RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1

Transkrypt

1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1

2 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń 2

3 Program zajęć Równania różniczkowe zwyczajne Szeregi liczbowe Ciągi i szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe Szereg trygonometryczny Fouriera Elementy geometrii różniczkowej 3

4 Literatura Gewert M., Skoczylas Z., Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, 2006 Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach cz.2, PWN, 2006 Leksiński W., Żakowski W., Matematyka cz. IV, WNT, 2002 Matwiejew N., Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, 1974 Muszyński J., Myszkis A., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Otto E. (red.), Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, Tom 2, PWN,1980 Przeradzki B., Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych., PWN

5 Równania różniczkowe Równania różniczkowe są ważnym narzędziem wykorzystywanym przy tworzeniu modeli matematycznych w wielu dziedzinach nauki i techniki. Równania różniczkowe należą do kategorii równań funkcyjnych, czyli takich, w których niewiadomą jest funkcja. O ich specyfice decyduje to, że oprócz niewiadomej funkcji w równaniu występuje również pochodna (pochodne) tej funkcji. Niniejszy wykład zawiera definicje podstawowych pojęć oraz prezentację metod rozwiązywania wybranych typów równań różniczkowych zwyczajnych. 5

6 Równania różniczkowe Jeżeli w równaniu różniczkowym występuje tylko pochodna rzędu pierwszego, to równanie możemy symbolicznie zapisać w postaci F(x, y, y') = 0, gdzie F oznacza pewną funkcję trzech zmiennych, x jest zmienną niezależną, y poszukiwaną funkcją, zaś y' jej pochodną. Przykłady Jeżeli F(x, y, y') = (y') 2 - y' + y - x, to równanie ma postać (y') 2 - y' + y - x = 0. Jeżeli F(x, y, y') = tgy '- 2y' + y, to równanie ma postać tgy '-2y '+ y = 0. Jeżeli F(x, y, y') = y'- y- x, to równanie można zapisać w równoważnej postaci y' = y + x. W dwóch pierwszych przypadkach pochodna występuje w równaniach w sposób uwikłany, trzecie równanie jest rozwikływalne ze względu na pochodną. 6

7 Rozważmy szczegółowo przypadek równania rozwikływalnego ze względu na pochodną, w którym niewiadoma funkcja y nie występuje w sposób jawny. Można je wówczas zapisać w postaci lub prościej Równania różniczkowe y' f ( x), F ( x, y') 0 (lub dy dx f ( x)) Rozwiązanie takiego równania jest równoważne wyznaczeniu całki nieoznaczonej funkcji f. Dowolna funkcja pierwotna funkcji f (o ile istnieje) jest rozwiązaniem równania. Zbiór rozwiązań tworzy całkę nieoznaczoną funkcji f. Zatem każde rozwiązanie możemy zapisać w postaci y( x) Φ( x) C gdzie Φ oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f, C jest stałą rzeczywistą. 7

8 Jeżeli zażądamy dodatkowo, by spełniony był warunek (zwany warunkiem początkowym) y(x 0 ) = y 0, to (jeśli jest on realizowalny) funkcja y będzie wyznaczona w sposób jednoznaczny przez dobór stałej C z równości y(x 0 ) = Φ(x 0 ) + C = y 0, czyli C 0 = y 0 - Φ(x 0 ). Wykorzystując pierwsze główne twierdzenie rachunku całkowego, funkcję y możemy zapisać w postaci Równania różniczkowe y( x) Φ( x) C0 Φ( x) y0 Φ( x0) y0 x x 0 f ( t) dt Jest to tzw. rozwiązanie szczególne równania, spełniające warunek początkowy y(x 0 ) = y 0. 8

9 Przykład Rozwiązaniem równania y' = e x jest każda funkcja o postaci y = e x + C. Dla różnych wartości stałej C, funkcje te określają całkę ogólną równania. Ich wykresy tworzą rodzinę krzywych różniących się przesunięciem wzdłuż osi Oy. Zadając warunek początkowy y(0) = 3 dostajemy e 0 + C = 3, czyli C = 2. Stąd rozwiązanie szczególne równania spełniające warunek początkowy ma postać y = e x + 2. Równania różniczkowe 9

10 Równania różniczkowe zwyczajne Uogólnieniem wprowadzonych pojęć są następujące definicje. Definicja Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie F(x, y, y', y'',..., y (n) ) = 0, w którym niewiadomą jest funkcja y zmiennej x i w którym występują pochodne tej funkcji. Przymiotnik "zwyczajne" oznacza, że funkcja niewiadoma zależy od jednej zmiennej. Równania różniczkowe, w których występują funkcje wielu zmiennych, noszą nazwę równań różniczkowych cząstkowych. W niniejszym wykładzie zajmować się będziemy wyłącznie równaniami zwyczajnymi. 10

