Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Transkrypt

1 Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć poszczególne stopnie. N ocenę dopuszczjącą uczeń powinien opnowć umiejętności z pierwszej części tbeli, n ocenę dostteczną z pierwszej i drugiej części tbeli, n ocenę dobrą z pierwszej, drugiej i trzeciej, n ocenę brdzo dobrą z czterech pierwszych części, n celującą wszystkie umiejętności z tbeli. 1. PLANIMETRIA Dopuszczjący Zn i rozróżni podstwowe figury: punkt, prost, półprost, płszczyzn, okrąg, koło, łuk. Zn pojęci figury wypukłej i figury wklęsłej orz podje przykłdy tkich figur. Zn pojęcie odległości n płszczyźnie. Zn podził kątów ze względu n ich mirę. Zn pojęci kąt przyległego i kąt wierzchołkowego. Zn podził trójkątów ze względu n długości boków i miry kątów. Zn pojęcie kąt zewnętrznego wielokąt Zn określenie stycznej do okręgu (koł). Zn twierdzenie o stycznej do okręgu. Zn pojęcie siecznej okręgu (koł). Zn twierdzenie o odcinkch stycznych do okręgu. Zn pojęci kąt środkowego w okręgu i kąt wpisnego w okrąg. Zn twierdzenie dotyczące kątów wpisnego i środkowego oprtych n tym smym łuku. Zn pojęcie symetrlnej odcink. Zn pojęcie dwusiecznej kąt. Zn twierdzenie Pitgors orz twierdzenie odwrotne do twierdzeni Pitgors. Zn pojęcie ortocentrum trójkąt. Zn pojęcie środkowej trójkąt. Zn twierdzenie o środkowych trójkąt. Zn pojęcie środk ciężkości trójkąt. Zn twierdzenie o dwusiecznej kąt w trójkącie. Zn definicję trójkątów przystjących. Zn twierdzenie o cechch przystwni trójkątów. Zn definicję trójkątów podobnych. Zn twierdzenie o cechch podobieństw trójkątów. Zn i rozpoznje podstwowe wielokąty wypukłe: kwdrt, prostokąt, trójkąt, równoległobok, romb, trpez, deltoid. Dostteczny Określ wzjemne położenie prostych n płszczyźnie. Rozumie pojęcie odległości. Stosuje włsności kątów przyległych, wierzchołkowych do rozwiązywni

2 prostych zdń. Rozpoznje i nzyw kąty powstłe w wyniku przecięci się dwóch prostych równoległych trzecią prostą. Konstruuje styczną do okręgu przechodzącą przez punkt leżący n okręgu orz przez punkt leżący poz okręgiem. Wykorzystuje twierdzenie o stycznej do okręgu do rozwiązywni prostych zdń. Stosuje do rozwiązywni prostych zdń twierdzenie dotyczące kątów wpisnego i środkowego oprtych n tym smym łuku. Konstruuje symetrlną odcink. Wyzncz środek okręgu opisnego n trójkącie. Konstruuje dwusieczną kąt. Konstruuje okrąg opisny n trójkącie. Konstruuje okrąg wpisny w trójkąt. Wyzncz środek okręgu wpisnego w trójkąt. Rozpoznje trójkąty przystjące. Rozpoznje trójkąty podobne. Dobry Poprwnie zpisuje relcje między podstwowymi figurmi n płszczyźnie. Poprwnie wyzncz sumę, różnicę i część wspólną figur n płszczyźnie. Bd współliniowość punktów. Wykorzystuje wiedzę o kątch powstłych w wyniku przecięci dwóch prostych równoległych trzecią prostą w rozwiązywniu zdń. Bd wzjemne położenie prostej i okręgu. Określ wzjemne położenie dwóch okręgów w zleżności od odległości środków tych okręgów i długości ich promieni. Bd wrunki, jkie muszą być spełnione, by okręgi były przecinjące się lbo styczne: zewnętrznie lub wewnętrznie. Uzsdni, że sum mir kątów wewnętrznych w trójkącie jest równ 180. Wykorzystuje pojęcie kąt