Szanowni koledzy! Jak pewnie wi kszo ci z Pa stwa wiadomo, postanowili my układa zadania na kolejne

Transkrypt

1 Szaowi koledzy! Jak pewie wi kszo ci z Pa stwa wiadomo, postaowili my układa zadaia a koleje wiczeia, które wiczeiowcy mog a swoich zaj ciach wykorzysta a w ka dym razie s zobowi zai rozprowadzi w ród swoich studetów jako stadard wymaga egzamiacyjych Mam adziej, e wkrótce uda mi si uruchomi w sieci SHG stro wspomagaj c auczaie matematyki a dzieych i popołudiowych studiach, gdzie b dziemy umieszcza te materiały z dost pem dla wszystkich studetów Na razie próbuj rozpowszechi to meilowo lub dla wybraych osób bezpo redio Przesyłamy pierwsz porcj zada do wicze r za chwil dostarcz ast pe i tak do ko ca semestru Ci gi liczbowe właso ci i graica Właso ci ci gów Niech a dla,, Sprawdzić, czy (a ) jest ciągiem mootoiczym, ograiczoym, arytmetyczym Dla astępujących ciągów apisać ogóly wyraz: a),,,,; b),,,4,,6, ; c),,,, Sprawdzić czy astępujący ciąg jest ciągiem geometryczym ( )! a) a, b) a, c) a 5 Dla ciągu geometryczego obliczyć sumę S 0 4 Czy astępujący ciąg jest ciągiem arytmetyczym a) a + 7, b) a, c) a 7! Dla ciągu arytmetyczego obliczyć sumę S 0 5 Niech a dla,, Sprawdzić, czy: a) a 0, + b) a 6 dla,, c) ciąg ( a ) jest rosący 6 Niech a 6 + dla,, Sprawdzić, czy a) a >, b) ciąg a jest malejący, c) ciąg a jest ograiczoy z góry

2 + ( ) 7 Niech a + 4 czy jego wyrazy spełiają waruek dla,, Sprawdzić, czy spełioe ciąg ( a ) jest mootoiczy i 0 6 a 8 Ciąg a ma wyraz ogóly day wzorem + dla,,, Zbadać, czy jest to ciąg arytmetyczy 5 *9 Niech a dla,, Wykazać, Ŝe 5 + jest ciągiem geometryczym i czy jest mootoiczy a 5 oraz sprawdzić, czy ( a ) *0 Ciąg (a ) jest ciągiem arytmetyczym takim, Ŝe a oraz a a Wykazać, Ŝe jest o ciągiem malejącym, a poadto: a) a + 5, b) a a 6 dla,, + * Ciąg (a ) jest ciągiem geometryczym takim, Ŝe a oraz ogóly tego ciągu oraz wykazać, Ŝe Obliczyć graicę ciągu (a ), jeśli: + + a a a ( + ) ( ) 4 a 4 4 ( + ) + ( ) 5 6 a a ( 4( )( 4 + ) ( ( + ) + 5) 7 a 4 + 8) + 5( + ) 4 a + a dla,, Graica ci gu ( ) 8 a a 5 0 a Zadaia przygotował Prof S Dorosiewicz z zespołem q Wyzaczyć wzór

3 a a a a 5 a a 7 + a a a *0 + a * a + ) (

4 To kolejy zestaw zadao do dwiczeo r 4 Mam adzieję, że tym razem dotrze do wszystkich a czas Pozdrawiam- W Marcikowska Zadaia do matematyki 75h Fukcje, wykresy, podstawowe własości, graica i ciągłośd W układzie współrzędych arysowad wykresy fukcji a astępie wyzaczyd a) pukty, w których każda z fukcji ma ekstrema b) obrazy, jeśli c) przeciwobrazy, jeśli W układzie współrzędych arysowad wykresy fukcji a astępie a) wyzaczyd pukty, w których każda z fukcji ma ekstrema b) dla każdej z tych fukcji wyzaczyd przedziały w których fukcji jest rosąca, c) zbadad różowartościowośd każdej z tych fukcji W tym samym układzie współrzędych arysowad wykresy trzech fukcji określoych wzorami Wyzaczyd zbiory a) b) c) 4Dla, podad wykres, określid zbiór wartości oraz wyzaczyd zbiór, jeśli a),

