MATEMATYKA cz. 4 Szeregi funkcyjne i równania róŝniczkowe zwyczajne

Transkrypt

1 Ja Nawrocki MATEMATYKA cz. 4 Szeregi fukcyje i rówaia róŝiczkowe zwyczaje Politechika Warszawska 010

2 Politechika Warszawska Wydział Samochodów i Maszy Roboczych Kieruek "Edukacja techiczo iformatycza" 0-54 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel ( , ( ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spi/, sto@simr.pw.edu.pl Opiiodawca: prof. dr hab. Krzysztof CHEŁMIŃSKI Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefa TOMASZEK Projekt układu graficzego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skład tekstu: Jausz BONAROWSKI, Ja NAWROCKI Publikacja bepłata, przezaczoa jest dla studetów kieruku "Edukacja techiczo iformatycza" Copyright 010 Politechika Warszawska Utwór w całości ai we fragmetach ie moŝe być powielay ai rozpowszechiay za pomocą urządzeń elektroiczych, mechaiczych, kopiujących, agrywających i iych bez pisemej zgody posiadacza praw autorskich. ISBN Druk i oprawa: Drukaria Epol P. Rybiński, J. Dąbek Spółka Jawa, Włocławek, ul. Brzeska 4

3 Spis treści I. Ciągi i szeregi fukcyje... 5 II. Szereg potęgowy III. Szeregi ortogoale, szereg Fouriera... 5 IV. Rówaia róŝiczkowe zwyczaje Rówaie róŝiczkowe I rzędu V. Przegląd rówań róŝiczkowych I rzędu VI. Trajektorie ortogoale, rówaia róŝiczkowe rzędu rzędu II sprowadzale do rówań rzędu I VII. Rówaie róŝiczkowe liiowe -tego rzędu Rówaie liiowe jedorode -tego rzędu o stałych współczyikach rzeczywistych VIII. Rówaia róŝiczkowe liiowe iejedorode Metoda uzmieiaia stałych Metoda przewidywaia rozwiązaia szczególego Rówaie Eulera -tego rzędu Literatura... 79

4 Przedmowa Niiejsze materiały zostały opracowae w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechiki Warszawskiej współfiasowaego ze środków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przezaczoe są dla studetów pierwszego roku studiów iŝyierskich kieruku auczaia Edukacja techiczo-iformatycza prowadzoych a Wydziale Samochodów i Maszy Roboczych Politechiki Warszawskiej. Swoim zakresem obejmują trzecią część tematyki określoej w programie studiów dla przedmiotu p. Matematyka opisaym w sylabusie opracowaym dla tego przedmiotu. Jest to przedmiot z grupy przedmiotów podstawowych. W plaie studiów przewidziao jego realizację a pierwszym i drugim roku studiów. Na pierwszym semestrze są to dwa wykłady 30-godzie i 15-godzie ćwiczeia dla kaŝdego z ich: 1. Matematyka cz. 1 Algebra i geometria aalitycza,. Matematyka cz. Aaliza 1. Na drugim semestrze wykłady 30-godzie i 30 -godzie ćwiczeia dla kaŝdego wykładu: 3. Matematyka cz. 3 Aaliza, 4. Matematyka cz. 4 Szeregi fukcyje i rówaia róŝiczkowe zwyczaje. Na trzecim semestrze 30 - godziy wykład: 5. Matematyka cz. 5 Elemety probabilistyki i statystyki matematyczej. W materiałach zawarto podstawowe treści z teorii szeregów fukcyjych i rówań róŝiczkowych zwyczajych potrzebe studetom wydziałów techiczych Politechiki Warszawskiej. Postaowiłem pomiąć iektóre dowody, starając się jedocześie ilustrować kaŝde twierdzeie przykładem. NajwaŜiejsze defiicje i wszystkie twierdzeia zostały zapisae w ramkach, co pozwala studetom zwrócić uwagę a te waŝe w matematyce zdaia. Materiały te zostały apisae w formie kart do pracy a wykładzie. Studet ma apisae i wyróŝioe w tekście defiicje i twierdzeia oraz kometarze, moŝe więc skupić się a objaśieiach wykładowcy, co pozwala a lepsze zrozumieie pojęć wprowadzaych a wykładzie. Studet a wykładzie uzupełia samodzielie tylko dowody twierdzeń i przykłady

5 I Ciągi i szeregi fukcyje

6 ROZDZIAŁ I Ciągi fukcyje Ozaczmy przez R A zbiór wszystkich fukcji rzeczywistych określoych a podzbiorze A przestrzei metryczej (Ω,d. Ciągiem fukcyjym azywamy taki ciąg, którego wyrazami są fukcje f R A (jest to więc odwzorowaie N R A, i który ozaczamy (f. Dla ustaloego a A ciąg (f (a jest ciągiem liczbowym, moŝemy więc zbadać jego zbieŝość. Ciąg (f azywamy puktowo zbieŝym do fukcji f a zbiorze A, jeŝeli co zapisujemy: A: lim f ( = f(, lim f = f lub f f. A A Uwaga 1. Korzystając z defiicji graicy ciągu liczbowego, powyŝszą defiicję moŝemy zapisać astępująco: ( f f A ε>0 δ(,ε >δ: f ( f( < ε. A Przykład 1. Wyzaczyć graicę ciągu (f, jeŝeli f ( = 1 + 1, R. Z przykładu wyika, Ŝe graica ciągu fukcji ciągłych ie musi być ciągła. Następy przykład pokazuje, Ŝe ciąg fukcji ieciągłych moŝe mieć graicę ciągłą. Stroa 6

7 CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Przykład. Wyzaczyć graicę ciągu (f, jeŝeli f ( = D ( 1, = 0, gdy Q, gdy Q. D(, R, gdzie D jest fukcją Dirichleta: Zdefiiujemy teraz iy rodzaj zbieŝości, przy którym iemoŝliwa będzie sytuacja, aby ciąg fukcji ciągłych miał graicę będącą fukcją ieciągłą. Ciąg (f azywamy jedostajie zbieŝym do fukcji f a zbiorze A, jeŝeli co zapisujemy: Lim f A ε>0 δ(ε A >δ : f ( f( < ε, = f lub f f. A Porówując defiicję puktowej i jedostajej zbieŝości widzimy, Ŝe w defiicji puktowej zbieŝości, δ jest dobieraa dla dowolego ε i dla kaŝdego A, zaś w defiicji jedostajej zbieŝości, liczba δ zaleŝy tylko od ε i jest dobra dla kaŝdego A. W zapisie defiicji odpowiada to przestawieiu dwóch kwatyfikatorów ogólych. ZbieŜość jedostaja ciągu fukcyjego jest zbieŝością mociejszą iŝ zbieŝość puktowa. Wiosek 1. ZbieŜość ciągu fukcyjego jest jedostaja, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolego ε>0 istieje skończoe δ(ε= sup δ(ε,. A Przykład 3. Zbadać zbieŝość ciągu fukcyjego (f, gdy f ( =, (0,1. Stroa 7

8 ROZDZIAŁ I Twierdzeie 1. JeŜeli wyrazy ciągu fukcyjego (f są fukcjami ciągłymi w zbiorze A i ciąg te jest jedostajie zbieŝy w A do fukcji f, to f jest fukcją ciągłą w A. ( N: f C(A Lim f = f ( f C(A. Dowód. Z defiicji jedostajej zbieŝości ciągu (f mamy: ε>0 δ 1 (ε A >δ 1 : f ( f( < ε Z defiicji Cauchy ego ciągłości fukcji w pukcie 0 wyika, z uwagi a ciągłość fukcji f, Ŝe: ε>0 η>0 A: d 1 (, 0 < η f ( f ( 0 < ε. Biorąc pod uwagę dwa powyŝsze zdaia oraz ierówość: f( f( 0 = f( f ( + f ( f ( 0 + f ( 0 f( 0 < < f( f ( + f ( f ( 0 + f ( 0 f( 0, mamy: ε>0 η>0 A: d 1 (, 0 < η f( f( 0 < 3ε, co ozacza, Ŝe fukcja f jest ciągła w pukcie 0. PoiewaŜ 0 jest dowolym puktem ze zbioru A, więc f C(A. Wiosek. Tezę twierdzeia 1 moŝa wyrazić rówością: lim ( lim f ( = lim ( lim f (. 0 Wiosek 3. JeŜeli ciąg fukcyjy fukcji ciągłych ma graicę, która jest fukcją ieciągłą, to ciąg te ie jest jedostajie zbieŝy. Przykład 4. Zbadać zbieŝość ciągu fukcyjego (f, gdzie f ( = e, [0,1]. 0 Stroa 8

