Zestaw wybranych wzorów matematycznych

Transkrypt

1 Zestw wybrnych wzorów mtemtycznych mtemtyk elementrn pochodne cłki geometri nlityczn w 3D elementy trygonometrii sferycznej Piotr Choczyński p.j.choczynski@wp.pl v.

2 SPIS TREŚCI Spis treści Mtemtyk Elementrn 3. Wzory skróconego mnożeni Prw dziłń n potęgch i pierwistkch Prw dziłń n logrytmch Trygonometri Pochodne 4. Podstwowe informcje Pochodne funkcji elementrnych Włsności Cłki 5 3. Wzory podstwowe Wzory uogólnione Cłki funkcji wymiernych Cłki funkcji niewymiernych Cłki funkcji trygonometrycznych Zstosowni w geometrii Geometri nlityczn w 3D 9 4. Wektory Teori pol Proste Płszczyzny Proste i płszczyzny Elementy Trygonometrii Sferycznej 5. Podstwowe informcje Twierdzenie cosinusów (dl boków) Reguł Neper lgorytm rozwiązni zdni metodą klsyczną Rysunki szczegółowe L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl)

3 Mtemtyk Elementrn Mtemtyk Elementrn. Wzory skróconego mnożeni ( ± b) = ± b + b b = ( b)( + b) 3 b 3 = ( b)( + b + b ) 3 + b 3 = ( + b)( b + b ) ( ± b) 3 = 3 ± 3 b + 3b ± b 3. Prw dziłń n potęgch i pierwistkch Dl dowolnych m, n R i, b > 0 : 0 = n = n m n = n m m n = n m ( m ) n = m n ( b) m = m n m n = m n ( b ) m = m b m m n = m+n.3 Prw dziłń n logrytmch Dl dowolnych c > 0, (0; ) (; + ) : log c = b b = c (definicj logrytmu) log (x y) = log x + log y log x y = log x log y log x r = r log x log b c = log c log b Możn stosowć uproszczone formy zpisu: log e x ln x; log 0 x log x lg x.4 Trygonometri Wzory podstwowe: sin α + cos α =, tg α = sin α cos α, ctg α = tg α = cos α sin α Wzory redukcyjne: sin (90 α) = cos α cos (90 α) = sin α tg (90 α) = ctg α ctg (90 α) = tg α sin (80 α) = sin α cos (80 α) = cos α tg (80 α) = tg α ctg (80 α) = ctg α α 0 sin α 0 cos α tg α 0 ctg α nie istnieje π π 4 π π π 0 0 nie istnieje 0 0 nie istnieje 3 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

4 Pochodne Pochodne. Podstwowe informcje Definicj Grnic ilorzu różnicowego przy x 0: f f(x 0 + x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x 0 x Interpretcj geometryczn pochodnej Tngens nchyleni stycznej do wykresu funkcji w punkcie x 0 : tg α = f f(x 0 + x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x 0 x Interpretcj fizyczn pochodnej orz drugiej pochodnej (po czsie): s v(t) = lim t 0 t = ds dt v (t) = lim t 0 t = dv dt = d dt ( ) ds = d s dt dt Styczn do wykresu funkcji f(x) w punkcie x 0 : y = x + b, gdzie : = f (x 0 ), b = f(x 0 ) f (x 0 ) x 0. Pochodne funkcji elementrnych (C) = 0 (sin x) = cos x (x) = (cos x) = sin x (x n ) = nx n (tg x) = cos x ( ) = x x (ctg x) = sin x ( x ) = (rcsin x) = x x ( x ) = x ln (rccos x) = x (e x ) = e x (rctg x) = x + (log x) = (rcctg x) = x ln x + (ln x) = x.3 Włsności [ f(x)] = f (x) [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) [ ] f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) [g(x)] [ f [ g(x) ]] = f [ g(x) ] g (x) L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) 4

5 Cłki 3 Cłki 3. Wzory podstwowe 0 dx = C dx = x + C x n dx = xn+ + C n + (n ) x dx = ln x + C dx = rctg x + C + x dx = rcsin x + C x x dx e x dx sin x dx cos x dx = x ln + C = e x + C = cos x + C = sin x + C sin dx = ctg x + C x cos dx = tg x + C x 3. Wzory uogólnione dx + x = rctg x + C ( 0) dx x dx x ± = rcsin x + C = ln x + x ± + C f (x) f(x) dx = ln f(x) + C x + b dx = x + b f (x) f(x) dx = f(x) + C + C x dx ± x = ± ± x + C e x dx = ex + C dx x = ln + x x + C ( 0) cos x dx = sin x + C x dx ± x = ± ln ± x + C sin x dx = cos x + C x dx = x x + rcsin x + C ( > 0) x ± dx = x x ± + x ln + x ± + C wzór n cłkownie przez części: u(x)v (x) dx = u(x) v (x) u (x) v(x) = u(x)v(x) v(x)u (x) dx 5 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

