MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty

Transkrypt

1 MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07

2 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji 3 5. Pełe rozwiązaia zadań: 5. Logika w praktyce 8 5. Liczby i działaia Rówaia i układy rówań Własości fukcji Dodatek teoretyczy: 6. Trójmia kwadratowy 5 6. Idukcja matematycza 6.3 Obliczaie sum Kogruecje Rówaia diofatycze Małe twierdzeie Fermata Twierdzeie Bézouta 37

3 Wstęp Zbiór zadań, który prezetujemy czytelikowi ie jest typowym zbiorem dla kokretej klasy w liceum. Jest to książka przezaczoa dla dociekliwego uczia bez względu, do której klasy uczęszcza. Po książkę powiie sięgąć rówież auczyciel matematyki, któremu zależy a tym, aby lekcje ie były mootoe a przedmiot wciągął słuchacza. Do rozwiązaia większości zadań ie trzeba perfekcyjego opaowaia teorii, zresztą ie teorię zadaia mają sprawdzić. Potrzeby jest tu pewie spryt, otwarty umysł i coś, co a późiejszym etapie auki azywa się kulturą matematyczą. Niezbęda teoria, której ie ma w programie auczaia, zostaie wyłożoa przy okazji. Do rozwiązań propoujemy zajrzeć dopiero po zakończoych sukcesem lub ie, próbach własych. Oczywiście wszystkie zadaia są w zbiorze rozwiązae. Zadaia posiadają róży stopień trudości. Są tu zadaia zupełie proste, jak rówież całkiem skomplikowae, poziomu olimpiad matematyczych czy egzamiów. Zrezygowao z ozaczaia zadań trudiejszych gwiazdkami i celowo przemieszao je z zadaiami łatwiejszymi. Wychodzimy z założeia, że wszystko co ułoży człowiek, iy człowiek potrafi rozwiązać i w świetle tej prawdy wszystkie zadaia wydają się łatwe. Autor dołożył wszelkich starań, żeby pokazać rozwiązaia komplete i w miarę proste. Jeżeli czytelik odajdzie iy sposób, być może bardziej elegacki i zechce się im podzielić z autorem, zyska ogromą wdzięczość korzystających z kolejych wydań tej książki. Do takiego współzawodictwa bardzo zachęcamy, wszelkie uwagi prosimy kierować a adres: ksiazki07@gmail.com Mariusz Kawecki 3

4 4. Własości fukcji. Zadaie 30 Rozwiązać rówaie: Ustalmy dziedzię rówaia (*), 5 4x 50 x. Ozaczmy prawą stroę rów- 4 aia (*) przez y, mamy wtedy: 4x 5 x x (*) 4x 5 y y x x y y ( ) 4 5 Jeżeli teraz potraktujemy lewą stroę rówaia (*) jak fukcję y f( x), to prawa stroa będzie fukcją odwrotą do iej x f ( y). Przy zamiaie zmieych y a x wykresy fukcjo staą się symetrycze 5 względem prostej y x, czyli jeżeli się przetą to w tych samych puktach, w których prosta y x przecia każdy z tych wykresów. Rówaie (*) jest więc rówoważe rówaiu: x x x lub 4x 5 x (**) x f ( y) mają te sam wy- 5 Należy pamiętać, że fukcja y f( x) i fukcja do iej odwrota kres. 95

5 Wybieramy do rozwiązaia prostsze: x x x x x x 0 Obie liczby ależą do dziedziy, ale tylko x spełia rówaie (*). To, że bardziej skomplikowae rówaie da się zastąpić prostszym, rówoważym widoczy jest po sporządzeiu wykresów fukcji. Widać też dlaczego zawsze sprawdzamy rozwiązaie. Zadaie 3 Rozwiązać rówaie: 4x 3 x x (*) 3 Wyzaczamy dziedzię 4x30 x. Ozaczamy prawą stroę rówaie (*) 4 przez y: 4x 3 y (y) 4x3 x y y Po obu stroach rówaia mamy fukcje wzajemie odwrote. W miejsce prawej stroy (*) podstawiamy x: x x x x 0 x Brak rozwiązaia staje się widoczy po sporządzeiu rysuku: Zadaie 3 Dla a 0, rozwiązać rówaie: 4 x ax a a x (*)

6 Ozaczmy prawą stroę rówaia (*) przez y: ( ) y a a x y a a x x y ay Co ozacza, że prawa stroa rówaia (*) jest fukcją odwrotą do fukcji będącej po lewej stroie rówaia. Samo rówaie jest postaci f ( x) f ( x) gdzie: f( x) x ax 6 Jest to fukcja kwadratowa, jedozacza od wierzchołka paraboli czyli od puktu Aa, a. Szukamy puktów wspólych z prostą y x 6. x ax x x (a) x (a) a a 0 a,, Zbiór, w którym zawarty jest parametr zawiera się w zbiorze dla którego istieją rozwiązaia. 3 3 (a) a a (a) a a x, x Należy dokoać sprawdzeia ale bezpośredie podstawieie wyliczoych wartości do rówaia (*) byłoby kłopotliwe. Zauważmy, że wykres aszej fukcji f ( x ) jest parabolą z ramioami skierowaymi do góry. Fukcja f ( x ) i fukcja odwrota f ( x) przetą się w dwóch puktach, jeżeli wierzchołek paraboli będzie powyżej lub a prostej y x. Dla puktu wierzchołkowego ma więc być spełioa ierówość: y x. Podstawiając współrzęde wierzchołka A otrzymujemy: 6 6 a a a a 5, a , a, a, Poieważ, jak łatwo sprawdzić 5 5 0,, obie wartości są poprawe. Zadaie 33 Rozłożyć wielomia a czyiki: W x x x 0 5 ( ) 97

