Równania różniczkowe
|
|
- Angelika Antczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rówaia różiczkowe Niech F: +, y: Def. Rówaiem różiczkowym zwyczajym rzędu azywamy rówaie postaci F(,y,y,y,, y () ) = (*) Rozwiązaiem rówaia (*) azywamy każdą fukcję y=y() taką, że po wstawieiu do rówaia (*) fukcji y,y,y,, y () otrzymujemy tożsamośd. Zbiór wszystkich rozwiązao rówaia (*) azywamy całką ogólą rówaia. Wykres dowolego rozwiązaia rówaia (*) azywamy krzywą całkową rówaia. Uwaga: Jeśli F: (+)m+ m, y: m to rówaie (*) azywa się układem rówao różiczkowych zwyczajych rzędu postaci F i (,y,y,y,, y () ) =, i =,, m, a rozwiazaie układu ma postad y() = (y (),y (),, y m ()) Wiosek : Jeżeli fukcja F spełia założeia twierdzeia o fukcjach uwikłaych (względem y () ) w otoczeiu puktu (,y( ), y ( ),y ( ),, y () ( )) to rówaie różiczkowe (*) moża rozwikład do postaci y () () = f(,y(),, y (-) ()) Przyjmując ozaczeia y ()=y(), y ()=y (),, y - ()=y (-) () otrzymujemy układ y y y = y y f(, y, y,, y )
2 Def. Zagadieiem Cauchy ego (problemem początkowym) dla rówaia (*) azywamy układ F, y,, y () = y = y y = y y ( ) = y gdzie y,y,,y Rozwiązaie zagadieia Cauchy ego azywamy całką szczególą rówaia (*) Iterpretacja graficza Niech P(,y ) Elemetem styczym w pukcie P rówaia (*) azywamy odciek o środku w P i współczyiku kierukowym y (,y ) (o ile istieje) Jeżeli y (,y ) ie istieje, ale ( y,y ) =, to elemet styczy w pukcie P rówaia (*) jest rówoległy do osi OY. Zbiór elemetów styczych rówaia (*) w puktach zbioru D R azywamy polem elemetów styczych rówaia (*). Wiosek : Krzywa całkowa rówaia (*) jest krzywą, która w każdym swoim pukcie jest stycza do elemetu styczego rówaia w tym pukcie. Def. Izoklią rówaia (*) azywamy liię łączącą pukty, w których elemety stycze mają te sam współczyik kierukowy.
3 Przykład Narysuj pole elemetów styczych do rówaia dy d = 4y Wyzaczamy izoklię y = 4m, dla y m dy d = m 4y = m dla = y m = jeżeli y= d = 4y = dy pukt (,) jest puktem osobliwym, ie ma elemetów styczych w tym pukcie. Rozważmy rówaie różiczkowe zwyczaje rzędu pierwszego postaci y ()=f(,y) Def. Jeżeli fukcja f(,y) = postaci różiczek jako M,y N,y, to rówaie różiczkowe y =f(,y) moża przedstawid w M(,y) d + N(,y) dy =
4 Def. Rówaiem różiczkowym o zmieych rozdzieloych azywamy rówaie różiczkowe rzędu pierwszego postaci y' = f()g(y) Tw. Jeżeli fukcja f jest ciągła w *a,b] i fukcja g jest ciągła w *c,d] oraz g(y) dla y [c,d], to przez każdy pukt prostokąta *a,b][c,d+ przechodzi dokładie jeda krzywa całkowa rówaia y' = f()g(y) Dowód: y = f()g(y), f() = y g(y) Niech G będzie fukcją pierwotą do fukcji g(y) dla y [c,d+, wtedy G (y)= oraz g(y) podstawmy t = y(s) a g y y(s) y y a s g t ds = a dt = G(y())-G(y(a)) = f s ds a a f s ds f s ds,,a, b- y() = G - [ f s ds + G(y a )-,,a, b- a Np.. Rozwiąż rówaie (+y ) + y(+ )y = dy y d + y = + y d + y dy = +
5 l + y = l + + C l + y = l + + le C y = e C +y = + y C = + C +, C +. Rozwiąż problem Cauchy ego (+e )yy = e, y() = y ydy = e d + e = l + e + C y = l + e + C y= l + e + C oraz = l + e + C C = -l CS: y = l + e + l
6 Def. Mówimy, że fukcja f(,y) jest jedoroda (stopia ) f(t,ty) = t f(,y), t R Def. Rówaiem różiczkowym jedorodym azywamy rówaie różiczkowe rzędu pierwszego w postaci M(,y)d + N(,y) dy =, gdzie fukcje M(,y) i N(,y) sa fukcjami jedorodymi tego samego stopia. Tw. Jeżeli fukcje M(,y) i N(,y) są jedorode stopia, to przez każdy pukt zbioru D = {(,y): a b M(,y) + yn(,y) } przechodzi dokładie jeda krzywa całkowa y rówaia M(,y)d + N(,y) dy =. Dowód: Niech y = z y=z dy = zd + dz M(,z) d + N(,z)(zd + dz) = M(,z) d + N(,z) zd + N(,z) dz = / : (M(,z)+zN(,z))d + N(,z)dz = d = N,z dz M,z +zn(,z) jest rówaiem o zmieych rozdzieloych Np. Rozwiąż rówaie ( + y + ) d + ydy =, > podstawiamy z = y ( + z + ) d + z(zd + dz) = /: + z + d + z d + zdz = d = zdz z + + z + d = z dz t = z + z ++ z + tdt = zdz
