KWADRYKI PARABOLOIDA HIPERBOLICZNA ELIPSOIDA HIPERBOLOIDA DWUPOWŁOKOWA HIPERBOLOIDA JEDNOPOWŁOKOWA PARABOLOIDA ELIPTYCZNA

Transkrypt

1 POWIERZCHNIE

2 1. Powierzchnia jedno z podstawowych pojęć geometrii W geometrii elementarnej powierzchnię opisuje się jako pewne zbiory punktów lub prostych o określonych własnościach np.: - sfera to zbiór punktów przestrzeni równoodległych od danego punktu środka sfery, - powierzchnia stożkowa to zbiór prostych przechodzących przez dany punkt wierzchołek i daną krzywą zamkniętą) Powierzchnia w mechanice i fizyce bywa definiowana jako utwór przestrzenny powstały przez ruch prostych lub krzywych W geometrii analitycznej, algebraicznej i różniczkowej powierzchnię określa się jako zbiór punktów P(x, y, z), których współrzędne x, y, z są funkcjami (ciągłymi, różniczkowalnymi, analitycznymi) 2 zmiennych u, v x = x (u, v) y = y (u, v) z = z (u, v) Niekiedy powierzchnię określa się za pomocą jednego równania F (x, y, z) = 0 jako zbiór punktów P (x, y, z), których współrzędne spełniają to równanie. Jeżeli F jest funkcją algebraiczną to powierzchnię nazywamy algebraiczną, w przeciwnym przypadku powierzchnią przestępną.

3 2. Kwadryki wspólna nazwa 5 rodzajów powierzchni drugiego stopnia: - elipsoidy, - hiperboloidy jednopowłokowej, - hiperboloidy dwupowłokowej, - paraboloidy eliptycznej - paraboloidy hiperbolicznej. Powierzchnie te są opisywane równaniami stopnia drugiego, wiążącymi 3 zmienne przestrzenne x, y, z. KWADRYKI ELIPSOIDA PARABOLOIDA HIPERBOLICZNA HIPERBOLOIDA JEDNOPOWŁOKOWA HIPERBOLOIDA DWUPOWŁOKOWA PARABOLOIDA ELIPTYCZNA

4 II. Podział powierzchni stopnia drugiego POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO POWIERZCHNIE POSIADAJĄCE ŚRODEK SYMETRII POWIERZCHNIE NIEPOSIADAJĄCE ŚRODKA SYMETRII POWIERZCHNIE ZDEGENEROWANE Podział powierzchni stopnia drugiego wg I. Dziubińskiego, T. Świątkowskiego

5 II. Podział powierzchni stopnia drugiego 1. Powierzchnie posiadające środek symetrii Sfera (powierzchnia kuli) jest zbiorem wszystkich punktów przestrzeni jednakowo odległych od danego punktu S zwanego środkiem o dany odcinek o długości r zwany promieniem. Elipsoida W przypadku, gdy dwie osie są równe, np. a=b, elipsoidę nazywamy obrotową, gdyż powstaje ona obrotu elipsy dookoła jednej z osi. Jeśli wszystkie osie są równe a=b=c, elipsoida jest sferą o promieniu r=a. Przekrój elipsoidy dowolną płaszczyzną jest elipsą.

6 II. Podział powierzchni stopnia drugiego 1. Powierzchnie posiadające środek symetrii Hiperboloida jednopowłokowa a, b, c półosie hiperboloidy jednopowłokowej Gdy a = b, wtedy hiperboloidę jednopowłokową nazywamy obrotową, powstaje ona z obrotu hiperboli dookoła osi urojonej. Przekroje hiperboloidy jednopowłokowej płaszczyznami prostopadłymi do osi z są elipsami; prostopadłymi do osi x i y hiperbolami. Hiperboloida jednopowłokowa jest powierzchnią prostokreślną. Hiperboloida dwupowłokowa a, b, c półosie hiperboloidy dwupowłokowej Gdy a = b, wtedy hiperboloidę dwupowłokową nazywamy obrotową, powstaje ona z obrotu hiperboli dookoła osi z. Przekroje hiperboloidy dwupowłokowej płaszczyznami prostopadłymi do osi z są elipsami; prostopadłymi do osi x i y hiperbolami.

7 II. Podział powierzchni stopnia drugiego 1. Powierzchnie posiadające środek symetrii Stożek a, b, c liczby dodatnie Gdy a = b, wtedy stożek nazywamy obrotowym. Przekroje stożka płaszczyznami prostopadłymi do osi z są elipsami (dla z = 0 punkt); płaszczyznami prostopadłymi do osi x i y hiperbolami, płaszczyznami przechodzącymi przez oś z prostymi (tworzącymi stożka) przecinającymi się w początku układu. Walec eliptyczny a, b, liczby dodatnie, półosie walca Gdy a = b, wtedy otrzymujemy walec obrotowy. Przekroje walca eliptycznego płaszczyznami prostopadłymi do osi z są elipsami; prostopadłymi do osi x lub y są dwiema prostymi równoległymi, tzw. tworzącymi walca. Każdy punkt osi z jest środkiem symetrii walca eliptycznego; każda płaszczyzna prostopadła do osi z jest płaszczyzną symetrii walca eliptycznego.