zewnętrznego wielokąt w zdnich. Stosuje twierdzenie o odcinkch stycznych do okręgu do rozwiązywni zdń. Stosuje twierdzenie o odcinku łączącym środki rmion trójkąt w różnych zdnich. Stosuje twierdzenie o środkowych trójkąt do rozwiązywni zdń. Wykorzystuje wzór n promień okręgu wpisnego w trójkąt prostokątny w zleżności od długości boków tego trójkąt. Stosuje w zdnich wzór n pole trójkąt w zleżności od jego obwodu i promieni okręgu wpisnego w trójkąt. Wykorzystuje poznne twierdzeni do rozwiązywni typowych problemów mtemtycznych. Wykorzystuje związek między środkiem okręgu opisnego n trójkącie równobocznym i środkiem okręgu wpisnego w ten trójkąt. Oblicz obwody i pol znnych wielokątów wypukłych. Brdzo dobry Rozwiązuje zdni złożone, stosując nierówność trójkąt. Potrfi uzsdnić, że sum kątów zewnętrznych w wielokącie jest stł. Uzsdni poprwność konstrukcji stycznych do okręgu. Potrfi uzsdnić wzjemne położenie dwóch okręgów. Potrfi udowodnić twierdzenie dotyczące kąt wpisnego i kąt

3 środkowego oprtych n tym smym łuku. Oblicz długość promieni okręgu opisnego n trójkątch: równormiennym, równobocznym, prostokątnym. Potrfi udowodnić twierdzenie Pitgors. Potrfi ocenić, czy trójkąt jest prostokątny, ostrokątny czy rozwrtokątny, orz to uzsdnić. Uzsdni, że w trójkącie środkowe dzielą się w stosunku 1 : 2. Uzsdni przystwnie trójkątów, korzystjąc z cech przystwni trójkątów. Uzsdni podobieństwo trójkątów, stosując cechy podobieństw trójkątów. Uzsdni, że w trójkącie prostokątnym długość wysokości jest średnią geometryczną długości odcinków, n które t wysokość dzieli przeciwprostokątną. Korzyst z włsności trójkątów podobnych przy rozwiązywniu zdń (tkże w kontekstch prktycznych). Oblicz długości boków, przekątnych, korzystjąc z poznnych twierdzeń orz funkcji trygonometrycznych kątów o mirch od 0 do 180. Korzyst z włsności kąt środkowego w okręgu i kąt wpisnego w okrąg w celu wyznczeni mir kątów wewnętrznych wielokąt. Uzsdni położenie środk okręgu opisnego n dowolnym trójkącie. Uzsdni, że dwusieczne kątów trójkąt przecinją się w jednym punkcie. Celujący Bd, korzystjąc z nierówności trójkąt, współliniowość punktów, gdy odległości między nimi opisne są z użyciem prmetru. Rozwiązuje nietypowe zdni o podwyższonym stopniu trudności dotyczące stycznych do okręgu. Rozwiązuje zdni złożone o podwyższonym stopniu trudności dotyczące zleżności między kątem środkowym i kątem wpisnym. Rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności dotyczące okręgów wpisnych i opisnych n trójkącie. Stosuje poznne twierdzeni do rozwiązywni nietypowych zdń o podwyższonym stopniu trudności. Rozwiązuje zdni dotyczące wielokątów o podwyższonym stopniu trudności. 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Dopuszczjący Zn i wskzuje jednominy podobne. Zn i odróżni równni wielominowe od innych równń. Oblicz wrtość wyrżeni lgebricznego, gdy dne są wrtości zmiennych. Dostteczny Dodje, odejmuje i mnoży sumy lgebriczne. Stosuje wzory skróconego mnożeni. Rozkłd wyrżeni lgebriczne n czynniki wyłączjąc wspólny czynnik przed nwis, gdy jest on jednominem. Odczytuje pierwistki równni postci: x x bx c 0 lub 2 x bx c x d 0. Sprwdz, czy podn liczb jest pierwistkiem równni.