6 Cłki 3.3 Cłki funkcji wymiernych Pn (x) Wszystkie cłki postci Q m (x) dx, gdzie P n(x) to wielomin n-tego stopni, Q m (x) to wielomin m-tego stopni możemy podzielić n nstępujące przypdki:. n m Poprzez dzielenie wielominu doprowdzmy wyrżenie podcłkowe do postci: P n (x) Q m (x) = R n m(x) + S k(x) Q m (x), gdzie k < m Wyrżenie R n m (x) rozwiązujemy stndrdowym wzorem n cłkę z wielominu, ntomist S k(x) Q m (x) z pomocą metody z punktu.. n < m Doprowdzmy minownik do postci iloczynowej (czynników stopni co njwyżej drugiego) i przedstwimy go w postci ułmków prostych: (x + ) k, x + B (x + p x + q) l, l, n N N przykłd: x (x )(x x + ) dx = ( x + B x + C x + D x + + Ex + F ) x dx x + Poszczególne elementy występujące w powyższej cłce rozwiązujemy jedną z poniższych metod (gdzie m to stopień wielominu z minownik, n to stopień wielominu z licznik): () (m = ) Stosujemy wzór: dx = ln x ± p + C x ± p (b) (m ) (n = 0) Podstwimy pod t wyrżenie stojące pod potęgą i korzystmy ze wzoru: t n dx = tn+ n + + C (c) (m = ) ( < 0) (n = 0) Doprowdzmy minownik do postci (x p) + q i po podstwieniu t = x p orz q = korzystmy ze wzoru: dt + t = rctg t + C (d) (m = ) (n = ) Doprowdzmy licznik do postci pochodnej minownik i stosujemy wzory: f (x) dt dx = ln f(x) + C f(x) + t = rctg t + C L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) 6

7 Cłki 3.4 Cłki funkcji niewymiernych Do cłek postci: ( ) x + b R x, n dx, d bc 0 cx + d Stosujemy podstwienie typu: t = n x + b cx + d, tn = x + b cx + d, x = ϕ(t), dx = ϕ (t) dt 3.5 Cłki funkcji trygonometrycznych. Cłki typu R(sin x, cos bx) dx, rozwiązujemy, stosując jeden z nstępujących wzorów: cos(α β) cos(β α) sin α sin β = sin(α β) + sin(α + β) sin α cos β = cos(α β) + cos(α + β) cos α cos β =. Cłki typu R(sin m x, cos n x) dx rozwiązujemy stosując jedną z poniższych metod: () Podstwienie, gdy funkcj jest nieprzyst względem sin x: t = cos x (b) Podstwienie, gdy funkcj jest nieprzyst względem cos x: t = sin x Przykłd: sin n x cos k+ x dx = sin n x cos k x cos x dx = sin n x( sin x) k d(sin x) (c) Podstwienie, gdy funkcj jest przyst wzgledem sin x, cos x: Stosujemy podstwienie: t = tg x, sin x = t, cos x = dt, dx = + t + t + t lub przeksztłcmy funkcję podcłkową jednym z poniższych wzorów: sin x = ( cos x), cos x = ( + cos x), sin x cos x = sin x (d) Podstwienie, gdy funkcj nie spełni wrunków ()-(c) (tzw. podstwienie uniwerslne): t = tg x t t dt, sin x =, cos x =, dx = + t + t + t 7 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

8 Cłki 3.6 Zstosowni w geometrii. Objętość bryły obrotowej powstłej w wyniku obrotu funkcji dookoł osi OX: Funkcj dn jwnie y = y(x), x b b V = π y (x) dx Funkcj dn prmetrycznie x = x(t), y = y(t), α t β β V = π y (t) x (t) dt α. Pole powierzchni bryły obrotowej powstłej w wyniku obrotu funkcji dookoł osi OX: Funkcj dn jwnie y = y(x) 0, x b b S = π y(x) + [y (x)] dx Funkcj dn prmetrycznie x = x(t), y = y(t), α t β S = π β 3. Długość łuku funkcji: α y(t) [x (t)] + [y (t)] dt Funkcj dn jwnie y = y(x), x b L = b + [f (x)] dx Funkcj dn prmetrycznie x = x(t), y = y(t), α t β L = β α [x (t)] + [y (t)] dt L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) 8

