Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Transkrypt

1 Cłkownie numeryczne przy użyciu kwdrtur Pln wykłdu: 1. Kwdrtury Newton-Cotes ) wzory: trpezów, prbol etc. b) kwdrtury złożone. Ekstrpolcj ) Ekstrpolcj Richrdson b) Metod Romberg c) Metody dptcyjne 3. Kwdrtury Guss ) Guss-Legendre' b) Guss-Hermitte' c) Guss-Lguerre' 4. Cłkownie funkcji wielu zmiennych

2 Cłkownie numeryczne ozncz zstosownie metod numerycznych w celu wyznczeni przybliżonej wrtości cłki oznczonej. C = f(x)dx Skoro funkcję podcłkową możemy interpolowć to wielomin interpolcyjny możn wykorzystć do cłkowni. Dl dnego ciągu wrtości funkcji podcłkowej f(x 0 ), f(x 1 ),...,f(x N ) definiujemy wielomin interpolcyjny Lgrnge': '(x) = L N (x) = k (x)f (x k ) k (x) = (x x 0 )(x x 1 ) : : : (x x k 1 )(x x k+1 ) : : : (x x N ) (x k x 0 )(x k x 1 ) : : : (x k x k 1 )(x k x k+1 ) : : : (x k x N ) = Y j=0 j6=k x x j x k x j

3 Podstwimy wielomin interpolcyjny w miejsce funkcji podcłkowej: F (x)dx ¼ Powyższe wzory definiują tzw. kwdrturę. A k są współczynnikmi kwdrtur. Jeśli spełniony jest wrunek To wtedy = A k = '(x)dx = k (x)dx A k F (x k ) jf(x) '(x)j < "; x [; b] F (x)dx A k F (x k ) = (F (x) '(x))dx 6 "(b ) Jeśli funkcj podcłkow posid osobliwości (np. jest nieogrniczon, lub przedził cłkowni jest nieskończony) wówczs powyższy schemt cłkowni uleg modyfikcji funkcję podcłkową zstępujemy iloczynem funkcji wgowej i nowej głdkiej funkcji: F (x) = p(x)f(x) Funkcj wgow p(x) zwier wszystkie osobliwości funkcji F(x) lub jej dobór wynik z zstosownych wielominów ortogonlnych: F (x)dx = ¼ A 0 k = p(x)f(x)dx ¼ p(x)'(x)dx = p(x) k (x)dx A 0 kf(x k ) Dokłdność wyznczonej wrtości cłki jest ogrniczon dokłdnością przybliżeni funkcji podcłkowej wielominem (lub inną funkcją). 3

4 Chcemy wyznczyć wrtość cłki: I(f) = Stosując wzór S(f) = p(x)f(x)dx A k f(x k ); x [; b] Powyższy wzór nosi nzwę kwdrtury, punkty x 1,x...,x N węzłmi kwdrtury. Błąd przybliżeni cłki kwdrturą (błąd metody): E(f) = I(f) S(f) Kryterium dokłdności kwdrtury możn przyjąć zgodność I(W) z S(W), gdy W jest wielominem. Wówczs mówimy że dn kwdrtur jest rzędu r (r 1 ) jeśli I(W ) = S(W ) dl wszystkich wielominów stopni mniejszego niż r. Kwdrtur jest zbieżn dl kżdej funkcji f C([,b]) wtedy gdy: 1) Jest on zbieżn dl kżdego wielominu ) Istnieje liczb M niezleżn od N tk że B N = ja N k j 6 M; N = 1; ; : : : Kwdrtury Newton-Cotes Rozwżmy przypdek z węzłmi równoodległymi x i =+ih, i=0,1,,...,n. Jeśli końce przedziłu są również węzłmi wówczs kwrdtury noszą nzwę kwdrtur zmkniętych. Przybliżmy funkcję podcłkową wielominem Lgrnge' stopni conjwyżej N f(x i ) = L N (x i ); L N (x) = f(x k ) k (x) k (x) = Y j=0 j6=k x x j x k x j Błąd przybliżeni (interpolcji) Wprowdzmy nową zmienną t i = 0; 1; ; : : : ; N R N+1 (x) = f(x) L N (x) 1 = (N + 1)!! N+1(x)f (N+1) (»)» (; b) x = + ht k (t) = Y j=0 j6=k t j k j 4

