Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Transkrypt

1 Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

2 Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie α jest kątem pomiędzy wysokością stożka a jego tworzącą) tak, aby linia cięcia nie pokrywała się z wysokością stożka.

3 Czym jest hiperbola? Hiperbolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że różnica odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała.

4 Czym jest hiperbola? Hiperbolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że różnica odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie: {P R 2 : PF 1 PF 2 = const}

5 Czym jest hiperbola? Hiperbolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że różnica odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie: {P R 2 : PF 1 PF 2 = const} Punkty F 1, F 2 nazywamy ogniskami hiperboli.

6 Elementy hiperboli 2a - oś rzeczywista, 2b - oś urojona S - środek hiperboli, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2.

7 Elementy hiperboli 2a - oś rzeczywista, 2b - oś urojona S - środek hiperboli, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2. Zachodzi zależność: c = a 2 + b 2.

8 Elementy hiperboli 2a - oś rzeczywista, 2b - oś urojona S - środek hiperboli, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2. Zachodzi zależność: c = a 2 + b 2. Mimośród hiperboli: m = c a > 1

9 Elementy hiperboli 2a - oś rzeczywista, 2b - oś urojona S - środek hiperboli, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2. Zachodzi zależność: c = a 2 + b 2. Mimośród hiperboli: m = c a > 1 Oprócz tego wyznacza się tzw. parametr ogniskowy, czyli połowę cięciwy przechodzącej przez jedno z ognisk prostopadle do osi rzeczywistej: p = b2 a

10 Równanie kanoniczne hiperboli Niech dana będzie hiperbola o środku w punkcie S(x 0, y 0 ) oraz osiach 2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych.

11 Równanie kanoniczne hiperboli Niech dana będzie hiperbola o środku w punkcie S(x 0, y 0 ) oraz osiach 2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równanie kanoniczne hiperboli dane jest wzorem (x x 0 ) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 = 1. (1)

12 Równanie kanoniczne hiperboli Niech dana będzie hiperbola o środku w punkcie S(x 0, y 0 ) oraz osiach 2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równanie kanoniczne hiperboli dane jest wzorem (x x 0 ) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 = 1. (1) Przy takim położeniu ogniska mają współrzędne: F 1 = (x 0 c, y 0 ) F 2 = (x 0 + c, y 0 )

13 Równanie w postaci parametrycznej Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć równania parametryczne hiperboli:

14 Równanie w postaci parametrycznej Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć równania parametryczne hiperboli: gdzie x = x 0 + a cosh(α), y = y 0 + b sinh(α), (2) cosh(t) = et + e t, sinh(t) = et e t, 2 2 gdzie liczba e jest stałą Eulera (podstawą logarytmów naruralnych.

15 Równanie w postaci parametrycznej Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć równania parametryczne hiperboli: gdzie x = x 0 + a cosh(α), y = y 0 + b sinh(α), (2) cosh(t) = et + e t, sinh(t) = et e t, 2 2 gdzie liczba e jest stałą Eulera (podstawą logarytmów naruralnych. ( e = lim ) n 2.73 n n

16 Równanie w postaci parametrycznej Istnieje też inna możliwość wyznaczenia równań parametrycznych dla hiperboli: 1 x = x 0 + a cos(α), y = y 0 + b tg(α). (3)

17 Równanie w postaci biegunowej Niech środek hiperboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe elipsy ma postać: p ρ = (4) 1 + m cos(φ) gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród.

18 Kierownice hiperboli Kierownice hiperboli są to proste prostopadłe do osi rzeczywistej, odległe od środka S o odcinek d = a2 c. Ponieważ SF 1 = c = ma to cd = a 2 i d = a m.

19 Kierownice hiperboli Kierownice hiperboli są to proste prostopadłe do osi rzeczywistej, odległe od środka S o odcinek d = a2 c. Ponieważ SF 1 = c = ma to cd = a 2 i d = a m.

20 Kierownice hiperboli Kierownice hiperboli są to proste prostopadłe do osi rzeczywistej, odległe od środka S o odcinek d = a2 c. Ponieważ SF 1 = c = ma to cd = a 2 i d = a m. Zachodzi związek: r1 d 1 = r2 d 2 = m > 1.

21 Asymptoty hiperboli Hiperbola jako jedyna krzywa stożkowa posiada asymptoty.

22 Asymptoty hiperboli Hiperbola jako jedyna krzywa stożkowa posiada asymptoty. Są to proste, do których nieograniczenie zbliża się punkt M(x, y) hiperboli, gdy x lub x.

23 Asymptoty hiperboli Hiperbola jako jedyna krzywa stożkowa posiada asymptoty. Są to proste, do których nieograniczenie zbliża się punkt M(x, y) hiperboli, gdy x lub x. Równania asymptot dane są wzorami: y 1 = b a x, y 2 = b a x.

24 Równanie stycznej do hiperboli Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do hiperboli. Wtedy równanie stycznej do hiperboli w punkcie P ma postać: (y 1 y 0 )(y y 0 ) (x 1 x 0 ) + (x x 0 ) = p

25 Równanie stycznej do hiperboli Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do hiperboli. Wtedy równanie stycznej do hiperboli w punkcie P ma postać: (y 1 y 0 )(y y 0 ) (x 1 x 0 ) + (x x 0 ) = p Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osi OY. Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać: (x 1 x 0 )(x x 0 ) a 2 (y 1 y 0 ) + (y y 0 ) b 2 = 1

26 Równanie stycznej do hiperboli - c.d. Rozważmy odcinek T 1 T 2 należący do stycznej do hiperboli w punkcie P zawarty między dwoma asymptotami:

27 Równanie stycznej do hiperboli - c.d. Rozważmy odcinek T 1 T 2 należący do stycznej do hiperboli w punkcie P zawarty między dwoma asymptotami: Punkt P dzieli ten odcinek na dwie równe części: T 1 P = T 2 P.

28 Równanie stycznej do hiperboli - c.d. Rozważmy odcinek T 1 T 2 należący do stycznej do hiperboli w punkcie P zawarty między dwoma asymptotami: Punkt P dzieli ten odcinek na dwie równe części: T 1 P = T 2 P. Pole trójkąta T 1 OT 2 jest równe ab.

29 Hiperbola równoosiowa Hiperbolę równoosiową otrzymujemy wówczas, gdy osie hiperboli są równe: a = b. Wtedy też asymptoty są do siebie prostopadłe.

30 Hiperbola równoosiowa Hiperbolę równoosiową otrzymujemy wówczas, gdy osie hiperboli są równe: a = b. Wtedy też asymptoty są do siebie prostopadłe. Jeśli dokonamy obrotu naszej hiperboli o kąt π 4 wokół środka hiperboli otrzymujemy hiperbolę, której asymptoty są równoległe z osiami układu współrzędnych.

31 Hiperbola równoosiowa - c.d. Jej równanie dane jest wzorem: (x x 0 )(y y 0 ) = ± a2 2

32 Podziękowania Dziękuję za uwagę