Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Transkrypt

1 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] = [3, 1, 0] a także mnożyć przez skalar (liczbę): 3 [2, 3, 1] = [6, 9, 3] Nieco trudniejsze (i nie tak naturalne) jest mnożenie wektora przez wektor. Iloczyn skalarny wektorów Formalna definicja to: a b = a b cos ( a, b), gdzie v to długość wektora, która dla wektora v = [v x, v y, v z ] jest równa v = v 2 x + v 2 y + v 2 z. Natomiast praktyczny sposób liczenia dla wektorów [v x, v y, v z ] i [w x, w y, w z ] to: [v x, v y, v z ] [w x, w y, w z ] = v x w x + v y w y + v z w z na przykład: [2, 3, 1] [1, 1, 2] = ( 1) Warto zwrócić uwagę, że po pierwsze iloczyn skalarny wektorów jest liczbą, a po drugie z definicji wynika, że jest równy zero wtedy i tylko wtedy gdy mnożymy dwa wektory prostopadłe (przyjmujemy przy tym, że wektor zerowy jest prostopadły do dowolnego wektora). Działania na wektorach Iloczyn wektorowy wektorów Formalna definicja iloczynu wektorowego brzmi: a b to wektor prostopadły do wektorów a i b, o długości równej polu równoległoboku rozpiętego przez dwa wyjściowe wektory, oraz o zwrocie takim, żeby układ a, b, a b był dodatnio zorientowany. W praktyce aby policzyć iloczyn wektorowy wektorów [v x, v y, v z ] i [w x, w y, w z ] liczymy wyznacznik macierzy: i j k v x v y v z w x w y w z gdzie i, j, k są wersorami jednostkowymi. Przykładowy rachunek dla wektorów [2, 3, 1] i [1, 1, 2] to: i j k [2, 3, 1] [1, 1, 2] = = 6i + j 2k 3k + i 4j = 7i 3j 5k = [7, 3, 5] Aby sprawdzić poprawność rachunku można (przy użyciu iloczynu skalarnego) sprawdzić czy wektor który nam wyszedł jest prostopadły do dwóch wyjściowych wektorów. Warto zwrócić uwagę, że po pierwsze iloczyn wektorowy wektorów jest wektorem, a po drugie z definicji wynika, że jest równy zero wtedy i tylko wtedy gdy wyjściowe wektory są równoległe (przyjmujemy przy tym, że wektor zerowy jest równoległy do dowolnego wektora). Ponadto, co szczególnie ważne, dzięki iloczynowi wektorowemu zawsze możemy znaleźć wektor prostopadły do dwóch danych (a to bardzo często przydaje się w geometrii analitycznej). Iloczyn mieszany wektorów Iloczyn mieszany trzech wektorów a, b, c jest to liczba ( a b) c i oznaczamy ją a b c u x u y u z Praktycznie iloczyn mieszany wektorów [u x, u y, u z ], [v x, v y, v z ] i [w x, w y, w z ] liczymy jako wyznacznik v x v y v z w x w y w z Oznaczmy przez A, B, C, D dowolne punkty w R 3 Wtedy: Pole trójkąta ABC to 1 2 AB AC Objętość czworościanu ABCD to 1 6 AB AC AD Objętość równoległościanu zbudowanemu na wektorach AB, AC i AD to AB AC AD Ćwiczenia Wyznacz iloczyny skalarny i wektorowy dla następujących par wektorów: a) [1, 0, 0] i [0, 2, 3] b) [1, 1, 1] i [ 2, 1, 4] c) [1, 3, 1] i [2, 5, 2] Równanie płaszczyzny w R 3 Równanie ogólne płaszczyzny (najważniejsze) to: Ax + By + Cz + D = 0

2 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 2 (gdzie A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zero) n = [A, B, C] to wektor normalny płaszczyzny, czyli wektor, który jest do niej prostopadły. Można powiedzieć, że wektor normalny wyznacza kierunek płaszczyzny. Żeby mieć jednoznacznie wyznaczoną płaszczyznę, wystarczy znać jej wektor normalny oraz dowolny punkt. Warto też wiedzieć, że równanie płaszczyzny o wektorze normalnym [A, B, C] i przechodzącej przez punkt (x 0, y 0, z 0 ) to A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Inne postaci płaszczyzny to: ˆ Postać odcinkowa: x a + y b + z - to płaszczyzna przechodząca przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c). c x = x 0 + a 1 t + a 2 s ˆ Postać parametryczna: y = y 0 + b 1 t + b 2 s, gdzie (x 0, y 0, z 0 ) to dowolny punkt płaszczyzny, a [a 1, b 1, c 1 ] i [a 2, b 2, c 2 ] z = z 0 + c 1 t + c 2 s to dwa wektory równoległe do płaszczyzny (ale nierównoległe wzajemnie) ˆ Postać wektorowa: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t v + s w - oznaczenia jak wyżej, tylko wektory zostały nazwane v i w W dwóch ostatnich przypadkach do płaszczyzny należą te i tylko te punkty, których współrzędne są powyższej postaci dla pewnych parametrów t, s. Prosta w R 3 Prostej w przestrzeni trójwymiarowej nie da się opisać jednym równaniem liniowym, dlatego musimy poradzić sobie inaczej. Postaci w jakiej można przedstawić prostą to: ˆ Postać kierunkowa: x x0 a = y y0 b = z z0 c x = x 0 + at ˆ Postać parametryczna y = y 0 + bt z = z 0 + ct ˆ Postać wektorowa: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t [a, b, c] W każdej z tych postaci (x 0, y 0, z 0 ) jest dowolnym punktem prostej, a k = [a, b, c] to wektor kierunkowy prostej, czyli (jak sama nazwa wskazuje) wektor, który wyznacza nam kierunek prostej. Równanie prostej w R 3 Jest jeszcze jedna możliwość zadania prostej - z uwagi na to, że dwie nierównoległe płaszczyzny przecinają się zawsze wzdłuż prostej, można powiedzieć o którą prostą nam chodzi wskazując dwie płaszczyzny do których ona należy. Taki sposób przedstawienia prostej nazywa się postacią krawędziową. Odległość punktu od płaszczyzny Warto jeszcze znać wzór na odległość punktu (x 0, y 0, z 0 ) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 Wskazówki Ogólne wskazówki przy rozwiązywaniu zadań z geometrii analitycznej: ˆ Warto wyobrazić sobie i narysować sytuację z zadania. ˆ Należy uzmysłowić sobie co jest potrzebne do rozwiązania, przykładowo: jeśli szukamy płaszczyzny, potrzebny jest nam wektor normalny i dowolny punkt; jeśli szukamy prostej potrzebny jest nam wektor kierunkowy i dowolny punkt. ˆ Trzeba zastanowić się skąd wziąć szukane wektory (może są do czegoś prostopadłe albo równoległe?) i punkty (może są podane w zadaniu, może są częścią wspólną prostej i płaszczyzny?). ˆ Bardzo często przydaje się fakt, że jeśli mamy dane dwa wektory, to prostopadły do nich jest ich iloczyn wektorowy. ˆ Przed przystąpieniem do rachunków sensownie jest zrobić sobie plan działania, rozpisując sobie czego po kolei szukamy i wyjaśnić jak doprowadzi nas to do celu.

3 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 3 Przykładowe zadania z rozwiązaniami Zadanie 1: Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1, 2, 3), B(1, 1, 0), C( 2, 1, 1). Rozwiązanie: Aby wyznaczyć równanie płaszczyzny potrzebujemy znaleźć jej wektor normalny oraz dowolny punkt. Punkt (a nawet trzy) oczywiście już mamy. Pozostaje więc znaleźć wektor normalny. Wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny, w szczególności więc jest też prostopadły do każdej prostej należącej do tej płaszczyzny i do każdego odcinka należącego do tej płaszczyzny. Jest więc prostopadły na przykład do odcinków AB i AC, a zatem także do wektorów AB i AC. W takim razie wektorem normalnym (przykładowym) jest iloczyn wektorowy dwóch powyższych wektorów: AB = B A = (1, 1, 0) (1, 2, 3) = [0, 3, 3] AC = C A = ( 2, 1, 1) (1, 2, 3) = [ 3, 1, 2] n = AB i j k AC = = [3, 9, 9] zatem uwzględniając na przykład punkt A otrzymujemy równanie płaszczyzny:3(x 1) + 9(y 2) 9(z 3) = 0 czyli po prostych przekształceniach: x + 3y 3z + 2 = 0. Warto zwrócić uwagę, że gdybyśmy zamiast punktu A wykorzystali na przykład punkt B - wyszłoby dokładnie to samo. Zadanie 2: Wyznacz równanie kierunkowe prostej prostopadłej do prostych: l 1 x 1 = y 2 0 = z 2 x + y + z i l 3 2 3x 2y + z = 3 oraz zawierającej punkt P (2, 1, 3) Rozwiązanie: Szukamy równania prostej, zatem potrzebny jest nam punkt i wektor kierunkowy. Punkt już oczywiście mamy - jest to P, pozostaje więc zastanowić się jak wygląda wektor kierunkowy. Skoro szukana prosta jest prostopadła do prostych l 1 i l 2, to znaczy, że jej wektor kierunkowy jest prostopadły do wektorów kierunkowych tych prostych, a zatem jest iloczynem wektorowym tych wektorów kierunkowych. Wektor kierunkowy l 1 mamy za darmo - jest to k 1 = [2, 0, 3]. Zauważmy teraz, że prosta która jest częścią wspólną dwóch płaszczyzn, jest prostopadła do wektorów normalnych tych płaszczyzn, czyli jej wektor kierunkowy także. Stąd wektor kierunkowy l 2 jest iloczynem wektorowym wektorów [1, 1, 1] i [3, 2, 1]: i j k k 2 = [1, 1, 1] [3, 2, 1] 1 1 = [3, 2, 5] Tak więc szukany wektor kierunkowy to: k = k 1 k i j k 2 = = [ 6, 19, 4] i ostatecznie nasza prosta ma postać: x 2 6 = y 1 19 = z 3 4 Uwaga: jeśli szukamy prostej prostopadłej do dwóch danych, to wystarczy wiedzieć, że wektor kierunkowy szukanej prostej jest prostopadły do wektorów kierunkowych prostych. Gdybyśmy natomiast szukali płaszczyzny prostopadłej do dwóch danych, to wystarczyłoby wiedzieć, że wektor normalny szukanej płaszczyzny jest prostopadły do wektorów normalnych danych płaszczyzn. Zadanie 3: Znajdź rzut prostopadły punktu A(4, 2, 7) na płaszczyznę π x 2y + 3z 1 = 0. Rozwiązanie: Oznaczmy szukany rzut przez A. Oczywiście A π. Skoro rzut jest prostopadły, to znaczy, że odcinek AA jest prostopadły do płaszczyzny π, a zatem także prosta wyznaczona przez ten odcinek jest prostopadła do π. Ale skoro ta prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to znaczy, że wektor normalny płaszczyzny jest zarazem wektorem kierunkowym tej prostej. Tak więc nasza prosta ma równanie kierunkowe: x 4, lub w postaci parametrycznej: x = 4 + t y = 2 2t z = 7 + 3t Inaczej mówiąc - każdy punkt prostej AA jest postaci (4 + t, 2 2t, 7 + 3t) dla pewnego t rzeczywistego. My natomiast szukamy punktu A, który nie dość, że należy do tej prostej (czyli jest tej postaci), to jeszcze należy do płaszczyzny π, a to oznacza, że jego współrzędne spełniają równanie tej płaszczyzny. Wystarczy zatem podstawić te współrzędne do równania: = y = z 7 3

4 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 4 (4 + t) 2( 2 2t) + 3(7 + 3t) 1 = 0 14t + 28 = 0 t = 2 Tak więc współrzędne punktu A to: (4 + ( 2), 2 2 ( 2), ( 2)) = (2, 2, 1) i to jest właśnie szukany rzut. Uwaga: gdybyśmy rzutowali punkt na prostą, to musielibyśmy znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do tej prostej i zawierającej wyjściowy punkt. Szukany rzut jest wtedy częścią wspólną tej płaszczyzny i wyjściowej prostej. Ćwiczenia 1)Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2, 2) i B( 1, 3, 1). 2)Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1, 2, 2), B( 1, 3, 1) i C(3, 2, 2). 3)Wyznacz rzut prostopadły punktu P (4, 3, 4) na płaszczyznę π x + y 2x + 3 = 0. 4)Wyznacz równanie płaszczyzny zawierającej punkt (0, 0, 0) i prostopadłej do płaszczyzn: x+2y+4z = 3 oraz x+3y+z = 0. 5)Wyznacz równanie prostej zawierającej punkt A(2, 1, 2) i przecinającej prostopadle prostą: l: x 2 = y 3 = z )Wyznacz punkt symetryczny do punktu P (2, 2, 2) względem płaszczyzny π x + y z + 1 = 0. 7) Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (1, 2, 0) i prostopadłej do płaszczyzny x + y 3z 1 = 0 oraz do płaszczyzny x y + z = 0. 8)Znajdź równanie rzutu prostopadłego prostej x 1 2 = y 0 = z+1 3 na płaszczyznę x + 3y z = 0. Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie Krzywa drugiego stopnia na płaszczyźnie wyraża się ogólnym wzorem: E + F y 2 + Gxy + Hx + Iy + J = 0,gdzie E 0 F 0 G 0 Każda taka krzywa daje się sprowadzić przez obrót i przesunięcie do postaci kanonicznej - np. x Elipsa 2 Hiperbola x = 2py Parabola Prosta = a Dwie proste równoległe a a 2 = y2 b 2 Dwie proste przecinające się Przykład: Dane jest równanie: + y 2 4x 6y + 4 = 0. Jaka to krzywa? Rozwiązanie: + y 2 4x 6y + 4 = 0 4x y 2 6y + 9 = 9 (x 2) 2 + (y 3) 2 = 3 2 Otrzymaliśmy okrąg o środku w punkcie (2,3) i promieniu 3.. Powierzchnie drugiego stopnia Powierzchnię drugiego stopnia wyraża się ogólnym wzorem: E + F y 2 + Gz 2 + Hxy + Ixz + Jxz + Kx + Ly + Mz + N = 0,gdzie E 0 F 0 G 0 H 0 I 0 J 0 Każda taka powierzchnia daje się sprowadzić przez obrót i przesunięcie do postaci kanonicznej Przykład: Dane jest równanie: + y 2 + z 2 2x 2y 2 = 0. Jaka to krzywa? Rozwiązanie: + y 2 + z 2 2x 2y 2 = 0 2x y 2 2y z 2 4 = 0 (x 1) 2 + (y 1) 2 + z 2 = 2 2 Otrzymaliśmy sferę o środku w punkcie (1,1,0) i promieniu 2.. Powierzchnie drugiego stopnia: Elipsoida Hiperboloida jednopowłokowa

5 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 5 + z2 c 2 Hiperboloida dwupowłokowa z2 c 2 Stożek z2 c 2 Paraboloida eliptyczna z2 = 0 c 2 Paraboloida hiperboliczna = 2pz Walec eliptyczny = 2pz Walec hiperboliczny

6 Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 6 Walec paraboliczny = 2py Dwie przecinające się płaszczyzny Dwie płaszczyzny równoległe = 0 a 2