYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU
WYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU POPULACJI MODELE Z CZASEM DYSKRETNYM DR WIOLETA DROBIK- CZWARNO MODELE ZMIAN ZAGĘSZCZENIA POPULACJI Wyróżniamy modele: z czasem dyskretnym wykorzystujemy równania różnicowe z
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
MODELE ROZWOJU POPULACJI Z UWZGLĘDNIENIEM WIEKU
MODELE ROZWOJU POPULACJI Z UWZGLĘDNIENIEM WIEKU Dr Wioleta Drobik-Czwarno CIĄG FIBONACCIEGO Schemat: http://blogiceo.nq.pl/matematycznyblog/2013/02/06/kroliki-fibonacciego/ JAK MOŻEMY ULEPSZYĆ DOTYCHCZASOWE
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Ciągi liczbowe 1.1. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowola fukcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym (ciąg skończoy), albo wszystkim (ciąg ieskończoy) liczbom aturalym.
ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
MACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Temat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia
P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
![P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny](/thumbs/96/126808149.jpg "P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny")
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
I kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Chemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
ź Ł Ą ź ż ź ż ż ć ż ć ź ć Ą ć Ź ć Ą ż Ś Ą ż ź ń ź Ź ż Ą ż ć ć ż ń ż Ś ż ż ż ć ń ż ż Ź ń Ś ć ć ź Ą ż ć ń ż ż ż Ź ń ć Ę ż ż ń Ź ż ż ć ż ć ć ż ń Ś ć Ć ć ń ć ć ż ć ń ż Ś ż Ó ń Ś Ś Óż Ą Ą Ą ń ż Ń Ń Ł ż Ś Ą
Ó ć ć Ł ć ć Ó ć ć ć ć ć Ć ć ź ć ć ć ź ć ć Ó Ó ć Ó Ó Ą Ó Ź Ó Ł Ó Ó Ó Ź Ó Ó ć Ć ć Ó Ł ć ć ć Ć ć ć Ó Ó ć ć Ó Ć ć ć Ą ć Ó Ć Ó ć ć Ć Ć Ó Ź ć Ó Ą ć ć ć ź ć Ś ć ź Ć ć ć Ć Ź ĄĄ Ą Ó Ć ć Ć Ć Ć ć Ć Ć Ć Ą ĄĄ ź Ą Ś
Parametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
WYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU POPULACJI
WYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU POPULACJI MODELE Z CZASEM DYSKRETNYM BUDOWA MODELU MATEMATYCZNEGO DR WIOLETA DROBIK- CZWARNO STAN POPULACJI Stan populacji wyrażany jako liczebność lub zagęszczenie wszystkich
Ciąg geometryczny i jego własności
Ciąg geometryczy Def: Ciągiem geometryczym (a) azywamy ciąg liczbowy co ajmiej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje z pomożeia wyrazu poprzediego przez stałą liczbę q, zwaą
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.
Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca
3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Wprowadzenie. metody elementów skończonych
Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów
zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Tw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Modele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Ciągi liczbowe z komputerem
S t r o a 1 dr Aa Rybak Istytut Iformatyki Uiwersytet w Białymstoku Ciągi liczbowe z komputerem Wprowadzeie W artykule zostaie zaprezetoway sposób wykorzystaia arkusza kalkulacyjego do badaia własości
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
METODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
Tematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa
Tematy zadań razy przykładowe zadaia maturale Matura podstawowa Porówaj liczby: 54 + 5 oraz 4 W klasie jest 9 ucziów o średiej wieku 6 lat Średia wieku wzrośie o rok, jeżeli doliczy się wiek wychowawcy
Wykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne
Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy
Konspekt lekcji biologii w gimnazjum klasa I
mgr Piotr Oleksiak Gimnazjum nr.2 wopatowie. Temat. Cechy populacji biologicznej. Konspekt lekcji biologii w gimnazjum klasa I Zakres treści: Populacja cechy charakterystyczne: liczebność, zagęszczenie,
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Procent składany wiadomości podstawowe
Procet składay wiadomości podstawowe Barbara Domysławska I Liceum Ogólokształcące w Olecku Procet prosty to rodzaj oprocetowaia polegający a tym, że odsetki doliczae do złożoego wkładu ie podlegają dalszemu
Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Modele i arzędzia optymalizacji w systemach iformatyczych zarządzaia Prof. dr hab. iż. Joaa Józefowska Istytut Iformatyki Orgaizacja zajęć 8 godzi wykładów prof. dr hab. iż. J. Józefowska www.cs.put.poza.pl/jjozefowska
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych
8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.
Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Zmiany Q wynikające z przyrostu zlewni
uch wody w korytach rzeczych Klasyfikacja ruchu. uch ieustaloy zmiey przepływ Q a długości rzeki i w czasie: ruch fal wezbraiowych ruch wody a długim odciku rzeki Q fala wezbraiowa obserwowaa w przekroju
Przykładowe pytania na egzamin dyplomowy dla kierunku Automatyka i Robotyka
Przykładowe pytaia a egzami dyplomowy dla kieruku Automatyka i obotyka Aktualizacja: 13.12.2016 r. Przedmiot: Matematyka 1 (Algebra liiowa) 1. Wiemy że struktura (Gh) jest grupą z elemetem eutralym e.
( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)
Szybka trasformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Trasform) Pla wykładu: 1 Trasformacja Fouriera, iloczy skalary 2 DFT - dyskreta trasformacja Fouriera 3 FFT szybka trasformacja Fouriera a) algorytm PFA b)
Asymptoty funkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej
Temat wykładu: Asymptoty unkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Asymptoty unkcji Zagadnienia 2. Pochodna
Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
Metody numeryczne Laboratorium 5 Info
Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych
f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Genetyka populacji. Analiza Trwałości Populacji
Genetyka populacji Analiza Trwałości Populacji Analiza Trwałości Populacji Ocena Środowiska i Trwałości Populacji- PHVA to wielostronne opracowanie przygotowywane na ogół podczas tworzenia planu ochrony
I. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...
III. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Szanowni koledzy! Jak pewnie wi kszo ci z Pa stwa wiadomo, postanowili my układa zadania na kolejne
Szaowi koledzy! Jak pewie wi kszo ci z Pa stwa wiadomo, postaowili my układa zadaia a koleje wiczeia, które wiczeiowcy mog a swoich zaj ciach wykorzysta a w ka dym razie s zobowi zai rozprowadzi w ród
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)