Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
|
|
- Przybysław Białek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] = [3, 1, 0] a także mnożyć przez skalar (liczbę): 3 [2, 3, 1] = [6, 9, 3] Nieco trudniejsze (i nie tak naturalne) jest mnożenie wektora przez wektor. Iloczyn skalarny wektorów Formalna definicja to: a b = a b cos ( a, b), gdzie v to długość wektora, która dla wektora v = [v x, v y, v z ] jest równa v = v 2 x + v 2 y + v 2 z. Natomiast praktyczny sposób liczenia dla wektorów [v x, v y, v z ] i [w x, w y, w z ] to: [v x, v y, v z ] [w x, w y, w z ] = v x w x + v y w y + v z w z na przykład: [2, 3, 1] [1, 1, 2] = ( 1) Warto zwrócić uwagę, że po pierwsze iloczyn skalarny wektorów jest liczbą, a po drugie z definicji wynika, że jest równy zero wtedy i tylko wtedy gdy mnożymy dwa wektory prostopadłe (przyjmujemy przy tym, że wektor zerowy jest prostopadły do dowolnego wektora). Działania na wektorach Iloczyn wektorowy wektorów Formalna definicja iloczynu wektorowego brzmi: a b to wektor prostopadły do wektorów a i b, o długości równej polu równoległoboku rozpiętego przez dwa wyjściowe wektory, oraz o zwrocie takim, żeby układ a, b, a b był dodatnio zorientowany. W praktyce aby policzyć iloczyn wektorowy wektorów [v x, v y, v z ] i [w x, w y, w z ] liczymy wyznacznik macierzy: i j k v x v y v z w x w y w z gdzie i, j, k są wersorami jednostkowymi. Przykładowy rachunek dla wektorów [2, 3, 1] i [1, 1, 2] to: i j k [2, 3, 1] [1, 1, 2] = = 6i + j 2k 3k + i 4j = 7i 3j 5k = [7, 3, 5] Aby sprawdzić poprawność rachunku można (przy użyciu iloczynu skalarnego) sprawdzić czy wektor który nam wyszedł jest prostopadły do dwóch wyjściowych wektorów. Warto zwrócić uwagę, że po pierwsze iloczyn wektorowy wektorów jest wektorem, a po drugie z definicji wynika, że jest równy zero wtedy i tylko wtedy gdy wyjściowe wektory są równoległe (przyjmujemy przy tym, że wektor zerowy jest równoległy do dowolnego wektora). Ponadto, co szczególnie ważne, dzięki iloczynowi wektorowemu zawsze możemy znaleźć wektor prostopadły do dwóch danych (a to bardzo często przydaje się w geometrii analitycznej). Iloczyn mieszany wektorów Iloczyn mieszany trzech wektorów a, b, c jest to liczba ( a b) c i oznaczamy ją a b c u x u y u z Praktycznie iloczyn mieszany wektorów [u x, u y, u z ], [v x, v y, v z ] i [w x, w y, w z ] liczymy jako wyznacznik v x v y v z w x w y w z Oznaczmy przez A, B, C, D dowolne punkty w R 3 Wtedy: Pole trójkąta ABC to 1 2 AB AC Objętość czworościanu ABCD to 1 6 AB AC AD Objętość równoległościanu zbudowanemu na wektorach AB, AC i AD to AB AC AD Ćwiczenia Wyznacz iloczyny skalarny i wektorowy dla następujących par wektorów: a) [1, 0, 0] i [0, 2, 3] b) [1, 1, 1] i [ 2, 1, 4] c) [1, 3, 1] i [2, 5, 2] Równanie płaszczyzny w R 3 Równanie ogólne płaszczyzny (najważniejsze) to: Ax + By + Cz + D = 0
