1 Geometria analityczna

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Geometria analityczna"

Transkrypt

1 1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych, to można określić współrzędne wektora a jako miary rzutów a x, a y tego wektora na osie Ox i Oy. Oznaczamy AB = a = [a x, a y ]. Jeżeli A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ), to a x = x 2 x 1, a y = y 2 y 1. Zauważmy, że gdy i, j oznaczają wektory jednostkowe na osiach, to Długość wektora wynosi a = a 2 x + a 2 y = a = a x i + a y j. (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Wektory o długości 1 nazywamy wersorami. Natomiast kątem między wektorami leżącymi na półprostych l 1 i l 2 nazywamy ten z dwóch kątów utworzonych przez te półproste, którego miara spełnia nierówność 0 ϕ π/2. Iloczyn skalarny wektorów a i b określamy jako a b = a b cos ϕ. Bezpośrednio z tej definicji mamy, że i i = j j = 1 oraz i j = 0. Stąd otrzymujemy Zatem a b cos ϕ = a x b x + a y b y, więc a b = a x b x + a y b y. cos ϕ = a xb x + a y b y a b (wartość bezwzględna dlatego, żeby kąt spełniał warunek 0 ϕ π/2). Przykład Dane są punkty A = (1, 1), B = (3, 3), C = (5, 1). Obliczyć współrzędne wektorów AB, BC, CA, ich długości, i kąty między nimi. 1.2 Wektory w przestrzeni Wszystkie pojęcia nie wymagające układu współrzędnych definiuje się tak jak na płaszczyźnie. Niech Oxyz będzie prostokątnym układem współrzędnych w przestrzeni, a i, j k oznaczają wektory jednostkowe na osiach. Wektor AB o początku A = (x 1, y 1, z 1 ) i końcu B = (x 2, y 2, z 2 ), ma współrzędne a x = x 2 x 1, a y = y 2 y 1, a z = z 2 z 1. Piszemy: AB = [x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ]. 1

2 Długość wektora wynosi a = a 2 x + a 2 y + a 2 z = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Jeżeli przez α, β, γ oznaczymy kąty, jakie wektor a = [a x, a y, a z ] tworzy z osiami układu, to cos α = a x a, cos β = a y a, cos γ = a z a. Stąd cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. Zatem wektor l = [cos α, cos β, cos γ] jest wersorem. Ponadto a = a l. Liczby cos α, cos β, cos γ nazywamy kosinusami kierunkowymi wektora a. Kosinusy kierunkowe wektora a są więc współrzędnymi wersora zgodnie równoległego do wektora a. Przykłady 1. Wektor o początku A = ( 4, 2, 3) ma długość 14 i kosinusy kierunkowe 2, 3, 6. Obliczyć współrzędne końca wektora B Obliczyć współrzędne punktu M wiedząc, że jego promień wodzący ma długość 8 i tworzy z osią Ox kąt π, a z osią Oy kąt π. 4 3 Iloczyn skalarny wektorów a i b w przestrzeni określamy tak jak na płaszczyźnie, tj. a b = a b cos ϕ. Ponieważ i i = j j = k k = 1 oraz i j = i k = j k = 0, więc a b = (a x i + a y j + a z k) (bx i + b y j + b z k) = = a x b x + a y b y + a z b z. Podobnie jak dla wektorów na płaszczyźnie otrzymujemy wzór na kąt między wektorami: cos ϕ = a xb x + a y b y + a z b z a. (1) b Przykład Znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach A = (2, 1, 3), B = (1, 1, 1), C = (0, 0, 5). 1.3 Iloczyn wektorowy Definicja 1 Iloczynem wektorowym niezerowych wektorów a, b tworzących kąt ϕ nazywamy wektor c taki, że 1. długość c = a b sin ϕ; 2. c a i c b; 3. zwrot wektora c jest taki, że wektory a, b, c tworzą układ zgodnie skrętny z układem i, j, k. Jeżeli a = 0 lub b = 0, to przyjmujemy c = 0. Piszemy c = a b. Twierdzenie 1 Iloczyn wektorowy ma własności: 2

