Prosta, płaszczyzna, powierzchnie drugiego. stopnia. stopnia. JJ, IMiF UTP

Transkrypt

1 JJ, IMiF UTP 16

2 PŁASZCZYZNA W R 3 Równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora n = [A, B, C] i przechodzącej przez punkt P 1 (x 1, y 1, z 1 ): A(x x 1 ) + B(y y 1 ) + C(z z 1 ) = 0. n = [A, B, C] P 1 (x 1, y 1, z 1 )

3 Ogólne równanie płaszczyzny Równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora i przechodzącej przez zadany punkt: A(x x 1 ) + B(y y 1 ) + C(z z 1 ) = 0, Ax + By + Cz Ax 1 By 1 Cz 1 = 0, Ogólne równanie płaszczyzny: Ax + By + Cz + D = 0. Płaszczyzna ta jest prostopadła do wektora n = [A, B, C].

4 Odcinkowe równanie płaszczyzny z c a x b y

5 Odcinkowe równanie płaszczyzny z c x a b y Równanie odcinkowe płaszczyzny nierównoległej do żadnej osi układu współrzędnych: x a + y b + z c = 1. Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

6 Odcinkowe równanie płaszczyzny z c x a b y Równanie odcinkowe płaszczyzny nierównoległej do żadnej osi układu współrzędnych: x a + y b + z c = 1. Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

7 Odcinkowe równanie płaszczyzny z c x a b y Równanie odcinkowe płaszczyzny nierównoległej do żadnej osi układu współrzędnych: x a + y b + z c = 1. Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

8 Odcinkowe równanie płaszczyzny z c x a b y Równanie odcinkowe płaszczyzny nierównoległej do żadnej osi układu współrzędnych: x a + y b + z c = 1. Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

9 PŁASZCZYZNA W R 3 Odległość punktu od płaszczyzny P 0 (x 0, y 0, z 0 ) Ax + By + Cz + D = 0 wynosi d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A + B + C.

10 PROSTA W R 3 Równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P 1 (x 1, y 1, z 1 ) i równoległej do wektora k = [a, b, c]: x = x 1 + at y = y 1 + bt z = z 1 + ct, dla t R. k = [a, b, c] l P 1 (x 1, y 1, z 1 )

11 PROSTA W R 3 Równanie kierunkowe (kanoniczne) prostej przechodzącej przez punkt P(x 1, y 1, z 1 ) i równoległej do wektora k = [a, b, c]: x x 1 a = y y 1 b = z z 1. c k = [a, b, c] l P 1 (x 1, y 1, z 1 )

12 Przypomnienie twierdzenia Kroneckera-Capelliego Rozważamy układ dwóch równań liniowych z trzema niewiadomymi: { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A x + B y + C z + D = 0 ; Jeśli R(A) R(U), to układ nie ma rozwiązania.

13 Przypomnienie twierdzenia Kroneckera-Capelliego Jeśli R(A) = R(U) = 1 < n = 3, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów. Jeżeli natomiast R(A) = R(U) = < n = 3, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru:

14 Równanie krawędziowe prostej { A1 x + B l = 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A x + B y + C z + D = 0 ; (płaszczyzny opisane tymi równaniami nie są równoległe). l

15 ZADANIE 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1,, 3) i prostopadłej do płaszczyzny x + 3y + 4z + 1 = 0.

16 ZADANIE 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1,, 3) i prostopadłej do płaszczyzny x + 3y + 4z + 1 = 0. P

17 ZADANIE 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1,, 3) i prostopadłej do płaszczyzny x + 3y + 4z + 1 = 0. P n

18 ZADANIE 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1,, 3) i prostopadłej do płaszczyzny x + 3y + 4z + 1 = 0. P n = k

19 ZADANIE 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1,, 3) i prostopadłej do płaszczyzny x + 3y + 4z + 1 = 0. P n = k Szukane równanie prostej: x 1 = y 3 = z 3 4.

20 ZADANIE. x 3 = y+4 = z 13 Dla jakiej wartości parametru µ prosta 4 jest równoległa do płaszczyzny x + µy + z + 31 = 0?

21 ZADANIE. x 3 = y+4 = z 13 Dla jakiej wartości parametru µ prosta 4 jest równoległa do płaszczyzny x + µy + z + 31 = 0?

22 ZADANIE. x 3 = y+4 = z 13 Dla jakiej wartości parametru µ prosta 4 jest równoległa do płaszczyzny x + µy + z + 31 = 0? k n

23 ZADANIE. x 3 = y+4 = z 13 Dla jakiej wartości parametru µ prosta 4 jest równoległa do płaszczyzny x + µy + z + 31 = 0? k n Płaszczyzna i prosta będą równoległe, gdy k n. Jest to równoważne warunkowi k n = 0. Stąd otrzymamy: [3,, 4] [, µ, 1] = µ + 4 = 0 µ = 1.

24 Kwadryki Powierzchnia to zbiór punktów (x, y, z) opisanych równaniem: A 1 +A y +A 3 z +A 4 xy+a 5 xz+a 6 yz+a 7 x+a 8 y+a 9 z+a = 0, gdzie przynajmniej jedna ze stałych A 1,..., A 6 jest różna od zera. TWIERDZENIE. Każdą powierzchnię można tak przesunąć i obrócić by przyjęła jedną z następujących postaci: + y + z a b c = 1 (elipsoida), + y + z a b c = 0 (punkt),

25 Powierzchnie + y + z a b c = 1 (zbiór pusty), + y z a b c = 1 (hiperboloida jednopowłokowa), y z a b c = 1 (hiperboloida dwupowłokowa), + y z a b c = 0 (stożek), + y = z a b (paraboloida eliptyczna), y = z a b (paraboloida hiperboliczna),

26 Powierzchnie + y a b y a b + y a b + y a b y a b = 1 (walec eliptyczny), = 1 (walec hiperboliczny), = 1 (zbiór pusty), = 0 (prosta), = 0 (dwie płaszczyzny), a = y (walec paraboliczny), a a a = 1 (dwie płaszczyzny równoległe), = 0 (płaszczyzna), = 1 (zbiór pusty).

27 PRZYKŁAD. Naszkicuj powierzchnię z = + y dla x, y. 8 6 z 4 f (x, y) y x 1 1.5

28 PRZYKŁAD. Naszkicuj powierzchnię z = 4 y dla x, y. z 0 f (x, y) y x 1 1.5

29 PRZYKŁAD. Naszkicuj powierzchnię z = 4 + y dla x, y. 6 z 4 f (x, y) y x 1 1.5

30 PRZYKŁAD. Naszkicuj powierzchnię 9 + y 4 + z 1 = 1 z y x