Ciągi liczbowe z komputerem

Transkrypt

1 S t r o a 1 dr Aa Rybak Istytut Iformatyki Uiwersytet w Białymstoku Ciągi liczbowe z komputerem Wprowadzeie W artykule zostaie zaprezetoway sposób wykorzystaia arkusza kalkulacyjego do badaia własości ciągów liczbowych (arytmetyczego i geometryczego), a także do rozwiązywaia problemów opisaych przy pomocy ciągów. Zagadieia, które staowią kawę prezetowaych problemów, pochodzą z różych dziedzi auki i z życia codzieego. Arkusz kalkulacyjy jest dobrze zay każdemu użytkowikowi komputera, ale jego wykorzystaie w kształceiu matematyczym jest zikome, więc artykuł podejmuje próbę zmiay tej sytuacji. Wprowadzeie teoretycze: Ciąg arytmetyczy Ciąg liczbowy (a ) azywamy arytmetyczym o różicy r, jeżeli a +1 = a +r dla każdego N +. Liczbę rzeczywista r jest stała. Prawdziwe są zależości: a = a 1 + (-1)r, S = a 1 + a a = a a 1 + 2a1 + ( 1) r =. 2 2 S azywamy -tą sumą częściową ciągu, zaś ciąg sum częściowych (S ) szeregiem liczbowym. Jak komputer może am pomóc w badaiu ciągów arytmetyczych - przykłady Przykład 1. Zbadaj, które z podaych ciągów są ciągami arytmetyczymi. Jaki jest pierwszy wyraz, a jaka różica? a) a = 2 + 1, b) b = 2 +1, 1 c) u = 3 3. Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

2 S t r o a 2 Udzieleie odpowiedzi a postawioe pytaie wymaga sprawdzeia, czy różica wyrazu -tego i poprzediego jest stała iezależie od (>1). Z pewością potrafisz zaprojektować odpowiedią tabelę, która to zrealizuje: a =2/(+1) a +1 -a b =*+1 b +1 -b u =3-/3 u +1 -u 1 1, ,00 1 2, ,3333 0, ,00 3,00 2 2,3333-0, ,5000 0, ,00 5,00 3 2,0000-0, ,6000 0, ,00 7,00 4 1,6667-0, ,6667 0, ,00 9,00 5 1,3333-0, ,7143 0, ,00 11,00 6 1,0000-0, ,7500 0, ,00 13,00 7 0,6667-0, ,7778 0, ,00 15,00 8 0,3333-0, ,8000 0, ,00 17,00 9 0,0000-0, ,8182 0, ,00 19, ,3333-0, ,8333 0, ,00 21, ,6667-0, ,8462 0, ,00 23, ,0000-0, ,8571 0, ,00 25, ,3333-0, ,8667 0, ,00 27, ,6667-0,3333 Aaliza powyższych tabel pozwala a sformułowaie wiosku-hipotezy: Ciąg u jest ciągiem arytmetyczym, ciągi a i b ie są ciągami arytmetyczymi. Przykład 2. Wykaż, że ciąg (u ), którego ogóly wyraz jest określoy wzorem: u = a* + b, a, b R jest ciągiem arytmetyczym. a b u =a*+b u +1 -u , ,00 2, ,00 2, ,00 2, ,00 2, ,00 2, ,00 2, ,00 2, ,00 2, ,00 2,00 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

3 S t r o a 3 a b u =a*+b u +1 -u , ,00-3, ,00-3, ,00-3, ,00-3, ,00-3, ,00-3, ,00-3, ,00-3, ,00-3,00 Powyższe tabele i wykresy ilustrują badaie problemu dla kokretych współczyików a i b. Zmieiając w odpowiedich komórkach arkusza wartości tych współczyików możesz sprawdzić prawdziwość postawioej w zadaiu hipotezy dla wielu różych a i b. Pamiętaj, że dowód formaly ależy przeprowadzić iezależie od obserwacji komputerowych. Przykład 3. Pomiędzy 1 marca a 31 marca wschód słońca a 40 stopiu szerokości geograficzej półocej astępuje każdego dia około 1,6 mi wcześiej iż dia poprzediego. O której godziie słońce wzejdzie 21 marca, jeżeli 1 marca wschodzi o godz. 6 33? Którego dia słońce wzejdzie o 5 53? data godzia różica 01-mar 06:33:00 00:01:36 02-mar 06:31:24 03-mar 06:29:48 04-mar 06:28:12 05-mar 06:26:36 06-mar 06:25:00 07-mar 06:23:24 08-mar 06:21:48 09-mar 06:20:12 10-mar 06:18:36 11-mar 06:17:00 12-mar 06:15:24 13-mar 06:13:48 14-mar 06:12:12 15-mar 06:10:36 16-mar 06:09:00 17-mar 06:07:24 18-mar 06:05:48 19-mar 06:04:12 20-mar 06:02:36 21-mar 06:01:00 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