9 Geometri nlityczn w 3D 4 Geometri nlityczn w 3D 4. Wektory Iloczyn sklrny: Iloczyn wektorowy: b = b = x b x + y b y + z b z = b cos ϕ î ĵ ˆk x y z b x b y b z, b = b sin ϕ W wyniku obliczeni iloczynu wektorowego otrzymujemy trzeci wektor c, który jest prostopdły do obydwu wektorów orz b. Iloczyn mieszny: ( ) b c = x y z b x b y b z c x c y c z Prostopdłość (ortogonlność) wektorów: b cos ϕ = 0 b = 0 Równoległość (kolinerność) wektorów: b sin ϕ = 0 b = b = 3 b 3 Pole równoległoboku zbudownego n dwóch wektorch: S = b Pole trójkąt zbudownego n dwóch wektorch: S = b Objętość równoległościnu zbudownego n trzech wektorch: V = ( B) C Objętość czworościnu zbudownego n trzech wektorch: V = 6 ( B) C Rzut wektor n wektor b: b = b b b 4. Teori pol Grdient pol sklrnego f: f(x, y, z) = Dywergencj pol wektorowego F = (F x, F y, F z ): [ f x, f y, f ] z F (x, y, z) = F x x + F y y + F z z Rotcj pol wektorowego F = (F x, F y, F z ): F î ĵ ˆk = x y z F x F y F z Pochodn kierunkow: u f(x 0, y 0, z 0 ) = f u (x 0, y 0, z 0 ) = f(x 0, y 0, z 0 ) u 9 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

10 Geometri nlityczn w 3D 4.3 Proste x x o Równnie kierunkowe: = y y o b { x = xo lub gdy = 0 bc 0 y y o b = z zo c = z z o, gdy bc 0 c orz nlogicznie dl pozostłych. Równnie prmetryczne: x = x o + t y = y o + bt z = z o + ct Prost wychodząc z punktu P o = (x o, y o, z o ) przeciągnięt przez wektor v = [, b, c] Równnie krwędziowe (przecięcie dwóch płszczyzn nierównoległych) l : { x + B y + C z + D = 0 x + B y + C z + D = 0 Równnie prostej przechodzącej przez punkty i B: x x x x B = y y y y B = z z z z B Wzjemne położenie prostych Prostopdłość: + b b + c c = 0 Równoległość: = b = c b c Przecinnie się: #» P 0 P 0, #» v, #» v są liniowo zleżne i nie spełniją wrunku równoległości. Skośność (proste nie leżą w jednej płszczyźnie): #» P 0 P 0, #» v, #» v są liniowo niezleżne. 4.4 Płszczyzny Równnie ogólne płszczyzny: x + By + Cz + D = 0 Wektor prostopdły do płszczyzny R = [, B, C] Prostopdłość/równoległość płszczyzn określ się przy pomocy prostopdłości/równoległości ich wektorów normlnych: Prostopdłość płszczyzn: + B B + C C = 0 Równoległość płszczyzn: = B B = C C Równnie odcinkowe płszczyzny: x + y b + z c = L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) 0

11 Geometri nlityczn w 3D Równnie płszczyzny przechodzącej przez 3 punkty niewspółliniowe: x x y y z z x x y y z z x 3 x y 3 y z 3 z = 0 Odległość punktu od płszczyzny: d = x o + By o + Cz o + D + B + C Kąt między płszczyznmi (kąt między wektormi normlnymi do płszczyzn): R cos ϕ = R R R = + B B + C C + B + C + B + C Płszczyzn styczn do wykresu funkcji F (x, y, z) w punkcie P o (x o, y o, z o ): F x (P o )(x x o ) + F y (P o )(y y o ) + F z (P o )(z z o ) = Proste i płszczyzny Prostopdłość/równoległość prostej i płszczyzny: x = x o + t l : y = y o + bt, α : x + By + Cz + D = 0 z = z o + ct Wektor u(, b, c) jest równoległy do prostej l Wektor R(, B, C) jest prostopdły do płszczyzny α Wrunek prostopdłości: l α u R = B b = C c Wrunek równoległości: l α u R + Bb + Cc = 0 Punkt przebici prostej z płszczyzną Wyznczmy prmetr t podstwijąc l do α: (x o + t) + B(y o + bt) + C(z o + ct) + D = 0 Współrzędne punktu przebici otrzymmy podstwijąc prmetr t do równni prostej l. Kąt nchyleni prostej do płszczyzny: sin ϕ = + Bb + Cc + B + C + b + c Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