9 CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Szeregi fukcyje Aalogiczie jak w wykładzie 16 wprowadzamy pojęcie szeregu fukcyjego. Szeregiem fukcyjym o wyrazach f azywamy parę ciągów fukcyjych ( (f, (s, f k k= 1 gdzie s = jest wyrazem ogólym ciągu sum częściowych (s. Szereg fukcyjy ( (f, (s będziemy ozaczać symbolem =1 f lub f. Z uwagi a to, Ŝe określiliśmy dwa rodzaje zbieŝości ciągu fukcyjego: puktową i jedostają, określimy takŝe dwa rodzaje zbieŝości szeregu fukcyjego. Szereg f, którego ciąg sum częściowych (s jest zbieŝy puktowo ( jedostajie w zbiorze A, azywamy szeregiem zbieŝym puktowo ( jedostajie w zbiorze A. Fukcję s, która jest graicą ciągu (s azywamy sumą puktową (jedostają szeregu. Uwaga. JeŜeli R =s s ozacza -tą resztę szeregu fukcyjego, to zbieŝość szeregu ozacza zbieŝość -tej reszty do zera, tz. s A s R A 0. Z twierdzeia 1 dla ciągów fukcyjych i defiicji sumy szeregu wyika: Wiosek 4. JeŜeli wszystkie wyrazy szeregu f są fukcjami ciągłymi w zbiorze A i szereg te jest jedostajie zbieŝy do fukcji s, to fukcja graicza s jest takŝe ciągła w zbiorze A. Udowodimy teraz twierdzeie, które określa waruek wystarczający zbieŝości jedostajej szeregu ( takie twierdzeia azywamy kryteriami. Twierdzeie (kryterium Weierstrassa. JeŜeli szereg a jest szeregiem zbieŝym o wyrazach ieujemych oraz N A: f ( a, to szereg fukcyjy f jest jedostajie zbieŝy w zbiorze A. Dowód. Niech r ozacza -tą resztę szeregu liczbowego a, a poiewaŝ szereg te jest zbieŝy, więc lim r = 0, czyli ε>0 δ>0 N: >δ r = + k= 1 a < ε. Uwzględiając uwagę, aleŝy wykazać, Ŝe ciąg -tych reszt szeregu fukcyjego (R jest jedostajie zbieŝy do zera a zbiorze A. k Stroa 9

10 ROZDZIAŁ I Dla > δ mamy: R ( = f k ( f ( a k < ε, tak więc prawdziwe jest zdaie: + = + + k= 1 k 1 k= 1 ε>0 δ(ε A >δ : R ( < ε. Zdaie to ozacza, Ŝe ciąg (R jest jedostajie zbieŝy do zera w zbiorze A, czyli szereg fukcyjy f jest jedostajie zbieŝy w zbiorze A. Uwaga 3. JeŜeli zamiast szeregu f weźmiemy szereg f, to dowód twierdzeia będzie idetyczy, tz. jeśli spełioe są załoŝeia twierdzeia Weierstrassa, to szereg fukcyjy f jest takŝe bezwzględie zbieŝy. Przykład 5. si( Zbadać jedostają zbieŝość szeregu, dla R. PoiewaŜ fukcja si jest ograiczoa, więc si( 1 N R: Szereg = jest zbieŝy jako szereg Dirichleta ze stałą α = 3 > 1. si( Spełioe są więc obydwa załoŝeia twierdzeia, więc szereg jest jedostajie i bezwzględie zbieŝy dla R. Stwierdzeie jedostajej zbieŝości szeregu pozwala a tzw. całkowaie wyraz po wyrazie i róŝiczkowaie wyraz po wyrazie takiego szeregu, co sprecyzujemy w dwóch astępujących twierdzeiach. Twierdzeie 3. JeŜeli spełioe są astępujące załoŝeia: (a fukcje f : [a,b] R są całkowale w sesie Riemaa w przedziale [a,b] dla = 1,, 3,... ; (b szereg fukcyjy f jest jedostajie zbieŝy do fukcji s w tym przedziale, to fukcja s jest całkowala w sesie Riemaa w przedziale [a,b] i zachodzi rówość: Przykład 6. b b b s(d = f (d (lub iaczej: ( ( a a a f d = f (d. 1 Całkując szereg w przedziale [0,0.5], wyzaczyć sumę szeregu liczbowego. b a Stroa 10

11 CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Twierdzeie 4. JeŜeli spełioe są astępujące załoŝeia: (a fukcje f : [a,b] R są róŝiczkowale w przedziale [a,b]; (b szereg fukcyjy f jest zbieŝy do fukcji s w tym przedziale; (c szereg pochodych f jest jedostajie zbieŝy w przedziale [a,b], to fukcja s jest róŝiczkowala w przedziale [a,b] i jej pochoda jest sumą szeregu f, tz. [a,b]: ( f ( = f (. Przykład 7. Wyzaczyć sumę szeregu 1. Stroa 11

12 ROZDZIAŁ I Ćwiczeia 1. Zbadać zbieŝość ciągu fukcyjego (f, jeŝeli: a f ( =, [0, 0.9]; b f ( = e, (0,+ ; c f ( =, R; 1+ si d f ( =, R ; e f 1+ ( =, R.. Określić obszar zbieŝości szeregu fukcyjego:, b 4 si a, c Zbadać jedostają zbieŝość szeregu: 1 cos ( 1 a, R, b, 0, c + + tg, [0,1] Wiedząc, Ŝe e e =, gdy > 0, wyzaczyć sumę szeregów: e, e = 0 e 1 = 1 =1 -. Stroa 1

13 II Szereg potęgowy

14 ROZDZIAŁ II Szereg potęgowy Zbadamy dokładiej szczególy rodzaj szeregów fukcyjych, które mają rozległe zastosowaia w aukach iŝyierskich. Szereg fukcyjy f, którego wyrazy f są fukcjami postaci f ( = a ( 0, gdzie, 0 R, a R, =0, 1,, 3,..., azywamy szeregiem potęgowym o środku 0 i współczyikach a. PoiewaŜ podstawieie 0 =t sprowadza szereg potęgowy o środku 0 do szeregu potęgowego o środku w zerze, więc w dalszym ciągu badać będziemy szereg potęgowy postaci =0 Szereg =0 a. a jest zbieŝy, gdy = 0 i jego sumą jest a 0, dla 0 szereg te moŝe być zbieŝy, albo rozbieŝy, ale w tym przypadku moŝa określić cały przedział zbieŝości lub rozbieŝości tego szeregu. Twierdzeie 1 (Abela. JeŜeli szereg =0 a jest zbieŝy dla =ρ 0, to jest bezwzględie zbieŝy w przedziale ( ρ, ρ i jedostajie zbieŝy w kaŝdym przedziale domkiętym zawartym w przedziale ( ρ, ρ. Dowód. Wiosek 1. JeŜeli szereg =0 (, ρ ( ρ, +. a jest rozbieŝy dla =ρ 0, to jest rozbieŝy dla Stroa 14

15 SZEREG POTĘGOWY JeŜeli istieją takie 0, dla których szereg =0 a jest zbieŝy i szereg te ie jest zbieŝy dla wszystkich R, to istieje kres góry wartości bezwzględych, dla których szereg te jest zbieŝy. Kres góry wartości bezwzględych, dla których szereg a =0 promieiem zbieŝości tego szeregu i ozaczamy przez r, tak więc r = sup { : =0 a a < }. jest zbieŝy azywamy Przyjmujemy r = 0, gdy szereg =0 zbieŝy dla kaŝdego R. Przedział ( r,r azywamy przedziałem zbieŝości szeregu =0 jest zbieŝy tylko dla = 0 i r =, gdy szereg te jest a. Z twierdzeia Abela wyika, Ŝe szereg potęgowy o promieiu zbieŝości r 0 jest zbieŝy w przedziale ( r,r i rozbieŝy w przedziałach (, r (r,. Dla =r lub = r szereg moŝe być zbieŝy lub rozbieŝy; zbiór wszystkich, dla których szereg jest zbieŝy będziemy azywać obszarem zbieŝości szeregu potęgowego. Przykład 1. Wyzaczyć obszar zbieŝości szeregu. Następe twierdzeie poda metodę wyzaczaia promieia zbieŝości szeregu potęgowego. Twierdzeie (Cauchy ego-hadamarda. JeŜeli istieje róŝa od zera graica właściwa µ = lim a, to promień zbieŝości r szeregu potęgowego 1 a jest rówy r =. =0 µ Stroa 15

16 ROZDZIAŁ II Dowód. Uwaga 1. Z dowodu twierdzeia wyika, Ŝe jeśli µ= 0, to szereg jest zbieŝy dla kaŝdego R i wtedy r =, jeŝeli zaś µ=, to r = 0 i szereg zbieŝy jest tylko dla = 0. Wiosek. Z kryterium D Alemberta dla szeregów liczbowych o współczyikach róŝych od zera i twierdzeia Cauchy ego-hadamarda wyika, Ŝe promień zbieŝości moŝa liczyć ze wzoru a r=lim. a Wiosek 3. Z twierdzeia 1 (Rozdział I wyika, Ŝe suma szeregu potęgowego jest fukcją ciągłą w przedziale ( r,r, poadto moŝa wykazać, Ŝe jeśli szereg jest zbieŝy a krańcu przedziału, to suma ta jest fukcją jedostroie ciągłą. + 1 Przykład. Wyzaczyć obszar zbieŝości szeregów: (a 3 5, (b!, (c 3, (d ( Stroa 16