7 l = = = e C z ++ e C y ++ tdt t +t = l( z + + ) + C Tw. Jeżeli fukcja f jest ciągła to rówaie różiczkowe y = f(a+by+c) ma dokładie jedo rozwiązaie spełiające waruek y( ) = y Dowód: podstawiamy z = a + by + c dz = ad + bdy dy = (dz ad) b dy d = f(a+by+c) (dz ad) = f(z)d b d = dz bf z a jest rówaiem o zmieych rozdzieloych Np. Rozwiąż problem Cauchy ego y = (+y) y( ) = podstawiamy z=+y dy = -d +dz -d +dz = z d dz + z = d arctg(z) = +C arctg (+y) = +C oraz arctg () = + C
8 CS: π 4 = C y = tg (+ π 4 ) Tw. Jeżeli fukcja f jest ciągła, to rówaie y = f a +b y+c a +b y+c spełiające waruek y( )=y. Dowód: I. podstawiamy II. a b a + b y + c = a b a + b y + c = u = du = d v = y y dv = dy dv = f a u+ +b v+y +c du a u+ +b v+y +c dv ma dokładie jedo rozwiązaie = ma dokładie rozwiązaie y = y = f a u+a +b v+b y+c du a u+a +b v+b y+c dv = f a u+b v du a u+b v poieważ każda fukcja f jest jedoroda stopia zerowego, to otrzymujemy rówaie jedorode a b = a = a t a b b = b t, t R Podstawiamy z = a + b y dz = a d + b dy dy = b dz a d z + c = f b d tz + c dz a d
9 d = b f dz dz a d = f z+c tz+c b d z+c jest rówaiem o zmieych rozdzieloych +a tz+c Np. Rozwiąż rówaie (-y+) d + (+y)dy = y + = + y = = 3 = = = 3 y = 3 podstawiamy z = v u u = + 3 du = d podstawiamy v = y dv = dy 3 (u - v + ) du + (u - + v + ) dv = (u-v)du + (u+v) dv = v = uz dv = zdu + udz (-z) du + (+z) (zdu + udz) = (-z +z+z ) du = -u (+z) dz du = +z dz u +z l u = l + z arctg z + C wracamy do starych zmieych otrzymując rozwiązaie CO: l + 3 = l + 3y 3 + arctg 3y (3 + ) + C
10 Def. Rówaiem różiczkowym liiowym rzędu pierwszego azywamy rówaie różiczkowe postaci y + f y = g. Jeżeli g()=, to rówaie azywamy rówaiem liiowym jedorodym, a jeżeli g(), to rówaie azywamy rówaiem liiowym iejedorodym. Tw. Jeżeli rówaie różiczkowe jest rówaiem liiowym, to CORN = CORJ + CSRN CORN - całka ogóla rówaia iejedorodego CORJ - całka ogóla rówaia jedorodego CSRN - całka szczególa rówaia iejedorodego Dowód: y jest CORJ y + f y = y jest CSRN y + f y = g() y + y + f y + y = y + y + f y + f y = y + f y + y + f y = g() Tw. Jeżeli f i g są ciągłe w *a,b+, to całka ogóla rówaia liiowego jedorodego ma postad y = Ce F, gdzie F() jest fukcją pierwotą do f w [a,b], a fukcja y = C e F jest rozwiązaiem rówaia liiowego iejedorodego.
11 Dowód. ) ) y y y y = f y = f y d = f d l y = F + C y = e F e C y = Ce F y = C e F C e F X f g = C e F C e F f + f C e F C = g e F() jest rówaiem o zmieych rozdzieloych Np.. Rozwiąż rówaie dy + y d = y = y : y = + y y y = CORJ: y = Ce l = C = C rozwiążmy rówaie iejedorode y y = C = C C
12 CORN: y = + D C + C C = C = C = + D. Rozwiąż problem Cauchy ego y y =, y = CORJ: y = Ce + l l + = Ce = C + Ad d = + Bd + = Al + Bl + = A + B = = A + + B A B = A = B = l + y = C +,, C y = C + + C + +,, C =
13 C + = C = + C = + d t = + t + t = = t d = t +t t t dt = 4t dt +t +t +t t t + t 4t + t dt = 8 t 4 ( + t ) 3 dt = 8 t ( + t ) ( + t ) 3 t ( + t ) 3 dt = = 8 t t dt + t + 8 t dt + t 3 = t (+t ) +t t t (+t ) 3 = 5t + t t + t 3arctgt + D (+t )
14 C = 5 ( + ) 3arctg 4 y = = C() = π 4 + D D = 3π D y = 5 ( + ) arctg + + (3π 4 + ),, Def. Rówaiem Clairauta azywamy rówaie postaci y = y + g y ( C ) Tw. Jeżeli g jest dwukrotie różiczkowala i g"(t) to rówaie ( C ) ma rozwiązaie. Dowód: y = y + g y /() y = y + y + g y y = y"( + g (y )) y" = g (y ) = y = C y = g i g jest ciągła y = C + D rówaie o zmieych rozdzieloych Np. Rozwiąż rówaie y = y + y /( ) y = y + y" + y" = y ( + ) y"= y = C + D
15 Def. Rówaiem Lagrage a azywamy rówaie postaci y = f y + g y ( L ) Tw. Jeżeli f i g są dwukrotie różiczkowale to rówaie ( L ) ma rozwiązaie. Dowód: y = f y + g y /() y = f y y + f y + g y y podstawiamy z = y z = f z z + f z + g z z z z f z = f z + g z dz d = z f z f z + g (z) d dz = f z + g z z f z f z z + f z z = g z z f z jest rówaiem liiowym, którego rozwiązaiem jest fukcja (z) = (z) y = f z + g z po wyliczeiu zmieej z z pierwszego rówaia i podstawieiu do rówaia drugiego otrzymujemy rozwiązaie y() Np. Rozwiąż rówaie y y y =