3 1. a b jest polem równoległoboku wyznaczonego przez wektory a, b; 2. b a = a b; 3. i i = j j = k k = 0, i j = k, j k = i, k i = j. 4. (m a) b = m( a b) = a (m b); 5. ( a + b) c = a c + b c. Wyliczymy współrzędne wektora a b. Niech a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + b z k. Wtedy a b = (a x i + a y j + a z k) (bx i + b y j + b z k) = a = y a z b y b a i x a z z b x b a j + x a y z b x b k = y i j k a x a y a z b x b y b z Przykłady 1. Znaleźć wektor jednostkowy prostopadły do wektorów a = [2, 3, 1], b = [1, 2, 3]. 2. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A = (1, 2, 8), B = (0, 0, 4), C = (6, 2, 0). Następnie wyznaczyć długość wysokości h B z wierzchołka B. (odp.: P = 7 5, h B = ) 1.4 Iloczyn mieszany wektorów Definicja 2 Iloczynem mieszanym trzech wektorów a, b, c nazywamy liczbę ( a b c) = ( a b) c. Zatem ( a a b c) = c y a z x b y b z c y a x a y a z = b x b y b z. c x c y c z a x b x a z b z + c z a x b x a y b y = Jeżeli wektory a, b, c nie są równoległe do jednej płaszczyzny, to wyznaczają równoległościan w przestrzeni. Jego podstawa ma pole a b, a wysokość h = c cos ϕ, gdzie ϕ jest kątem między c i a b. Zatem objętość wynosi: V = a b c cos ϕ = ( a b) c = ( a b c). Ściślej, ponieważ powyższe rozumowanie milcząco zakłada, że cos ϕ > 0, powinniśmy wziąć wartość bezwzględną. V = ( a b c). 3

4 Wektory a, b, c nierównoległe do jednej płaszczyzny wyznaczają także czworościan. Jego objętość wynosi: V = 1 6 ( a b c). Przykłady 1. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej równoległościanu zbudowanego na wektorach a = [1, 0, 0], b = [1, 1, 2], c = [2, 1, 0]. 2. Dane są trzy wierzchołki czworościanu A = (4, 0, 2), B = (6, 2, 2), C = (4, 4, 6). Wyznaczyć czwarty wierzchołek D wiedząc, że D leży na osi Oy a objętość czworościanu jest równa Wzajemne położenie wektorów Wektory (niezerowe) a i b są ortogonalne (prostopadłe), gdy a b = 0. Wektory a i b są kolinearne (równoległe), gdy a b = 0. Jest to równoważne warunkowi, że ich współrzędne są proporcjonalne, tzn. a x b x = a y b y = a z b z. Jeszcze inaczej: istnieje taka liczba t 0, że a = t b. Trzy wektory niezerowe a, b, c są komplanarne (tzn. leżą w jednej płaszczyźnie), gdy iloczyn mieszany ( a b c) = 0. 3 Płaszczyzna w przestrzeni Położenie płaszczyzny jest określone jednoznacznie, gdy znany jest jeden jej punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) i wektor n = [A, B, C] prostopadły do płaszczyzny. Wtedy, jeżeli P = (x, y, z) jest dowolnym punktem płaszczyzny, to wektor P 0 P leży w tej płaszczyźnie, a więc jest prostopadły do wektora n i z warunku prostopadłości otrzymujemy P 0 P n = 0. (2) Ponieważ P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ], to po obliczeniu iloczynu skalarnego mamy równość: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Wykonując mnożenie i podstawiając Ax 0 By 0 Cz 0 = D otrzymujemy równanie Ax + By + Cz + D = 0, (3) które nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny. Warte odnotowania są niektóre szczególne przypadki położenia płaszczyzny w układzie współrzędnych. Jeżeli płaszczyzna: - przechodzi przez początek układu, to D = 0; - jest równoległa do osi Oz, to C = 0; 4