17 SZEREG POTĘGOWY RozwaŜymy teraz problem róŝiczkowaia wyraz po wyrazie i całkowaia wyraz po wyrazie szeregu potęgowego. Twierdzeie 3 (o róŝiczkowaiu szeregu potęgowego. JeŜeli promień zbieŝości r szeregu potęgowego =0 szeregu jest fukcją róŝiczkowalą i ( r,r: s ( = =1 oraz promień zbieŝości szeregu pochodych =1 a a, -1-1 jest dodati, to suma s tego a jest rówy r. Wiosek 4. Szereg potęgowy a moŝa róŝiczkować wyraz po wyrazie dowolą =0 ilość razy i jego suma s jest fukcją klasy C w przedziale ( r,r. Aalogicze twierdzeie moŝa udowodić dla szeregów całkowaych wyraz po wyrazie. Twierdzeie 4 (o całkowaiu szeregu potęgowego JeŜeli promień zbieŝości r szeregu potęgowego a =0 szeregu jest fukcją całkowalą w sesie Riemaa i ( r,r: 0 oraz promień zbieŝości szeregu całek s(tdt = t 0 = 0 jest dodati, to suma s tego a 1 a dt = +, + 1 = 0 a + 1 jest rówy r. = Stroa 17

18 ROZDZIAŁ II Uwaga. Przedział całkowaia [0,] w twierdzeiu 4, moŝa zastąpić dowolym przedziałem [a,b] ( r,r. Przykład 3. = 0 Wyzaczyć sumę szeregu potęgowego ( 1 i obliczyć sumę szeregu aharmoiczego ( 1 1. Przykład 4. Wyzaczyć sumę szeregu 1, obszar jego zbieŝości oraz sumę szeregu liczbowego. Stroa 18

19 SZEREG POTĘGOWY Szereg Taylora Szereg potęgowy o środku w pukcie 0 i współczyikach c = ( f ( 0 (=0,1,,3,..., gdzie! f C (U( 0,δ, azywamy szeregiem Taylora fukcji f w tym otoczeiu. JeŜeli 0 = 0, to taki szereg azywamy szeregiem Maclauria. KaŜdej fukcji klasy C w pewym otoczeiu U( 0,δ puktu 0 odpowiada więc jej szereg Taylora, ale suma tego szeregu ie musi być rówa fukcji f. Wśród fukcji klasy C wyróŝimy te, dla których zachodzi rówość: ( f ( 0 U( 0,δ: f( = ( 0. = 0! Fukcję spełiającą powyŝszy waruek azywamy rozwijalą w szereg Taylora (albo aalityczą w sesie rzeczywistym w otoczeiu puktu 0. Podamy ajpierw przykład fukcji klasy C, która ie jest rozwijala w szereg Taylora. Przykład 5. Wyzaczyć szereg Maclauria dla fukcji f, jeŝeli f( = 1 e 0,, gdy 0, gdy = 0. Sformułujemy teraz twierdzeia, które podadzą waruki wystarczające do tego, aby fukcja była rozwijala w szereg Taylora. Twierdzeie 5 (o rozwijaiu fukcji w szereg Taylora. Fukcja f C (U( 0,δ jest sumą swojego szeregu Taylora wtedy i tylko wtedy, gdy lim R ( = 0 w otoczeiu U, gdzie (R jest ciągiem fukcyjym postaci: Dowód. R ( = f ( ( 0 + θ(! 0 ( 0. Stroa 19

20 ROZDZIAŁ II Twierdzeie 6. JeŜeli fukcja f C (U( 0,δ ma pochode wspólie ograiczoe, tz. M>0 U( 0,δ N 0 : f ( ( M, to fukcja f jest rozwijala w szereg Taylora w otoczeiu U. Dowód. Rozwijaie fukcji w szereg Taylora ie musi koieczie odbywać się a podstawie defiicji tego szeregu, ale rozwiięcie w szereg potęgowy otrzymae iymi metodami jest rozwiięciem w szereg Taylora, co uzasadia astępujące twierdzeie. Twierdzeie 7 (o jedozaczości rozwiięcia fukcji w szereg Taylora JeŜeli fukcja f jest w pewym otoczeiu U( 0,δ sumą szeregu potęgowego = 0 a ( 0, to szereg te jest szeregiem Taylora tej fukcji. Przykład 6. Ze zaego wzoru a sumę szeregu geometryczego: 1 aq =, gdy q <1, dla <1, =0 1 q podstawiając q =, mamy: (- = 1 1 = =. =0 =0 1 ( Otrzymaliśmy więc w przedziale ( 1,1 rozwiięcie fukcji f, gdzie f( = w szereg 1+ potęgowy, jest to, a mocy twierdzeia 7, szereg Maclauria tej fukcji. Stroa 0

21 SZEREG POTĘGOWY Wyprowadzimy teraz kilka rozwiięć w szereg Taylora kilku podstawowych fukcji klasy C (R. Przykład 7. Rozwiąć w szereg Taylora wokół puktu 0 =1 fukcję f, jeŝeli f( = l. Fukcja f jest klasy C (R + a jej pochoda -tego rzędu daa jest wzorem; >0 N: f ( ( = 1 ( 1 ( 1 a stąd mamy: N: f ( (1 = ( 1 1 ( 1!. Szereg Taylora tej fukcji ma postać: 1 ( 1 ( 1! l1 + ( 1 1 ( 1 = ( 1, = 1! = 1 przy czym promień zbieŝości tego szeregu jest rówy 1, a obszar zbieŝości to przedział (0,], tak więc z uwagi a twierdzeie 7, mamy: = 1 ( 1 1 (0,]: l = ( 1 Dla = otrzymamy sumę szeregu aharmoiczego: l = = Przykład 8. Rozwiąć w szereg Maclauria fukcję f, jeŝeli: a f( = e, b f( = si, c f( = cos. 1!,. ( 1 a Fukcja f jest klasy C (R a jej pochoda -tego rzędu daa jest wzorem: 1. N: ( ( f = e, oraz ( f ( 0 = 1. W kaŝdym przedziale ograiczoym [ a,a] (a>0 mamy: N: f ( ( e a, czyli pochode są wspólie ograiczoe, a więc stosując twierdzeie 6 otrzymamy rozwiięcie fukcji f w szereg Maclauria: R: ep( = e = =0. b Fukcja f jest klasy C (R, a jej pochoda -tego rzędu daa jest wzorem:! R N: ( π f ( = si +. Oczywiste jest, Ŝe pochode są wspólie ograiczoe w R, stąd łatwo otrzymujemy rozwiięcie: -1 ( R: si =. ( 1! = 0 + Stroa 1

22 ROZDZIAŁ II c Stosując twierdzeie 3 o róŝiczkowaiu szeregu wyraz po wyrazie oraz biorąc pod uwagę rówość: (si = cos, mamy: R: cos = = 0-1 (-1 (!. Przykład 9. Rozwiąć w szereg Maclauria fukcję f i określić obszar zbieŝości otrzymaego szeregu: 1 cos a f( = cos, dla 0,, b f ( =, c f( = arctg3. 1, dla = 0, Stroa

23 SZEREG POTĘGOWY Uwaga 3. W dziedziie zespoloej fukcje ep, si, cos defiiujemy jako sumy szeregów potęgowych a o współczyikach takich samych, jakie w zbiorze R mają szeregi z Maclauria tych fukcji. Tak więc mamy astępujące rówości: z ;! z C: epz = e z = =0-1 ( z C: siz = z ; ( 1! z R: cosz = = 0 + = 0-1 (-1 z (! RozwaŜmy szczególy przypadek fukcji ekspoecjalej w zbiorze C, gdy z = iy, gdzie y R. Wykorzystując defiicję fukcji ep w dziedziie zespoloej, mamy:. e iy = =0 (iy! = =0 i y! = =0 i y (! + = i y = i = ( 1 = ( + 1! = =0 (-1 y (! = cosy + isiy. + i = + 1 (-1 y = biorąc pod uwagę rozwiięcia z przykładu 8 = ( + 1! 0 Z powyŝszych rówości wyika astępujący wiosek. Wiosek 5. Fukcja epoecjala zmieej urojoej wyraŝa się przez fukcje trygoometrycze zmieej rzeczywistej i prawdziwe są astępujące rówości dla dowolego y R: e iy = cosy + isiy; e iy = cosy isiy; cosy = siy = e e + e iy iy e i iy iy ;. Rówości przedstawioe w powyŝszym wiosku oszą azwę wzorów Eulera. Uwaga 4. Ze wzorów Eulera dla z = + iy, mamy rówość: e z = e (cosy + isiy, z której wyika, Ŝe fukcja ep w dziedziie zespoloej jest fukcją okresową o okresie podstawowym πi. Stroa 3