16 podstawiamy z = y y y y"+ (y ) y" = z z + z z = z z = z z = z 3 z + z = z 3 CORJ: = C z C z = C z z C z z z 3 + z C z z = z 3 C z = l z + D = l z + D z y = z + z = y = l z + D z l z + D + z z
17 Def. Rówaiem Beroulliego azywamy rówaie postaci y + f y = g y, N ( B ) Uwaga: dla = i = rówaie (B) jest rówaiem liiowym. Tw. Rówaie Beroulliego sprowadza się do rówaia liiowego przez podstawieie z = y, >. Dowód: z = y y y + f y = g y / y y y + f y y = g y y z + f z = g jest rówaiem liiowym Np. Rozwiąż rówaie y + y = y l, > = z = y z = y y y y y = y y y l z l z = CORJ: z = C z = C() C + C C = l
18 C = l d = l z = y = l + = l + D + + D Def. Rówaiem Riccatiego azywamy rówaie postaci y + f y = g y + R Tw. Jeżeli y jest całką szczególą rówaia (R) to rówaie (R) sprowadza się do rówaia liiowego przez podstawieie y = y + z Dowód: y = y z z y z z + f y + f = g y z + g y z Tw. + g z + () y + f y z z zf = g y + + z g( + g zy - z f g y z = g jest rówaiem liiowym Jeżeli w rówaiu (R) f = A ; g = B ; = C, to całka szczególa rówaia (R) ma postad y = a, a C
19 Dowód: a + A a a = B + C / B + a Aa + C = rówaie kwadratowe w zbiorze liczb zespoloych zawsze ma rozwiązaie. Np. Rozwiąż rówaie y + y = f = ; g = ; = y = a weźmy y = wracamy do podstawieia y = + z a + a = / a a = a = a = z z z + z = z 4 z = CORJ: z = Ce 4 l = C 4
20 z = C 4 C 4 + 4C 3 4 C 4 = C = y CO: y = d 4 = D = 4 + D D 4 + Def. Rówaiem zupełym azywamy rówaie postaci d,y F d, dy = dla (, y) D R Wiosek: Rozwiązaiem rówaia zupełego jest postaci F, y = c, c R Tw. Rówaie postaci P, y d + Q, y dy = jest rówaiem zupełym P, Q, P y, Q są ciągłe a w D oraz P y = Q i wtedy F, y = P t, y dt + Q a, s ds + C dla (a, b) D Dowód:,, P, y d + Q, y dy = jest zupełe d,y F d, dy = P, y d + Q, y dy F, y d + F y, y y b = P, y d + Q, y dy P = F i Q = F y
21 wyliczamy F,, P y = F y Q = F y P y = Q a F, y F t t, y dt = = P, y a P t, y dt F, y F a, y = P t, y dt F, y = P t, y dt + F a, y b y a F y a, y F s a, s ds = a = Q(a, y) b y Q a, s ds F a, y F a, b = Q a, s ds y F, y = P t, y dt + Q a, s ds + F a, b, gdzie F a, b = cost a Wiemy że F, y = P t, y dt + Q a, s ds + C oraz P a b y = Q F, y = P(, y) b y F y, y = P y t, y dt + Q a, y = Q t t, y dt + Q a, y = a = Q, y Q a, y + Q a, y = Q(, y) b y a
22 czyli P, y d + Q, y dy = F, y d + F yt y, y dy = d (,y) F d, dy = jest rówaiem zupełym Np. Rozwiąż rówaie + y d + y dy = P y = i Q = rówaie jest zupełe F, y = t + y dt + s ds + C = ( t CO: + y y = c y + yt) s y y + C = + y + C Def. Jeżeli istieje fukcja µ(,y) taka, że rówaie µ(,y) P(,y)d+µ(,y) Q(,y)dy= jest zupełe, to fukcję µ(,y) azywamy czyikiem całkującym. Tw. Jeżeli P, Q, P y, Q są ciągłe w D i Q(,y) dla (,y)d oraz Q(,y) P y, y Q, y = g(), to istieje czyik całkujący µ(,y)=µ() spełiający rówaie μ () μ Dowód: y (, y) P(, y) (, y) Q(, y) ' (, y) P(, y) (, y) P ' (, y) ' (, y) Q(, y) (, y) Q ' (, y) y y ( y, ) ' y (, y) P(, y) P ' y (, y) Q ' (, y) ' (, y) Q(, y) Q(, y)
23 Tw. Jeżeli P, Q, P y, Q są ciągłe w D i P(,y) dla (,y)d oraz to istieje czyik całkujący µ(,y)=µ(y), taki że μ (y) μ y Dowód: aalogiczy Tw. = g(y). P(,y) Q, y P y, y = g(y), Jeżeli P, Q, P y, Q są ciągłe w D i yq(,y) - P(,y) dla (,y)d oraz P y,y Q istieje czyik całkujący µ(,y)=µ(y), taki że μ (u) μ u Dowód: ' y (, y) P(, y) (, y) g( ) ' (, y) : (, y) Q(, y) ' (, ) ' (, ) y y y P(, y) ' (, y) g( ) ' y (, y) g( ) (, y) (, y) Q(, y) (, y) (, y) ( ) g( ) y '( ) ( ) (, y) P(, y) (, y) Q(, y) = g(u), gdzie u = y.,y yq,y P(,y) ' (, y) P(, y) (, y) P ' (, y) ' (, y) Q(, y) (, y) Q ' (, y) y y = g(y), to
24 (, y) P ' y(, y) Q ' (, y) ' (, y) Q(, y) ' y(, y) P(, y) yq(, y) P(, y) yq(, y) P(, y) podstawmy u y ' u(, y) yq(, y) ' u(, y) P(, y) (, y) g( u) : (, y) yq(, y) P(, y) ' u ( y, ) '( u) g( u) (, y) ( u) g( u) ( y, ) ( u) 3 Np.. Rozwiąż rówaie y y y d y dy 3 P ' y y Q' y g( ) y '( ) '( ) d C ( ) ( ) l ( ) C ( ) C e