5 - jest równoległa do osi Oy, to B = 0; - jest równoległa do osi Ox, to A = 0; - jest prostopadła do osi Oz, to A = B = 0, i.t.d. Jeżeli płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu współrzędnych ani nie jest równoległa do żadnej osi układu, to można jej równanie zapisać w postaci odcinkowej: x a + y b + z c = 1. (Aby z równania ogólnego (3) otrzymać odcinkowe wystarczy przenieść D na prawą stronę i podzielić równanie przez D.) Przykład. Napisać równania (ogólne i odcinkowe) płaszczyzn: 1. przechodzącej przez P 0 = (1, 2, 3) i prostopadłej do n = [2, 3, 2]; 2. przechodzącej przez P 0 = (2, 2, 3) i równoległej do wektorów a = [2, 3, 1], b = [ 3, 2, 0] 3. przechodzącej przez punkty P 1 = (1, 0, 2), P 2 = (3, 2, 1), P 3 = (0, 4, 3). 4 Prosta w przestrzeni Położenie prostej l jest określone jednoznacznie, gdy znany jest jeden jej punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) i wektor k = [a, b, c] równoległy do niej (wektor k nazywamy wektorem kierunkowym prostej l). Jeżeli teraz P = (x, y, z) jest dowolnym punktem prostej, to wektor P 0 P jest równoległy do prostej, a więc jest prostopadły do wektora k i z warunku równoległości wektorów otrzymujemy P 0 P = t k dla pewnego t R. (4) Podstawiając P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ], k = [a, b, c] otrzymujemy [x x 0, y y 0, z z 0 ] = [ta, tb, tc] Porównując współrzędne otrzymujemy równości charakteryzujące prostą: l : x = x 0 + ta y = y 0 + tb z = z 0 + tc gdzie t R. (5) Równania (5) nazywamy równaniami parametrycznymi prostej. Przykład. Równania parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P 0 = (2, 3, 5) i równoległej do wektora k = [1, 5, 2] mają postać: x = 2 + t l : y = 3 5t z = 5 + 2t 5 gdzie t R.

6 Jeżeli zamiast wektora znany jest drugi punkt prostej P 1 = (x 1, y 1, z 1 ), to wektorem kierunkowym jest P 0 P 1 = [x 1 x 0, y 1 y 0, z 1 z 0 ]. Przykład. Napisać równania parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty P 0 = (4, 2, 6), P 1 = (2, 2, 3). Wektorem kierunkowym jest tutaj P 0 P 1 = [ 2, 0, 9], zatem: x = 4 2t l : y = 2 z = 6 + 9t gdzie t R. Uwaga. Zamiast punktu P 0 możemy wziąć punkt P 1. Wtedy równania będą postaci x = 2 2t l : y = 2 gdzie t R. z = 3 + 9t Równania (5) możemy przekształcić do postaci: l : x x 0 a y y 0 b z z 0 c = t = t = t, (6) skąd otrzymujemy x x 0 l : = y y 0 = z z 0. (7) a b c Równanie w tej postaci nazywamy równaniem kierunkowym prostej albo równaniem w postaci podwójnej proporcji. Uwaga. W takiej postaci w mianowniku może się pojawić 0 (bo kreska nie jest tu symbolem dzielenia, tylko proporcji). Np. dla prostej l z poprzedniego przykładu równanie kierunkowe ma postać: x 4 2 = y = z lub x 2 2 = y = z 3 9. Występowanie zera w mianowniku oznacza, że licznik też jest równy 0. Przykład Znaleźć punkty, w których prosta x 2 3 = y = z 3 2 przecina płaszczyzny układu współrzędnych. Rozwiązanie. Aby znaleźć przecięcie z Oyz należy podstawić x = 0, skąd 2 3 = y = z 3 2, więc y + 1 = 4 2, z 3 = 2 2, czyli y = 5, z = 13. Zatem punktem przecięcia jest P = (0, 5, 13 ). Analogicznie znajdziemy inne punkty. 3 3 W zagadnieniach praktycznych prosta często pojawia się jako część wspólna (krawędź przecięcia) dwóch płaszczyzn nierównoległych. Jeżeli tymi płaszczyznami są π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 6