5 Osttecznie otrzymujemy: gdzie: f(x)dx = S(f) = = = h = h A k f k A k = h ( 1)N k k!(n k)! Z N 0 f k = f( + kh) h = b N '(x)dx = f k k (x)dx Z N f k ' k (t)dt 0 f k A k t(t 1) : : : (t N) (t k) Włsności: 1) Gdy N jest nieprzyste wówczs kwdrtur jest rzędu (N+1) (dokłdn dl wielominów stopni N), dl przystego N rząd kwdrtury wynosi (N+) ) Jeżeli funkcj podcłkow jest r-krotnie różniczkowln, wówczs błąd metody możn przedstwić w postci: E(f) = C r f (r) (»);» [; b] współczynnik C r nie zleży od f. 3) Dl dużych N oszcownie błędu jest trudne ze względu n pochodne wysokich rzędów lub ze względu n numeryczne ksownie się współczynników A k 4) Współczynniki A k zleżą od N. W szczególności (wzór n A k ) zchodzi lim ja kj = 1 N!1 dltego metod kwdrtur Newton-Cotes nie jest zbieżn w klsie funkcji ciągłych. W prktyce przedził cłkowni dzieli się n m podprzedziłów. W kżdym podprzedzile określ się N (N=1,,3) i przeprowdz cłkownie. Tk procedur prowdzi do uzyskni kwdrtur złożonych. 5

6 Kwdrtury dl N=1,,...,6 (cłkownie w podprzedzile) N=1 (wzór trpezów) h = b A 0 = h A 1 = h Z 1 0 Z 1 0 (t 1)dt = 1 h tdt = 1 h S(f) = 1 h(f 0 + f 1 ) Ze wzoru n błąd interpolcji wynik, że kwdrtur jest N+1= rzędu, dokłdnie przybliż wielomin N=1 stopni. Ztem błąd wyznczeni przybliżonej wrtości cłki wynosi E(f) = 1! (x )(x b)f () (»)dx = 1 1 h3 f () (»);» [; b] N= (wzór prbol Simpson) A 0 = 1 3 h h = b A 1 = 4 3 h A = 1 3 h S(f) = 1 3 h(f 0 + 4f 1 + f ) Poniewż N jest przyste więc kwdrtur jest dokłdn dl wielominów stopni N+1 i jest rzędu N+. Dlczego? Zgodnie z wzorem n błąd wzoru interpolcyjnego dostjemy E(f)» z powodu nieprzystości funkcji podcłkowej. Dodjmy więc dodtkowy węzeł w x=(+b)/, który nie zmieni wrunku interpolcji. Wówczs stopień wielominu czynnikowego rośnie o 1: E(f) = f (4) (» 1 ) 4! = 1 90 h5 f (4) (») µ (x ) (funkcj podcłkow terz jest przyst) x + b (x b)dx = 0 µ (x ) x + b (x b)dx» [; b] 6

7 N w A 0 /w A 1 /w A /w A 3 /w A 4 /w A 5 /w A 6 /w błąd wzór 1 (1/)h 1 1 h 3 (1/1) f () (») trpezów (1/3)h h 5 (1/90) f (4) (») prbol 3 (3/8)h h 5 (3/80) f (4) (») 3/8 4 (4/90)h h 7 (8/945) f (6) (») Milne' 5 (5/88)h h 7 (75/1096) f (6) (») (6/840)h h 9 (9/1400) f (8) (») Weddle' Kwdrtury złożone Newton-Cotes Kwdrtury wyższych rzędów są rzdko stosowne. Ntomist błąd kwdrtur niższych rzędów jest proporcjonlny do długości przedziłu cłkowni w odpowiedniej potędze. Ztem niski rząd kwdrtury może nie zpewinić wymgnej dokłdności. Problemu tego możn uniknąć, dzieląc przedził cłkowni n m podprzedziłów, w których przeprowdz się cłkownie kwdrturmi niższych rzędów wyniki cłkowni sumuje się. 7

8 Wzór złożony trpezów Przedził cłkowni dzieli się n m poprzedziłów: S(f) = Gdzie h = b m = h Zkłdmy że m 1 X 1 h(f k + f k+1 ) µ 1 f 0 + f 1 + : : : + f m f m f k = f( + k h) f C ([; b]) Błąd złożonego wzoru trpezów Wyrz 1 m m 1 X f () (» k ) = f () (»);» [; b] jest średnią rytmetyczną wrtości drugiej pochodnej w przedzile cłkowni. Możn więc zpisć E(f) = (b )3 1m f () (») Błąd zleży od 3 potęgi długości przedziłu. Ale zwiększjąc m możn istotnie ogrniczyć jego wrtość. E(f) = h3 1 m 1 X (b )3 = 1m f () (» k ) 1 m m 1 X» k ( + kh; + (k + 1)h) f () (» k ) 8