12 Elementy Trygonometrii Sferycznej 5 Elementy Trygonometrii Sferycznej 5. Podstwowe informcje Trygonometri sferyczn zjmuje się związkmi w trójkątch n powierzchni kuli, czyli tzw. trójkątch sferycznych. Trójkąt sferyczny jest figurą, której bokmi są łuki kół wielkich przechodzące przez kżdą z pr spośród trzech punktów będących jego wierzchołkmi. Poniżej znjdują się dw przykłdowe trójkąty sferyczne. C C b B b d d B W trójkącie sferycznym mirą zrówno kątów, B, C jk i boków, b, d są stopnie. Jego boki są łukmi wyrżonymi w mierze swoich kątów środkowych. Podstwowe włsności trójkątów sferycznych: Kżdy element trójkąt sferycznego jest mniejszy od 80, 0 < + b + c < 80, 80 < + B + C < 540, Nprzeciw dłuższego boku leży większy kąt. W celch nwigcyjnych rozwżne trójkąty sferyczne będą posidły jeden wierzchołek (C) n biegunie północnym. Boki, b leżą n południkch przechodzących odpowiednio przez punkty B,. Ortodrom jest krótszym łukiem koł wielkiego przechodzącego przez dw punkty n sferze i wyzncz njkrótszą drogę między nimi (tzw. odległość ortodromiczną między punktmi i B oznczoną jko d). Jest on zwsze wygięt w kierunku bliższego biegun. Kąty drogi są mierzone zwsze względem ruchu wskzówek zegr, między południkiem przechodzącym przez dny punkt dodtnim kierunkiem ruchu. Szczegółowo jest to zobrzowne n rysunkch n stronie 5. Są n nich zznczone wszystkie elementy zrówno trójkąt sferycznego jk i smej ortodromy, które musimy wyznczyć. by poruszć się po ortodromie, kąt drogi musi być cły czs zmieniny (poz przypdkiem poruszni się po równiku - wtedy kąt drogi wynosi stle 90 lub 70, lub po dowolnym południku - wtedy kąt drogi wynosi stle 0 lub 80 ). Wierzchołki ortodromy to dw punkty W orz W leżące n kole wielkim zwierjącym dną ortodromę, wysunięte njbrdziej n północ orz njbrdziej n południe. współrzędne geogrficzne skłdją się z szerokości geogrficznej (N,S) podwnej w zkresie [ 90 ; 90 ]. (jko odchylenie n północ lub południe od równik) orz z długości geogrficznej (E,W) podwnej w zkresie [ 80 ; 80 ] (jko odchylenie n wschód lub zchód od południk zerowego). L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl)

13 Elementy Trygonometrii Sferycznej 5. Twierdzenie cosinusów (dl boków) W dowolnym trójkącie sferycznym BCbd możemy zdefiniowć nstępujące wzory: cos = cos b cos d + sin b sin d cos cos b = cos cos d + sin sin d cos B cos d = cos cos b + sin sin b cos C C C 5.3 Reguł Neper C c c W celu znlezieni wysokości trójkąt sferycznego orz miry kąt przylegjącego do niej możn b h b h skorzystć z tzw. reguły Neper. Poniżej znjdują się przykłdowe b 90 -h rysunki dl przypdków kiedy wysokość trójkąt znjduje d siębwewnątrz trójkąt orz poz nim. d d C C 90 -d C c b b c h B d d C c c C d c c B h d h C C b d h h d 80 -B h b 90 -h 90 -d Jeśli rozmieścimy pięć elementów prostokątnego trójkąt sferycznego n pięciokącie (pomijjąc kąt prosty) w tkiej b kolejności, w jkiej występują w trójkącie i zstąpimy przy tym przyprostokątne ich dopełnienimi do 90, to: d d d B 80 -B 80 -B 90 -d cosinus kżdego z elementów jest równy iloczynowi cotngensów dwóch przylegjących do niego elementów, 80 -B C C 90 -h 90 -d 90 -h cosinus kżdego z elementów jest równy iloczynowi sinusów dwóch nieprzylegjących do niego elementów. W szczególności (n podstwie górnego rysunku): cos (90 h) = sin b sin sin h = sin b sin cos b = ctg C ctg cos b = tg C = tg C tg cos b tg Do rozwiązni powyższych równń zstosowno m.in. wzór ctg α = orz wzory redukcyjne: tg α sin (90 α) = cos α cos (90 α) = sin α ctg (90 α) = tg α sin (80 α) = sin α cos (80 α) = cos α ctg (80 α) = ctg α 5.4 lgorytm rozwiązni zdni metodą klsyczną N wejściu otrzymujemy współrzędne geogrficzne dwóch punktów (początkowego i końcowego). Przykłdowo: (5 46 S; 73 4 W); B(34 54 S; E) Celem zdni jest wyznczenie odległości ortodromicznej (d) pomiędzy nimi, początkowego kąt drogi (α), końcowego kąt drogi (β) orz współrzędnych wierzchołków ortodromy W i W. 3 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