5 b), c) 5 Wiadomo, że Wyzaczyd, o ile to możliwe astępujące graice; 6 Obliczyd graice: 7 Dla podaych fukcji wyzaczyd dziedzię oraz graice a wszystkich koocach przedziałów określoości a) b) c) 8 W zależości od wartości parametru, gdzie, wyzacz wartośd graicy lub graic jedostroych fukcji 9 Narysowad wykres fukcji a) Określid przedziały mootoiczości i ekstrema fukcji b) Wyzaczyd zbiór 0Stosując defiicję ciągłości fukcji, zbadad ciągłośd W układzie współrzędych arysowad przykładowy wykres fukcji, która jest ciągła w oraz spełia astępujące waruki:

6 c) Ile ajmiej miejsc zerowych musi mied fukcja w każdym z przypadków a) i b)? Zbadad ciągłośd fukcji w pukcie, jeśli Zbadad ciągłośd fukcji w pukcie, jeśli 4 Dla jakiej wartości parametru, gdzie, fukcja jest ciągła w, jeśli Po ustaleiu wartości parametru arysowad wykres tej fukcji a astępie wyzaczyd przedziały mootoiczości i ekstrema fukcji 5 Dla jakiej wartości parametru, gdzie, fukcja jest ciągła w, jeśli Po ustaleiu wartości parametru mootoiczości i ekstrema fukcji 6 Jeda z własości fukcji ciągłych: arysowad wykres tej fukcji a astępie wyzaczyd przedziały Fukcja określoa a przedziale <a; b> i ciągła a tym przedziale przyjmuje wszystkie pośredie wartości pomiędzy Na podstawie tej własości oraz przy zastosowaiu do obliczeo arkusza kalkulacyjego, p EXCEL, wyzaczyd z dokładością do wartośd rozwiązaia rówaia a) b) 7 Wyzaczyd asymptoty pioowe i poziome wykresu fukcji określoej wzorem: a) b) c) h() d) k()

7 Zadaia r do MATEMATYKI 75 Pochoda I-go rzędu (ABryk i W Marcikowska) Zadaie Na podstawie defiicji pochodej fukcji w pukcie : wyzaczyd, o ile istieje, pochodą a) fukcji w pukcie oraz w pukcie b) fukcji w pukcie oraz w pukcie c) fukcji w pukcie, pukcie oraz w pukcie Zadaie Wykoad poleceie sformułowae w zadaiu, wykorzystując ie defiicję pochodej lecz reguły różiczkowaia fukcji Dla kolejych podpuktów a),b), c) zadporówad wyiki, otrzymae każdą z metod Zadaie Na podstawie defiicji (por zad) wyzaczyd pochode astępujących fukcji w dowolym pukcie ależącym do dziedziy tych fukcji a), gdzie b), gdzie c), gdzie Zadaie 4 Korzystając z ogólej reguły różiczkowaia fukcji potęgowej:,gdzie oraz wyprowadzid wzory a pochodą astępujących fukcji: a), b), c), d), e) Zadaie 5 Na podstawie reguły z zadaia i wzorów a pochodą sumy dwóch fukcji oraz pochodą iloczyu fukcji przez stałą obliczyd pochode a), gdzie b) gdzie c), gdzie

8 d), gdzie Zadaie 6 Uzasadid prawdziwośd astępującego wzoru gdzie pochoda jest liczoa po zmieej oraz,,, Zadaie 7 Stosując reguły różiczkowaia iloczyu i ilorazu dwóch fukcji, wyprowadzid wzory a pochodą astępujących fukcji oraz jeśli c jest fukcją różiczkowalą w Zadaie 8 Napisad wzory a pochodą fukcji pochodą fukcji a astępie wyzaczyd a) gdzie : c) b), gdzie : d) Zadaie 9 Pamiętając, że a także, że, zróżiczkowad fukcje a), gdzie d), gdzie b), gdzie e) gdzie, c), gdzie Zadaie 0 Na podstawie reguły różiczkowaia fukcji złożoych: oceid, które z astępujących zależości są prawdziwe, jeśli całej swojej dziedziie jest fukcją różiczkowalą w a) czy? b) czy? c) czy? d) czy? e) czy? Zadaie Obliczyd pochode podaych iżej fukcji złożoych,