9 Wzór złożony prbol. Przedził cłkowni [,b] dzielimy n m podprzedziłów (m jest przyste). W podprzedziłch [,+h],..., [+(m-1)h,b] stosuje się wzór prbol wyniki cząstkowe sumuje: Ze względu n ciągłość pochodnej istnieje tki punkt że: m m= X k=1 f (4) (» k ) = f (4) (») S(f) = h 3 m= X (f k + 4f k 1 + f k ) k=1 Wówczs błąd złożonego wzoru prbol wyrż się wzorem = h 3 [f 0 + f m + (f + f 4 + : : : + f m ) + 4(f 1 + f 3 + : : : + f m 1 )] (b )5 E(f) = 180m 4 f (4) (») Zkłdmy f C 4 ([; b]) E(f) = h5 90 m= X k=1 f (4) (» k )» k ( + (k 1)h; + kh) 9

10 Ekstrpolcj Richrdson (przypdek dl różniczkowni le zstosownie ogólne) Rozwijmy funkcję f(x) w szereg Tylor w otoczeniu punktów f(x + h) = f(x h) = x h 1X 1X 1 k! hk f (k) (x) 1 k! ( 1)k h k f (k) (x) f(x + h) = f(x) + hf (1) (x) + h f () (x) + h3 6 f (3) (x) + : : : f(x h) = f(x) hf (1) (x) + h f () (x) h3 6 f (3) (x) + : : : i odejmujemy od siebie ob wyrżeni f(x + h) f(x h) = hf (1) (x) + 3! h3 f (3) (x) + 5! h5 f (5) (x) + : : : nstępnie przegrupowujemy wyrzy by obliczyć pierwszą pochodną f (1) (x) = f(x + h) f(x h) h 1 3! h f (3) (x) + 1 5! h4 f (5) (x) + 1 7! h6 f (7) (x) + O(h 8 ) 10

11 Powyższ formuł w postci ogólnej L h;1 = Á (h) + h + 4 h h 6 + : : : co możn interpretowć jko przybliżenie f (1) (x). Z h podstwimy h/ L h=;1 = Á µ h i obliczmy różnicę + h h h : : : L = (4 1 L h=;1 L h;1 )=(4 1 1) = 4 µ h 3 Á 1 3 Á(h) h h : : : L 3 = (4 L h=; L h; )=(4 1) = 15 µ h 16 Ã 1 15 Ã(h) b h Ã(h) : : : Podstwijąc do L Otrzymujemy '(h) = Ã µ h 1 15 Ã(h) L h;3 = '(h) + c 6 h 6 + c 8 h 8 + : : : Ztem L 1 przybliż f (1) (x) z dokłdnością O(h 4 ) (wyrzów rzędu h 4 ). Dokonujemy podstwieni Ã(h) = 4 µ h 3 Á 1 3 Á(h) Powtrzjąc M-krotnie powyższy proces dostniemy corz lepsze przybliżenie pierwszej pochodnej tzn. dokłdność jej przybliżeni jest n poziomie O(h M ). (o ile h<<1). w L L h; = Ã(h) + b 4 h 4 + b 6 h 6 + : : : L h=; = Ã µ h h 4 + b b h

12 Algorytm dl powyższej procedury jest nstępujący 1. Wybiermy h i liczymy D n;0 = Á µ h n. Nstępnie obliczmy 4 k D n;k = 4 k 1 D n;k k 1 D n 1;k 1 k = 1; ; : : : ; M n = k; k + 1; : : : ; M Obliczjąc rekurencyjnie wyrzy wg dostjemy przybliżeni D n;0 = L + O(h ) D n;1 = L + O(h 4 ) D n; = L + O(h 6 ) D n;3 = L + O(h 8 ) : : : : : : : : : : : : ; n = 0; 1; ; : : : ; M D n;k 1 = L + O(h k ); h! 0 Algorytm ten definiuje tzw. ekstrpolcję Richrdson. Generlnie jest to proces rekurencyjnego wyznczni pewnej wielkości (pochodnej, cłki), co możn zdefiniowć przy pomocy wzoru D n;k 1 = L + 1X µ j h A jk n j=k co w połączeniu z pkt. dje szukne przybliżenie D m,m. Kolejne kroki lgorytmu możn zpisć w postci tblicy D 0;0 D 1;0 D 1;1 D ;0 D ;1 D ; D M;0 D M;1 D M; : : : D M;M 1