25 3 y e y y d e y dy 3 P ' e y y Q e y e ' 3 y 3 3 t y t y t s y F(, y) e ty t y dt e s ds e ty t y e y ty dt 3 3 y y t t e y y e y ty e ydt 3 3 y 3 3 CO : e y C 3 3 y y e y y y ye y 3 3. Rozwiąż rówaie y 3 + y + y d y + dy = P y = 3y + y +, Q = 3 + y + P y Q yq P = 3(y ) y 3 y 3 = 3 y μ u = Ce 3l u = C u y + 3 y d + y 3 + y + y 3 dy = F, y = t 3 + t y + t 3 y dt + y s 3 + s + s 3 ds + C = ( t ty t y ) +
26 y + ( s s ) + C = y y + + y + y y y C 5 y + y y CO: y = C Rówaia rzędu drugiego sprowadzale do rówaia rzędu pierwszego I. F(,y,y )= podstawiamy y =z() y =z () otrzymujemy rówaie rzędu pierwszego F(,z,z )= II. F(y,y,y )= podstawiamy y =z(y) y =z (y)y=z (y)z otrzymujemy rówaie rzędu pierwszego F(y,z,z z)= III. F(,y,y,y )= F(,ty,ty,ty )=t F(,y,y,y ) podstawiamy y=e z() y =e z() z (), y =e z() (z ()) + e z() z () otrzymujemy rówaie F(, e z(),e z() z (),e z() [(z ()) + z ()+= z założeia e z() F(,,z (),(z () + z ()))= podstawiamy z ()= u() otrzymujemy rówaie rzędu pierwszego F(,,u(),( u() +u ()))= Np.. Rozwiąż rówaie y =-y podstawiamy y ()=z() z =-z
27 . Rozwiąż rówaie (y-)y =(y ) podstawiamy y ()=z(y) z z = l z =-l +C z=c y =C CO: y=c l +C (y-)z z=z z z = y l z =l y- +C z=c (y-) y =C (y-) y (y ) = C y = C + C CO: y = C + C 3. Rozwiąż rówaie yy = (y y ) podstawiamy y = e z e z e z, z ) + z = (e z e z z ())
28 podstawiamy z = u z + z = ( z ) u + u = ( u) u = ( u) u u = u CORJ: u = Ce l CORN: u = C C () C 3 + C = C = C = + C u = + C z = + C z = l C + C CO: y = C 3 e C
29 Def. Rówaiem liiowym rzędu azywamy rówaie postaci k= a k y k = g Jeżeli g =, to rówaie azywamy jedorodym Jezeli g, to rówaie azywamy iejedorodym Jeżeli k,, : a k = a k, to rówaie azywamy liiowym o stałych współczyikach Tw. CORN = CORJ + COSRN Dowód: aalogiczy jak dla rówaia rzędu. Tw. Jeżeli y() jest zespoloym rozwiązaiem rówaia liiowego jedorodego, to Re*y()+ i Im*y()+ są rzeczywistymi rozwiązaiami tego rówaia. Dowód: a k y k k= = a k,re(y()) k k k= + iim y - = a k Re(y ) k + i k= a k Im(y ) k k= = k= a k Re(y ) k = k= a k Im(y ) k = Re(y()) i Im(y()) są rozwiązaiami rówaia jedorodego Def. Jeżeli fukcje u,, u są rozwiązaiami rówaia liiowego jedorodego rzędu, to mówimy, że fukcje te tworzą fudametaly układ całek tego rówaia u u u u u u W u, u,, u = ( ) ( ) ( ) wrońskia u u u
30 Tw. Jeżeli u,,u są rozwiązaiami rówaia liiowego jedorodego, to y = i= C i u i () jest całką ogólą tego rówaia u,,u tworzą fudametaly układ całek tego rówaia. Dowód: y( ) C u ( ),..., y ( ) C u ( ) ( k) ( k) i i i i i i ( k) ( k) k i i i k i k i i k a ( ) C u ( ) C a ( ) u ( ) " " y( ) Ciui( ) i y ( ) Ciui ( ) i ma rozwiazaie... ( ) ( ) y ( ) Ciui ( ) i u u... u u... u ( ) ( ) ( )... u u u u Rozważmy rówaie liiowe jedorode o stałych współczyikach a k y k = szukamy rozwiązaia postaci y = e λ y = λe λ,, y = λ e λ k= (L)
31 Def. Rówaie k= a k λ k k= a k λ k e λ = /: e λ = azywamy rówaiem charakterystyczym rówaia (L). Tw. I. Jeżeli λ jest k-krotym, rzeczywistym pierwiastkiem rówaia charakterystyczego to fukcje e λ, e λ,, k e λ są rozwiązaiami rówaia (L) dla wartości λ II. Jeżeli λ=α±iβ są k-krotymi pierwiastkami rówaia charakterystyczego to fukcje e α cosβ, e α siβ,, k e α cosβ, k e α siβ są rozwiązaiami rówaia (L) dla λ. Fukcje, które są rozwiązaiami dla wszystkich pierwiastków rówaia charakterystyczego tworzą układ fudametaly całek rówaia (L). Dowód: a a a jest rówaiem charakterystyczym I. a 4a a, dwa pierwiastki rzeczywiste u e, u e są rozwiązaiami rówaia (, ) e ( ) W u u e e u, u tworzą układ fudametaly e e
32 II. a 4a a a a u e pierwiastek dwukroty jest rozwiązaiem rówaia pokażemy, że u = e λ też jest rozwiązaiem u e e u e ', '' ( ) a a a ( ( ) ) ( ) a 4a a a e a e a e a a 4a a 4a a a 4a a [ ] [ ] e a a a e e e W u u e e e ( ) (, ) ( ) czyli jest to układ fudametaly e