2 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 2 (gdzie A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zero) n = [A, B, C] to wektor normalny płaszczyzny, czyli wektor, który jest do niej prostopadły. Można powiedzieć, że wektor normalny wyznacza kierunek płaszczyzny. Żeby mieć jednoznacznie wyznaczoną płaszczyznę, wystarczy znać jej wektor normalny oraz dowolny punkt. Warto też wiedzieć, że równanie płaszczyzny o wektorze normalnym [A, B, C] i przechodzącej przez punkt (x 0, y 0, z 0 ) to A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Inne postaci płaszczyzny to: ˆ Postać odcinkowa: x a + y b + z - to płaszczyzna przechodząca przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c). c x = x 0 + a 1 t + a 2 s ˆ Postać parametryczna: y = y 0 + b 1 t + b 2 s, gdzie (x 0, y 0, z 0 ) to dowolny punkt płaszczyzny, a [a 1, b 1, c 1 ] i [a 2, b 2, c 2 ] z = z 0 + c 1 t + c 2 s to dwa wektory równoległe do płaszczyzny (ale nierównoległe wzajemnie) ˆ Postać wektorowa: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t v + s w - oznaczenia jak wyżej, tylko wektory zostały nazwane v i w W dwóch ostatnich przypadkach do płaszczyzny należą te i tylko te punkty, których współrzędne są powyższej postaci dla pewnych parametrów t, s. Prosta w R 3 Prostej w przestrzeni trójwymiarowej nie da się opisać jednym równaniem liniowym, dlatego musimy poradzić sobie inaczej. Postaci w jakiej można przedstawić prostą to: ˆ Postać kierunkowa: x x0 a = y y0 b = z z0 c x = x 0 + at ˆ Postać parametryczna y = y 0 + bt z = z 0 + ct ˆ Postać wektorowa: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t [a, b, c] W każdej z tych postaci (x 0, y 0, z 0 ) jest dowolnym punktem prostej, a k = [a, b, c] to wektor kierunkowy prostej, czyli (jak sama nazwa wskazuje) wektor, który wyznacza nam kierunek prostej. Równanie prostej w R 3 Jest jeszcze jedna możliwość zadania prostej - z uwagi na to, że dwie nierównoległe płaszczyzny przecinają się zawsze wzdłuż prostej, można powiedzieć o którą prostą nam chodzi wskazując dwie płaszczyzny do których ona należy. Taki sposób przedstawienia prostej nazywa się postacią krawędziową. Odległość punktu od płaszczyzny Warto jeszcze znać wzór na odległość punktu (x 0, y 0, z 0 ) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 Wskazówki Ogólne wskazówki przy rozwiązywaniu zadań z geometrii analitycznej: ˆ Warto wyobrazić sobie i narysować sytuację z zadania. ˆ Należy uzmysłowić sobie co jest potrzebne do rozwiązania, przykładowo: jeśli szukamy płaszczyzny, potrzebny jest nam wektor normalny i dowolny punkt; jeśli szukamy prostej potrzebny jest nam wektor kierunkowy i dowolny punkt. ˆ Trzeba zastanowić się skąd wziąć szukane wektory (może są do czegoś prostopadłe albo równoległe?) i punkty (może są podane w zadaniu, może są częścią wspólną prostej i płaszczyzny?). ˆ Bardzo często przydaje się fakt, że jeśli mamy dane dwa wektory, to prostopadły do nich jest ich iloczyn wektorowy. ˆ Przed przystąpieniem do rachunków sensownie jest zrobić sobie plan działania, rozpisując sobie czego po kolei szukamy i wyjaśnić jak doprowadzi nas to do celu.