13 Metod Romberg Korzytmy z wzoru trpezów h = b n à X n S n = h f( + ih) i=0! f() + f(b) Łtwo zuwżyć, że do obliczeni T n możn wykorzystć już obliczone T n S = 1 S µ 1 f S 4 = 1 S + 1 µ µ 1 3 f + f S 6 = 1 S µ µ 1 3 f + f + f µ 5 + f 8 µ 7 8 Jeśli x [0; 1] to dl kolejnych wrtości n dostjemy poniższy ciąg przybliżeń wrtości cłki S 0 = 1 f(0) + 1 f(1) S = 1 4 f(0) + 1 µ 1 f f(1) S 4 = 1 8 f(0) + 1 µ µ µ f + f + f f(1) S 6 = 1 16 f(0) + 1 µ µ µ µ f + f + f + f µ µ µ f + f + f f(1) co ogólnie dl przedziłu cłkowni [,b] możn zpisć jko S n = 1 S (n 1) + h nx f( + (i 1)h) i=1 13

14 W metodzie Romberg zkłdmy, że odległość między (n+1) węzłmi wynosi h n = b n Do obliczeni cłki wykorzystujemy rekurencyjną formułę z wzorem trpezów R 0;0 = 1 (b ) [f() + f(b)] R n;0 = 1 R n 1;0 + b n X n 1 i=1 Wrtości kolejnych przybliżeń możn uporządkowć w postci tblicy podobnie jk w przypdku ekstrpolcji Richrdson. Obliczeni przeryw się gdy spełniony jest wrunek jr k;k R k 1;k 1 j "; " R f µ + (i 1) b n R n;m = R n;m 1 + 4m R n;m 1 R n 1;m 1 4 m 1 Metody dptcyjne Liczymy numerycznie cłkę np. wzorem prbol f(x)dx = S(; b) S(; b) = b 6» [; b] f() + 4f (b )5 90 f (4) (») µ + b Dzielimy przedził [,b] n n podprzedziłów i stosujemy wzór prbol w kżdym z nich f(x)dx = gdzie: e i jest loklnym błędem przybliżeni wrtości cłki w i-tym podprzedzile [x i-1,x i ]. Złóżmy że jego wrtość możemy oszcowć zgodnie z poniższym wzorem nx (S i + e i ) i=1 + f(b) lub po osiągnięciu zdnej liczby itercji k. Metod Romberg jest przykłdem kwdrtury dptcyjnej. je i j " x i x i 1 b 14

15 wówczs oszcownie błędu cłkowitego od góry jest nstępujące nx e i i=1 nx i=1 je i j " b nx (x i x i 1 ) = " i=1 co pozwl oszcowć wrtość bezwzględną błędu cłki wyznczonej numerycznie f(x)dx nx S " i i=1 Wniosek: przy złożonej wrtości, odpowiednio niski poziom błędu wrtości cłki osiągniemy zwiększjąc liczbę węzłów cłkowni. 15

16 Kwdrtury Guss Ndl rozptrujemy kwdrtury typu: S(f) = A k = A k f(x k ) p(x) k (x)dx le nieco zmienimy metodologię postępowni. Ustlmy funkcję wgową p(x) orz liczbę węzłów (N+1). Szukmy: ) położeni węzłów b) współczynników A k tk by rząd kwdrtury był jk njwyższy. Kwdrtur tego typu nosi nzwę kwdrtury Guss. Do wyznczeni kwdrtur Guss używ się wielominów ortogonlnych. Ciąg wielominów f' n (x)g = f' 0 (x); ' 1 (x); : : : ; ' N (x)g Tw.1. Wielominy ortogonlne mją tylko pierwistki rzeczywiste, leżące w przedzile [,b]. Tw.. Nie istnieje kwdrtur Guss rzędu wyższego niż (N+1). Kwdrtur Guss jest rzędu (N+1) wtedy i tylko wtedy, gdy węzły x k są pierwistkmi wielominu P N+1 (x). Tw. 3. Wszystkie współczynniki A k w kwdrturch Guss są dodtnie. Dlczego rząd kwdrtury Guss jest tk wysoki? Musimy ustlić położeni N+1 węzłów orz współczynniki kombincji liniowej N+1 wielominów ortogonlnych. Dje to n+ rząd. Metod kwdrtur Guss jest zbieżn do kżdej funkcji ciągłej w [,b]. Kwdrtury te są dokłdne dl wielominów stopni N+1. Nzywmy ortogonlnymi w przedzile [,b] jeśli zchodzi pomiędzy nimi związek: (' r ; ' s ) = p(x)' r (x)' s (x)dx = 0 r 6= s 16