9 a), b), c), d), e), f), g), h) Zadaie Korzystając z reguł różiczkowaia, obliczyd wartośd w pukcie a) w pukcie (odp:-0,5) b) w pukcie (odp: ) c) w pukcie (odp: ) d) w pukcie (odp 0) e) w pukcie (odp 0,5) f) w pukcie (odp ) Zadaie Wyzaczyd rówaie styczych do wykresu fukcji, jeśli podae są pukty styczości W każdym przypadku arysowad wykres fukcji oraz a tym samym rysuku wyzaczoą w zadaym pukcie styczą a) b),dla c), dla i d), i Zadaie 4 Wyzaczyd rówaia wszystkich tych styczych do wykresu fukcji, które to stycze są rówoległe do dwusieczej kąta drugiej dwiartki układu współrzędych, jeśli fukcja jest określoa wzorem Zadaie 5 Na wykresie wielomiau wskazad pukty, w których stycza jest pozioma

10 Zadaia r 4 do MATEMATYKI 75 Zastosowaie pochodej fukcji jedej zmieej Zadaie Obliczyć graice astępujących fukcji stosując w kaŝdym przypadku dwie metody (jeda z ich to wykorzystaie reguły de L Hospitala) Zadaie Korzystając z reguły de L Hospitala, obliczyć graice fukcji: lim 6 lim lim 7 lim l lim l 8 lim 4 lim 5 lim 9 lim 0 lim Zadaie Wyzaczyć (o ile istieją) asymptoty ukośe wykresów fukcji w + lub - 4 l Wskazówka: Asymptotą ukośą wykresu fukcji azywamy prostą y a+b, gdzie oraz Asymptota ta istieje tylko wówczas, gdy obie graice a i b istieją i są skończoe Zadaie 4 Wyzacz wszystkie asymptoty fukcji Zadaie 5 Wyzaczyć przedziały mootoiczości fukcji l ) Zadaie 6 Zbadać mootoiczość i wyzaczyć ekstrema lokale

11 Zadaie 7 Wyzaczyć ajmiejszą i ajwiększą wartość fukcji a przedziale: 7 4, 7 4, 7 5, 0 Zadaie 8 ZaleŜość popytu p a dobra kosumpcyje od wielkości dochodu kosumeta (>0) wyraŝa się wzorem: a) b) c) W kaŝdym przypadku aleŝy ustalić poziom dochodu kosumeta, przy którym popyt jest ajwiększy Zadaie 9 Cea zbytu pewego wyrobu ( ł za jedostkę tego wyrobu) jest określoa astępującym wzorem 0,, gdzie ozacza wielkość produkcji tego wyrobu Koszt całkowity produkcji w zaleŝości od jej wielkości wyosi 0,05 4 a) Wyzaczyć produkcję, przy której przedsiębiorstwo uzyskuje ajwiększy zysk b) Wyzaczyć maksymalą i miimalą wielkość produkcji, przy której przedsiębiorstwo ie wykazuje strat Zadaie 0 Niech K() ozacza koszt całkowity wyprodukowaia jedostek pewego dobra a) Wyzaczyć dla tego dobra poziom produkcji, przy którym koszt przecięty jest ajiŝszy b) Określić fukcję kosztów krańcowych Zadaie Wyzaczyć ceową elastyczość popytu dla ce 0 00, jeŝeli zaleŝość popytu od cey towaru p wyraza się wzorem Podać iterpretację uzyskaego wyiku Zadaie Wyzaczyć elastyczość fukcji utargu w pukcie 0, jeśli cea zbytu towaru wyosi 0, 0,5 0, gdzie jest wielkością produkcji (J Nowakowski z zespołem)