24 ROZDZIAŁ II Tak więc własości fukcji ep w dziedziie zespoloej i w dziedziie rzeczywistej ie są takie same. Podobie jest z fukcjami si i cos. ZauwaŜmy, a przykład, Ŝe dla a R, ze wzorów Eulera w dziedziie zespoloej: iz iz e + e e iz e iz cos z =, siz =, i mamy: e a a + e cos(ia =, a z rówości tej wyika, Ŝe fukcja cos ie jest fukcją ograiczoą w dziedziie zespoloej. Ćwiczeia 1. Wyzaczyć promień zbieŝości szeregu: 5 + ( 3 (! a 5 3, b, c, d ( 1 9 l. Wyzaczyć obszar zbieŝości szeregu: 3 a + +, b 3 5, c, l( + 1 ( 4 ( + (! d, e ( 1, f ( Wyzaczyć sumę i obszar zbieŝości szeregu potęgowego: a ( 1 ( + 1, b, c = Rozwiąć w szereg Maclauria fukcję f i określić obszar zbieŝości otrzymaego szeregu, jeŝeli: a f( = cos, b f( = si cos, c f( = l(+3, 1 d f( =, e f( = (1+ α 1, α 0, f f( =, g f( =arcsi Rozwiąć w szereg Taylora fukcję f i określić obszar zbieŝości otrzymaego szeregu, jeŝeli: 1 a f( =, 0 = 3, b f( = l(+1, 0 =, c f( = cos π, =. 6. Obliczyć całkę z dokładością do 10 3, wykorzystując rozwiięcie fukcji podcałkowej w szereg potęgowy: 1 si arctg - a d, b d, c e d Stroa 4

25 III Szeregi ortogoale, szereg Fouriera

26 ROZDZIAŁ III Szeregi ortogoale Drugą po szeregach potęgowych waŝą klasą szeregów fukcyjych są szeregi trygoometrycze, które są szczególym przypadkiem szeregów ortogoalych. Ozaczmy przez L (a,b zbiór wszystkich ciągłych fukcji f: (a,b R, dla których całka b a f (d jest zbieŝa ( mówimy, Ŝe jest to zbiór fukcji ciągłych i całkowalych z kwadratem w przedziale (a,b. Łatwo wykazać, Ŝe jest to przestrzeń liiowa ad ciałem R. W przestrzei tej wprowadzamy moŝeie skalare w astępujący sposób: f,g L (a,b: (f,g = b f(g(d. a Norma fukcji f L (a,b daa jest wtedy astępującym wzorem: f = (f, f = b f (d. a Odległość idukowaa przez tę ormę ma postać: b a f( d. d(f,g = f g = ( - g( Ciąg fukcyjy (ϕ o wyrazach ϕ L (a,b azywamy układem ortogoalym fukcji, jeŝeli,k N: ( k (ϕ,ϕ k = b a ϕ (ϕ (d = 0. k JeŜeli ciąg (a jest ciągiem liczbowym, zaś (ϕ ciągiem ortogoalym, to szereg fukcyjy postaci aϕ azywamy szeregiem ortogoalym, a wyrazy a współczyikami tego szeregu. JeŜeli szereg ortogoaly cϕ jest zbieŝy w przedziale (a,b jedostajie i jego sumą jest fukcja f, to z uwagi a to, Ŝe szereg taki moŝa całkować wyraz po wyrazie i wtedy prawdziwe są rówości: (f,ϕ = ck ϕ k, ϕ = ( k =0 ck ϕ k, ϕ = c (ϕ,ϕ = c ϕ. k=0 Wyika stąd, Ŝe współczyiki a określoe są wzorami: ϕ, 0, 1,,.... ϕ c = ( f, Stroa 6

27 SZEREGI ORTOGONALNE, SZEREG FOURIERA Udowodioe zostało więc twierdzeie: Twierdzeie 1. JeŜeli szereg ortogoaly aϕ jest zbieŝy w przedziale (a,b jedostajie i jego sumą jest fukcja f, to współczyiki tego szeregu określoe są wzorami: c = ( f, ϕ, = 0, 1,,.... ϕ Szereg ortogoaly cϕ, którego współczyiki określoe są wzorami z twierdzeia 1, azywamy szeregiem Fouriera fukcji f. Przykład 1. π Wykazać, Ŝe ciąg fukcji: 1, cos T π, si T jest ortogoaly w przedziale [ T, T]. JeŜeli k (=0,1,,..., k=1,,3,..., to: π kπ cos,cos = T T π π π π, cos, si,...,cos, si,..., T T T T π kπ si,si = T T π kπ cos,si = T T kπ kπ cos,si = T T Stroa 7

28 ROZDZIAŁ III Uwaga 1. PoiewaŜ ormy kolejych fukcji z przykładu 1 są rówe: T 1 1 = 1d =, -T T ππ cos T = T 1 cos d =, T T ππ si T = T π T T 1 si d =, T π T więc współczyiki szeregu Fouriera fukcji f względem ortogoalego układu fukcji z przykładu 1, mają postać: T T T 1 1 π 1 π c 0 = f(d, c 1 = T f(cos d, c = T T f(si d. T T -T T T Uwaga. Fukcji f całkowalej w przedziale [ T,T] odpowiada astępujący szereg trygoometryczy Fouriera: a0 π π f a cos + bsi, T T + = 1 1 gdzie: a 0 = T 1 f(d, a = T f(cos T -T T T π T 1 d, b = f(si T T T π T d, = 1,, 3,.... Całkowalość fukcji f w przedziale [ T,T] ie gwaratuje ai zbieŝości szeregu Fouriera, ai tego, Ŝe suma tego szeregu jest idetycza z fukcją f. Aby sformułować waruki dostatecze rozwijalości fukcji f w szereg trygoometryczy Fouriera, zdefiiujemy klasę fukcji spełiających waruki Dirichleta. Mówimy, Ŝe fukcja f spełia w przedziale [a,b] waruki Dirichleta, jeŝeli: 1. fukcja f jest przedziałami mootoicza w przedziale [a,b] (tz. przedział [a,b] da się podzielić a skończoą liczbę podprzedziałów, w których fukcja f jest mootoicza,. fukcja f jest ciągła w przedziale [a,b], z wyjątkiem co ajwyŝej skończoej liczby puktów ieciągłości I rodzaju, przy czym w kaŝdym takim pukcie 0 mamy: 1 f( 0 = [ f ( 0 + f ( 0 + ], 1 3. a końcach przedziału spełioe są rówości: f(a=f(b= [ f ( a+ + f ( b ]. Twierdzeie (Dirichleta. JeŜeli fukcja f spełia w przedziale [ T,T] waruki Dirichleta, to jest rozwijala w tym przedziale w szereg trygoometryczy Fouriera i a0 π π [ l,l]: f( = + acos + bsi. = 1 l l JeŜeli poadto fukcja f jest okresowa i ma okres T, to rówość ta jest prawdziwa dla kaŝdego z dziedziy tej fukcji. Stroa 8

29 SZEREGI ORTOGONALNE, SZEREG FOURIERA Uwaga 3. Twierdzeie pozostaje prawdziwe, gdy załoŝymy, Ŝe fukcja f jest kawałkami klasy C 1 oraz w kaŝdym pukcie ieciągłości spełia rówość z drugiego waruku Dirichleta. Uwaga 4. Wykorzystując własości fukcji parzystej i ieparzystej mamy astępujące implikacje. 1. JeŜeli fukcja f jest parzysta w przedziale [ T,T], to: N: b =0 a = T π f(cos d. T T 0. JeŜeli fukcja f jest ieparzysta w przedziale [ T,T], to: N: a = 0 b = T f(si T 0 π T Uwaga 5. Wykorzystując uwagę 4, moŝemy: 1. fukcję daą a przedziale (0,T] przedłuŝyć parzyście a przedział [ T,T] otrzymując wtedy rozwiięcie tej owej fukcji (a zatem i fukcji f w przedziale (0,T] w szereg cosiusów;. fukcję daą a przedziale (0,T] przedłuŝyć ieparzyście a przedział [ T,T] otrzymując wtedy rozwiięcie tej owej fukcji (a zatem i fukcji f w przedziale (0,T] w szereg siusów; Przykład. 0, gdy (,0], Fukcję f, gdzie f( =, gdy (0,, rozwiąć w szereg trygoometryczy Fouriera. 1, gdy {,}. Wyzaczyć sumę szeregu liczbowego, który otrzymamy dla =. d. Stroa 9

30 ROZDZIAŁ III Przykład 3. Rozwiąć w szereg Fouriera fukcję f, jeŝeli f(=, [ π,π]. Wyzaczyć sumy szeregów liczbowych, jakie otrzymamy dla = 0 i = π. Stroa 30

31 SZEREGI ORTOGONALNE, SZEREG FOURIERA Przykład 4. 1, gdy (0,1, Fukcję f, gdzie f( = 0, gdy (1,π, rozwiąć w szereg: 1, gdy = 1, a cosiusów, b siusów. si si Wykorzystując otrzymae rozwiięcia, wyzaczyć sumy szeregów:,. Stroa 31

32 ROZDZIAŁ III Ćwiczeia 1. Wykazać, Ŝe ciąg fukcyjy o wyrazie ogólym f ( = si, ( = 1,,..., jest ciągiem ortogoalym w przedziale [0,π].. Fukcję f rozwiąć w szereg trygoometryczy Fouriera i wyzaczyć sumę szeregu dla = 0 : a f( = 0, gdy [ π,0], 0 =π, b f( = si, 0 =π,, gdy [0,π], c f( = 0, gdy (,0, 0 =., gdy (0,, 3. Dokoując odpowiediego przedłuŝeia, rozwiąć fukcję f w szereg trygoometryczy siusów i szereg trygoometryczy cosiusów, jeŝeli:, gdy (0,1], π a f( = b f( =, (0,π, c f( = si, (0,π., gdy (1,, Stroa 3