17 Korzystmy z tożsmości Christoffel-Drboux nx ' k (x)' k (y) = ' n+1(x)' n (y) ' n (x)' n+1 (y) k n n (x y) Korzystmy terz z definicji wielominu interpolcyjnego Lgrnge' f(x) = nx f(x j )l j (x) j=0 k = k+1 k k = p(x)' k(x)dx l j (x) =! n (x) (x j )! 0 n ( j) Wybiermy oczywiście przypdek tki że: β k współczynnik stojący w wielominie ϕ k przy zmiennej w njwyższej potędze Podstwmy z y zero wielominu n-tego stopni n 1 X y = d j ' k (x)' k (d j ) = ' n(x)' n+1 (d j ) k n n (x d j ) Po wykonniu mnożeni nstępnie cłkowni otrzymmy ' 0 (d j ) 0 0 = ' n+1(d j ) n n p(x) ' 0(x)' n (x) dx x d j = p(x)' 0 (x)! n (x) = ' n (x) orz korzystmy z fktu 1 = ' n+1(d j ) n n ' 0 (x) = 1 = ' n+1(d j )' 0 n(d j ) n n p(x) ' n(x) x d j dx = ' n+1(d j )' 0 n(d j ) n n A j p(x)l j (x)dx 17

18 Skąd otrzymujemy ogólny wzór n współczynniki kwdrtury A j n+1 n A j = n' n+1 (d j )' 0 n (d j) j = 1; ; : : : ; n Kwdrtur dl przedziłu skończonego (Guss-Legendre'). Dl tego typu kwdrtury przyjmujemy: p(x) = 1 Wzór n błąd cłkowni n E = n (n)!f(n) ( ) (; b) Jeśli uwzględnimy że węzły indeksujemy od 0 do n to wielomin będzie wyższego rzędu zstępujemy n przez n+1 [; b] = [ 1; 1] W tym przedzile ciąg wielominów ortogonlnych tworzą wielominy Legendre' P n (x) = 1 n n! d n dx n (x 1) n n+ n+1 A j = n+1 ' n+ (d j )' 0 n+1 (d j) j = 1; ; : : : ; n; n

19 Współczynniki A k : A k = (N + )P N+ (x k )P 0 N+1 (x k) Błąd kwdrtury: E(f) = N+3 ((N + 1)!) 4 (N + 3)((N + )!) 3 f (N+3) (») 1 <» < 1 P 0 (x) = 1 P 1 (x) = x P (x) = 3x 1 P 3 (x) = 5x3 3x Węzły x k stnowią pierwistki wielominu P N+1 (x). (jk je znleźć? => metody poszukiwni zer wielominów) Dl kwdrtur niskiego rzędu węzły i współczynniki A k są stblicowne. Aby zstosowć wzory z przedziłu [-1,1] w przedzile [,b] nleży dokonć trnsformcji liniowej zmiennej niezleżnej: x [ 1; 1]; t [; b] t = + b + b x Z 1 f(t)dt = b g(x)dx 1 µ + b g(x) = f + b x 19

20 W prktyce nie używ się kwdrtur wysokiego rzędu. O wiele lepszym rozwiązniem jest zstosownie kwdrtur złożonych tj. kwdrtur niskiego rzędu w kżdym podprzedzile wyniki sumuje się. N k x k A k 1 0, 1 (-/+) f(t)dt ¼ S(f) = b t k = + b 0, 1 0, 3 1, 0,4 1, 3 + b x k (-/+) (-/+) (-/+) (-/+) (-/+) A k f(t k ) 5/9 8/ Kwdrtury dl przedziłu jedno- i obustronnie nieskończonego Kwdrtur Guss-Lguerre' [; b] = [0; 1) p(x) = e x Ciąg wielominów ortogonlnych stnowią wielominy Lguerre': L n (x) = ( 1) n e x dn dx n (xn e x ) L 0 (x) = 1 L 1 (x) = 1 x L (x) = x 4x + L 3 (x) = x3 + 9x 18x