12 Zadaia r 5 do MATEMATYKI 75 Pochoda II-go rzędu (M Dędys) Wyzacz pochodą drugiego rzędu fukcji f w pukcie 0 a) f ( ) + 5, 4 0 (odp f ( 4) 6 ) 4 b) f ( ) l, 0 e (odp f ( e) e ) e c) f ( ), 0 (odp f () 5e ) Wyzacz pochode drugiego rzędu fukcji f oraz przedziały, w których ta fukcja i) rośie coraz szybciej; ii) maleje coraz szybciej; iii) jest wklęsła; iv) jest wypukła gdy a) f ( ) b) f ( ),,,4 c) f ( ) ( ),,,, d)* f ( ) ( ),,, e)* f ( ) ( ) m,, m,, f) f ( ) + si Wyzacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz pukty przegięcia wykresu fukcji f e a) f ( ) + b) f ( ) c) f ( ) + + d) f ( ) e l e) f ( ) 4 Zbadaj tempo zmia fukcji f a) f ( ) b) f ( ) 4 c) f ( ) e ; d) f ( ) l 5* Naszkicuj wykres fukcji f a) f ( ) ; b) f ( ) c) f ( ) e 4 + 6Zbadaj dla jakich wartości parametrów α, β, γ R fukcja f ( ) α + β + γ jest wklęsła, a dla jakich wartości jest wypukła w przedziale ( 0, )

13 7Zbadaj, dla jakich wartości parametru α R fukcja jakich wartości wypukła w przedziale ( 0, ) f ( ) jest wklęsła, a dla + e α 8Zbadaj tempo zmia fukcji a R e a + e a f ( ) w zaleŝości od wartości parametru f (, + y, gdzie, y są akładami a czyiki produkcji A i B odpowiedio Jeśli akłady a czyik A rosą, zaś akłady a czyik B pozostają bez zmia, to w jakim tempie zmieia się wielkość produkcji? 9 Daa jest fukcja wielkości produkcji ( ) 0 Kupiec zastaawiając się ad sprzedaŝą skrzyki wia aalizuje aktualą wartość tejŝe skrzyki w zaleŝości od mometu sprzedaŝy t oraz stopy dyskotowej r Fukcja aktualej wartości daa jest wzorem f ( t, r) e rt t + Określić momet t, w którym, przy ustaloej stopie dyskotowej r obeca wartość skrzyki wia będzie ajwiększa? Wyzacz z defiicji pochode cząstkowe pierwszego rzędu fukcji f w pukcie ( 0, y 0), o ile istieją a) f (, y + y, ( 0, y0) (, ) b) f (, y, ( 0, y0) (0,) Oblicz pochode cząstkowe I-go rzędu fukcji f po kaŝdej ze zmieych oraz y a) f (, + y + y b) f (, cos y + y c) f (, e d) y f (, e) f (, 4 y f) f (, l( + + y Dae są fukcje róŝiczkowale g : R R oraz h : R R Wyzacz obie pochode cząstkowe pierwszego rzędu fukcji f a) f (, h( ) + g( b) f (, h( ) g( c) f (, h( ) e g( ) 4 Daa jest fukcja f : R R, f (, y + 4 y + y Sprawdź, Ŝe f y (, f y (, dla (, R 5 Oblicz wszystkie pochode cząstkowe drugiego rzędu fukcji f a) y y f (, + y + y + 5 b) f (, c) f (, d) y + y f (, e e) f (, ye f) f (, + y y