33 IV Rówaia róŝiczkowe zwyczaje

34 ROZDZIAŁ IV Rówaia róŝiczkowe zwyczaje Rówaie róŝiczkowe I rzędu JeŜeli y jest fukcją rzeczywistą klasy D w przedziale I R, wtedy związek ( zapisay za pomocą fukcji F o postaci: F ( (, y, y, y,... y = 0, który dla kaŝdego I jest spełioy przez tę fukcję, azywamy rówaiem róŝiczkowym z iewiadomą fukcją y. Liczbę aturalą - ajwyŝszy rząd pochodej fukcji y - azywamy rzędem rówaia róŝiczkowego. Fukcję ϕ określoą w przedziale I azywamy rozwiązaiem rówaia róŝiczkowego (całką rówaia róŝiczkowego, jeŝeli spełia oa astępujące waruki: 1. ϕ D (I, :, ϕ (, (,..., ( - dziedzia fukcji F, (. I ( ϕ ϕ DF ( 3. I : F (, ϕ (, ϕ (,..., ϕ ( = 0. JeŜeli rówaie róŝiczkowe moŝa rozwiązać względem y (, to otrzymamy postać ormalą rówaia róŝiczkowego: y ( = f (, y, y,..., y. ( 1 Zagadieie Cauchy ego dla rówaia róŝiczkowego rzędu : wyzaczyć rozwiązaie szczególe rówaia róŝiczkowego, które spełia waruki początkowe: y( 0 =y 0, y ( 0 =y 1,..., y (-1 ( 0 = y -1. przy czym dowole liczby rzeczywiste 0 I, y 0, y 1,..., y -1, zwae wartościami początkowymi, są zadae z góry. Stroa 34

35 RÓWNANIA RÓśNICZKOWE ZWYCZAJNE Przykład 1. Rozwiązać rówaie róŝiczkowe trzeciego rzędu: y =0. Całką ogólą lub rozwiązaiem ogólym rówaia róŝiczkowego -tego rzędu azywamy rodzię fukcji postaci: y=y(,c 1,..., c, która zaleŝa jest od stałych dowolych (tz. od tylu jaki jest rząd rówaia, przy czym kaŝda fukcja tej rodziy spełia rówaie. Poszczególe fukcje tej rodziy przy ustaloych stałych azywamy całkami szczególymi (rozwiązaiem szczególym. Uwaga 1. Rówaie róŝiczkowe moŝe posiadać takŝe rozwiązaia osobliwe, których ie moŝa otrzymać z całki ogólej. Iterpretacja geometrycza dla =1. Rówaie y =f(,y określa w kaŝdym pukcie P(,y( współczyik styczej do krzywej całkowej tego rówaia. W te sposób dae rówaie róŝiczkowe określa pole kieruków styczych do wykresów rozwiązań. Przykład. Rozwiązać rówaie: y =. y Stroa 35

36 ROZDZIAŁ IV Podamy teraz kilka prostych przykładów pokazujących, w jak róŝych zagadieiach pojawiają się rówaia róŝiczkowe. Przykład 3. Okręt zmiejsza swoją prędkość pod wpływem przeciwdziałającej jego ruchowi siły oporu wody. Siła ta jest proporcjoala do prędkości okrętu. Początkowa prędkość okrętu v(0=10m/s zmalała po 5 s. do wartości v(5=8m/s. Po jakim czasie prędkość okrętu zmaleje do 1m/s? dv Z drugiej zasady Newtoa: m = kv i v( 0 = 10. dt k t m Rozwiązaie tego zagadieia: v( t =10e k 1 5 Z waruku v(5=8 otrzymujemy: = l. m 5 4 Z rówości v(t=1 mamy: t 51.6s. Przykład 4. Kultura licząca 500 bakterii po trzech godziach osiąga sta 8000 bakterii. Szybkość zmiay liczebości jest w daej chwili proporcjoala do tej liczebości. Jaka będzie liczebość bakterii po 15 godziach. dn Rówaie opisujące szybkość zmiay populacji: = kn. dt Rozwiązaiem tego rówaia jest: w pewej chwili t 0. Odp. Około N( t k ( t t0 = N0e, gdzie N 0 jest liczebością populacji Przykład 5. Ciało o temperaturze 0 C umieszczoo w pomieszczeiu o temperaturze 60 C. Po 10 miutach jego temperatura obiŝyła się do 140 C. Jaka będzie temperatura ciała po 0 miutach. Jeśli T(t ozacza temperaturę ciała, a T 0 temperaturę otoczeia, dt to proces stygięcia będzie opisay rówaiem: = k( T T0 dt Rozwiązaiem tego rówaia jest: T(t= T 0 +(T(0-T 0 e -kt, gdzie T(0 jest temperaturą początkową ciała. Odp. Około 100 C. Przykład 6. Wyzaczyć zaleŝość między prędkością v ciała swobodie spadającego i czasem t przyjmując, Ŝe opór powietrza jest wprost proporcjoaly do kwadratu prędkości. dv Z drugiego prawa dyamiki Newtoa mamy: m = mg kv, v(0 = 0. dt Stroa 36

37 RÓWNANIA RÓśNICZKOWE ZWYCZAJNE Rozwiązaiem tego zagadieia jest : v( t = gk / m t mg 1 e k / m t k 1+ e. mg ZauwaŜmy, Ŝe limv( t =. t k Twierdzeie 1 (Picarda o istieiu i jedozaczości rozwiązaia zagadieia Cauchy ego. JeŜeli fukcja f spełia waruki: 1. f: [ 0 -a, 0 +a] [y 0 -b,y 0 +b] R jest ciągła;. f spełia waruek Lipschitza względem drugiej zmieej: K>0 [ 0 -a, 0 +a] y 1,y [y 0 -b,y 0 +b]: f (, y1 f (, y K y1 y, to istieje taka liczba rzeczywista c>0, Ŝe w przedziale ( 0 -c, 0 +c rówaie y =f(,y posiada dokładie jedo rozwiązaie spełiające waruek początkowy y( 0 = y 0. Stroa 37

38 ROZDZIAŁ IV Uwaga. Z dowodu twierdzeia wyika, Ŝe ciąg kolejych przybliŝeń: jest zbieŝy do rozwiązaia rówaia. y 1 ( = y 0, y (=y 0 + f ( u y ( u du 0, 1 Stroa 38

39 RÓWNANIA RÓśNICZKOWE ZWYCZAJNE Przykład 3. Zastosować metodę kolejych przybliŝeń do rozwiązaia rówaia: y =+y, y(0=0. Ćwiczeia 1. Stosując metodę kolejych przybliŝeń, rozwiązać zagadieie Cauchy ego: y = y, y(0 = 1.. Wyzaczyć trzy pierwsze wyrazy przybliŝoego rozwiązaia zagadieia y = y, Cauchy ego: y(0 = 1. Stroa 39

40 ROZDZIAŁ IV Stroa 40

41 V Przegląd rówań róŝiczkowych I rzędu

42 ROZDZIAŁ V 1. Rówaie o zmieych rozdzieloych Rówaie o zmieych rozdzieloych ma astępującą postać: y =g(h(y lub ogóliej: A(B(yd+C(D(ydy=0. Piszemy rówaie w postaci: dy d Przypadek h(y=0 badamy oddzielie. dy dy = g( h( y = g( d = g( d. h( y h( y Przykład 4. Rozwiązać rówaie: (1+y d+y(1+ dy=0. Przykład 5. Rozwiązać zagadieie Cauchy ego: y =y, y(0=1. Stroa 4

43 PRZEGLĄD RÓWNAŃ RÓśNICZKOWYCH I RZĘDU y. Rówaie jedorode: y = f. y( Wprowadzając ową fukcję iewiadomą: u( = sprowadzamy to rówaie do rówaia o zmieych rozdzieloych. u = y u + u = y = u f ( u y = u + u du d = f ( u u [ f ( u = u?] du f ( u u = d Przykład 1. + y Rozwiązać rówaie: y =. y Stroa 43

44 ROZDZIAŁ V 3. Rówaie postaci: y =f(a+by+c, b 0 Podstawieie: v( = a + by( + c sprowadza to rówaie do rówaia o zmieych rozdzieloych. Przykład. Rozwiązać zagadieie Cauchy ego: y =+y+7, y(0= Rówaie liiowe Rówaie róŝiczkowe, które moŝa zapisać w postaci: y +p(y=g( azywamy rówaiem liiowym pierwszego rzędu. Jeśli g(=0, to rówaie azywamy rówaiem liiowym jedorodym (albo uproszczoym. Będzie to wtedy rówaie o zmieych rozdzieloych. Rówaie liiowe rozwiązujemy w dwóch krokach. 1. Wyzaczamy ajpierw rozwiązaie ogóle rówaia jedorodego (RORJ: dy dy y + p( y = 0 = p( y = p( d d y l y = p( d + l c y = ce p( d RORJ. Rozwiązaie ogóle rówaia iejedorodego (RORNJ wyzaczymy stosując M.U.S. (metodę uzmieiaia stałej. Stroa 44

45 PRZEGLĄD RÓWNAŃ RÓśNICZKOWYCH I RZĘDU Stroa Przyjmujemy, Ŝe rozwiązaie ogóle ma postać: = d p e c y ( ( ( Wstawiamy tę fukcję do rówaia. + = ( ( ( ( ( ( ( p e c e c y d p d p = + + = + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( g e c p p e c e c y p y d p d p d p + = + = = d p d p d p d p e C e g y C e g c e g c ( ( ( ( ] ( [ ( ( ( ( ( + = RORNJ e g e Ce y d p d p d p ( ( ( ( ( Przykład 3. Rozwiązać zagadieie Cauchy ego: = = + 1. (1, 3 1 y y y Przykład 4. Rozwiązać rówaie: yd+(y dy=0.