3 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 3 Przykładowe zadania z rozwiązaniami Zadanie 1: Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1, 2, 3), B(1, 1, 0), C( 2, 1, 1). Rozwiązanie: Aby wyznaczyć równanie płaszczyzny potrzebujemy znaleźć jej wektor normalny oraz dowolny punkt. Punkt (a nawet trzy) oczywiście już mamy. Pozostaje więc znaleźć wektor normalny. Wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny, w szczególności więc jest też prostopadły do każdej prostej należącej do tej płaszczyzny i do każdego odcinka należącego do tej płaszczyzny. Jest więc prostopadły na przykład do odcinków AB i AC, a zatem także do wektorów AB i AC. W takim razie wektorem normalnym (przykładowym) jest iloczyn wektorowy dwóch powyższych wektorów: AB = B A = (1, 1, 0) (1, 2, 3) = [0, 3, 3] AC = C A = ( 2, 1, 1) (1, 2, 3) = [ 3, 1, 2] n = AB i j k AC = = [3, 9, 9] zatem uwzględniając na przykład punkt A otrzymujemy równanie płaszczyzny:3(x 1) + 9(y 2) 9(z 3) = 0 czyli po prostych przekształceniach: x + 3y 3z + 2 = 0. Warto zwrócić uwagę, że gdybyśmy zamiast punktu A wykorzystali na przykład punkt B - wyszłoby dokładnie to samo. Zadanie 2: Wyznacz równanie kierunkowe prostej prostopadłej do prostych: l 1 x 1 = y 2 0 = z 2 x + y + z i l 3 2 3x 2y + z = 3 oraz zawierającej punkt P (2, 1, 3) Rozwiązanie: Szukamy równania prostej, zatem potrzebny jest nam punkt i wektor kierunkowy. Punkt już oczywiście mamy - jest to P, pozostaje więc zastanowić się jak wygląda wektor kierunkowy. Skoro szukana prosta jest prostopadła do prostych l 1 i l 2, to znaczy, że jej wektor kierunkowy jest prostopadły do wektorów kierunkowych tych prostych, a zatem jest iloczynem wektorowym tych wektorów kierunkowych. Wektor kierunkowy l 1 mamy za darmo - jest to k 1 = [2, 0, 3]. Zauważmy teraz, że prosta która jest częścią wspólną dwóch płaszczyzn, jest prostopadła do wektorów normalnych tych płaszczyzn, czyli jej wektor kierunkowy także. Stąd wektor kierunkowy l 2 jest iloczynem wektorowym wektorów [1, 1, 1] i [3, 2, 1]: i j k k 2 = [1, 1, 1] [3, 2, 1] 1 1 = [3, 2, 5] Tak więc szukany wektor kierunkowy to: k = k 1 k i j k 2 = = [ 6, 19, 4] i ostatecznie nasza prosta ma postać: x 2 6 = y 1 19 = z 3 4 Uwaga: jeśli szukamy prostej prostopadłej do dwóch danych, to wystarczy wiedzieć, że wektor kierunkowy szukanej prostej jest prostopadły do wektorów kierunkowych prostych. Gdybyśmy natomiast szukali płaszczyzny prostopadłej do dwóch danych, to wystarczyłoby wiedzieć, że wektor normalny szukanej płaszczyzny jest prostopadły do wektorów normalnych danych płaszczyzn. Zadanie 3: Znajdź rzut prostopadły punktu A(4, 2, 7) na płaszczyznę π x 2y + 3z 1 = 0. Rozwiązanie: Oznaczmy szukany rzut przez A. Oczywiście A π. Skoro rzut jest prostopadły, to znaczy, że odcinek AA jest prostopadły do płaszczyzny π, a zatem także prosta wyznaczona przez ten odcinek jest prostopadła do π. Ale skoro ta prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to znaczy, że wektor normalny płaszczyzny jest zarazem wektorem kierunkowym tej prostej. Tak więc nasza prosta ma równanie kierunkowe: x 4, lub w postaci parametrycznej: x = 4 + t y = 2 2t z = 7 + 3t Inaczej mówiąc - każdy punkt prostej AA jest postaci (4 + t, 2 2t, 7 + 3t) dla pewnego t rzeczywistego. My natomiast szukamy punktu A, który nie dość, że należy do tej prostej (czyli jest tej postaci), to jeszcze należy do płaszczyzny π, a to oznacza, że jego współrzędne spełniają równanie tej płaszczyzny. Wystarczy zatem podstawić te współrzędne do równania: = y = z 7 3