33 iech, 4 a i a a a III., e, a 4aa a a i a a, e są rozwiazaiami zespoloymi ich części rzeczywiste i urojoe też są rozwiązaiami i i i i e e e e cos isi cos, si wiemy, że: ( i ) i Re[ ] Re[ ] Re[ ] cos ( i ) i Im[ ] Im[ ] Im[ ] si ( i ) i Re[ ] Re[ ] Re[ ] cos ( i ) i Im[ ] Im[ ] Im[ ] si czyli e i cosisi e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e u W ( u, u ) e i e cos, u e si są rozwiazaiami rzeczywistymi e cos e si e cos e si e si e cos e ( cos si cos si cos si ) e u, u tworzą układ fudametaly i
34 Np.. Rozwiąż rówaie y 6 + y 4 + y = (6) (4) () y y y ( ( ( i) i e, i CO : e y ) ( i) kroty kroty kroty, e C cos, C ) e C 3 si, e cos C 4 cos, si C e 5 si cos C 6 si Tw. metoda uzmieiaia stałych Jeżeli u,,u jest fudametalym układem całek rówaia k= a k y k = oraz fukcje u( )... u( ) C '( ) u '( )... u '( ) C '( ) ( ) ( ) u '( ) ( ) ( )... u ( ) C g C (),,C () spełiają układ rówao, to y = i= C i ()u i () jest rozwiązaiem rówaia aky ( ) ag(. ) k ( k )
35 Dowód: y = C i ()u i () y'( ) j i= j C j '( ) u C '( ) u ( ) j y''( ) j y ( ) j j j C j j '( ) u C '( ) u '( ) j ( ) j j C j ( ) j ( ) j '( ) u j C j ( ) u z założeia '( ) ( ) j C '( ) u ( ) g( ) j j C z założeia ( ) j j j '( ) ( ) u C j j ''( ) ( ) u z założeia ( ) j ( ) k ( k) ( ) ( ) y ( ) C ( ) u ( ), k,..., y ( ) C ( ) u ( ) g( ) j j j j j j ( ) ( k ) ( ) ( k) k ( ) ( ) j ( ) j ( ) k j ( ) j ( ) k j k a y a y a g a C u a C u ( ) ( k) ag( ) C j ( ) au j ( ) aku j ( ) ag( ) C j ( ) j k j
36 Np. Rozwiąż rówaie y (3) 5y + 4y = u = e =, u = e, u 3 = e 4 4) )( ( 4) 5 ( C C C e e e e e e ' ' ' e e e W e e e e e e e e e 8 4 ' D C C e e e e ' ( ) 3 3 C e C e e D e e e e ' D e e C e C 4 3 : CORN y D D e D e
37 Tw. metoda przewidywao Jeżeli g = e α,v m cosβ + P l siβ-, gdzie V m i P l są wielomiaami stopia m i l, to całkę szczególą rówaia k= a k y k = g() przewidujemy w postaci y = k e α,w s cosβ + Q s siβ- gdzie k jest krotością pierwiastka = α + iβ w rówaiu charakterystyczym k= a k λ k = oraz s=ma{m,l}, a W s, Q s () są wielomiaami stopia s. Np. Rozwiąż rówaie y 3y + y = ( + )e 3 + = = = u = e u = e CORJ: y = c e + c e α = ; β = ; m = ; l = s = ma (,) = = + i = jest to pierwiastek jedokroty CSRN: y = e a + b = e a + b y = e a + b + e a + b y = e a + b + a + b + e a + 4a + b 4a + b + 4a + 4b + a + 4a + b 6a 3b 6 a 6b + a + b = + CORN: y a = a + b = a = b = = c e + c e + e
38 Def. Rówaiem Eulera azywamy rówaie postaci a y () + a y () + + a y () + a y() = g() Tw. Rówaie Eulera sprowadza się do rówaia liiowego o stałych współczyikach przez postawieie = e z (z = l) Dowód: = dy d = dy dz dz d = dy dz d y d = d dy dz dz dy dz = d y d dy dz a (y z y z ) + a y z + a y(z) = g(e z ) jest rówaiem liiowe o stałych współczyikach Np. Rozwiąż rówaie y () y () + y() = 6l = e z, z = l, y = y z, y = (y z y z ) y z y z + y z = 6e z z + = = pierwiastek dwukroty CORJ: y z = c e z + c ze z
39 α = ; β = ; m = ; l = s = = + i = pierwiastek dwukroty CSRN: y z = z e z az + b = e z az 3 + bz y z = e z az 3 + bz + 3az + bz, y z = e z az 3 + bz + 6az + 4bz + 6az + b e z az 3 + bz + 6az + 4bz + 6az + b e z az 3 + bz + 3az + bz + e z az 3 + bz = 6e z z 6a = 6 a = b = b = CORN: y z = c e z + c ze z + z 3 e z CO: y = c + c l + l 3 Def. Układem rówao różiczkowych rzędu pierwszego azywamy układ: (y ) () = f (, y,, y ) (y ) () = f (, y,, y ) (*) (y ) () = f (, y,, y ) Uwaga: Jeżeli wprowadzimy ozaczeia y = (y, y,, y ), f = (f, f,, f ), to układ (*) możemy zapisad w postaci y () = f(, y)
40 Def. Problemem Cauchy ego dla układu y = f(,y) azywamy układ waruków y () = f(, y()) y( ) = y, gdzie y = y, y,, y. Def. Układem rówao różiczkowych liiowych rzędu pierwszego azywamy układ postaci y () = A y() + b(), gdzie A =,a ij ()- i,j=, b =,b j ()- j= Wiosek: k Jeżeli u,, u k są rozwiązaiami układu y () = A y(), to y() = i= C i u i () jest też rozwiązaiem tego układu. Dowód: y () = k k i= C i u i = i= C i A u i () = A i= C i u i Wiosek: Zbiór wszystkich rozwiązao układu y () = A k = A() y() y() jest przestrzeią wektorową. Tw. Jeżeli y = a + ib jest rozwiązaiem układu y () = A y(), to fukcje a i b() też są rozwiązaiami tego układu. Dowód: a + ib = a + ib = y = A y = A a + ia() b()