4 Ustl dziedzinę wyrżeni lgebricznego opisującego sytucję np. z plnimetrii. Dobry Stosuje wzory skróconego mnożeni do rozkłdni wyrżeń lgebricznych n czynniki. Stosuje metodę wyłączni wspólnego czynnik przed nwis, gdy czynnik ten jest sumą wyrżeń. Stosuje metodę grupowni wyrzów do rozkłdni wyrżeń lgebricznych n czynniki. Rozwiązuje równni stosując metodę rozkłdu n czynniki. Rozwiązuje równni typu: x n, gdy n 2. Opisuje objętość wielościnu i bryły obrotowej z pomocą wyrżeń lgebricznych. Opisuje sytucje z życi codziennego z pomocą wyrżeń lgebricznych Rozwiązuje proste zdni tekstowe prowdzące do rozwiązywni równń liniowych, kwdrtowych lub wyższych stopni. Brdzo dobry Opisuje sytucje spoz mtemtyki z pomocą wyrżeń lgebricznych. Określ dziedzinę wyrżeni lgebricznego opisującego prktyczny problem. Rozkłd wyrżeni lgebriczne n czynniki dobierjąc njlepszą spośród poznnych metod. Podje równnie, gdy zn jego pierwistki. Potrfi opisć sytucję spoz mtemtyki, używjąc wyrżeń lgebricznych. Celujący Dowodzi tożsmości, w których występują wyrżeni lgebriczne. Rozwiązuje zdni tekstowe o podwyższonym stopniu trudności, korzystjąc z równń wielominowych. Rozwiązuje problemy, zdni o podwyższonym stopniu trudności. 3. WYRAŻENIA WYMIERNE Dopuszczjący Zn i odróżni wyrżeni wymierne od innych wyrżeń lgebricznych. Zn i odróżni równni wymierne od innych równń. Oblicz wrtość liczbową wyrżeni dl dnej wrtości zmiennej. Szkicuje wykres funkcji f x, gdy 0, x 0. x Dostteczny Wyzncz dziedzinę wyrżeni wymiernego, jeśli minownik jest wielominem djącym się w łtwy sposób rozłożyć n czynniki. Skrc i rozszerz wyrżeni wymierne, gdy licznik i minownik łtwo dją się zpisć w postci iloczynu. Mnoży i dzieli proste wyrżeni wymierne. Dodje i odejmuje wyrżeni wymierne o wspólnym minowniku. Przeksztłc wyrżeni wymierne. Sprwdz, czy wskzn liczb nleży do zbioru rozwiązń równni wymiernego uwzględnijąc dziedzinę równni. Wyzncz dziedzinę równni, gdy w minowniku jest wielomin co njwyżej drugiego stopni lub wielomin wyższych stopni zpisny w postci iloczynowej. Bd, czy dne wielkości są odwrotnie proporcjonlne.