7 to prostą l zapisujemy w postaci { A1 x + B l : 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. (8) Mówimy wtedy, że prosta jest w postaci krawędziowej. Postać krawędziowa nie ujawnia wektora kierunkowego prostej, ale dość łatwo można go obliczyć. Wystarczy zauważyć, że ten wektor musi być prostopadły zarówno do wektora [A 1, B 1, C 1 ] (prostopadłego do π 1 ), jak i do wektora [A 2, B 2, C 2 ] (prostopadłego do π 2 ). Zatem k = [A1, B 1, C 1 ] [A 2, B 2, C 2 ]. 5 Niektóre zagadnienia dotyczące prostych i płaszczyzn Znajdowanie rzutu punktu na płaszczyznę. Jeżeli chcemy znaleźć rzut prostopadły punktu P = (x 0, y 0, z 0 ) na płaszczyznę π : Ax + By+Cz+D = 0, to należy napisać równanie prostej przechodzącej przez P i prostopadłej do π (wektor kierunkowy to [A, B, C]) i wyliczyć punkt przecięcia prostej z płaszczyzną. Przykład. Znaleźć rzut punktu P = (1, 2, 4) na płaszczyznę x 3y + 4z 3 = 0. Rozwiązanie. Prosta prostopadła do płaszczyzny (i przechodząca przez P ) ma równanie kierunkowe x 1 = y = z 4 4. Do rachunków jednak wygodniejsze są równania parametryczne: x = 1 + t, y = 2 3t, z = 4 + 4t, bo podstawiając je do równania płaszczyzny obliczymy t = 4, a potem x = 9, y = z = 36. Zatem rzut P = ( 9, ) Odległość punktu od płaszczyzny Gdy chcemy znaleźć odległość punktu P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0, to wystarczy sobie uświadomić, że ta odległość to długość odcinka P 0 P 0, gdzie P 0 jest rzutem prostopadłym punktu P 0 na płaszczyznę. Wykonując rachunki na wzorach ogólnych dojdziemy do wzoru: Odległość płaszczyzn równoległych d(p 0, π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2. (9) Jest to odległość dowolnego punktu jednej płaszczyzny od drugiej płaszczyzny. Przykład. Obliczyć odległość płaszczyzn 2x + 5y z + 7 = 0, 2x + 5y z + 12 = 0. Rozwiązanie. Znajdujemy jakikolwiek punkt pierwszej płaszczyzny; np. przyjmując x = 0, y = 0 obliczamy z = 7. Następnie korzystając ze wzoru (9) obliczamy odległość punktu (0, 0, 7) od płaszczyzny 2x + 5y z + 12 = 0: d = = , 7

8 Znajdowanie rzutu punktu na prostą. Problem jest podobny do znajdowania rzutu punktu na płaszczyznę. Tym razem szukany punkt P jest punktem wspólnym danej prostej i płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt P i jest prostopadła do prostej. Przykład. Wyznaczyć rzut punktu P = (2, 0, 3) na prostą x = 1 + 2t, y = 2 t, z = 1 + 4t. Rozwiązanie. Wektor normalny płaszczyzny odczytujemy z równań prostej: n = [2, 1, 4]. Stąd równanie płaszczyzny: 2x y + 4z + 8 = 0. Dalej podstawiając równania prostej do równania płaszczyzny obliczymy t = 4 7 i P = ( 8 7, 18 7, 9 7 ). Obliczanie kątów między płaszczyznami, między prostymi, między prostą i płaszczyzną Szukany kąt jest zawsze kątem między odpowiednimi wektorami. Należy je znaleźć i skorzystać ze wzoru (1). Przykład. Obliczyć kąt między prostymi l 1 i l 2 : l 1 : x 1 1 = y 2 3 = z 4 2, l 2 : x 3 4 = y = z 4 5. Rozwiązanie. Wektory kierunkowe wynoszą: k 1 = [1, 3, 2], k 2 = [4, 3, 5]. Jeżeli ϕ jest kątem ostrym między tymi wektorami, to ze wzoru (1): cos ϕ = = = Stąd ϕ = arc cos Uwaga. Kąt między prostymi w przestrzeni nie jest figurą geometryczną, bo proste wcale nie muszą się przecinać (mogą być skośne). 6 Krzywe stożkowe 6.1 Okrąg Niech w przestrzeni dane będą dwie proste l i l 1, przecinające się w punkcie W. Jeżeli prosta l 1 będzie obracać się dokoła prostej l, to zakreśli powierzchnię w przestrzeni zwaną powierzchnią stożkową lub po prostu stożkiem. Prostą l nazywamy osią stożka, l 1 tworzącą stożka, a punkt W wierzchołkiem stożka. Stożkowymi nazywamy krzywe, jakie można otrzymać przecinając stożek płaszczyznami nieprzechodzącymi przez wierzchołek. W zależności od kąta jaki tworzy oś stożka z płaszczyzną tnącą uzyskamy okrąg, elipsę, parabolę lub hiperbolę. Powyższe określenie jest poglądowe. Podamy teraz inne definicje tych krzywych. Ponieważ krzywe te są płaskie będziemy traktować je jako podzbiory płaszczyzny Oxy. 8