14 Zadaia r 6 do MATEMATYKI 75 Ekstrema lokale fukcji dwóch zmieych Narysowa warstwice fukcji f dla podaych warto±ci c: a) f(, + 5; c, c, c ; b) f(, + y + 7; c 0, c, c ; c) f(, + y ; c, c, c, c 8; d) f(, e +y +4y ; c, c e, c ; e e) f(, +y, dla y; c, c 0, c ; y f) f(, ye + ; c, c, c 4; g) f(, + + y ; c 0; h) f(, ma{, y }; c 0; i) f(, l( +y ), dla 0< y < ; c 0 +y Wyzaczy, korzystaj c z warstwic, ajmiejsz i ajwi ksz warto± fukcji f a zbiorze X, je±li: a) f(, l( + y + ), X {(, R : + y }; b) f(, y, X {(, R : ( ) + (y + ) }; c) f(, y + y, X {(, R : + y 4} Sprawdzi, czy fukcja f(, + y y 5 ma ekstrema lokale w puktach P (, ), P (, ), P ( 5, 5) 4 Wyzaczy (o ile istiej ) ekstrema lokale fukcji: a) f(, 4 + y + 0 8y 5; b) f(, + y y 5; c*) f(, + y 6y; d) f(, 4 + y 4 + 4y y ; e) f(, + y 4 y + ; f) f(, + y ay + ; g) f(, + y 6y 48; h) f(, 4y + + y ; i) f(, + y ; j) f(, ( + e ) cos y e ; k*) f(, y l( + y ), gdzie (, (0, 0) 5 Liczb a > 0 zapisa w postaci sumy liczb, których iloczy jest maksymaly 6 Firma produkuje dwa wyroby w warukach doskoaªej kokurecji Cey produkowaych wyrobów wyosz odpowiedio P i P Ozaczmy przez Q i Q poziomy produkcji wyrobu pierwszego i drugiego Zakªadamy,»e fukcja kosztów caªkowitych rozwa»aej rmy ma posta C(Q, Q ) Q + Q Q + Q Wyzaczy poziomy produkcji przy których zysk rmy jest maksymaly 7 Zaªó»my,»e rma rozwa»aa w poprzedim zadaiu jest teraz moopolist a ryku Ozacza to,»e cey obu produktów zale» od wielko±ci produkcji Przyjmujemy,»e fukcje popytu z jakimi styka si moopolista s ast puj ce: Q (P, P ) 40 P + P, Q (P, P ) 5 + P P

15 Fukcja kosztów caªkowitych jest taka sama jak poprzedio Wyzaczy poziomy produkcji maksymalizuj ce zysk rmy 8 Wyzaczy i ziterpretowa elastyczo±ci cz stkowe fukcji w podaych puktach: a) f(, 5 + y +, P (4, 0); b) f(, l y, P (, e); c) f(, 9K /4 L /4, P (k, l) 9 Oszacowaa fukcja produkcji przedsi biorstwa ma posta Y 6K / L /, gdzie Y ozacza wielko± produkcji, K warto± maj tku produkcyjego, L zatrudieie W pewym okresie otrzymao warto±ci: K50, L400 a) Jaka byªa w tym okresie elastyczo± produkcji przedsi biorstwa wzgl dem: ) maj tku produkcyjego? ) zatrudieia? b) Plauje si a koiec okresu zmiejszeie zatrudieia o 0% Jaki wzrost maj tku produkcyjego pozwoliªby utrzyma wielko± produkcji a iezmieioym poziomie? 0 Popyt zew trzy a eksport (X) zale»y od dochodu za graic (Y ) i ±rediego poziomu ce (P ): X Y / + P Zale¹ elastyczo± cz stkow zagraiczego popytu a eksport wzgl dem poziomu ce