5 Wskzuje przykłdy wielkości odwrotnie proporcjonlnych. Wyzncz brkującą wielkość, odwrotnie proporcjonlną do dnej, gdy zn współczynnik proporcjonlności. Opisuje włsności funkcji f x, gdy 0, x 0 : dziedzinę, zbiór x wrtości, przedziły monotoniczności. Potrfi wskzć hiperbolę xy wśród wykresów różnych funkcji. Rozwiązuje równni wymierne, które sprowdzją się do równń liniowych, stosując włsność proporcji. Dobry Wyzncz dziedzinę wyrżeni wymiernego, którego minownik jest wielominem dowolnego stopni. Sprowdz wynik mnożeni i dzieleni orz dodwni i odejmowni wyrżeń do postci nieskrclnej z wykorzystniem wzorów skróconego mnożeni, jeśli to możliwe. Wyzncz wskzne zmienne z równni. Przeksztłc wzory z innych dziedzin, np. fizyki, chemii. Rozwiązuje równni wymierne, które sprowdzją się do równń liniowych lub kwdrtowych. Rozwiązuje równni wymierne, które sprowdzją się do równń co njmniej drugiego stopni, stosując włsność proporcji. Rozwiązuje proste zdni tekstowe, stosując włsności proporcjonlności odwrotnej. Szkicuje wykres funkcji f x q, gdy 0, x 0 i opisuje jej x włsności. Szkicuje wykres funkcji f x, gdy 0, x p i opisuje jej x p włsności. Rozwiązuje zdni tekstowe dotyczące drogi, prędkości i czsu, prowdzące do rozwiązywni równń zpisnych w postci proporcji. Brdzo dobry Sprwnie wykonuje wszystkie dziłni n prostych wyrżenich wymiernych. Rozwiązuje równni wymierne, sprowdzjąc je do równń wielominowych. Rozwiązuje równni wymierne, dobierjąc odpowiedni lgorytm (wymgjący np. wykonni wcześniej przeksztłceń). Rozwiązuje zdni tekstowe, w których występują wielkości odwrotnie proporcjonlne. Sporządz wykres funkcji opisujący wielkości odwrotnie proporcjonlne. Opisuje włsności funkcji: symptoty, środek symetrii wykresu, osie symetrii wykresu. Podje wzór funkcji wymiernej n podstwie jej wykresu. Szkicuje wykres opisujący wielkości odwrotnie proporcjonlne, uwzględnijąc dziedzinę. Sporządz wykres funkcji f x q, gdy 0, x p. x p Odczytuje rgumenty, dl których funkcj przyjmuje określone wrtości lub spełni określone wrunki. Rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do równń wymiernych.

6 Celujący Sprwnie wykonuje wszystkie dziłni n wyrżenich wymiernych, tkże o różnych minownikch. Dowodzi tożsmości, w których występują wyrżeni wymierne. Rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności. Rozwiązuje zdni tekstowe o podwyższonym stopniu trudności, korzystjąc z równń wymiernych. 4. CIĄGI Dopuszczjący Zn pojęcie ciągu liczbowego. Zn i stosuje wzór n n-ty wyrz ciągu rytmetycznego. Zn wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego. Zn i stosuje wzór n n-ty wyrz ciągu geometrycznego. Zn wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego. Zn pojęcie procentu skłdnego. Oblicz dowolny wyrz ciągu, gdy dny jest wzór ogólny. Dostteczny Odróżni ciągi skończone od ciągów nieskończonych. Sporządz wykres ciągu. Rozpoznje ciąg rytmetyczny n podstwie opisu słownego, wykresu lub kilku wypisnych wyrzów. Stosuje wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego w niezbyt skomplikownych sytucjch. Rozpoznje ciąg geometryczny n podstwie opisu słownego lub kilku wypisnych wyrzów. Wyzncz pierwszy wyrz ciągu i jego ilorz n podstwie dwóch dowolnych wyrzów ciągu geometrycznego. Stosuje wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego w nieskomplikownych sytucjch. Oblicz odsetki od kwoty złożonej n kilk lt przy stłym oprocentowniu i kpitlizcji rocznej lub krótszej niż rok. Oblicz kpitł zgromdzony w ciągu kilku lt przy stłym oprocentowniu i kpitlizcji rocznej lub krótszej niż rok. Dobry Sprwdz, czy podn liczb jest wyrzem ciągu, gdy prowdzi to do rozwiązni równni liniowego, kwdrtowego lub prostego równni wielominowego. Sprwdz, które wyrzy ciągu nleżą do dnego przedziłu. Bd n podstwie definicji, czy ciąg dny wzorem ogólnym jest ciągiem rytmetycznym, geometrycznym. Wyzncz różnicę ciągu n podstwie wzoru n n-ty wyrz ciągu rytmetycznego. Wyzncz ilorz ciągu n podstwie wzoru n n-ty wyrz ciągu geometrycznego. Wyzncz pierwszy wyrz ciągu i jego różnicę n podstwie dwóch dowolnych wyrzów ciągu rytmetycznego. Wykorzystuje włsność ciągu rytmetycznego do obliczni wyrzów tego ciągu. Wykorzystuje włsność ciągu geometrycznego do obliczni wyrzów

7 tego ciągu. Rozwiązuje zdni, które dotyczą ciągu rytmetycznego, ich rozwiąznie sprowdz się do rozwiązni ukłdów równń liniowych z dwiem niewidomymi lub równń kwdrtowych. Rozwiązuje zdni, które dotyczą ciągu geometrycznego, sprowdzjąc je do ukłdów równń liniowych z dwiem niewidomymi lub równń kwdrtowych. Stosuje procent skłdny przy rozwiązywniu prostych zdń. symbolem n-tego wyrzu Brdzo dobry Rozumie różnicę między symbolem ciągu n ciągu n. Potrfi npisć wzór ciągu n podstwie jego kilku początkowych wyrzów. Sprwdz, czy podn liczb jest wyrzem ciągu, gdy prowdzi to do rozwiązni prostego równni wielominowego lub wymiernego. Wyzncz pierwszy wyrz ciągu i jego różnicę n podstwie dwóch dowolnych wyrzów ciągu rytmetycznego, używjąc tylko opisu symbolicznego. Wyzncz pierwszy wyrz ciągu i jego ilorz n podstwie dwóch dowolnych wyrzów ciągu geometrycznego, używjąc tylko opisu symbolicznego. Wyzncz dowolny wyrz, różnicę lub liczbę wyrzów ciągu n podstwie informcji, wśród których jest dn sum n początkowych wyrzów ciągu. Rozpoznje ciągi rytmetyczne, geometryczne w zdnich tekstowych. Rozwiązuje zdni dotyczące ciągów rytmetycznego i geometrycznego, sprowdzjąc je do ukłdów równń liniowych z dwiem niewidomymi, równń kwdrtowych, wielominowych, wymiernych lub wykłdniczych. Oblicz odsetki od kwoty złożonej n kilk lt przy stłym oprocentowniu i dowolnym okresie kpitlizcji. Oblicz kpitł zgromdzony po kilku ltch, jeśli zn początkowy kpitł i oprocentownie w podnym okresie kpitlizcji. Wyzncz roczną stopę procentową, jeśli zn kpitł początkowy, liczbę okresów kpitlizcji, odsetki i kpitł końcowy. Wyzncz liczbę lt, po których kpitł początkowy przy znnej stopie oprocentowni i okresie kpitlizcji odsetek osiągnie dną wielkość. Rozwiązuje zdni dotyczące lokt i kredytów. Celujący Rozwiązuje zdni złożone o podwyższonym stopniu trudności, w tym dotyczące ciągu rytmetycznego, geometrycznego, sprowdzjąc je do ukłdów równń liniowych z dwiem niewidomymi lub równń kwdrtowych, wielominowych, wymiernych lub wykłdniczych. Prowdzi proste rozumowni np. dowodząc włsności ciągu rytmetycznego, geometrycznego lub odwołując się do tych włsności. Rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności dotyczące lokt i kredytów. 5. FUNKCJA WYKŁADNICZA Dopuszczjący Zn pojęci potęg o wykłdnikch: nturlnym, cłkowitym, wymiernym orz rzeczywistym.