9 Definicja 3 Okręgiem o środku S i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów P spełniających warunek: SP = r, tj. odległych od środka o r. Jeżeli S = (a, b), P = (x, y), to obliczając SP otrzymamy równanie: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. (10) Wykonując działania w równaniu (10) i podstawiając c = a 2 + b 2 r 2 otrzymamy x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0. (11) Przykład Wyznaczyć środek i promień okręgu x 2 + y 2 12x + 4y + 7 = 0. Rozwiązanie. Z równania mamy a = 6, b = 2, c = 7. Stąd r 2 = 6 2 ( 2) 2 7 = 25. Zatem S = (6, 2), r = 5. Oprócz równań (10) i (11) można okrąg przedstawić przy pomocy równań parametrycznych: x = a + r cos t, y = r sin t, t [0, 2π). 6.2 Elipsa Definicja 4 Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów P spełniających warunek: P F 1 + P F 2 = 2a, gdzie F 1 i F 2 są ustalonymi punktami (nazywanymi ogniskami elipsy), a > 0 jest stałą. Wybierzmy tak układ współrzędnych by ogniska leżały na osi Ox symetrycznie względem O, tj. F 1 = ( c, 0), F 2 = (c, 0) dla pewnego c > 0. Obliczając P F 1, P F 2 otrzymamy równanie: (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a. (12) Stąd (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2. Podnosząc obustronnie do kwadratu i wykonując działania otrzymamy 2xc = 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 2xc, xc a 2 = a (x c) 2 + y 2. Ponownie podnosimy obustronnie do kwadratu: Oznaczmy a 2 c 2 = b 2. Wtedy: x 2 c 2 2xca 2 + a 4 = a 2 x 2 2xca 2 + a 2 c 2 + a 2 y 2, a 2 (a 2 c 2 ) = x 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2. a 2 b 2 = x 2 b 2 + a 2 y 2. 9

10 Po podzieleniu przez a 2 b 2 i zamianie stron otrzymujemy równanie elipsy: x 2 a + y2 = 1. (13) 2 b2 Liczby a i b występujące w równaniu mają prostą interpretację. Jeśli w (13 podstawimy b = 0, to otrzymamy x = ±a, a więc elipsa przecina oś Ox w punktach ( a, 0) i (a, 0). Analogicznie, dla x = 0 jest y = ±b, więc elipsa przecina oś Oy w punktach (0, b) i (0, b). Liczby 2a i 2b nazywamy odpowiednio osią wielką i osią małą elipsy. Natomiast 2c nazywamy ogniskową elipsy. Definicja 5 Liczbę e = c/a nazywamy mimośrodem elipsy. Ponieważ 0 < c < a, więc 0 < e < 1. Mimośród charakteryzuje spłaszczenie elipsy: gdy jest bliski 0, to elipsa jest prawie okręgiem. Im jest większy, tym elipsa jest bardziej spłaszczona. Przykład. Jak wiadomo, planety poruszają się po elipsach. Słońce znajduje się zawsze w jednym z ognisk elipsy. Dla Ziemi półoś wielka a wynosi km, a c = 2, km. Zatem mimośród wynosi 0,017. Jest to więc elipsa bliska okręgowi. Przykład. Szklanka w kształcie walca o wewnętrznej średnicy d = 10 cm i głębokości h = 12 cm jest napełniona do połowy wodą. Jeśli szklankę przechylamy tak, by woda osiągnęła krawędź, to powierzchnia wody będzie ograniczona elipsą. Znaleźć półosie tej elipsy. Odp. a = 7, 8 cm, b = 5 cm. Przykład. Wykazać, że promienie wodzące punktu P (x, y) na elipsie x2 + y2 = 1 a 2 b 2 wyrażają się wzorami: r 1 = a + ex, r 2 = a ex, gdzie e mimośród. Rozwiązanie. Mamy r 1 + r 2 = 2a oraz r 2 1 = (x + c) 2 + y 2, r 2 2 = (x c) 2 + y 2. Odejmując stronami dwie ostatnie równości otrzymamy r 2 1 r 2 2 = 4xc. Dzieląc stronami to równanie przez równanie pierwsze otrzymamy r 1 r 2 = 2xe. Z układu łatwo obliczamy r 1, r Hiperbola r 1 + r 2 = 2a, r 1 r 2 = 2xe Definicja 6 Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów P spełniających warunek: P F 1 P F 2 = 2a, gdzie F 1 i F 2 są ustalonymi punktami (nazywanymi ogniskami hiperboli), a > 0 jest stałą. Podobnie jak dla elipsy, wybierzmy tak układ współrzędnych by ogniska leżały na osi Ox symetrycznie względem O, tj. F 1 = ( c, 0), F 2 = (c, 0) dla pewnego c > 0. Obliczając P F 1, P F 2 otrzymamy równanie: (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = 2a. (14) 10

