Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Transkrypt

1 Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego prostej w R 3 x = x 0 + at l : y = y 0 + bt z = z 0 + ct, gdzie t R; postać kierunkowa prostej: l : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c Prosta przechodząca przez dwa różne punkty P 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) i P 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) równanie w postaci parametrycznej x = x 0 + t(x 1 x 0 ) l : y = y 0 + t(y 1 y 0 ) z = z 0 + t(z 1 z 0 ), gdzie t R równanie w postaci kierunkowej l : x x 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0 = z z 0 z 1 z 0 Równanie płaszcyzny przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze normalnym n = [A, B, C] : A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 Niech P 1 = (x 1, y 1, z 1 ), P = (x, y, z ) i P 3 = (x 3, y 3, z 3 ) będą trzema ustalonymi niewspółliniowymi punktami i P = (x, y, z) będzie dowolnym punktem płaszczyzny π Wówczas równanie na wyznaczenie płaszczyzny: x x 1 y y 1 z z 1 π : x x 1 y y 1 z z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0 1

2 Albo wektor normalny tej płaszczyzny wyznaczamy z P 1 P i j k P 1 P 3 = x x 1 y y 1 z z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 Odległość punktu P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się wzorem: d(p 0, π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A + B + C Rozważmy teraz dwie równoległe płaszczyzny π 1 : Ax + By + Cz + D 1 = 0 oraz π : Ax + By + Cz + D = 0 Wzór na odległość pomiędzy nimi ma postać: d(π 1, π ) = D D 1 A + B + C Odległość punktu P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) od prostej k : przechodzącej przez punkt P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) o wektorze v wyraża się wzorem: d(p 0, k) = P 0 P 1 v v Wzór na odległość pomiędzy dwiema prostymi skośnymi k i l o wektorach odpowiednio v, u i przechodzącymi odpowiednio przez punkty P 0 i P 1 ma postać: d(k, l) = ( v, u, P 0 P 1 ) v u Wzór na odległość punktu P 0 od płaszczyzny przechodzącej przez P 1 o wektorze normalnym n ma postać: d(p 1, π) = P 0 P 1 n n

3 1 Znajdź równanie płaszczyzny: Zadania na ćwiczenia a) przechodzącej przez punkt P 0 = (3, 1, ) i równoległej do płaszczyzny x y+3z+5 = 0; b) przechodzącej przez dwa punkty P 1 = (0,, 1), P = ( 1, 0, 1) i prostopadłej do płaszczyzny o równaniu x + y z = 0; c) przechodzącej przez punkty P 1 = (1, 3, 5), P = (1, 0, 1), P 3 = (0, 4, 1); d) prostopadłej do wektora AB, gdzie A = (1, 4, ), B = (5,, ) i przechodzącej przez środek odcinka AB; e) przechodzącej przez punkt P 0 = (,, 1, 0) i równoległej do płaszczyzny w której leży trójkąt ABC, gdzie A = (0, 0, 0), B = (1,, 3), C = ( 1, 3, 5); f) przechodzącej przez punkt P 0 = (4, 3, 1) i równoległej do wektorów u = [1, 1, 0], v = [0, 1, 1]; 4x 3y + z + 5 = 0 g) przechodzącej przez punkt P 0 = (6,, 1) i prostopadłej do prostej 5x + 8y 7z + = 0; h) zawierającej punkt P 0 = (1,, 3) i prostopadłej do płaszczyzn o równaniach x 3y + z 7 = 0, x y z + 3 = 0; i) przechodzącej przez punkt P 0 = (4,, 1) i oś Ox; j) zawierającej punkty P 1 = (4, 0, 1) i P = (, 3, 1) i równoległej do osi Oy; k) płaszczyzn równoległych do płaszczyzny 6x 3y z + = 0 i odległych od niej o 5; l) zawierającej punkt (, 0, 7), która jest prostopadła do płaszczyzny x + 5z = 0 i jednocześnie równoległa do prostej x 1 = y = z ; 1 3 m) przechodzącej przez oś Oy i tworzącej z płaszczyzną x z + 4 = 0 kąt π; y 3 n) przechodzącej przez punkty P 1 = (1, 3, 4), P = (, 0, 1) i prostopadłej do płaszczyzny xoz; Znajdź równanie prostej a) przechodzącej przez punkty P 1 = (1, 0, ) i P = (, 1, 1); b) przechodzącej prze punkt P 0 = (1, 3, 4) i równoleglej do wektora u = [ 3, 0, 1]; c) przechodzącej przez punkt P 0 = (5,, 0) i prostopadłej do płaszczyzny x+6y z+5 = 0; d) przechodzącej przez punkt P 0 = ( 1, 1, 1) i prostopadłej do wektorów u = [, 0, 1] i v = [ 3,, 1], 3x + y = 0 e) przechodzącej przez środek układu współrzędnych i równoległej do prostej x z + 5 = 0; x = + 3t f) przechodzącej przez punkt P 0 = (4, 1, ) i przecinającej prostą y = 1 + t pod z = 1 t kątem prostym; 3