16 Zadaia r 7 do MATEMATYKI 75 Dae są wektory [, ], y [,] oraz z [,] Wyzaczyć poiŝsze wektory Podać iterpretację geometryczą otrzymaego wyiku a) b) z c) + y + z Dae są wektory [,,0 ], y [,0, ] oraz z [,, ] Wyzaczyć poiŝsze wektory Podać iterpretację geometryczą otrzymaego wyiku a) b) z c) y + z 4 W przestrzei wektorowej R rozwiązać rówaie: a) [,0,,] [,,,0] ; b) [, 4,0,] ; c) + [ 0,,,0] [,,5,] 4 Sprawdzić, czy wektor y jest kombiacją liiową wektorów,,, k, gdy: a) y [, 4], [, ], [,] ; b) y [, 4], [, ], [,], [5, ] c) y [,0 ], [, ], [ a, ], gdzie a R jest parametrem; d) y [,, ], [,0,], [0,,] e) y [,, ], [,0,], [0,,] ; f) y [ 6, 5, 4,,], [,,0,,0 ], [,, 0,,0], [0,0,,, ] 5 Sprawdzić, czy wektory,,, k są liiowo iezaleŝe, gdy: a) [, ], [, 6] ; a) [, ], [,] ; b ) [, ], [,], [0, ] ; c) [, ], [, a], gdzie a R jest parametrem; d) [,,0 ], [,0,], [0,, ] ; e) [,,0 ], [,,], [0,, ] ; f) [,, 0,], [0,0,, ] [,,0,0 ] 6 Pokazać, Ŝe jeśli wektor y jest kombiacją liiową wektorów,,, k, to wektory y,,,, k są liiowo zaleŝe 7 Wektory, y, z są liiowo iezaleŝe Zbadać liiową iezaleŝość wektorów: a) 4 z, y, z y ; b), y, + y z 8 Podać iterpretację geometryczą zbioru V { R : a + tv, t R}, gdy: a) a [ 0,0], v [,] ; b) a [ 0,], v [,] ; c) a [,4], v [,] ; d) a [, ], v [,] 9 Sprawdzić, czy pukty,, aleŝą do jedej prostej, gdy:

17 a) [,0, ], [,,, ], [,, ] ; b) [,0, ], [,,, ], [,, ] c) [,0,,0], [,,0, ], [,,,] 0 Niech a [,,] oraz b [,, ] Sprawdzić, czy aleŝy do I prostej przechodzącej przez pukty a i b ; II odcika o końcach w puktach a i b, gdy: a) [,,0 ], b) [,,0], c) [,, 7 ] 4 Day jest zbiór V { b R : + b} gdzie parametr b jest ustaloą liczbą rzeczywistą oraz [,,0], [,0,] a) Pokazać, Ŝe V { 0 R : α + β, α, β R} i podać iterpretację geometryczą zbioru V 0 b) Podać przykład wektora 0 V, a astępie uzasadić, Ŝe 0 + y V dla kaŝdego y V0 c) Pokazać, Ŝe V { R : 0 + α + β, α, β R} Podać iterpretację geometryczą zbioru V d) Sprawdzić, czy dla dowolych wektorów jeśli y, z V, to y + z V? Day jest zbiór V { R : + } Pokazać, Ŝe jeśli a, b V, to { R : ta + ( t) b, t < 0, > } V Podać iterpretację geometryczą tego faktu Dae są zbiory V { R : } oraz W { R : + + } a)wyzaczyć zbiór V W i podać iterpretację geometryczą tego zbioru b)podać iterpretację geometryczą zbioru V W { R : + 5} c)pokazać, Ŝe dla kaŝdego a R zbiór V W { R : + + a} jest jedoelemetowy 4 Dae są wektory [, ], [0,] a) Pokazać, Ŝe dowoly wektor R jest kombiacją liiową wektorów i b) Uzasadić, Ŝe { R : α + β, α, β R} R c) Czy wektory,, oraz zaleŝych? R tworzą, przy dowolie ustaloym wektorze układ wektorów liiowo 5 Dae są wektory [,,0], [0,0,], [,0, ] a)pokazać, Ŝe dowoly wektor R jest kombiacją liiową wektorów, i b)uzasadić, Ŝe { R : α + β + γ, α, β, γ R} R c)czy wektory,,,, gdzie R jest dowolym wektorem, są liiowo iezaleŝe?