41 Def. Mówimy, że fukcje u, u,, u tworzą fudametaly układ całek układu y = A u u u W u, u,, u = u u u u u u y Wiosek: Układ fudametaly całek układu y = A y jest bazą przestrzei rozwiązao tego układu. Tw. COUN = COUJ+CSUN Dowód: COUJ: y y = A() y CSUN: y y = A y + b() (y +y ) = y + y = A y + A y + b = A y + y + b Tw. metoda uzmieiaia stałych Jeżeli u, u,, u tworzą układ fudametaly całek układu y = A C, C,, C spełiają waruki C i = W i u,u,,u W u,u,,u y oraz fukcje d, i =,, to y = i= C i ()u i () jest rozwiązaiem y = A y + b, gdzie W i u, u,, u powstaje z W u, u,, u przez zastąpieie u i kolumą b(). Dowód:
42 y = C i i= z drugiej stroy stąd u i + i= C i u i = C i u i + C i () A() u i () i= i= y = A y + b = A() C i u i + b i= C u i = b i= C u + C u + + C u = b C u + C u + + C u = b () W u, u,, u wyzaczik gówy W i u, u,, u wyzacziki bocze C i = W i u, u,, u W u, u,, u W i u, u,, u C i = d W u, u,, u
43 Wyliczaie całki ogólej układu jedorodego COUJ metodą elimiacji y = 3y + y /( ) Np.. Rozwiąż układ y = y + y y = 3 y + (y ) y = 3 y + y + y (y ) = 3(y ) + y + (y ) 3y y 4 y + y = jest rówaiem liiowym λ 4λ + = - rówaie charakterystycze Δ = λ = 3, λ = + 3 y = C e C e y = y 3y = 3 3 C e C e e 3 COUJ: y = C 3 e + C 3 y = y + y +. Rozwiąż układ y = y y + e e
44 y = y + y Rozwiązujemy układ jedorody y = y y /() y + y = y y (y ) / (y ) + 3 (y ) = y + y y (y ) 3 y + 3 y y + y + y = /: y + 4 y = - rówaie Eulera = e z (y ) = y z y = y z (y ) (z) y z y z + 4 y z = y z + 3 y z = - rówaie liiowe λ + 3λ = λ = λ = 3 y z = C + C e 3z y = C + C 3 y = y + y = 3C + C + C COUJ: y = C + C 3
45 u =, u = 3 jest układem fudametalym W u, u = = 3 + = 3 W u, u = 3 = + = 3 W u, u = = = C = d = + D C = d = D COUN: y = + D + D 3
46 Wyzaczaie COUJ metodą wartości i wektorów własych Rozważamy układ rówao liiowych o stałych współczyikach y = A y(). Szukamy rozwiązaia w postaci y = e λ v λe λ v = Ae λ v A v = λ v rówaie charakterystycze układu λ jest wartościa własą A, v jest wektorem własym A odpowiadającym λ Tw. ) Jeżeli jest k krotym, rzeczywistym rozwiązaiem rówaia charakterystyczego to rozwiązaie układu y = A y odpowiadające wartości ma postad: a) dim V λ = k y() = c e λ v + c e λ v + +c k e λ v k, gdzie (v, v,, v k ) jest bazą V λ b) dim V λ = m < k y() = (w o + w + k m w k m )e λ, gdzie w o. w k m wyliczamy wstawiając y() do rówaia ) Jeżeli λ jest k krotą, zespoloą wartością własą macierzy A, to Rey() i Imy() są rozwiązaiami układu y = A y dla y() będącego rozwiązaiem odpowiadającym wartości λ Dowód: = y y = a a y a a y a λ a a a λ = a λ a λ a a = λ a + a λ + a a a a
47 λ a + a λ + a a a a = Δ = a + a 4a a + 4 a a = a a + 4a a. Δ > λ λ R v wektor własy odpowiadający λ, v wektor własy odpowiadający λ y = c e λ v + c e λ v jest rozwiązaiem, co wyika z postulowaej postaci rozwiązaia. Δ = a a + 4a a = rk λ = a + a a a + a a a a + a dla a a a a a = rk a a a a a a dla a = a a a = R pierwiastek dwukroty a a a = rk =, bo a a a a = a a 4a a a a = = rk a a = a = oraz a = a oraz a = (lub a odwrót)
48 a a + a a rk a a a = dim V + a λ = v, v baza V λ y() = c e λ v + c e λ v jest rozwiązaiem rk a a + a a a a a + a Szukamy rozwiązaia w postaci y = e λ v() λ e λ v + e λ v = dim V λ = = A e λ v() v = v () v () λ v + (v ) = a v + a v /() λ v + (v ) = a v + a v λ (v ) + (v ) = a (v ) + a (v ) korzystając z -go rówaia w układzie (λ a )(v ) + (v ) = a a v + a a v a λ v korzystając z postaci λ i pierwszego rówaia w układzie a a (v ) + (v ) a a v = a a a a v + (v ) (v ) a a + a a v = 4
49 wiemy, że a a + a a 4 = więc rozwiązaiem jest v = c + c v = a a a v = c a a a + a + c y = ( c c a a a w + c + c + c c a a a c + c a a a a w ) e λ 3. Δ < λ, = α ± iβ λ = λ i v = v jeżeli y = e α+iβ v jest rozwiązaiem odpowiadającym λ, to y = e α iβ v jest rozwiązaiem odpowiadającym λ z wcześiejszego twierdzeia Rey() oraz Imy() są rozwiązaiami układu Np. Rozwiąż układ y = A y dla A= det A λ = ( λ) (- λ) dla λ = V : rk = v = v 3 v = 3v 3 V = li*(3,,)+