4 S t r o a 4 22-mar 05:59:24 23-mar 05:57:48 24-mar 05:56:12 25-mar 05:54:36 26-mar 05:53:00 27-mar 05:51:24 28-mar 05:49:48 29-mar 05:48:12 30-mar 05:46:36 31-mar 05:45:00 01-kwi 05:43:24 W powyższym arkuszu komórki pierwszej kolumy zostały sformatowae tak, aby moża było zapisać w ich daty oraz wykoywać działaia a ich zawartościach zgodie z właściwościami dat ( p. zmiaa miesiąca w odpowiedim momecie ). W komórkach drugiej kolumy wpisae są dae typu czas i dzięki odpowiediemu formatowi możliwe jest wykoywaie działań z uwzględieiem właściwości czasu ( zmiaa miuty po 60 sekudach, zmiaa godziy po 60 miutach ). Z treści zadaia wyika, że godziy, o których wschodzi słońce tworzą ciąg arytmetyczy o różicy 1 mi 36 sekud. Jako wartości początkowe zostały wprowadzoe do arkusza: data 1.III ( w komórce A2 ), godz. 6:33 ( w komórce B2 ) oraz różica ciągu ( w komórce C2 ). Obliczeia zostały wykoae dzięki wprowadzeiu formuł: = A2 + 1 w komórce A3, = B2 - $C$2 w komórce B3 oraz skopiowaiu ich do komórek położoych w astępych wierszach. Z tabeli odczytujemy, że 21 marca słońce wzejdzie o godziie 6:01, zaś o godz. 5:53 słońce wzejdzie dia 26 marca. Przykład 4. W roku 1980 populacja ludzi w pewym miasteczku wzrosła o 4200 osób. Każdego roku w astępej dekadzie przyrost ludości w tym mieście zmiejszał się o 20 osób roczie. O ile osób wzrosła liczba ludości w tym mieście w latach ? rok przyrost ludości Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

5 S t r o a razem W powyższym arkuszu w celu obliczeia łączego przyrostu ludości w latach użyta została fukcja sumowaia: = suma (F2:F12) w komórce F14. Przyrosty ludości w poszczególych latach obliczae były przy pomocy formuły uwzględiającej własości ciągu arytmetyczego. Zadaia do samodzielej pracy: Zadaie 1. Sprawdź, czy podae ciągi są arytmetycze. Jeśli tak, to określ ich mootoiczość: a) a = 3 2, b) b = 3 2 2, c) c = 2-2. Jakimi metodami możesz zbadać powyższe ciągi? Zadaie 2. Wykaż, że jeśli ciąg (a ) jest ciągiem arytmetyczym, to wszystkie pukty o współrzędych (; a ) ależą do jedej prostej. Zadaie 3. Ja Nowak zakupił budyek, w którym rozwiął działalość gospodarczą. Każdego roku spłaca ratę zaciągiętego a te cel kredytu. Rata wyosi zł. Pierwszego roku działalość przyiosła zysk w wysokości zł, każdego astępego roku zysk wzrasta o 5000 zł. Po ilu latach różica między zyskiem a wysokością raty do zapłaceia przekroczy zł? Zadaie 4. Podczas prowadzeia obserwacji botaiczych zauważoo, że średica drzewa zwiększa się o taką samą wielkość każdego roku. Jeżeli średica była rówa 61 mm pod koiec szóstego roku wzrostu drzewa, a 76 mm pod koiec dziesiątego roku, jaka była średica drzewa w końcu pierwszego roku? Zadaie 5. W wyiku przeprowadzoych pomiarów i odpowiedich symulacji komputerowych stwierdzoo, że bezpośredio po zbudowaiu szerokość Wielkiej Piramidy w Gizie zmiejszała się o 1,57 m a każdy metr wysokości. Na jakiej wysokości szerokość jest rówa 103,62 m, jeżeli szerokość mierzoa a wysokości 1 m jest rówa 229,22 m? Jak wysoka była piramida a początku swego istieia? Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