4 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 4 (4 + t) 2( 2 2t) + 3(7 + 3t) 1 = 0 14t + 28 = 0 t = 2 Tak więc współrzędne punktu A to: (4 + ( 2), 2 2 ( 2), ( 2)) = (2, 2, 1) i to jest właśnie szukany rzut. Uwaga: gdybyśmy rzutowali punkt na prostą, to musielibyśmy znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do tej prostej i zawierającej wyjściowy punkt. Szukany rzut jest wtedy częścią wspólną tej płaszczyzny i wyjściowej prostej. Ćwiczenia 1)Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2, 2) i B( 1, 3, 1). 2)Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1, 2, 2), B( 1, 3, 1) i C(3, 2, 2). 3)Wyznacz rzut prostopadły punktu P (4, 3, 4) na płaszczyznę π x + y 2x + 3 = 0. 4)Wyznacz równanie płaszczyzny zawierającej punkt (0, 0, 0) i prostopadłej do płaszczyzn: x+2y+4z = 3 oraz x+3y+z = 0. 5)Wyznacz równanie prostej zawierającej punkt A(2, 1, 2) i przecinającej prostopadle prostą: l: x 2 = y 3 = z )Wyznacz punkt symetryczny do punktu P (2, 2, 2) względem płaszczyzny π x + y z + 1 = 0. 7) Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (1, 2, 0) i prostopadłej do płaszczyzny x + y 3z 1 = 0 oraz do płaszczyzny x y + z = 0. 8)Znajdź równanie rzutu prostopadłego prostej x 1 2 = y 0 = z+1 3 na płaszczyznę x + 3y z = 0. Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie Krzywa drugiego stopnia na płaszczyźnie wyraża się ogólnym wzorem: E + F y 2 + Gxy + Hx + Iy + J = 0,gdzie E 0 F 0 G 0 Każda taka krzywa daje się sprowadzić przez obrót i przesunięcie do postaci kanonicznej - np. x Elipsa 2 Hiperbola x = 2py Parabola Prosta = a Dwie proste równoległe a a 2 = y2 b 2 Dwie proste przecinające się Przykład: Dane jest równanie: + y 2 4x 6y + 4 = 0. Jaka to krzywa? Rozwiązanie: + y 2 4x 6y + 4 = 0 4x y 2 6y + 9 = 9 (x 2) 2 + (y 3) 2 = 3 2 Otrzymaliśmy okrąg o środku w punkcie (2,3) i promieniu 3.. Powierzchnie drugiego stopnia Powierzchnię drugiego stopnia wyraża się ogólnym wzorem: E + F y 2 + Gz 2 + Hxy + Ixz + Jxz + Kx + Ly + Mz + N = 0,gdzie E 0 F 0 G 0 H 0 I 0 J 0 Każda taka powierzchnia daje się sprowadzić przez obrót i przesunięcie do postaci kanonicznej Przykład: Dane jest równanie: + y 2 + z 2 2x 2y 2 = 0. Jaka to krzywa? Rozwiązanie: + y 2 + z 2 2x 2y 2 = 0 2x y 2 2y z 2 4 = 0 (x 1) 2 + (y 1) 2 + z 2 = 2 2 Otrzymaliśmy sferę o środku w punkcie (1,1,0) i promieniu 2.. Powierzchnie drugiego stopnia: Elipsoida Hiperboloida jednopowłokowa
5 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 5 + z2 c 2 Hiperboloida dwupowłokowa z2 c 2 Stożek z2 c 2 Paraboloida eliptyczna z2 = 0 c 2 Paraboloida hiperboliczna = 2pz Walec eliptyczny = 2pz Walec hiperboliczny
6 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 6 Walec paraboliczny = 2py Dwie przecinające się płaszczyzny Dwie płaszczyzny równoległe = 0 a 2
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoProsta, płaszczyzna, powierzchnie drugiego. stopnia. stopnia. JJ, IMiF UTP
JJ, IMiF UTP 16 PŁASZCZYZNA W R 3 Równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora n = [A, B, C] i przechodzącej przez punkt P 1 (x 1, y 1, z 1 ): A(x x 1 ) + B(y y 1 ) + C(z z 1 ) = 0. n = [A, B, C] P 1 (x
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowo1 Działania na macierzach
1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5
Bardziej szczegółowoProsta i płaszczyzna w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.