21 Węzły x k są pierwistkmi wielominu L N+1 (x). Ciąg wielominów ortogonlnych stnowią wielominy Hermite' A k = E(f) = ((N + 1)!) L 0 N+1 (x k)l N+ (x k ) ((N + 1)!) (N + )! f (N+) ( ) (0; 1) H n (x) = ( 1) n e x dn dx n e x H 0 (x) = 1 H 1 (x) = x H (x) = 4x H 3 (x) = 8x 3 1x Wzór cłkowni: Z 1 0 e x f(x)dx ¼ S(f) = A k f(x k ) Kwdrtur Guss-Hermite' p(x) = e x (; b) = ( 1; 1) 1

22 x k są zermi wielominu H N+1 A k = E(f) = N+ (N + 1)! H 0 N+1 (x k)h N+ (x k ) (N + 1)!p ¼ N+1 (N + )! f (N+) ( ) ( 1; 1) Uwgi końcowe: 1) Kwdrtury Guss są dokłdniejsze od kwdrtur Newton-Cotes przy uwzględnieniu tej smej liczby węzłów ) Kwdrtury Guss mją rząd r=n+ dl (N+1) węzłów, podczs gdy kwdrtury NC osiągją ten rząd dl (N+1) węzłów 3) Po ustleniu rzędu kwdrtury stosuje się wzory złożone dl corz mniejszego kroku cłkowni do momentu brku zmin w kolejnym przybliżeniu 4) Cłkownie stblicownej funkcji podcłkowej lepiej wykonć przy użyciu kwdrtur Newton- Cotes' (użycie kwdrtur Guss może wymgć dodtkowej interpolcji) Wzór przybliżonego cłkowni: Z +1 1 e x f(x)dx ¼ S(f) = A k f(x k )

23 Cłkownie funkcji wielu zmiennych Przy cłkowniu funkcji wielu zmiennych pojwiją się problemy: 1) Konstrukcj wielominów interpolcyjnych jest możliw tylko dl odpowiednio położonych węzłów i regulrnych obszrów cłkowni ) Czs obliczeń rośnie brdzo szybko wrz z liczbą zmiennych. W prktyce liczb zmiennych nie przekrcz 4. Zkłdmy, że obszr cłkowni możn opisć ukłdem nierówności: ½ R M 1 x 1 b 1 (x 1 ) x b (x 1 ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : M (x 1 ; x 1 ; : : : ; x M 1 ) x M b M (x 1 ; x ; : : : ; x M 1 ) Szukmy wrtości cłki wielokrotnej: I(f) = Z Z : : : f(x 1 ; x ; : : : ; x M )dx 1 : : : dx M {z } 3

24 I(f) = 1 1 dx 1 (x 1 ) (x 1 ) dx : : : M (x 1 ;x ;:::;x M 1 ) M (x 1 ;x ;:::;x M 1 ) f(x 1 ; x ; : : : ; x M )dx M Wrtość cłki wielokrotnej oblicz się poprzez M-krotne zstosownie kwdrtur jednowymirowych. Przykłd dl dwóch wymirów. I(f) = 1 1 g(x 1 )dx 1 g(x 1 ) = f(x 1 ; x )dx I N1 (g) = XN 1 n=0 A n g(x 1;n ) g(x 1;n ) ¼ I N ;n(f n ) = N ;n X º=0 B º;n f(x 1;n ; x ;º ) Po złożeniu obu kwdrtur otrzymujemy: I(f) = ZZ f(x 1 ; x )dx 1 dx = XN 1 n=0 N ;n X º=0 A n B º;n f(x 1;n ; x ;º ) + R N1 (g) + + N ;n X A n R N ;n(f n ) 4 n=0

25 gdzie: R N1 (g) -reszt kwdrtury I N1 (g) R N;n (f n ) -reszt kwdrtury I N;n (f n ) Uwgi: 1) Przedził cłkowni po zmiennej x może się zmienić wrz z wrtością x 1 ) Liczb węzłów kwdrtur może być różn dl kżdego węzł x 1,n 3) Liczb użytych węzłów I N;n (f n ) XN 1 n=0 (N ;n + 1) Jeśli liczb w kżdej kwdrturze byłby jednkow i równ (N+1) wówczs obliczenie wrtości cłki w M wymirowej przestrzeni wiązłoby się z wykonniem (N+1) M obliczeń. Przykłd. Jeśli N=10 i M=10 wówczs (N+1) M > Przy dużej liczbie wymirów (M>4) lepiej jest posługiwć się zncznie wydjniejszą metodą Monte Crlo. 5