11 Równania różniczkowe zwyczajne Definicja Liczbę n 1 nazywamy rzędem równania różniczkowego, jeżeli w równaniu tym występuje pochodna rzędu n i nie występują pochodne rzędu wyższego niż n. Przykłady y' = y + x - rząd = 1, y'' + y' + y + x = 0 - rząd = 2, y''' = y 2 + x - rząd = 3. 11

12 Równania różniczkowe zwyczajne Definicja Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) równania różniczkowego na przedziale (a, b) nazywamy funkcję spełniającą to równanie w każdym punkcie tego przedziału. Przykłady Funkcja y = xe x jest rozwiązaniem szczególnym równania y' - y = e x, na przedziale (-, ), ponieważ (xe x )' - xe x = e x, dla każdego x (-, ). Równie łatwo można sprawdzić, że funkcje y 1 (x) = x - 1 oraz y 2 (x) = e x + x - 1 są rozwiązaniami szczególnymi równania y' - y + x - 2 = 0. Definicja Krzywą całkową nazywamy wykres rozwiązania szczególnego równania różniczkowego. 12

13 Równania różniczkowe zwyczajne Definicja Zagadnieniem Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu n nazywamy następujące zagadnienie: Znaleźć rozwiązanie szczególne tego równania spełniające warunki początkowe y(x 0 ) = y 0, y'(x 0 ) = y 1,..., y (n-1) (x 0 ) = y n-1 gdzie liczby x 0 oraz y 0, y 1,..., y n-1, zwane wartościami początkowymi są dane. W przypadku n = 1 warunek początkowy ma postać dla n = 2 y(x 0 ) = y 0, y(x 0 ) = y 0, y'(x 0 ) = y 1. Zagadnieniem Cauchy'ego bywa nazywane zagadnieniem początkowym. 13

14 Równania różniczkowe zwyczajne Przykład Rozwiążemy zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu 2 y'' = 6x, z warunkami początkowymi y(0) = 0, y'(0) = 1. Dwukrotnie całkując otrzymujemy Z warunków początkowych dostajemy Stąd C 1 = 1, C 2 = 0 i rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe ma postać y = x 3 + x. 14

15 Równania różniczkowe zwyczajne Definicja Jeżeli każdemu układowi n liczb (C 1, C 2,..., C n ) wybieranych dowolnie z pewnych przedziałów, jest przyporządkowana dokładnie jedna krzywa całkowa równania różniczkowego rzędu n, to mówimy, że jest określona rodzina krzywych całkowych tego równania zależna od n parametrów (C 1, C 2,...,C n ). Definicja Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania różniczkowego rzędu n nazywamy rodzinę krzywych całkowych tego równania zależną od n parametrów (C 1, C 2,...,C n ), których wartości można tak dobrać, aby otrzymać krzywą całkową spełniającą warunki początkowe y(x 0 ) = y 0, y'(x 0 ) = y 1,..., y (n-1) (x 0 ) = y n-1 dla każdego układu wartości początkowych x 0, y 0, y 1,..., y n-1, dla których krzywa taka istnieje. 15

16 Równania różniczkowe zwyczajne W przypadku gdy każda krzywa całkowa jest wykresem tylko jednej całki szczególnej (a więc funkcji), sformułowanie "rodzina krzywych całkowych" jest równoważne sformułowaniu "rodzina funkcji spełniających równanie różniczkowe". Krzywa całkowa, może też być łącznym wykresem większej liczby całek szczególnych - nie będąc wykresem funkcji. Jak się przekonamy, rozwiązując zadania przykładowe, często otrzymujemy wyniki właśnie w postaci takich krzywych. W dalszej części wykładu, zgodnie z powszechnie stosowaną terminologią, polecenie "rozwiązać równanie" będzie oznaczać wyznaczenie całki ogólnej tego równania. Rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego uzyskamy wyznaczając całkę ogólną równania i dobierając występującą w nim stałą (stałe) tak, by spełniony był warunek początkowy (warunki początkowe). 16

17 Równania różniczkowe zwyczajne Uwagi Przyjęta definicja rozwiązania ogólnego nie wyklucza istnienia krzywych całkowych nie należących do niego. Istnieją równania różniczkowe, nie posiadające rozwiązań, np. równanie e y' = 0. Nie zawsze istnieje rozwiązanie szczególne równania spełniające konkretne warunki początkowe. Są natomiast równania mające wiele rozwiązań tego samego zagadnienia Cauchy'ego. 17

18 Równania różniczkowe zwyczajne Przykład Zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego y = 2 y z warunkiem początkowym y(0) = 0, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Łatwo sprawdzić, że dla każdego c 0 funkcja jest jego rozwiązaniem. y x = 0 dla (x c) 2 dla x c x > c 18

19 Równania różniczkowe zwyczajne y x = 0 dla (x c) 2 dla x c x > c 19

20 Równania rzędu pierwszego Definicja Zapis równania rzędu pierwszego F ( x, y, y') 0 nazywamy postacią ogólną (uwikłaną) równania. Jeżeli można tę postac rozwikłać, tzn. zapisać równanie w postaci y' f ( x, y) to postać tę nazywamy normalną. W notacji Leibniza równanie ma postać dy dx f ( x, y) 20