Ekoenergetyka Matematyka. Wykład 6. RÓWNANIA PŁASZCZYZN Fakt (równanie normalne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i prostopadłej
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoWektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk
Algebra Wektory Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wektory Najnowsza wersja
Bardziej szczegółowoKMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D
KMO2D Kolizje między-obiektowe w 2D I. Wstęp 3 lata temu na temat kolizji nie miałem żadnego pojęcia. Przyszedł jednak czas, gdy postanowiłem napisać pierwszą porządną grę i pojawił się, wtedy problem.
Bardziej szczegółowoGeometria Analityczna w Przestrzeni
Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoM10. Własności funkcji liniowej
M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoDEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,
TEMATYKA: Współliniowość Współpłaszczyznowość Ćwiczenia nr DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, Podstawowe aksjomaty (zdanie, którego
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoAUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI
UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Algebra liniowa i geometria analityczna II Linear algebra and geometry II Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoOdległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.
GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)
Bardziej szczegółowoDwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty..
4. Proste równoległe i prostopadłe Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty.. Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym,
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
FUNKCJA LINIOWA Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? R: Przedstawiona prosta, jest wykresem funkcji
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoSkrypt z Algebry Liniowej 2
Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny specjalność: matematyka nauczycielska Barbara Szczepańska Skrypt z Algebry Liniowej 2 Praca magisterska napisana pod kierunkiem
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoSYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ
SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoGeometria. Hiperbola
Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoAby opisać strukturę krystaliczną, konieczne jest określenie jej części składowych: sieci przestrzennej oraz bazy atomowej.
2. Podstawy krystalografii Podczas naszych zajęć skupimy się przede wszystkim na strukturach krystalicznych. Kryształem nazywamy (def. strukturalna) substancję stałą zbudowaną z atomów, jonów lub cząsteczek
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 Niech r ( t ) [ x( t), y( t), z( t)], t I ( r ( t ) x( t) i y( t) j z( t) k, t I ) będzie równaniem wektorowym krzywej w R 3. Definicja Krzywą o równaniu r ( t ) [ a cost,
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoSkrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowo1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza
1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
Bardziej szczegółowoI. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. dobrą, bardzo - oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; - zna
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoRozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja
Bardziej szczegółowoMATURA 2012. Powtórka do matury z matematyki. Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.
MATURA 2012 Powtórka do matury z matematyki Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.pl Witaj, otrzymałeś już ósmą z dziesięciu części materiałów powtórkowych
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoTomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)
Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoSPIS RZECZY. GEOMETRJA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE.
SPIS RZECZY. CZĘŚĆ PIERWSZA. GEOMETRJA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE. ROZDZIAŁ I. Współrzędne na płaszczyźnie. Wektory. 1. Uwaga wstępna 1 2. Współrzędne punktu 1 3. Położenie wektora na osi 4 4. Kąt między
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoALGEBRA Tematyka LITERATURA
ALGEBRA Tematyka Podstawowe pojęcia algebry: działania, własności działań. Struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe. Ciała liczbowe: ciało liczb wymiernych, ciało liczb rzeczywistych,
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje
Bardziej szczegółowo