50 dla λ = V : rk = v 3 = v = v 3 = y () = w + w e - postad rozwiązaia w e + b + c = c = c = a + d = d + e + f b + e = e + f c + f = f w = czyli y () = w + w e = a b c y () = c e 3 V = li*(,,)+ w + w e = A w + w e w = A w w + w = A w, w = d e f, A= b =, c =, f =, a = e R, d R d a + a COUJ: y() = c e e = ae 3 + c e + de + c 3 e
51 Def. Mówimy, że fukcja (,y) jest całką pierwszą układu y () = f(, y()) w przedziale [a,b] C R a,b φ, y = C, dla y = (y,, y ) będącego rozwiązaiem tego układu. Wiosek:. Układ y () = f(, y()) ma co ajwyżej liiowo iezależych całek pierwszych.. Jeżeli układ y () = f(, y()) ma liiowo iezależych całek pierwszych φ,φ,,φ, to Def. Postacią symetryczą układu CO: φ, y = C φ, y = C φ, y = C (y ) () = f (, y,, y ) (y ) () = f (, y,, y ) (y ) () = f (, y,, y ) d f (, y) = dy f (, y) = = dy f (, y) azywamy postad Tw. Jeżeli istieją fukcje M,, M takie, że i= M i, y > oraz M i, y f i, y =, to rozwiązaiem układu w postaci symetryczej i= d f (,y) =. dy f (,y) = = dy f (,y) jest rozwiązaie rówaia M i= i, y dy i + M o, y d =
52 Dowód: i= M i, y dy i + M, y d = d( = ( M i, y f i, y f, y + M (, y))d = ( i= Np.. Rozwiąż układ dy d = z z y dz = y d z y M = M = M = d + dy + dz = d y + z = y + z = C M = M = y M = z d + ydy zdz = d y z CO = y z = C y + z = C y z = C. Rozwiąż układ dy d = y z dy d = z yz i= d = dy z y z i= M i, y dyi d + M o(, y)) = M i, y f i, y + M (, y) f (, y)) = = dz y d = dy y z = dz z yz d f, =
53 M = zy M = z M 3 = y zyd + zdy + ydz = zyd + zdy + ydz = zyd + d yz = d(yz) = d yz l yz = l + C = yz C yz = C podstawiamy do wyjściowego układu dy y z = dz dy = dz z C yz yz C yz y y z z y = C y 3 z z y z + z y = C y 3 z rówaie Beroulliego = - u = z u = zz zu + z y = C y 3
54 CORJ: u = De l y = Dy u + z y u = C y 3 y = D(y)y D y y + D y y 3 + z y D y y = C y 3 D y = C y D y = C l y + D z = (C l y + D )y yz = C CO: y z = C l y + D
55 Zadaia. Narysuj pole elemetów styczych dla rówaia: a) dy = y dy, b) = y dy, c) = + d d y d y+ y. Wylicz całkę ogólą: a) y =, b) + yy e+y = ( + y ), c) cosy = ctgy 3. Rozwiąż problem początkowy: a) dy = ctgy, y = π, d 3 b) + e y y = ( + e y ), y =, c) y = yly, y = e 4. Rozwiąż rówaie: a) y = 4 +y, b) y = (ly l + ) y y, c) y = y + y, > 5. Rozwiąż rówaie: a) y = ( + y) +( + y), b) y = ( + y + ), c) y = si ( y) 6. Rozwiąż rówaie: a) y = ( y+ +y ), b) y = +y +y+, c) y = y 4 +y 7. Rozwiąż problem Cauchy ego: a) y + y = + y y, y =, b) y = 6 y dy, y =, c) = y+, y = 4+y d y 3 8. Rozwiąż: a) y + y = 3, b) y l y = l, dla >, c) y y = Zajdź całkę szczególą: a) y + ytg =, y =, b) cos y y = +, y =, c) y y = si, y =. Rozwiąż: a) y y = e y, b) y y = 3 y4 l, c) y + y = y. Rozwiąż: a) y + y = y +, b) y + y = e y + e, jeżeli y = e jest całką szczególą, c) y + y = y +, jeżeli y = jest całką szczególą. Rozwiąż: a) y = y (y ), b) y = y + (y ), c) y = y + + y
56 3. Rozwiąż: a) y = (y ) +(y ), b) y = + y + (y ), c) y = + ly 4. Rozwiąż: a) d + ydy = dy yd, b) ( ey ) d + ey yd dy =, c) + y 3 l dy = +y (+ ) + +y d+ydy 5. Zajdź całkę szczególą: a) (+y), y =, 6. Rozwiąż: a) b) y + d + y +y+ y + dy =, y =, c) dy d + y = 3, y = y + d + dy =, b) cosy ysiy dy + siy + ycosy d = y c) siy 3 cosy cosyd + dy = 7. Rozwiąż: a) y = (y ), b) yy = (y ) yy, c) yy = yy + (y ) 8. Zajdź całkę szczególą: a) y =, y = 3, y =, b) y = + si, y =, y =, c) 4y y =, y =, y = 9. Rozwiąż: a) y + 4y + 4y =, b) y (3) 6y + y 8y =, c) y (5) + y (4) + y (3) + y + y + y =. Rozwiąż: a) y - y = +, b) y (3) + 6y + y + 8y = 3e -, c) y y + y = -3si. Rozwiąż: a) y (4) - y = 4si 8e +, b) y (3) - y + 4y - 4y = 3e 4si, c) y + y = sicos3. Rozwiąż: a) y y = 3 e, b) y (3) +y = si cos, c) y + 4y = cos 3. Rozwiąż: a) 3 y (3) 3 y + 6y 6y =, b) y + 4y + y = +, c) ( + ) y + y + y = 4. Zajdź całkę szczególą: a) y + 4y + 4y = 3e -, y()=y ()=, b) y + y =, y( π ) = π, y()= c) y y + y = 6l, y =, y =