18 Zadaia r 8 Matematyka 75 Macierze, działaia a macierzach Wykoać wskazae działaia a macierzach A, B, C i D w celu wyzaczeia elemetów macierzy X lub uzasadić, Ŝe macierz X ie istieje, jeśli: oraz 4 0, 0, 0, a) c) e) b) 4 d) f) Daa jest macierz A o wymiarach 4 5 i o elemetach,,, 4,,,, 4, 5, których wartości są astępujące: Wyzaczyć opisae w podpuktach sumy a Dae są macierze b c , oraz Uprościć wzory określające macierz X, a astępie wyzaczyć w kaŝdym przypadku elemety tej macierz, jeśli: a b c) d) 4 Wykoać moŝeie macierzy a) b) Uwaga, ogólie -krotie)

19 c) 0 0 oraz Wykoać moŝeie macierzy a) b) c) 6 Posługując się przykładem kokretej macierzy o wymiarach 4 i zaych elemetach liczbowych, podać ilustrację twierdzeia: Dla dowolej macierzy A macierze oraz są macierzami symetryczymi 7 Posługując się przykładem dwóch kokretych macierzy trzeciego stopia, podać ilustrację twierdzeia: JeŜeli macierze A i B są kwadratowe tego samego stopia oraz jeŝeli są to macierze trójkąte góre, to teŝ jest macierzą trójkątą górą 8 Posługując się przykładem dwóch kokretych macierzy tego samego stopia, zilustrować twierdzeie: Iloczy macierzy diagoalych tego samego stopia jest macierzą diagoalą 9 Niech A a b, B c d d c b, gdzie ad cb a a) Sprawdzić, Ŝe przy dowolych liczbach a, b, c, d, jeśli ad cb, to AB I oraz BA I b) Wyzaczyć macierze Niech A stopia będzie macierzą diagoalą: 0,5 0, oraz 0, a podstawie puktu (a) , przy czym 0 dla,,, Zilustrować a podstawie 0 0 kokretych przykładów macierzy trzeciego i czwartego stopia, Ŝe

20 Daa jest macierz 5 oraz wektory,, gdzie ,, oraz wektory,, gdzie, 8 Poday poiŝej związek zapisać w postaci układu rówań a) c) b) d) gdzie wektory dla,,, 4 oraz dla,, są odpowiedio kolejymi kolumami i wierszami macierzy A Dla kaŝdego z poiŝszych układów rówań liiowych podać jego macierzowy zapis, tj, gdzie A jest macierzą o wymiarach,, a) b) c) przygotowała prof W Marcikowska-Lewadowska z zespołem

21 Zadaia do MATEMATYKI 75 Układy rówań liiowych Zadaie * Dla kwadratowej macierzy zbudowao macierze blokowe: 0, 0 Wyzacz blokową postać macierzy,,, Czy jest macierzą symetryczą? Zadaie * Niech B i C będą macierzami ieosobliwymi Wyzaczyć postać blokową macierzy A -, gdzie a/ 0 0 b/ c/ d/ e/ f/ Zadaie λ λ Daa jest macierz A[a ij ] m oraz wektor λ 0 λ Wyzaczyć wektor baλ 0 Zapisać macierz A w postaci kolumowej tj takiej, że blokami są kolumy macierzy A (ozaczoe, k,,) Wyzaczyć blokową postać iloczyu Aλ 0 Przedstawić wektor b jako kombiację liiową kolum macierzy A: a/, λ 0 λ 0, c/ , λ 0 0 Zadaie 4 Day jest układ rówań liiowych 8 5 (*) a/ Wyzacz elemetarie liczby i Zapisz macierz rozszerzoą tego układu rówań Macierz współczyików tego układu zapisz w postaci kolumowej (por Zadaie ) i w postaci wierszowej tj takiej, że blokami są wiersze i macierzy A