11 Po rachunkach przeprowadzanych analogicznie jak dla elipsy i przyjęciu oznaczenia c 2 a 2 = b 2 otrzymujemy równanie hiperboli: x 2 a y2 = 1. (15) 2 b2 Jeśli w (13) podstawimy b = 0, to otrzymamy x = ±a, a więc hiperbola przecina oś Ox w punktach ( a, 0) i (a, 0). Te punkty nazywamy wierzchołkami hiperboli. Ale dla x = 0 otrzymujemy równanie sprzeczne y2 = 1. Zatem współczynnik b nie ma interpretacji b 2 geometrycznej. Liczby 2a i 2b nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i osią urojoną hiperboli. Natomiast 2c nazywamy ogniskową hiperboli. Definicja 7 Liczbę e = c/a nazywamy mimośrodem hiperboli. Ponieważ teraz 0 < a < c, więc e > 1. Definicja 8 Hiperbolę x2 a + y2 = 1. (16) 2 b2 nazywamy hiperbolą sprzężoną z hiperbolą (15). Wierzchołki i ogniska hiperboli (16) leżą na osi Oy. Można dość łatwo wykazać następujące twierdzenie. Twierdzenie 2 Proste y = ± b a x (17) są asymptotami hiperboli (15) i (16). Przykład Dana jest hiperbola x 2 y 2 = 8. Napisać równanie hiperboli współogniskowej przechodzącej przez punkt A( 5, 3). Odp. x2 y2 = Przykład Napisać równania stycznych do hiperboli 4x 2 y 2 = 4 poprowadzonych z punktu A(1, 4). Odp. x = 1, 5x 2y + 3 = 0. Przykład Czy dla hiperboli prawdziwe jest zdanie: hiperbola składa się z punktów, dla których iloczyn odległości od asymptot jest stały? Odp. Tak, dla hiperboli (15) wynosi on a2 b 2. a 2 +b Parabola Definicja 9 Parabolą nazywamy zbiór wszystkich punktów P spełniających warunek: P F = d(p, l) gdzie F jest ustalonym punktem (nazywanym ogniskiem paraboli), a l jest ustaloną prostą (kierownicą paraboli). 11

12 Wybierzmy tak układ współrzędnych by ognisko leżało na osi Ox, kierownica była równoległa do osi Oy a początek układu O był w środku między nimi. Przyjmijmy, że ognisko F ma współrzędne (p/2, 0), a kierownica ma równanie x = p/2. Dowolny punkt P (x, y) paraboli spełnia równanie: (x p 2 )2 + y 2 = x + p 2 Po podniesieniu do kwadratu i dokonaniu redukcji otrzymamy równanie paraboli w postaci y 2 = 2px. (18) Współczynnik p nazywamy parametrem paraboli. Przy powyższych założeniach parabola przechodzi przez punkt (0, 0) (który nazywamy wierzchołkiem) i osią symetrii wykresu jest oś Ox. Nieco ogólniejsze równanie (y y 0 ) 2 = 2p(x x 0 ) (19) przedstawia parabolę o osi poziomej i wierzchołku w punkcie (x 0, y 0 ). Gdybyśmy tę parabolę obrócili o kąt π w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek 2 zegara, to będzie ona miała równanie (x x 0 ) 2 = 2p(y y 0 ), które po wykonaniu działań można sprowadzić do postaci y = ax 2 + bx + c. Jest to postać znana ze szkoły średniej. Wierzchołek takiej paraboli ma współrzędne x w = b 2a, y w = 4a, gdzie = b2 4ac. Przykład Napisać równanie paraboli, mając dane ognisko F (2, 1) i równanie kierownicy x y 1 = 0. Przykład Ustalić warunek, przy którym prosta y = mx + b jest styczna do paraboli y 2 = 2px. Przykład Udowodnić, że styczne do paraboli y 2 = 2px poprowadzone z dowolnego punktu kierownicy są wzajemnie prostopadłe. 12