7 Zauważmy, że: x ( x ) ( x )( x x ) x ( x ) ( x )( x x x x ) W( x) x x x x ( x)( x x x x) ( x )( x x )( x x x x ) ( x x )( x x x x ) ( x)( x x x x) ( x x x x) Bezpośredio dzieląc obliczamy: ( x x x x ):( x x x x ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 4 3 x x x x 4 3 x x x x Ostateczie: W( x) ( x x)( x x x x x x ) Zadaie 34 Rozłożyć a czyiki wielomia trzech zmieych: Qxyz (,, ) ( x y) ( yz) ( z x) Zauważmy, że wielomia przyjmuje wartość 0 dla x y, y z, z x co ozacza, że wielomia Qxyz (,, ) traktoway jako wielomia jedej zmieej z dwoma parametrami dzieli się przez każdą z różic: x y, yz, z x zatem dzieli się przez ich iloczy: ( x y)( yz)( z x). Mamy więc: Q x y z x y y z z x x y y z z x (,, ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) Podosząc do trzecich potęg po stroie lewej i wymażając po stroie prawej, porządkując i porówując współczyiki ustalamy, że 3, stad: 98

8 Q x y z x y y z z x x y y z z x (,, ) ( ) ( ) ( ) 3( )( )( ) Zadaie 35 Udowodić, że iloczy czterech kolejych liczb zwiększoy o jest pełym kwadratem. Mamy wykazać, że: ( )( )( 3) k. Spróbujemy zaleźć wielomia Qx, ( ) który będzie spełiał waruek: xx ( )( x)( x3) Qx ( ) ale ( )( )( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) xx x x Q x Qx Qx Qx xx ( )( x)( x3) xx ( 3) ( x)( x) ( x 3 x)( x 3x ) W takim razie: ( 3 )( 3 ) ( ) ( ) ( ) 3 x x x x Q x Q x Q x x x ( )( )( 3) 3 Zadaie 36 Udowodić, że wielomia o współczyikach całkowitych: W( x) a x a x... a x a 0 Przyjmujący dla x 0 i x wartości ieparzyste, ie ma pierwiastków całkowitych. Zgodie z warukami zadaia mamy: W(0) a m 0, 0 W() a a... a a k Jeżeli x l, to wartość: W( l) a ( l) a ( l)... a ( l) a A a 0 0 ze względu a a 0 jest ieparzysta. Jeżeli x l, to: W( ) a (l) a (l)... a (l) a B( a a... a a ) 0 0 ze względu a a a... a a0 jest rówież ieparzysta. Dla każdego argumetu wartość wielomiau jest ieparzysta, co jest sprzecze z warukami zadaia. 99

9 Zadaie 37 Ile rozwiązań ma rówaie: si x x (*) 50 Szukamy tu puktów wspólych krzywej f ( x) six oraz prostej gx ( ) x. Rysu- 50 ek poiżej przedstawia fragmet wykresu obu liii. Ze względu a ieparzystość obu fukcji, to jest symetrię ich wykresów względem początku układu współrzędych, po stroie dodatiej osi OX będzie tyle samo rozwiązań rówaia co po stroie ujemej. Do tych rozwiązań ależy dodać trywiale rozwiązaie dla x 0. Zauważmy, że a każdym odciku ( ), prosta gxw ( ) dwóch puktach przetie siusoidę f ( x ) przy czym astąpi to w pierwszej części rozważaego odcika, tam gdzie siusoida jest powyżej osi OX. Zauważmy poadto, że powyżej puktów o rzędych ie może być puktów wspólych z siusoidą. Prosta gxprzechodzi ( ) przez pukt o rzędej dla odciętej 50. Wyika stąd, że pukt (50,) jest "ostatim" puktem, który mógłby być wspóly dla siusoidy i rozpatrywaej prostej. Dzieląc [50 : ] 8 ustalimy ile górych części siusoidy "mieści się" w odciku 0,50. W każdej części są dwa pukty wspóle, co daje 6 puktów wraz z rozwiązaiem trywialym dla x 0. Do tego ależy dodać 6 rozwiązań po ujemej stroie osi. Wszystkich rozwiązań rówaia jest 3. Zadaie 38 Dla jakiej całkowitej liczby a wyrażeie ( x a)( x0) da się zapisać w postaci wyrażeia ( x b)( x c) z całkowitymi współczyikami b, c. Zaleźć te współczyiki. Pytamy dla jakich liczb a, b, c wielomia Px ( ) ( xa)( x0) ( xb)( x c). Obliczając wartość wielomiau dla x b lub x c wyzaczymy a. P( c) ( ca)( c0) ( cb)( cc) ( ca)( c0) 00