22 b/ Wykorzystując blokowa postać iloczyu A 0, gdzie wektor jest wektorem kolumowym, przedstawić wektor b jako kombiację liiową kolum a oraz a macierzy A Zilustrować układ rówań (*) w przestrzei liiowej wektorów kolumowych R c/ Wykorzystując iloczy skalary wektorów w przestrzei liiowej wektorów wierszowych R, zapisz układ (*) jako 8 5, gdzie 0 [, ] Zilustruj układ rówań (*) w przestrzei liiowej wektorów wierszowych R Zadaie 5 Daa jest macierz 4 Niech oraz będą odpowiedio postacią wierszową postacią kolumową macierzy A a/ Stosując operacje elemetare a wierszach macierzy A sprowadzić tę macierz do postaci bazowej względem kolum I, II oraz III 0 Odp b/ Przedstawić wektor a 4 jak kombiację liiową wektorów a, a, a c/ Ile wyosi dim L(a, a, a, a 4 ) Czy zachodzi rówość L(a, a, a, a 4 ) L(a, a, a )? Czy L(a, a, a )R? d/ Ile wyosi dim L(a, a, a )? e/ Ile wyosi rząd macierzy A? Zadaie 6 Stosując operacje elemetare a wierszach macierzy rozszerzoej wyzaczyć rozwiązaie ogóle układu jedorodego Przedstawić zbiór rozwiązań X(0) jako przestrzeń liiową o daym układzie geeratorów a/ 4 0, b/ , 5 0 c/ d/ 0 0

23 Zadaie 7 Day jest iejedorody układ rówań liiowych Zapisać macierz rozszerzoą tego układu rówań Stosując operacje elemetare a wierszach macierzy sprowadzić macierz rozszerzoą układu do postaci bazowej Zapisać rozwiązaie ogóle tego układu rówań Przedstawić zbiór rozwiązań X(b) jako rozmaitość liiową Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia bazowe daego układu rówań wskazać rozwiązaia bazowe ieujeme a/ 4, b/ 5 4 4, 5 c/ 5 6 d/ 4 6

24 WYZNACZNIKI Obliczyć wyzaczik, stosując rozwiięcie Laplace a względem wybraego wiersza lub kolumy: a) b) c) a) Stosując rozwiięcie Laplace a względem trzeciego wiersza, obliczyć wyzacziki macierzy: b) Powtórzyć obliczeia, stosując rozwiięcie Laplace a względem trzeciej kolumy Obliczyć wyzacziki astępujących macierzy: 4 Obliczyć wyzacziki podaych macierzy, sprowadzając je uprzedio do postaci macierzy trójkątej 5 Obliczyć podae wyzacziki, wykorzystując własości wyzaczika: a) b) 6* Nie obliczając wyzaczików, zaleźć rozwiązaie podaego rówaia: 7 Zaleźć dopełieie algebraicze elemetu a 4 oraz a 5 macierzy A: 8 Obliczyć wyzaczik macierzy A metodą Sarrusa Zaleźć macierz dopełień, a astępie obliczyć jej wyzaczik, wykorzystując wzór a macierz odwrotą oraz odpowiedie własości wyzaczików: 9 Pokazać, że detab deta detb, jeśli:

25 0 Wyzaczyć macierz dopełień algebraiczych dla podaych macierzy: Wyzaczyć macierz odwrotą do macierzy A za pomocą dopełień algebraiczych: a), b), c), d) Rozwiązać rówaie z iewiadomą a) b), c) Rozwiązać układy rówań metodą Cramera a) b) 4 Rozwiązać powyższe układy, wyzaczając z macierzowego rówaia AX b macierz X 5 Rozwiązać układ rówań: 6 Rozwiązać układ rówań w zależości od parametru k: 7 Dla jakich wartości parametru p poday układ rówań jest układem Cramera? Rozwiązać te układ dla zalezioych wartości parametru 8 Wyzaczyć macierz X z rówaia macierzowegp, gdzie A, B, C są daymi macierzami ieosobliwymi stopia Obliczyć det X, wiedząc, że det A, det B, det C 4 9 Dae są macierze: a) Wyzaczyć macierz C daą wzorem C A T A + 4 det (I B)B b) Wyzaczyć rząd każdej z macierzy: A, B oraz I B

26 0 Zbadać, dla jakich wartości parametru k macierz jest odwracala Dla zalezioych wartości k wyzaczyć macierz X spełiającą rówaie Dae są macierze: oraz macierz C stopia taka, że det C Obliczyć det (B C T A)