8 II. Podział powierzchni stopnia drugiego 1. Powierzchnie posiadające środek symetrii Walec hiperboliczny a, b, liczby dodatnie, półosie walca Przekroje walca hiperbolicznego płaszczyznami prostopadłymi do osi z są hiperbolami; prostopadłymi do osi x lub y są prostymi równoległymi (tworzące walca). Każdy punkt osi z jest środkiem symetrii walca hiperbolicznego, każda płaszczyzna prostopadła do osi z jest płaszczyzna symetrii walca hiperbolicznego.

9 II. Podział powierzchni stopnia drugiego 2. Powierzchnie nieposiadające środka symetrii Paraboloida eliptyczna a, b, liczby dodatnie, półosie paraboloidy Gdy a = b, wtedy paraboloidę nazywamy obrotową; powstaje ona z obrotu paraboli dookoła swojej osi symetrii. Przekroje paraboloidy eliptycznej płaszczyznami prostopadłymi do osi z są elipsami; płaszczyznami prostopadłymi do osi x i y parabolami. Początek układu, czyli punkt O(0, 0, 0,) nazywamy wierzchołkiem paraboloidy eliptycznej. Płaszczyzny xz i yz są płaszczyznami symetrii, a oś z osią symetrii paraboloidy eliptycznej. Paraboloida hiperboliczna a, b, liczby dodatnie, półosie paraboloidy Przekroje paraboloidy hiperbolicznej płaszczyznami prostopadłymi do osi z są hiperbolami, płaszczyznami prostopadłymi do osi x i y parabolami. Płaszczyzny x z i y z są płaszczyznami symetrii, a oś z jest osią symetrii paraboloidy hiperbolicznej. Paraboloida hiperboliczna jest powierzchnia prostokreślną.

10 Niektóre własności powierzchni stopnia drugiego - przekrojem powierzchni stopnia drugiego płaszczyzną jest krzywa stopnia drugiego (która może wystąpić w postaci zdegenerowanej) Podział powierzchni: - o : obrotowe przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi powierzchni jest okręgiem, w pow. obrotową można wpisać kulę - no : nieobrotowe, - p : prostokreślne na powierzchni znajduje się nieskończenie wiele prostych zwanych tworzącymi, - np : nieprostokreślne - r : rozwijalne można je rozwinąć na płaszczyznę - nr : nierozwijalne

11 Powierzchnia walcowa obrotowa o, p, r nieobrotowa no, p, r okrąg okrąg

12 Powierzchnia walcowa obrotowa Sklepienie kolebkowe Sklepienie krzyżowe Sklepienie klasztorne Bazylika St. Sernin, Tuluza, Francja

13 Powierzchnia walcowa obrotowa Siedziba BRE Banku Bydgoszcz. arch. Bulanda i Mucha

14 Powierzchnia walcowa nieobrotowa Biblioteka Aleksandryjska w Aleksandrii, Egipt

15 Powierzchnia stożkowa obrotowa o, p, r nieobrotowa no, p, r okrąg okrąg

16 Powierzchnia stożkowa Amfiteatr grecki, Ateny, Grecja obrotowa o, p, r okrąg Centrum Naukowo-Techniczne New Metropolis, Amsterdam

17 Powierzchnia stożkowa Hala widowiskowa Spodek w Katowicach Projekt: arch. M. Gintowt i M. Krasiński Konstrukcja inż. A. Żórawski

18 Sfera Elipsoida obrotowa o, np, nr obrotowa lub nieobrotowa o lub no, np, nr

19 Sfera Hagia Sofia Stambuł Muzeum Narodowe Brasilia, Brazylia arch. Oscar Niemeyer Bania na żagielkach, Bania na bębnie Sklepienie czeskie

20 Sfera Dawna siedziba radia RMF, Alwernia k. Krakowa Opera w Sydney ( ), Australia arch. Jorn Utzon Kompleks komercyjny Złote Tarasy, Warszawa

21 Elipsoida obrotowa lub nieobrotowa o lub no, np, nr Naturall Ellipse, Tokio, Japonia arch. Masaki Endoh

22 Hiperboloida jednopowłokowa Paraboloida (obrotowe =chłodnie kominowe) Obrotowa lub nieobrotowa o lub no, p, nr obrotowa lub nieobrotowa o lub no, np, nr

23 Hiperboloida jednopowłokowa obrotowa

24 Hiperboloida jednopowłokowa obrotowa Katedra w Brasili, Brazylia arch. Oscar Niemeyer

25 Hiperboloida jednopowłokowa obrotowa Restauracja w Xochimilco, Meksyk arch. Felix Candela Oceanarium w Valencji, Hiszpania arch. Felix Candela

26 Powierzchnia pierścieniowa (torus) Dowolna powierzchnia obrotowa Obrotowa o, np, nr Obrotowa o, np, nr