Ciąg geometryczny i jego własności

Transkrypt

1 Ciąg geometryczy Def: Ciągiem geometryczym (a) azywamy ciąg liczbowy co ajmiej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje z pomożeia wyrazu poprzediego przez stałą liczbę q, zwaą ilorazem ciągu geometryczego. Przykład. Wyzacz wyraz a ciągu geometryczego o wyrazie pierwszym a i ilorazie q. Rozwiązaie: Z defiicji ciągu geometryczego mamy: Przykład 2. Szarańcza rozmażała się w takich warukach, że z potomstwa jedej pary średio pięć par żyło aż do wieku rozmażaia. Oblicz, ile par owadów było średio w pierwszym, drugim, trzecim, czwartym, piątym, szóstym pokoleiu potomstwa jedej pary owadów Przykład. Było pięciu braci bardzo łakomych. Matka ich upiekła placek. ajstarszy i wziął połowę, astępie przyszedł drugi i wziął połowę tego, wziął połowę tego, co zostawił drugi, a czwarty połowę tego, co zostawił przyszedł ajmłodszy i pomyślał :,,Ci starsi zjedli prawie wszystko, ale połowę, a resztą iech się podzieli mama z ojcem". Jaka część placka każdego z rodziców? Zalazł go co zostało, trzeci trzeci. Wreszcie wezmę tylko została dla Ćw.. Dae są początkowe wyrazy pewego ciągu geometryczego (a). Ustal jego iloraz q i podaj dwa astępe wyrazy, gdy: a) 4, -8, 6,..., b) 4, 0, 0,..., c) 0, 0, 0,... Ćw.2. Oblicz wyrazy: a, a0, a20, a ieskończoego ciągu geometryczego (a), w którym: Ćw.. z6

2 Ciąg geometryczy Wyzacz iloraz q ciągu geometryczego, gdy: Ćw.4. Wyzacz iloraz q ciągu geometryczego o wyrazie ogólym: Ćw.5. Ćw.6. Sprawdź, czy liczby 4, 64, 024 są trzema kolejymi wyrazami ciągu geometryczego. Ćw.7. Ćw.8. Sprawdź, czy dae liczby są trzema kolejymi wyrazami tego samego ciągu geometryczego: a)-, 5, 5 b) 2, 64, 024, c)240 5, 600, 00 5, d)6-2 5, 6-8 5, Ćw.9. Między liczby l i 27 wstaw takie dwie liczby, by łączie z daymi tworzyły ciąg geometryczy. Ćw.0. Między liczby 00 i 0,00 wstaw takie cztery ie, by łączie z daymi tworzyły ciąg geometryczy. 2z6

3 Ciąg geometryczy Ćw.. Podaj sześć początkowych wyrazów ciągu geometryczego (a ), aszkicuj wykres y = a dla {l, 2,,4, 5, 6}. Określ mootoiczość ciągu, gdy: Ćw.2. Podaj sześć początkowych wyrazów ciągu geometryczego (a ), sporządź wykres y = a {l, 2,,4, 5, 6}.Określ mootoiczość ciągu, gdy: a) q = l, a = -2, b) q = l, a =2. Ćw.. Zbadaj mootoiczość ciągu geometryczego określoego wzorem ogólym: a) a =2, b) b, c) c 2 Ćw.4. Dae są trzy początkowe wyrazy ciągu geometryczego. Określ jego mootoiczość. Ćw.5. Oblicz pięć początkowych wyrazów ciągu geometryczego (a ) o ilorazie q, w którym: Ćw.6. Oblicz: a) wyraz siódmy i wyraz czterasty ciągu geometryczego o początkowych wyrazach: 2, 6, 2,..., b) wyrazy dziesiąty i dwudziesty ciągu geometryczego (a ), gdy 64 6 z 6

4 Ciąg geometryczy Suma początkowych wyrazów ciągu geometryczego 4z6

5 Ciąg geometryczy Ćw.7. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometryczego (a ), w którym: a) a 2, a2= b) a,a2=l. Ćw.8. Wykaż, że w ciągu geometryczym (a ) o wyrazach różych od 0, prawdziwa jest rówość S S a a q Ćw.9. Kwotę 4 75 zł rozdziel a pewą liczbę agród, których wartości tworzą malejący ciąg geometryczy (a,..., a ), w którym a = l 600 i a = 675. Ćw.20. Według zaej legedy, wyalazca szachów a pytaie swojego władcy, jaką agrodę pragie otrzymać, odpowiedział: - Na pierwszym polu szachowicy połóż, Paie, jedo ziaro pszeicy, a drugim - dwa ziara, a trzecim - cztery ziara, a czwartym - osiem ziare i tak dalej. a) Ile ziare pszeicy zażądał wyalazca szachów? b) Zakładając, że osiem ziare pszeicy zajmuje objętość jedego cetymetra sześcieego, oszacuj liczbę kilometrów sześcieych, 0 jaką zajęłyby ziara, których zażądał wyalazca szachów. W obliczeiach przyjmij, że: 2 0, l Ćw.2. Uzupełij brakujące wielkości w tabeli obok, wiedząc, że ciąg (a ) jest ciągiem geometryczym o ilorazie q. Ćw.22. Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczy jest rówa 9, a suma ich kwadratów jest rówa. Jakie to liczby? Ćw.2. Zajdź czterowyrazowy ciąg geometryczy, w którym suma trzech pierwszych wyrazów jest rówa 7, zaś trzech ostatich 4. Ćw z 6

6 Ciąg geometryczy Day jest dziesięciowyrazowy ciąg geometryczy (a ) o ilorazie q = 2, w któ- 2 rym a = 2. Czy suma wyrazów o umerach parzystych jest większa od sumy wyrazów o umerach ieparzystych? Odpowiedź uzasadij. 6 z 6