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,

Bardziej szczegółowo

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria

Bardziej szczegółowo

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6. Ekoenergetyka Matematyka. Wykład 6. RÓWNANIA PŁASZCZYZN Fakt (równanie normalne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i prostopadłej

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

Geometria. Hiperbola

Geometria. Hiperbola Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,

Bardziej szczegółowo

(a) (b) (c) o1" o2" o3" o1'=o2'=o3'

(a) (b) (c) o1 o2 o3 o1'=o2'=o3' Zad.0. Odwzorowanie powierzchni stożka, walca, sfery oraz punktów leżących na tych powierzchniach. Przy odwzorowaniu powierzchni stożka, walca, sfery przyjmiemy reprezentację konturową, co oznacza, że

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest parabola? Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X

Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty..

Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty.. 4. Proste równoległe i prostopadłe Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty.. Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,

DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, TEMATYKA: Współliniowość Współpłaszczyznowość Ćwiczenia nr DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, Podstawowe aksjomaty (zdanie, którego

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe. Algebra. Aleksander Denisiuk

Krzywe stożkowe. Algebra. Aleksander Denisiuk Algebra Krzywe stożkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Krzywe stożkowe

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja V: Elipsa

Krzywe stożkowe Lekcja V: Elipsa Krzywe stożkowe Lekcja V: Elipsa Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest elipsa? Elipsa jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem α < β < π 2 (gdzie α jest

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)

Bardziej szczegółowo

SPIS RZECZY. GEOMETRJA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE.

SPIS RZECZY. GEOMETRJA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE. SPIS RZECZY. CZĘŚĆ PIERWSZA. GEOMETRJA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE. ROZDZIAŁ I. Współrzędne na płaszczyźnie. Wektory. 1. Uwaga wstępna 1 2. Współrzędne punktu 1 3. Położenie wektora na osi 4 4. Kąt między

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

Układy współrzędnych

Układy współrzędnych Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Geometria Analityczna w Przestrzeni

Geometria Analityczna w Przestrzeni Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania

Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Rozważmy sferę S o środku O i promieniu R. Inwersją względem sfery S nazywamy przekształcenie, które przekształca punkt A na punkt A leżący na półprostej

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.

I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. dobrą, bardzo - oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; - zna

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

3.3. dwie płaszczyzny równoległe do siebie α β Dwie płaszczyzny równoległe do siebie mają ślady równoległe do siebie

3.3. dwie płaszczyzny równoległe do siebie α β Dwie płaszczyzny równoległe do siebie mają ślady równoległe do siebie Widoczność A. W rzutowaniu europejskim zakłada się, że przedmiot obserwowany znajduje się między obserwatorem a rzutnią, a w amerykańskim rzutnia rozdziela przedmiot o oko obserwatora. B. Kierunek patrzenia

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ELEMENTARNA

GEOMETRIA ELEMENTARNA Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych

Bardziej szczegółowo

Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski

Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora

Bardziej szczegółowo

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Geometria Lista 0 Zadanie 1 Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H

O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H 1. Niech A = {(x, y) R R : 3 x +4 x = 5 y } będzie zbiorem rozwiązań równania 3 x +4 x = 5 y w liczbach rzeczywistych. Wówczas zbiór A i zbiór N N mają

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa - podsumowanie

Funkcja liniowa - podsumowanie Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI Zadania zamknięte (0- pkt) Zadanie Jeżeli a = log 6 to a jest równe: 4 A. B. C. - Zadanie Warunek x ; 8 jest rozwiązaniem nierówności: A. x + 5 > B. x 5 C. x 5 x + 5 Zadanie Wskaż warunek, który opisuje

Bardziej szczegółowo

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w

Bardziej szczegółowo