14 Elementy Trygonometrii Sferycznej ETPY ROZWIĄZNI:. Zmienimy współrzędne geogrficzne obu punktów n wrtości liczbowe szerokości (ϕ) orz długości geogrficznych (λ) korzystjąc z przyjętej konwencji znków: (+) dl NE, (-) dl SW.. Rysujemy rzut równikowy (jest on przedstwiony n 5. stronie) i zznczmy długości geogrficzne obu punktów (w celu sprwdzeni w którą stronę będzie krótsz drog: W E czy E W ). Kierunek drogi łtwo jest również ustlić n podstwie płskiego odwzorowni Ziemi. Drog n wschód zwsze będzie n nim odwzorown jko drog w prwo. UWG: Nwet płynąc w prwo ze wschodniej półkuli n zchodnią (przecinjąc południk 80 ) jest to trktowne jko drog z zchodu n wschód. nlogicznie jest dl przeciwnego kierunku. 80 W 0 80 E 80 W 0 80 E 3. Wyznczmy, b, C (przyjmujemy λ = λ B λ ): { = 90 ϕ B λ gdy λ 80 C = b = 90 ϕ 360 λ gdy λ > Wyznczmy odległość ortodromiczną z twierdzeni cosinusów (5.). by wyznczyć ją w milch morskich (Mm) mnożymy otrzymny w stopnich wynik przez Wyznczmy miry kątów, B - z twierdzeni cosinusów (5.), po wyznczeniu z odpowiednich równń cosinusów kątów: cos = cos cos b cos d sin b sin d 6. Obliczmy początkowy orz końcowy kąt drogi: cos B = cos b cos cos d sin sin d W E : { α = β = 80 B E W : { α = 360 β = 80 + B 7. Wprowdzmy do nszego trójkąt BCbd wysokość h wychodzącą z wierzchołk C i obliczmy wrtości C (lub C ) orz h korzystjąc z reguły Neper (5.3). Jeżeli kąty, B są jednorodne (ob rozwrte lub ob ostre) to wysokość h będzie leżł wewnątrz trójkąt, jeżeli są niejednorodne to wysokość będzie leżł n zewnątrz, po stronie kąt rozwrtego. Wysokość h przecin koło wielkie nszej ortodromy w punkcie będącym jej wierzchołkiem W. UWG: Przy wyznczniu dowolnej wielkości z funkcji sin h otrzymujemy dw możliwe rozwiązni: (h) orz (80 h). N podstwie włsności trójkąt sferycznego wybiermy jedyne włściwe rozwiąznie. Często wystrczy zuwżenie n podstwie rysunku, czy wysokość powinn być większ czy mniejsz niż 90 (czyli n której półkuli spodziewmy się wierzchołk W ). 8. Obliczmy wierzchołki ortodromy wykorzystując podne wzory, nstępnie zznczmy długości λ W orz λ W n rzucie równikowym (rysunek n stronie obok): { { ϕw = 90 W = h ϕw = ϕ W λ W = λ ± C λ B ± C = W λ W = λ W ± 80 * Prwidłową zleżność wybiermy n podstwie rysunku, biorąc pod uwgę odchylenie wysokości (o kąt C lub C ) od odpowiedniego południk (biegnącego do punktu lub B). ** Tk, by λ W [ 80, 80 ] - czyli by mił sens długości geogrficznej. L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) 4

15 Elementy Trygonometrii Sferycznej 5.5 Rysunki szczegółowe W E λ Δλ λw λ B λw 80 Rysunek : Kompletny rysunek przy kursie W E wrz z rzutem równikowym W E λ B λ Δλ λw λw 80 Rysunek 3: Kompletny rysunek przy kursie E W wrz z rzutem równikowym 5 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

16