57 5. Metodą elimiacji rozwiąż: a) y = y + 5y y = y 3y, y =, b) y = y y = y, y =, c) y = y + y y = 3 y + y 6. Rozwiąż układ y = Ay dla: a) A = c) A = 7. Rozwiąż problem Cauchy ego b) A = Rozwiąż układy iejedorode: a) y = Ay y = y dla: a) A =, y = y 3 4 8, c) A =, b) A = , y = = y y + y 3 + y = y 5y + 7y 3 + +,, 4 7 3, y =, y 3 = 4y y + y 3 + 5
58 y = y + y y 3 + b) y = y + y 3 = y + y y Rozwiąż: a) d z y = dy z = dz d, b) y 3. Rozwiąż: a) dy = y d y dz d = z y, b), c) z = dy yz = dz y dy = z d (z y) dz d = y, c) (z y) y = y + y y 3 + e y = y + y + y 3 + e, y = y 3 = y y 3 + e 3, c) d y = dy = z +y d (y z) dz d = z(+z) (y z) dy y z = dz yz
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowo"Liczby rządzą światem." Pitagoras
"Liczby rządzą światem." Pitagoras Def. Liczbą zespoloą azywamy liczbę postaci z= x +yi, gdzie x, y є oraz i = -1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez ={ x + yi: x, y є } Ozaczeia x= Re z częśd rzeczywista
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoRównania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach
Rówaia liiowe rzędu drugiego stałyh współzyikah Rówaiem różizkowym zwyzajym liiowym drugiego rzędu azywamy rówaie postai p( t) y q( t) y r( t), (1) gdzie p( t), q( t), r( t ) są daymi fukjami Rówaie to,
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA cz. 4 Szeregi funkcyjne i równania róŝniczkowe zwyczajne
Ja Nawrocki MATEMATYKA cz. 4 Szeregi fukcyje i rówaia róŝiczkowe zwyczaje Politechika Warszawska 010 Politechika Warszawska Wydział Samochodów i Maszy Roboczych Kieruek "Edukacja techiczo iformatycza"
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowo21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,
CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna 2-2
Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoFraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,
PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi
Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. metody elementów skończonych
Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoimię, nazwisko, nr indeksu (drukowanymi lit.) grupa inicjały wynik Egzamin 18L3. Test (90 min) Algebra i teoria mnogości 7 września 2018 O0
imię, azwisko, r ideksu drukowaymi lit.) grupa iicjały wyik Egzami 8L. Test 9 mi) 7 wrześia 8 O ϕx) : x > 4 x R \, ) ϕx) : y > x y b przyjmujemy
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowo1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania
1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 2.1
Ekoomia matematycza - 2.1 Przestrzeń produkcyja Zakładamy,że w gospodarce występuje towarów, każdy jako akład ( surowiec ) lub wyik ( produkt ) w procesach produkcji. Kokrety proces produkcji jest reprezetoway
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 2
Laboratorium Modelowaia i symulacji 008 r. Wydział Elektryczy Zesół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie Rozwiązywaie rówań róŝiczkowych zwyczajych metodą klasyczą.
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.
Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowo0, co implikuje tezę. W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna ( f (c)
RACHUNEK RÓŻNCZKOWY cd Twierdzeie Lagrage a: Jeżeli jest ciągła w [a,b], jest różiczkwala w a,b), t ca,b) : b)-a)= c) b-a) b) Dwód Wystarczy rzpatrzyć ukcję t) t) t a), t[a,b], która b a spełia załżeia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowo1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Bardziej szczegółowoP ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoWykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Bardziej szczegółowo26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU
6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia
Bardziej szczegółowo