46 ROZDZIAŁ V 5. Rówaie Beroullie ego y +p(y=g(y α, α 0, α 1 y = 0 jest rozwiązaiem, gdy α >0, wyzaczymy więc rozwiązaia iezerowe. Podstawieie owej fukcji iewiadomej o postaci z=y 1 α sprowadza to rówaie do rówaia liiowego. 1 α α y z z = ( y = ( 1 α y y =. α y 1 α y 1 α JeŜeli zapiszemy rówaie Berouli ego w postaci: + p( y = g(, α y to otrzymamy rówaie liiowe z fukcją iewiadomą z: 1 z + p( z = g( z + (1 α p( z = (1 α g(. 1 α Przykład Rozwiązać zagadieie Cauchy ego: y y =, y(1 = 1. y Stroa 46

47 PRZEGLĄD RÓWNAŃ RÓśNICZKOWYCH I RZĘDU 6. Rówaie róŝiczkowe zupełe Rówaie o postaci: P(,yd+Q(,ydy=0 azywamy rówaiem zupełym, jeŝeli P,Q C 1 (D, gdzie D jest obszarem jedospójym i lewa stroa jest róŝiczką zupełą pewej fukcji U(,y, czyli gdy zachodzi waruek: P Q (, y D : =. y Wtedy rówaie moŝa zapisać w postaci: du=0, a więc rozwiązaie ogóle ma postać: U(,y = C. Przykład 6. Rozwiązać rówaie: 1 y + d y ( ( y 1 dy = 0. y Stroa 47

48 ROZDZIAŁ V 7. Rówaie zupełe czyik całkujący JeŜeli w rówaiu: P(,yd+Q(,ydy=0, ie jest spełioy waruek: P Q (, y D : =, y to szukamy takiej fukcji µ(,y klasy C 1 w obszarze D, aby dla rówaia: ( µ P ( µ Q µ(,yp(,yd+µ(,yq(,ydy=0, spełioy był waruek: (, y D : =. y Fukcję µ azywamy czyikiem (moŝikiem całkującym daego rówaia. Przypadki szczególe 1. µ(,y = µ(,. µ(,y = µ(y. Stroa 48

49 PRZEGLĄD RÓWNAŃ RÓśNICZKOWYCH I RZĘDU Przykład 7. Rozwiązać rówaie: ( y d + ydy = 0. Przykład 8. Rozwiązać rówaie: ( + tgy d + ( tgy dy = 0. Stroa 49

50 ROZDZIAŁ V Zbadamy jeszcze rówaie rzędu pierwszego, które ma tzw. rozwiązaia osobliwe. 8. Rówaie Clairauta: y = y +ψ(y, przy czym ψ(t at+b i ψ C 1 (I. RóŜiczkujemy stroami rówaie Clairauta: y = 1 y + y + ψ ( y y y ( + ψ ( y = 0. Ostatie rówaie prowadzi do dwóch waruków: 1. y ( = 0,. +ψ (y = 0. Waruek 1. prowadzi do fukcji: y ( = 0 y ( = A y( = A + B (A i B są stałymi dowolymi, która ie moŝe być rozwiązaiem ogólym rówaia Clairauta, bo fukcja ta zaleŝy od dwóch stałych dowolych a rówaie jest rzędu pierwszego. Wstawiając fukcję y( = A + B do rówaia otrzymamy: A + B = A + ψ(a B = ψ(a. Tak więc rozwiązaiem ogólym rówaia Clairauta jest fukcja: y( = A + ψ(a. Waruek. prowadzi do rozwiązaia szczególego rówaia Clairauta: +ψ (y = 0 = ψ (y, uwzględiajac rówaie Clairauta, stwierdzamy, Ŝe takŝe y zaleŝy od y : y = ψ (y y + ψ(y. Przyjmując: y = p (parametr otrzymamy postać parametryczą rozwiązaia szczególego rówaia Clairauta: = ψ ( p, y = pψ ( p + ψ ( p. Rozwiązaie to jest tzw. całką osobliwą tego rówaia, bo zagadieie Cauchy ego dla rówaia Claitauta w puktach tego rozwiązaia ie ma jedozaczego rozwiązaia. Geometryczie rozwiązaie osobliwe jest tzw. obwiedią (lub jej częścią rodziy prostych z rozwiązaia ogólego tego rówaia. Przykład 1. 1 Wyzaczyć rozwiązaia rówaia: y = y +. y Stroa 50

51 PRZEGLĄD RÓWNAŃ RÓśNICZKOWYCH I RZĘDU Ćwiczeia 1. Rozwiązać rówaia róŝiczkowe: a y + y = y y, b y = 10, c y y + 1 = y d ( y 1 d + ( 1 ydy = 0, e y si = y l y.. Rozwiązać zagadieie Cauchy ego: 3 a y y + y = 1, y(1 =, b y = + + y + y, y(1 = Rozwiązać rówaie róŝiczkowe: a y = si( + y +1, b ( y y = y, c y y y = y, d ( + y y d + ( y + y dy = 0, e y + tg = y, y f y = y l 4 4 cos, g ( y y = ( y y, h = y y. y + 4. Rozwiązać rówaie: a y = y tg + cos, 1 b y + y = 3, c y + y = 4, d + 3 y 6. y = 5. Rozwiązać rówaie: a 3 3 y y = y, b y + y = y, c y + y = y l, y d y y = y, e 8 y y =, f y + y =. 3 y Rozwiązać rówaie (zupełe lub z czyikiem całkującym: y a d + ( y 3 l dy = 0, b ( y + d + ydy = 0, c 1 si 3 cos y y d + dy = 0, d y d + ( y dy 0 =, e ( si y + y d + ( cos y + l dy = 0, f 3 y y + y + + ( + = 0 3 d y dy. 7. Rozwiązać rówaie Clairauta: 1 a y = y +, b y = y + 1+ ( y, c ( y y y = y ( y 8. Rozwiązać zagadieie Cauchy ego: 1 a y + y tg =, y(0 = 0, cos 3 b y y + y = 1, y(1 =, Stroa 51

52 ROZDZIAŁ V c y y l + y = 0, y( e = 1, ( + y d + ydy d = 0, y(1 = 0, ( + y y e y = y + ep, y(1 = 0, si f (si d= y dy, y(0 =. y Stroa 5

53 VI Trajektorie ortogoale, rówaia róŝiczkowe rzędu II sprowadzale do rówań rzędu I

54 ROZDZIAŁ VI Trajektorie ortogoale JeŜeli mamy daą rodzię liii: F(,y,c=0, (F C 1 (V to moŝa wyzaczyć rówaie róŝiczkowe, którego rozwiązaiem będzie daa rodzia liii. Rówaie to otrzymamy rugując parametr c z układu rówań: F (, y, c F (, y, c + y = 0, y F(, y, c = 0. Przykład. Wyzaczyć rówaie róŝiczkowe rodziy okręgów: +y = c. Krzywą, która w kaŝdym swoim pukcie tworzy kąt prosty z krzywą rodziy liii przechodzącą przez te sam pukt, azywamy trajektorią ortogoalą daej rodziy liii. JeŜeli rówaiem róŝiczkowym daej rodziy liii jest rówaie: Φ(,y,y =0, to rówaie róŝiczkowe trajektorii ortogoalych będzie miało postać: 1 Φ, y, = 0. y Przykład 3. Wyzaczyć trajektorie ortogoale rodziy parabol: y=c. Stroa 54

55 TRAJEKTORIE ORTOGONALNE, RÓWNANIA RÓśNICZKOWE RZĘDU II SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ RZĘDU I Rówaia róŝiczkowe rzędu drugiego sprowadzale do rówań rzędu pierwszego Ograiczymy się do dwóch typów takich rówań. 1. F(,y,y =0 - rówaie ie zawiera fukcji iewiadomej Podstawieie u( = y sprowadza to rówaie do rówaia rzędu pierwszego: F(,u,u =0. Przykład 4. Rozwiązać rówaie: y =y +(y. Stroa 55

56 ROZDZIAŁ VI. F(y,y,y =0 - rówaie ie zawiera zmieej iezaleŝej Podstawiamy: y =v(y, wtedy: y =v (yy =v v i rówaie przyjmie postać: F(y,v,vv =0. Przykład 5. Rozwiązać rówaie: yy =(y + y. Stroa 56