8 Zn definicję i włsności pierwistk rytmetycznego. Zn definicję funkcji wykłdniczej. Dostteczny Stosuje poznne prw dziłń n potęgch o wykłdnikch nturlnych, cłkowitych, wymiernych orz rzeczywistych. Rozpoznje funkcję wykłdniczą. Szkicuje wykres funkcji wykłdniczych: y dl 1 orz 0 1. Sprwdz, czy punkt nleży do wykresu funkcji wykłdniczej. Podje włsności funkcji wykłdniczej n podstwie jej wykresu. Dobry Oblicz wrtości liczbowe wyrżeń zwierjących potęgi orz pierwistki. Przeksztłc wyrżeni zwierjące potęgi orz pierwistki. Stosuje wzory skróconego mnożeni do wykonywni obliczeń i przeksztłcni wyrżeń. Przeksztłc wykres funkcji wykłdniczej, stosując przeksztłceni: symetrię względem osi x, symetrię względem osi y, symetrię względem punktu 0, 0. Przeksztłc wykres funkcji wykłdniczej stosując przesunięcie równoległe do osi x i osi y. Brdzo dobry Wyzncz wzór funkcji wykłdniczej n podstwie wykresu funkcji. Korzystjąc z wykresu funkcji i umiejętności porównywni potęg o tej smej podstwie, wyzncz rgumenty, dl których funkcj osiąg określone wrtości lub spełni podne wrunki. Szkicuje wykresy funkcji: y f x, y f x, y f x, y f x n podstwie równni funkcji wykłdniczej y f x, stosując odpowiednie przeksztłceni. Szkicuje wykresy funkcji wykłdniczych otrzymnych w wyniku dokonnych przeksztłceń. Zpisuje wzór funkcji, której wykres otrzymuje w wyniku dokonnych przeksztłceń. Opisuje zjwisk fizyczne, chemiczne, tkże osdzone w kontekście prktycznym z pomocą funkcji wykłdniczej. Celujący Stosuje widomości o funkcji wykłdniczej do rozwiązywni problemów mtemtycznych o podwyższonym stopniu trudności. x 6. GEOMETRIA ANALITYCZNA Dopuszczjący Zn i rozpoznje równnie prostej dnej w postci kierunkowej orz w postci ogólnej. Sprwdz czy punkt o dnych współrzędnych nleży do prostej opisnej dowolnym równniem. Dostteczny Potrfi npisć równnie prostej, gdy zn jej współczynnik kierunkowy i współrzędne punktu do niej nleżącego. Potrfi npisć równnie prostej w dowolnej postci, gdy zn współrzędne dwóch różnych punktów nleżących do niej. Bd, z pomocą równni prostej czy punkty są współliniowe. Wyzncz współrzędne punktu przecięci się prostych. Wyzncz współrzędne środk odcink. Wyzncz jeden z końców odcink, gdy zn współrzędne drugiego końc

9 i środk odcink. Oblicz długość odcink. Przeksztłc figury (punkty, odcinki, o dnych końcch, proste, okręgi i wielokąty) w symetrii względem osi ukłdu współrzędnych lub względem początku ukłdu współrzędnych. Dobry Znjduje równnie prostej przechodzącej przez dny punkt i równoległej do dnej prostej zpisnej w postci kierunkowej. Znjduje równnie prostej przechodzącej przez dny punkt i prostopdłej do dnej prostej zpisnej w postci kierunkowej. Bd równoległość i prostopdłość prostych n podstwie ich równń kierunkowych. Rozwiązuje zdni dotyczące punktów, odcinków, prostych, okręgów i wielokątów w ukłdzie współrzędnych. Brdzo dobry Znjduje równnie prostej n podstwie podnych jej włsności. Znjduje równnie prostej przechodzącej przez dny punkt i równoległej do dnej prostej zpisnej w dowolnej postci. Znjduje równnie prostej przechodzącej przez dny punkt i prostopdłej do dnej prostej zpisnej w dowolnej postci. Rozwiązuje zdni dotyczące figur geometrycznych umieszczonych w ukłdzie współrzędnych, korzystjąc z wrunku równoległości i prostopdłości prostych. Rozwiązuje zdni dotyczące figur geometrycznych, w których wykorzystuje umiejętność obliczni odległości dwóch punktów, wyznczni środk odcink i znjdowni równń prostych równoległych do dnych lub prostych prostopdłych do dnych. Oblicz odległość punktu od prostej jko długość odpowiedniego odcink zwrtego w prostej prostopdłej. Wyzncz współrzędne punktów nleżących do przeksztłcnych figur, n podstwie współrzędnych ich obrzów. Celujący Rozwiązuje zdni złożone o podwyższonym stopniu trudności, w których wykorzystuje umiejętność znjdowni równń prostych równoległych i prostych prostopdłych orz obliczni odległości dwóch punktów.