Temat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1

Transkrypt

1 Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1

2 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 2

3 Definicja Równanie różniczkowe równanie zawierające pochodne nieznanej funkcji zależnej od jednej lub wielu zmiennych. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 3

4 Przykład 1 f y f () Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 4

5 Przykład 1 f y f () f 2 ( ) 2 ( ) f Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 5

6 Zapis f y f () f 2 ( ) 2 ( ) f Inny zapis: y 2y 2 Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 6

7 Przykład 2 2 y 2 y y Szukamy funkcji y = y ( ). Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 7

8 Przykład 3 2 y y y e Szukamy funkcji y = y ( ). Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 8

9 Przykład 4 Szukamy funkcji u = u (, y ). Pochodne cząstkowe: u u y u u yy 0 Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 9

10 Terminologia Równanie różniczkowe zwyczajne szukana funkcja zależy od jednej zmiennej niezależnej y = y ( ). Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 10

11 Przykłady Równania różniczkowe zwyczajne Szukamy funkcji y = y ( ). (1) y 2y 2 2 y 2 y y (2) (3) 2 y y y e Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 11

12 * Terminologia cd. Równanie różniczkowe cząstkowe szukana funkcja zależy od k zmiennych niezależnych, k > 1, u = u ( 1, 2,... k ). W równaniach różniczkowych cząstkowych występują pochodne cząstkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 12

13 * Przykład Równanie różniczkowe cząstkowe Szukamy funkcji u = u (, y ). u u yy 0 Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 13

14 Terminologia Funkcja y = y ( ), ( a, b) jest rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego, gdy spełnia tożsamościowo to równanie dla ( a, b). Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 14

15 Przykład Wykaż, że funkcja y( ) c e 2 2 gdzie: c stała rzeczywista, 2 jest rozwiązaniem równania y y 2 Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 15

16 Przykład cd c=1 c=2 c=-1 c= Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 16

17 Rodzinę funkcji Terminologia y( ) c e 2 2 gdzie: c stała rzeczywista, która jest rozwiązaniem równania y y 2 2 nazywamy rozwiązaniem ogólnym tego równania. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 17

18 Terminologia cd. Tylko jeden wykres funkcji należących do tej rodziny przechodzi przez punkt (0, 1) czyli spełnia warunek y(0)=1. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 18

19 Terminologia cd. Warunek y(0)=1 nazywamy warunkiem początkowym, a funkcję y() spełniającą ten warunek rozwiązaniem szczególnym. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 19

20 Przykład cd. Znajdź rozwiązanie szczególne spełniające warunek początkowy y(0)=1 Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 20

21 Przykład cd c=1 c=2 c=-1 c=0 y(0)= Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 21

22 Oznaczenia funkcja y = y ( ) pochodna y' ( ) pochodna inaczej: y dy d (czyt.: dy po d) Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 22

23 R-nie o zmiennych rozdzielonych f ( ) d g( y) dy 0 Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 23

24 Przykład a) Wyznacz rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y y = 0,5 b) Wyznacz rozwiązanie szczególne spełniające warunek y(0)=2 Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 24

25 Odpowiedzi a) y c c stała rzeczywista b) y 4 Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 25