21 Równania rzędu pierwszego Warunek wystarczający istnienia rozwiązań Twierdzenie (Peano) Jeżeli prawa strona równania różniczkowego y' f ( x, y) jest funkcją ciągłą w obszarze D R 2, to przez każdy punkt tego obszaru przechodzi co najmniej jedna krzywa całkowa tego równania. (tzn. zagadnienie Cauchy'ego z warunkiem początkowym y(x 0 ) = y 0, gdzie (x 0, y 0 ) D posiada rozwiązanie). 21

22 Równania różniczkowe zwyczajne Warunek wystarczający istnienia i jednoznaczności rozwiązań Definicja Funkcja f spełnia warunek Lipschitza w otoczeniu U punktu (x 0, y 0 ) ze względu na y L > 0 (x,y 1 ) U (x,y 2 ) U f(x,y 1 ) f(x,y 2 ) < L y 1 - y 2 Twierdzenie (Picarda) Jeżeli prawa strona równania różniczkowego y' f ( x, y) jest funkcją ciągłą w otoczeniu U punktu (x 0, y 0 ) i spełnia w nim warunek Lipschitza, to przez ten punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania (tzn. zagadnienie Cauchy'ego z warunkiem początkowym y(x 0 ) = y 0, gdzie (x 0, y 0 ) D posiada lokalnie jednoznaczne rozwiązanie). Uwaga Jeżeli pochodna cząstkowa funkcji f względem y jest ciągła w otoczeniu U, to funkcja spełnia w U warunek Lipschitza ze względu na y. 22

23 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Definicja Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie, które można przedstawić w postaci y' f ( x) g( y) 23

24 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Twierdzenie Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale (a, b), zaś g funkcją ciągłą i różną od zera na przedziale (c, d), to: 1. całka ogólna równania jest postaci G( y) F( x) C gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b), 2. dla każdego x 0 (a, b) i y 0 (c, d) zagadnienie Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie. f ( x) y' g( y) y( x0) y Z punktu 1.) tezy twierdzenia wynika, że wyznaczenie rozwiązania ogólnego równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych wymaga znalezienia całek nieoznaczonych funkcji f, oraz g. 0 24

25 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Procedura wyznaczania rozwiązania ogólnego równania o zmiennych rozdzielonych 1. Zapisujemy równanie w postaci dy dx f ( x) g( y) 2. Rozdzielamy zmienne (obustronnie mnożąc przez g(y)dx) g ( y) dy f ( x) dx 3. Obustronnie całkujemy równanie (lewą stronę po y, prawą po x) g ( y) dy f ( x) dx 4. Rozwiązanie ogólne równania ma postać G( y) F( x) C 5. gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b). Ostatnia równość zazwyczaj określa funkcję y w sposób uwikłany. Często się zdarza, że związku tego nie udaje się rozwikłać. 25

26 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego spełniającą warunek początkowy y(0) = 0. 26

27 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego spełniającą warunek początkowy y(0) = 0. Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie wyznaczamy całkę ogólną równania Zatem funkcję y dało się wyznaczyć w sposób jawny. Wyznaczamy całkę szczególną dla x = 0 i y = 0 Stąd C = 1 i całka szczególna spełniająca warunek początkowy y(0) = 0, 27

28 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego 28

29 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego Metodą rozdzielenia zmiennych całkujemy równanie różniczkowe 29

30 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład (c. d.) Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, w którym poszukiwana funkcja y występuje w postaci uwikłanej (i związku tego nie da się rozwikłać). Z przytoczonego twierdzenia wynika istnienie i jednoznaczność rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego. Zatem wstawiając x = 1 i y = 2 do rozwiązania równania dostajemy 4 + ln2 = 1 + C, czyli C = 3 + ln2. Rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego jest więc funkcja spełniająca równanie 30

31 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład Wyznaczyć krzywą całkową równania różniczkowego przechodzącą przez punkt (1, 1). Metodą rozdzielenia zmiennych wyznaczamy całkę ogólną równania Rozdzielamy zmienne Całkujemy obustronnie Stąd 31

32 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Przykład (c. d.) Całka ogólna jest jednoparametrową rodziną okręgów (a więc krzywych!) o równaniach (półokręgi: górne - dla y >0 i dolne - dla y <0, są wykresami funkcji spełniających równanie różniczkowe). Uwzględniając warunek początkowy y(1) = 1 dostajemy C = 2, zatem szukana krzywa całkowa jest opisywana równaniem 32

33 Jak to robią inni? Kurs e-learningowy- OCW Massachusetts Institute of Technology Wykład video Generowanie wykresu rozwiązania zagadnienia Cauchy ego

34 Dziękuję za uwagę 34