57 TRAJEKTORIE ORTOGONALNE, RÓWNANIA RÓśNICZKOWE RZĘDU II SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ RZĘDU I Ćwiczeia 1. Wyzaczyć trajektorie ortogoale daej rodziy liii: a + y = c, b y = c, c y=k, 3 d ρ = a cos ϕ, e y = 4( a, f = ay.. Rozwiązać rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu sprowadzając je do rzędu pierwszego: a y y = e, b y + y = ( y e, c y y = ( y + y, d y y yy l y ( y = 0, e y + y tg = si, f y tgy = ( y, g y y = ( y + 1, h 3. Rozwiązać zagadieie Cauchy,ego:, i = y + y 4 y = 4y + ( y y y, y a 4y y = 1, y(0 = 1, y (0 = 1, b = +, y( = 0, y ( = 4 c = y l y, y(0 = 0, y (0 = 1 e 3 y y = y, y(0 = 1, y (0 = 1. y. y y, y, d = ( y + ( y, y( =, ( = 1 Stroa 57

58 ROZDZIAŁ VI Stroa 58

59 VII Rówaie róŝiczkowe liiowe -tego rzędu

60 ROZDZIAŁ VII Rówaie róŝiczkowe liiowe -tego rzędu Rówaie róŝiczkowe o postaci: (1 y ( +p -1 (y ( p 1 (y +p 0 (y = f( gdzie dae fukcje p k (k=0,1,...,-1 i f są ciągłe w przedziale (a,b R, azywamy rówaiem róŝiczkowym liiowym iejedorodym -tego rzędu. Jeśli f=0, to rówaie to azywamy rówaiem liiowym jedorodym -tego rzędu: ( y ( +p -1 (y ( p 1 (y +p 0 (y = 0. Zagadieie Cauchy ego dla rówaia liiowego -tego rzędu: Wyzaczyć całkę szczególą y spełiającą w przedziale (a,b rówaie (1 (lub ( i waruki początkowe: y( 0 =y 0, y( 0 =y 1,... y (-1 ( 0 =y -1, gdzie 0 (a,b, y 0, y 1,...,y -1 - dowole dae liczby. Twierdzeie 1 JeŜeli fukcje p k C((a,b, k=0,1,..., 1, to zagadieie Cauchy ego dla rówaia liiowego jedorodego ( ma dla kaŝdego układu +1 liczb: 0 (a,b, y 0, y 1,...,y -1, dokładie jedo rozwiązaie. Twierdzeie JeŜeli fukcje y 1, y,...,y m są rozwiązaiami szczególymi rówaia (, to kombiacja liiowa tych fukcji: y( = m k = 1 C k y k ( z dowolymi stałymi C 1, C,...,C m jest rozwiązaiem tego rówaia w rozwaŝaym przedziale. Twierdzeie 3 JeŜeli fukcja w(=u( + iv( jest w przedziale (a,b całką szczególą rówaia ( z rzeczywistymi współczyikami p k (k=0,1,..., 1, to jej część rzeczywista u i część urojoa v są takŝe całkami tego rówaia w tym przedziale. Stroa 60

61 RÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE N-TEGO RZĘDU Układ rozwiązań szczególych rówaia ( w przedziale (a,b azywamy układem podstawowym rozwiązań (lub fudametalym układem rozwiązań tego rówaia, jeŝeli wyzaczik Wrońskiego (wrońskia: y1 ( y (... y ( y 1 ( y (... y ( W ( = y ( 1 1 ( spełia waruek: (a,b: W( 0. y ( 1 Uwaga 1. Prawdziwe są astępujące implikacje: (... y ( 1 ( 0 (a,b: W( 0 =0 (a,b: W(=0. 0 (a,b: W( 0 0 (a,b: W( 0. Uwaga. Rozwiązaia rówaia ( są w przedziale (a,b liiowo iezaleŝe wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich (a,b spełiają waruek: W( 0. Twierdzeie 4 (o rozwiązaiu ogólym rówaia liiowego jedorodego -tego rzędu. JeŜeli fukcje y 1, y,...,y tworzą fudametaly układ rozwiązań rówaia ( w przedziale (a,b, to kombiacja liiowa tych fukcji: y( = k= 1 C k y k ( z dowolymi stałymi C 1, C,...,C jest rozwiązaiem ogólym tego rówaia w rozwaŝaym przedziale. Dowód Stroa 61

62 ROZDZIAŁ VII Przykład 1. Wyzaczyć rozwiązaie ogóle rówaia: (l 1y y + y = 0, wiedząc,ŝe fukcje: y 1 (= i y ( = l są całkami szczególymi tego rówaia w przedziałach: (0,e i (e,. Przykład. Wyzaczyć rozwiązaie ogóle rówaia: y + y y=0, wiedząc, Ŝe y 1 (= jest rozwiązaiem tego rówaia. Stroa 6

63 RÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE N-TEGO RZĘDU Rówaie liiowe jedorode -tego rzędu o stałych współczyikach rzeczywistych. (3 y ( +a -1 y ( a 1 y +a 0 y = 0, i=0,1,..., 1: a i =cost. Poszukujemy rozwiązaia tego rówaia w postaci: y( = e r. Podstawiając tę fukcję do rówaia (3 otrzymamy: (r + a -1 r a 1 r + a 0 e r =0 Fukcja o postaci y(=e r jest rozwiązaiem rówaia (3 jeŝeli r spełia rówaie: r + a -1 r a 1 r + a 0 = 0, które azywamy rówaiem charakterystyczym rówaia (3. Struktura układu fudametalego rozwiązań rówaia (3 zaleŝy od pierwiastków wielomiau charakterystyczego. RozwaŜymy trzy przypadki:. Rówaie charakterystycze ma róŝych pierwiastków rzeczywistych: r 1, r,..., r. 3. Rówaie charakterystycze ma róŝych pierwiastków, wśród których mogą być pierwiastki zespoloe. Stroa 63

64 ROZDZIAŁ VII 4. Rówaie charakterystycze ma pierwiastki wielokrote. Przykład 3. Wyzaczyć rozwiązaie ogóle rówaia: a y + a y = 0, b y 5 y + 6 y = 0, c y 5y + 8 y 4y = 0, d y (4 + y + y = 0, e y +3 y + 9 y 13y = 0. Stroa 64

65 RÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE N-TEGO RZĘDU Ćwiczeia 1. Zbadać liiową zaleŝość astępujących układów fukcji: a f 1 (=4, f (=, b f 1 (=1, f (=, f 3 (=4, f 4 (=, c f 1 (=3, f (=cos, f 3 (=i, d f 1 (=e, f (=e, f 3 (= e.. Rozwiązać rówaia liiowe jedorode: (4 a y + y y = 0, b y + y + y = 0, c y + 4y + 13y = 0, (4 d y + 8y + 16y = 0, e y 3y + 4y = 0, f y 4y + 7y = 0, 3 3 g y + y = 0, h y + y + 6y = 0, j y 3y + 3y = Zając układ fudametaly rozwiązań rówaia róŝiczkowego liiowego jedorodego o stałych współczyikach rzeczywistych, apisać odpowiadające mu rówaie róŝiczkowe: a y 1 (=e -, y (=e, b y 1 (=1, y (=, c y 1 (=e -, y (=e, y 3 (=e, d y 1 (=1, y (=si, y 3 (=cos, e y 1 (=e - si, y (=e - cos, y 3 (=e. Stroa 65

66 ROZDZIAŁ VII Stroa 66

67 VIII Rówaia róŝiczkowe liiowe iejedorode

68 ROZDZIAŁ VIII Rówaia róŝiczkowe liiowe iejedorode rzędu RozwaŜamy rówaie liiowe iejedorode -tego rzędu: (1 p (y ( + p -1 (y ( p 1 (y + p 0 (y = f(.zakładamy, Ŝe zae jest rozwiązaie ogóle rówaia jedorodego: ( p (y ( + p -1 (y ( p 1 (y + p 0 (y =0. I Metoda uzmieiaia stałych (M.U.S. II Metoda przewidywaia (tylko dla rówaia o stałych współczyikach. I Metoda uzmieiaia stałych Niech y 1, y,...,y będzie fudametalym układem rozwiązań rówaia (, wtedy rozwiązaie ogóle tego rówaia ma postać: Y( = C 1 y 1 ( + C y ( C y (. Zakładamy, Ŝe rozwiązaie ogóle rówaia iejedorodego (1 ma postać: y( = C 1 (y 1 ( + C ( y ( C (y (, gdzie C 1, C,...,C są fukcjami, które aleŝy wyzaczyć. Aby wstawić fukcje y do rówaia, wyzaczamy jej pochodą: y ( = C 1 (y 1 (+ C (y ( C (y (+ C 1 (y 1 (+ C (y ( C (y (. Przyjmujemy waruek upraszczający: U 1 : C 1 (y 1 (+ C (y ( C (y ( = 0. Wtedy pierwszą pochodą piszemy w postaci: P 1 : y ( = C 1 (y 1 (+ C (y ( C (y (. Wyzaczamy drugą pochodą fukcji y: y ( = C 1 (y 1 (+ C (y ( C (y (+ C 1 (y 1 (+ C (y (+...+C (y (. Przyjmujemy waruek upraszczający: U : C 1 (y 1 (+ C (y ( C (y ( = 0. Wtedy drugą pochodą piszemy w postaci: P : y ( = C 1 (y 1 (+ C (y ( C (y (. W kroku -1 tej procedury mamy waruek upraszczający: U -1 : C 1 (y (- 1 (+ C (y (- ( C (y (- ( = 0, stąd: Stroa 68