6 S t r o a 6 Ciąg geometryczy Wprowadzeie teoretycze: Ciąg liczbowy (a ) azywamy geometryczym o ilorazie q różym od zera, jeżeli a +1 = a *q dla każdego N +. Liczbę rzeczywista q jest stała. Prawdziwe są zależości: a = a 1 * q -1, 1 q S = a1, jeżeli q<>1, 1 q S = *a 1, jeżeli q=1. Wśród ciągów geometryczych szczególą uwagę zwracamy a takie, dla których q <1. Są to ciągi szybko malejące. Suma ich wszystkich wyrazów jest skończoa. W tym przypadku szereg geometryczy (S ) jest zbieży i jego sumą jest liczba a1 S = 1 q. Jak komputer może am pomóc w badaiu ciągów geometryczych - przykłady Przykład 1. Zbadaj, które z określoych iżej ciągów są ciągami geometryczymi: a) a = 2, b) b = 2, 3 c) c = 4, d) d = 1. Badaie powyższych ciągów polega a sprawdzeiu, czy iloraz wyrazu -tego i poprzediego jest stały iezależie od (>1). a =2^ a +1 /a b = 2 b +1 /b c =3/4 c +1 /c d =/(-1) d +1 /d , , ,00 2 0, , ,5000 0, ,25 3 0, , ,3333 0, ,78 4 0, , ,2500 0, ,56 5 0, , ,2000 0,9600 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

7 S t r o a ,44 6 0, , ,1667 0, ,36 7 0, , ,1429 0, ,31 8 0, , ,1250 0, ,27 9 0, , ,1111 0, , , ,2500 Aaliza odpowiedich arkuszy pozwala a sformułowaie wiosku - hipotezy: Ciągi o wyrazach ogólych a i c są ciągami geometryczymi, zaś ciągi o wyrazach ogólych b i d ie są. Przykład 2. Okres połowiczego rozpadu azotu 13 (izotopu azotu) wyosi około 10 miut. Ile azotu 13 będzie w laboratorium o godz , jeżeli o godz próbka ma masę 4 mg? okres połowiczego rozpadu masa próbki (w g) godzia 00:10 15: : : :40 0,5 15:50 0,25 16:00 0,125 Przykład 3. Żółw przebywa drogę o długości 2 m w liii prostej w ciągu 1 mi. W astępej miucie przebywa odległość 1 m, w każdej astępej połowę tej odległości, co w poprzediej. Jeśli żółw będzie kotyuował swoją wędrówkę zawsze - jak daleko zajdzie? liczba miut droga (w m) suma dróg żółwia 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

8 S t r o a , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Wiosek z aalizy powyższego arkusza może być dla wielu osób zaskakujący: wędrując dowolą liczbę miut żółw igdy ie przekroczy dystasu 4 metrów. Zadaia do pracy samodzielej: Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość ciągu geometryczego daego wzorem ogólym: d) a = 2, e) b =3 (-1) -1, 3 f) c =. 1 2 Zadaie 2. Każdego astępego roku wartość pewego samochodu staowi 70% jego wartości w roku poprzedim. Bezpośredio po wyprodukowaiu samochód miał wartość zł. Jaka będzie jego wartość po siedmiu latach? Zadaie 3. Ktoś wymyślił sesacyją plotkę i zakomuikował ją w ciągu godziy 10 osobom. Następie każda z powiadomioych osób w ciągu godziy przekazała plotkę 10 iym osobom, które jeszcze jej ie słyszały itd. Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

9 S t r o a 9 Po ilu godziach plotkę zaliby wszyscy ludzie żyjący a Ziemi? Przyjmij, że a Ziemi żyje 7*10 9 ludzi. Zadaie 4. Na pewym placu zabaw zbudowao system przeszkód do pokoywaia przez dzieci (płotków, drabiek itp.) w formie trójkątów rówoboczych wpisaych jede w drugi. Bok ajwiększego trójkąta ma długość 32 m. Wewątrz zbudowao astępy trójkąt, jako wierzchołki przyjmując środki boków większego trójkąta. Operację powtórzoo pięć razy. Zajdź długość boku trójkąta powstałego w wyiku czwartego wykoaia operacji. Ile metrów płotków zużyto a tę budowlę? Zadaie 5. Hadlarz sprzedał koia za 165 zł, ale abywca uświadomił sobie, że ie potrzebuje takiego koia i zwrócił go właścicielowi ze słowami: - Te koń ie jest wart tyle, ile za iego zapłaciłem. Hadlarz zapropoował więc ie waruki: - Jeśli sądzisz, że cea koia jest zbyt wysoka, kup tylko hufale, które koń ma w podkowach, a koia dam Ci a dodatek za darmo. W każdej podkowie jest 6 hufali (razem 24). Za pierwszy zapłacisz mi ¼ grosza, za drugi ½ grosza, za trzeci 1 grosz i tak dalej za każdy astępy 2 razy więcej iż za poprzedi. Wieśiaka zwabiła tak iska cea. Przyjął waruek sprzedawcy w przekoaiu, że ie zapłaci więcej iż 2 złote. Czy miał rację? Ile pieiędzy zaoszczędził lub ile stracił? Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego