Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego

Transkrypt

1 Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

2 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0 < α < π 2. Jedn z nich nazwiemy osia obrotu a drug tworz c. Sto»kiem nazywamy powierzchni zakre±lona przez tworz c podczas obrotu wokóª osi. Punkt przeci cia prostych nazywamy wierzchoªkiem sto»ka. Dzieli on sto»ek na dwie cz ±ci zwane powªokami. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

3 KRZYWE STO KOWE Krzywymi sto»kowymi- nazywamy krzywe, które mo»na otrzyma w wyniku przeci cia sto»ka pªaszczyzn nieprzechodz ca przez wierzchoªek. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

4 Typ krzywej zale»y od k ta x jaki tworzy o± sto»ka z pªaszczyzn tn c : elips gdy α < x < π, tj gdy pªaszczyzna tn ca przecina tylko jedn 2 powªok i nie jest prostopadªa do osi ani równolegªa do tworz cej; hiperbola gdy 0 x < αtj. gdy pªaszczyzna tn ca przecina obie powªoki sto»ka; parabola gdy x = α tj. gdy pªaszczyzna tn ca jest równolegªa do tworz cej; okr g gdy x = π, tj gdy pªaszczyzna tn ca jest prostopadªa do osi 2 sto»ka; I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

5 Krzywe sto»kowe s równie» nazywane krzywymi stopnia drugiego, gdy» mo»na je w kartezja«skim ukªadzie wspóªrz dnych opisa równaniami algebraicznymi drugiego stopnia wzgl dem zmiennych x i y I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

6 Elips nazywamy krzyw b d c zbiorem punktów pªaszczyzny, których wspóªrz dne speªniaj równanie: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 oraz ka»d krzyw, która z niej powstanie przez izometri (przeksztaªcenie, które nie zmienia odlegªo±ci mi dzy punktami np. translacja, obrót, symetria) I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

7 Wierzchoªkami elipsy nazywamy punkty: A 1 (a, 0), A 2 ( a, 0), B 1 (0, b), B 2 (0, b); Wielka osi nazywamy odcinek A 1 A 2,o dªugo±ci 2a, Osi maª nazywamy odcinek B 1 B 2,o dªugo±ci 2b, Ogniskami elipsy nazywamy punkty F 1 (c, 0) i F 2 ( c, 0) przy czym c = a 2 b 2. Proste o równaniach x = a2 c Elipsa ma nast puj ce wªasno±ci: i x = a2 c nazywamy kierownicami elipsy. Suma odlegªo±ci dowolnego punktu elipsy od jej ognisk jest staªa i równa dªugo±ci osi wielkiej. MF 1 + MF 2 = 2a Stosunek odlegªo±ci dowolnego punktu elipsy od ogniska do jego odlegªo±ci od kierownicy jest mniejszy od 1. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

8 Hiperbol nazywamy krzyw b d c zbiorem punktów pªaszczyzny, których wspóªrz dne speªniaj równanie: x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 oraz ka»d krzyw, która z niej powstanie przez izometri. Wierzchoªkami hiperboli nazywamy punkty: A 1 (a, 0), A 2 ( a, 0), Odcinek A 1 A 2 dªugo±ci 2a nazywamy osi rzeczywist, Odcinek B 1 B 2 dªugo±ci 2b le» cy na Oy nazywamy osia urojon Ogniskami hiperboli nazywamy punkty F 1 (c, 0) i F 2 ( c, 0) przy czym c = a 2 + b 2. Proste o równaniach x = a2 c hiperboli. i x = a2 c nazywamy kierownicami I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

9 Hiperbola ma nast puj ce wªasno±ci: Warto± bezwzgl dna ró»nicy odlegªo±ci dowolnego punktu hiperboli od jej ognisk jest staªa i równa dªugo±ci osi rzeczywistej. MF 1 MF 2 = 2a Stosunek odlegªo±ci dowolnego punktu hiperboli od ogniska do jego odlegªo±ci od kierownicy jest staªy i wi kszy od 1. Proste y = b a x i y = b a x s asymptotami hiperboli. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

10 Parabol nazywamy krzyw b d c zbiorem punktów pªaszczyzny, których wspóªrz dne speªniaj równanie: y 2 = 2px, p > 0 oraz ka»d krzyw, która z niej powstanie przez izometri. Punkt (0, 0) nazywamy wierzchoªkiem paraboli; Ogniskiem paraboli nazywamy punkt F ( p 2, 0); Kierownica paraboli nazywany prost x = p 2. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

11 Parabola ma nast puj ce wªasno±ci: Dowolnego punktu paraboli jest jednakowo odlegªy od jej ogniska i kierownicy. MF = MD Stosunek odlegªo±ci dowolnego punktu paraboli od ogniska do jego odlegªo±ci od kierownicy jest równy 1. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

12 Okr g o ±rodku (0, 0) i promieniu r ma równanie: x 2 + y 2 = r 2. Równanie to wyra»a, ze odlegªo± punktu (x,y) od punktu (0,0) jest równa a Okr g o ±rodku (p, q) i promieniu r ma równanie: (x p) 2 + (y q) 2 = r 2. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

13 Okr g o ±rodku (0, 0) i promieniu r ma równanie: x 2 + y 2 = r 2. Równanie to wyra»a, ze odlegªo± punktu (x,y) od punktu (0,0) jest równa a Okr g o ±rodku (p, q) i promieniu r ma równanie: (x p) 2 + (y q) 2 = r 2. Zbiór punktów P pªaszczyzny poªo»onych w staªej odlegªo±ci od ustalonego punktu P 0 tej pªaszczyzny nazywamy okr giem: PP 0 = const P 0 -±rodek okr gu; staªa const- promie«okr gu. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

14 POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO Powierzchni stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej, które speªniaj równanie: Kx 2 + Ly 2 + Mz 2 + Nxy + Pxz + Qyz + Rx + Sy + Tz + U = 0, gdzie K,L,...,U sa staªymi. Ponadto przynajmniej jedna ze staªych K,L,M,N,P,Q musi by ró»na od zera. Podamy tak zwane równania kanoniczne najcz ±ciej spotykanych powierzchni stopnia drugiego. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

15 Elipsoida Elipsoid nazywamy powierzchni dan równaniem: x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

16 Przekroje elipsoidy pªaszczyznami ukªadu wspóªrz dnych to zawsze elipsy: x 2 + y 2 a 2 b 2 x 2 + z2 a 2 c 2 y 2 + z2 b 2 c 2 = 1 dla przekroju pªaszczyzn z=0; = 1 dla przekroju pªaszczyzn y=0; = 1 dla przekroju pªaszczyzn x=0; I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

17 Sfera Zauwa»my,ze dla a = b = c = R > 0 otrzymujemy powierzchni zwan sfer o ±rodku w punkcie (0,0,0) i promieniu R. Ogólne równanie sfery o ±rodku (x 0, y 0, z 0 ) i promieniu R na posta : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

18 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

19 Hiperboloida jednopowªokowa Hiperboloid jednopowªokow nazywamy powierzchni o równaniu: x 2 a 2 + y 2 b 2 z 2 c 2 = 1 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

20 Hiperboloida jednopowªokowa Hiperboloid jednopowªokow nazywamy powierzchni o równaniu: x 2 a 2 + y 2 b 2 z 2 c 2 = 1 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

21 Przekroje pªaszczyznami równolegªymi do pªaszczyzny Oxy s elipsami Przekroje pªaszczyznami równolegªymi do pªaszczyzny Oxz oraz Oyz s hiperbolami I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

22 Przekroje pªaszczyznami równolegªymi do pªaszczyzny Oxy s elipsami Przekroje pªaszczyznami równolegªymi do pªaszczyzny Oxz oraz Oyz s hiperbolami W szczególno±ci w przeci ciu hiperboloidy jednopowªokowej pªaszczyznami ukªadu wspóªrz dnych otrzymujemy nast puj ce krzywe: z pªaszczyzn Oxy tj. pªaszczyzn z = 0- elips x2 a 2 + y 2 b 2 = 1; z pªaszczyzn Oyz tj. pªaszczyzn x = 0- hiperbol y 2 b 2 z2 c 2 = 1; z pªaszczyzn Oxz tj. pªaszczyzn y = 0- hiperbol x2 a 2 z2 c 2 = 1. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

23 Hiperboloida dwupowªokowa Hiperboloid dwupowªokowa nazywamy powierzchni o równaniu: x 2 a 2 + y 2 b 2 z 2 c 2 = 1 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

24 Hiperboloida dwupowªokowa Hiperboloid dwupowªokowa nazywamy powierzchni o równaniu: x 2 a 2 + y 2 b 2 z 2 c 2 = 1 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

25 Przekroje pªaszczyznami równolegªymi do pªaszczyzny Oxz oraz Oyz s hiperbolami Przekroje pªaszczyznami z = k, k > c s elipsami. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

26 Przekroje pªaszczyznami równolegªymi do pªaszczyzny Oxz oraz Oyz s hiperbolami Przekroje pªaszczyznami z = k, k > c s elipsami. W szczególno±ci w przeci ciu hiperboloidy dwupowªokowej pªaszczyznami ukªadu wspóªrz dnych otrzymujemy nast puj ce krzywe: z pªaszczyzn Oxy tj. pªaszczyzn z = 0- zbiór pusty z pªaszczyzn Oyz tj. pªaszczyzn x = 0 - hiperbol z2 c 2 y 2 c 2 = 1; z pªaszczyzn Oxz tj. pªaszczyzn y = 0- hiperbol z2 c 2 x2 a 2 = 1. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

27 Sto»ek Sto»kiem nazywamy powierzchni o równaniu: x 2 a 2 + y 2 b 2 z 2 c 2 = 0 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

28 Przekroje sto»ka pªaszczyzn z = k, k 0 sa elipsami, przekrój pªaszczyzn z = 0 jest punktem (0,0,0) Przekroje sto»ka pªaszczyzn x = k, k 0 s hiperbolami. Pªaszczyzna x = 0 przecina sto»ek wzdªu» prostych: y b + z c = 0 i y b z c = 0 Przekroje sto»ka pªaszczyzn y = k, k 0 s hiperbolami. Pªaszczyzna y = 0 przecina sto»ek wzdªu» prostych: x a + z c = 0 i x a z c = 0 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

29 Paraboloida eliptyczn nazywamy powierzchni o równaniu: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 2z I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

30 Przekroje pªaszczyzn x = k, oraz y = k s parabolami, Przekroje pªaszczyzn z = k, k 0 s elipsami, przekrój pªaszczyzn z = 0 jest punktem (0,0,0) I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

31 Paraboloida hiperboliczn nazywamy powierzchni o równaniu: x 2 a 2 y 2 b 2 = 2z Przekroje pªaszczyzn z = k, k 0 s hiperbolami, przekrój pªaszczyzn z = 0 daje dwie proste przecinaj ce si Przekroje pªaszczyzn x = k, oraz y = k s parabolami. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

32 Walcem eliptycznym nazywamy powierzchni o równaniu: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

33 Przekroje pªaszczyzn z = k, s elipsami, Przekrój pªaszczyzn np. x = 0, jest para prostych y = b, y = b. Przekrój pªaszczyzn np. y = 0 jest para prostych x = a, x = a. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30

34 Przekroje pªaszczyzn z = k, s hiperbolami, I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30 Walcem hiperbolicznym nazywamy powierzchni o równaniu: x 2 a 2 y 2 b 2 = 1

35 Walcem paraboliczny nazywamy powierzchni o równaniu: y 2 = 2px Przekroje pªaszczyzn z = k, s parabolami. I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja / 30