69 RÓWNANIA RÓśNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE P -1 : y (-1 ( = C 1 (y 1 (-1 (+ C (y (-1 ( C (y (-1 (. Ostateczie -ta pochoda przyjmuje postać: P : y ( (=C 1 (y (-1 1 (+C (y (-1 (+...+C (y (-1 (+C 1 (y ( 1 (+C (y ( (+... +C (y ( (. Jeśli wstawimy uproszczoe pochode (P i do rówaia (1, to otrzymamy waruek: C 1 (y 1 (-1 (+ C (y (-1 ( C (y (-1 (= f ( p ( Uwzględiając te ostati waruek oraz -1 waruków upraszczających, otrzymujemy rówań a iezae fukcje C 1, C,...,C. ( p ( 0 C 1 (y 1 (+ C (y ( C (y ( = 0, C 1 (y 1 (+ C (y ( C (y ( = 0,... C 1 (y (- 1 (+ C (y (- ( C (y (- ( = 0, C 1 (y (-1 1 (+ C (y (-1 ( C (y (-1 f ( = p (. ( Układ te ma dokładie jedo rozwiązaie, bo jest to układ cramerowski; jego wyzaczik główy jest wyzaczikiem Wrońskiego, a te jest róŝy od zera (układ rozwiązań jest fudametaly. Stosując wzory Cramera, otrzymamy: Wk ( C k ( =, k = 1,,...,. W ( Stąd otrzymujemy iezae fukcje: Wk ( Ck ( = d + Ak, k = 1,,...,. W ( Przykład 1. Wyzaczyć rozwiązaie ogóle rówaia: y + y = si. cos Stroa 69

70 ROZDZIAŁ VIII Następe twierdzeie będzie uzasadiało stosowaie iej metody rozwiązywaia rówań liiowych iejedorodych -tego rzędu. Twierdzeie 1 Suma rozwiązaia ogólego rówaia róŝiczkowego liiowego jedorodego i jakiegokolwiek rozwiązaia szczególego rówaia iejedorodego jest rozwiązaiem ogólym rówaia iejedorodego. Przykład 1. Stroa 70

71 RÓWNANIA RÓśNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE Fukcja y( = jest rozwiązaiem szczególym rówaia: 3 y + y 4y = 4, wyzaczyć rozwiązaie ogóle tego rówaia. II Metoda przewidywaia rozwiązaia szczególego Metodę tę będziemy stosować tylko do rówań róŝiczkowych liiowych -tego rzędu o stałych współczyikach: y ( +a -1 y ( a 1 y +a 0 y = f(, i tylko wtedy, gdy fukcja f jest astępującej postaci: i=0,1,..., 1: a i =cost. ( W ( cos β W ( si β α f ( = e +, l gdzie l oraz k ozaczają stopień wielomiaów W l oraz W k. Przy takiej prawej stroie rówaia róŝiczkowego liiowego, rozwiązaie szczególe będzie miało postać: α 1. y s = e ( P cos β S ( si β m( + m, gdy α+iβ ie jest pierwiastkiem wielomiau charakterystyczego tego rówaia. p α. y s = e ( P cosβ S ( si β m ( +, m gdy α+iβ jest p-krotym pierwiastkiem wielomiau charakterystyczego tego rówaia; m = ma(k,l. Wielomiay P m i S m wyzaczamy wstawiając y s do rówaia z prawą stroą f. Przypadki szczególe: 1. α = 0, β = 0, wtedy f( = P l (; α. β = 0, wtedy f( = e P ( ; 3. α = 0, wtedy f( = ( P cosβ S ( si β m l ( +. m k Uwaga 1. JeŜeli fukcja f jest sumą fukcji: f( = f 1 ( + f ( f (, to metodę przewidywaia stosujemy dla kaŝdej fukcji f i (i=1,,, oddzielie i wtedy rozwiązaie szczególe dla fukcji f będzie miało postać: y s = y s1 + y s y s. Przykład. Stroa 71

72 ROZDZIAŁ VIII Wyzaczyć, metodą przewidywaia rozwiązaia szczególego, rozwiązaie ogóle rówaia: y + y 4y = f(, jeŝeli: a f( =3e ; b f( = 5cos; c f( = 4. Przykład 3. Stroa 7

73 RÓWNANIA RÓśNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE Rozwiązać rówaie: y + y = 7e + 4si. Przykład 4. Rozwiązać zagadieie Cauchy ego: y y = + e +e, y(0=1, y (0=0. Przykład 5. Stroa 73

74 ROZDZIAŁ VIII Wielomia charakterystyczy rówaia róŝiczkowego liiowego o stałych współczyikach rzeczywistych ma astępujące pierwiastki: r 1 = r = 1, r 3 =0, r 4 = r 5 = r 6 = +4i, r 7 =3i. Podać pozostałe pierwiastki i apisać rozwiązaie ogóle rówaia jedorodego. Podać postać rozwiązaia szczególego tego rówaia, jeŝeli prawa stroa tego rówaia ma postać: f( = + + si3+ e cos4+ e +3e +e cos3. Rówaie Eulera -tego rzędu Stroa 74

75 RÓWNANIA RÓśNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE Rówaie Eulera jest rówaiem liiowym o zmieych (ale w bardzo charakterystyczej postaci współczyikach a y ( + a -1-1 y ( a 1 y + a 0 y = f(. Rówaie Eulera jedorode: a y ( + a -1-1 y ( a 1 y + a 0 y= 0, rozwiązujemy szukając rozwiązań o postaci: y= λ ( λ C. Wstawiając takie rozwiązaie do rówaia Eulera, otrzymamy wielomia charakterystyczy dla rówaia Eulera o postaci: a λ(λ 1...(λ a (λ 1λ + a 1 λ + a 0 = 0. RozwaŜymy trzy przypadki: 1. Rówaie charakterystycze ma róŝych pierwiastków rzeczywistych: r 1, r,..., r.. Rówaie charakterystycze ma róŝych pierwiastków, wśród których mogą być pierwiastki zespoloe. 3. Rówaie charakterystycze ma pierwiastki wielokrote. Stroa 75

76 ROZDZIAŁ VIII Przykład. Rozwiązać rówaie: y y y = 0. Przykład 3. Rozwiązać rówaie: y + y + y = 0. Przykład 4. Rozwiązać rówaie: y y =1. Stroa 76

77 RÓWNANIA RÓśNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE Ćwiczeia 1. Rozwiązać rówaia: a y 7 y + 6y = si, b y y + y + 5y = e ( + si, 3, c + 9y = e d y + y = si, e y + y = si cos3, f 1 + 4y = 1+ tg y. Rozwiązać zagadieie Cauchy ego: a y y = 4 sh, y(0 = 1, y (0 =, b y + y = si, y( π = 1, y ( π = 1, c y + 6 y + 9y = 10si, y(0 = 1, y (0 = 0, d y 4 y = + 1, y(0 = 0, y (0 = 0, y (0 = Rozwiązać rówaia: 3 e a y 6y + 9y =, b 3 1 c y + 3y + y =. e y + 4 y =, si 4. Rozwiązać rówaia liiowe jedorode: a y 4y + 7y = 0, b y + y = 0, 3 3 c y + y + 6y = 0, d y 3y + 3y = Rozwiązać rówaia: a y + y y = 3, b y y = si l, c 3 y 3 y + 3y =.. 6. Rozwiązać zagadieie Cauchy ego: a y + y 1y = 1, y(1 = 0, y (1 = 4, b y + y = 1l, y(1 = 0, y (1 =. Stroa 77

78 ROZDZIAŁ VIII Stroa 78

79 Literatura 1. Gewart M., Skoczylas Z., Aaliza matematycza (Defiicje, twierdzeia, wzory, OWGiS, Wrocław Gewart M., Skoczylas Z., Rówaia róŝiczkowe zwyczaje (Teoria, przykłady, zadaia, OWGiS, Wrocław Kaczyński A. M., Podstawy aalizy matematyczej, t., OWPW, Warszawa Karwowski O., Matematyka (część I iii, OWPW, Warszawa Kowalski T. i ii, Zbiór zadań z matematyki, t., WPW, Warszawa Krysicki W., Włodarski L., Aaliza matematycza w zadaiach, cz. I-II, PWN, Warszawa Litewska K. i ii, Matematyka, t.1, OWPW, Warszawa Nawrocki J., Matematyka (30 wykładów z ćwiczeiami, OWPW, Warszawa Stakiewicz W., Wojtowicz J., Zadaia z matematyki dla wyŝszych uczeli techiczych, t.1i, PWN, Warszawa, śakowski W., Ćwiczeia problemowe dla politechik, WNT, Warszawa Stroa 79

80 Stroa 80