4 g) 3x + 5y 4z 1 = 0 4x + y + z + 1 = 0 h) przecinającej proste: w postaci kanonicznej i parametrycznej; x y + z = 1 x + y z = x = 3t i y = t z = 1 + t pod kątem prostym; = y+3 1 = z 1 i x 1 i) przechodzącej przez punkt A = (1,, 1) i przecinającej dwie proste: x = y = z ; 1 3 x 1 j) przechodzącej przez punkt P 0 = (, 0, 1) przecinającą prostą l 1 : = y = z+ 1 prostopadłą do prostej l : x+ = y 4 = z Znaleźć punkt wspólny prostej : x+ = y = z Znaleźć rzut prostokątny i płaszczyzny x + y = 0 a) punktu P 0 = (4, 3, 1) na płaszczyznę o równaniu x + y z 3 = 0; x+ b) prostej l : = y 1 = z na płaszczyznę x z + 3 = 0; 1 1 c) prostej l 1 : x = y = z na płaszczyznę π, która to przechodzi przez prostą 3 1 x + 3y + z 8 = 0 l : x + 4y z + 3 = 0; 5 Obliczyć odległość a) punktu P 0 = (5, 8, 1) od płaszczyzny 4x 3z = 0; b) punktu P 0 = (, 1, 1) od prostej x+1 1 = y 1 1 = z ; c) prostych równoległych π 1 : 3x 4y + 11z = 0 i π : 3x 4y + 11z + 3 = 0; 6 Oblicz miarę kąta między a) prostą l 1 przechodzącą przez punkty A = (3, 0, 1) i B = (, 1, ) a prostą zawierającą punkty l C = (, 1, 1) i D = (3, 1, 3); x = + 3t b) między prostą y = 1 a płaszczyzną daną równaniem z = t x y + z 1 = 0; c) płaszczyznami π 1 : x y z 4 = 0 i π : x + y z 5 = 0; 7 Znajdź współrzędne punktu symetrycznego do punktu P 0 = (3, 0, 1) względem prostej x 5 y+1 = z Zbadaj wzajemne położenie prostych l 1 i l w zależności od przypadku wyznacz odległość, punkt przecięcia, równanie płaszczyzny do której należą: 3 i = 4

5 a) l 1 : x 9 = y+ = z x i l : = y+7 = z 9 x = 3 t x = 1 4t b) l 1 : y = + t i l : y = 1 + t z = 1 3t z = 3 6t x + 3y z 1 = 0 x + 5y + 4z 3 = 0 c) l 1 : i l : d) l 1 : x + y 3z = 0 x + y z = 0 x + y 3z = 0 i l : x + y + z 1 = 0 x + y + z 3 = 0 x + y + z = 0 9 Zbadaj wzajemne położenie płaszczyzny π i prostej l w zależności od przypadku wyznacz odległość, punkt przecięcia: x = t a) l : y = 1 + t i π : x + y 4z 0 = 0 z = 4 + 3t x = + t b) l : y = 1 t i π : x + y z + 5 = 0 z = 3 t x y + z 1 = 0 c) l : i π : x + y z 1 = 0 x + 3y 3z 1 = 0 5