Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora
|
|
- Grażyna Sowińska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1
2 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym sprawozdaniu przedstawiono zależności pozwalające opisać ruch manipulatora o trzech stopniach swobody. Wybrano manupilator RRP w konfiguracji. Konfigurację przestrzenną przedstawiono na rys. 1 Zmiennymi konfiguracyjnymi są: q = [Θ 1 Θ d 3 ] T. Pozostałe parametry (L 1 oraz L ) przyjmują wartości stałe.
3 Rysunek : Manipulator zrealizowany w oprogramowaniu Autodesk Inventor 3
4 Rysunek 3: Rysunek techniczny zrealizowanego manipulatora 4
5 Kinematyka prosta Celem tej części sprawozdania jest określenie położenia końcówki manipulatora w układzie xyz0 na podstawie geometrii samego manipulatora oraz wartości zmiennych konfiguracyjnych. W celu zapisania macierzy przejść między poszczególnymi układami odniesienia, wykorzystano notację Denavita - Hartenberga, wyniki zestawiono w tabeli 1. L.p. Θ d α a π 1 Θ 1 l 1 0 Θ 0 π d 3 + l 0 0 Na podstawie tabeli 1, zapisano macierze przekształceń układów. Macierz przejścia z układu k do układu m oznaczono następująco: A m k. Macierze przejścia przedstawiono poniżej (wzory () - (4)). W celu uproszczenia zapisu zastosowano następujące skróty: cos(θ n ) = c n, cos(θ n + Θ m ) = c nm. Analogicznie postąpiono dla funkcji sin(x). A 1 0 = A 0 = A 3 0 = c 1 0 s 1 0 s 1 0 c l c 1 s s 1 c 1 s 0 s 1 c c 1 s 1 s 0 s 0 c l c 1 s s 1 c 1 s c 1 s (d 3 + l ) s 1 c c 1 s 1 s s 1 s (d 3 + l ) s 0 c c (d 3 + l ) + l Ostatecznie, położenie końcówki manipulatora w układzie xyz0 dane jest następującym wektorem: p x p z c 1 s (d 3 + l ) s 1 s (d 3 + l ) c (d 3 + l ) + l 1 (1) () (3) (4) (5) 5
6 Rysunek 4: Prezentacja dwóch rozwiązań dla tego samego punktu 3 Kinematyka odwrotna Celem tej części sprawozdania jest wyznaczenie zależności współrzędych konfiguracyjnych manipulatora Θ 1, Θ oraz d 3 gdy dane jest położenie końcówki manipulatora. Sprowadza się to do wykonania odpowiednich przekształceń algebraiczynych wzoru (5). Dla każdego punktu można podać rozwiązania, jedno dla Θ > 0, i drugie dla Θ < 0. Zademonstrowano to na rysunku 4. Dla Θ > 0 uzyskano następujący rezultat: Θ 1 Θ d 3 atan ( ) p x atan ( p x (p z l 1 )cos(θ 1 ) p z l 1 cos(θ ) + l ) (6) Dla każdego punktu z poza tych pokrywających się z osią Z, możliwe jest drugie rozwiązanie: 6
7 Θ 1od Θ od d 3od Θ Θ d 3 (7) Wzór (6) nie wyczerpuje jednak wszystkich możliwości określenia kinematyki odwrotnej. Konieczne okazuje się rozpatrzenie dwóch przypadków: 1. Gdy θ 1 = π ; wówczas kinematyka prosta opisana jest zależnościami: p x p z 0 s (d 3 + l ) c (d 3 + l ) + l 1 Co po przekształceniach daje zmienne konfiguracyjne (dla θ 0): Θ 1 Θ d 3 Jeśli zaś θ = 0 i jednocześnie θ 1 = π p x p z π atan ( (p z l 1 ) sinθ l ) (8) (9) to kinematyka prosta dana wektorem: 0 0 d 3 + l + l 1 (10) Skąd kinematyka odwrotna dla tego przypadku opisana jest zależnością: Θ 1 Θ d 3 π 0 p z (l 1 + l ). Gdy θ = π ; wówczas kinematyka prosta opisana jest zależnościami: p x p z c 1 (d 3 + l ) s 1 (d 3 + l ) l 1 (11) (1) Skąd przy założeniu, że θ 1 0 kinematyka odwrotna dana jest wektorem: Θ 1 Θ d 3 atan ( p x ) π sinθ 1 l (13) Jeśli θ 1 = 0 i jednocześnie θ = π, to kinematykę prostą można opisać zależnościami: p x p z (d 3 + l ) 0) l Kinematyka odwrotna dla tego przypadku dana jest wzorami: 7 (14)
8 Θ 1 Θ d 3 0 π l p x (15) 8
9 4 Jakobian W celu wyznaczenia prędkości końcówki manipulatora w układzie xyz0, gdy znana jest prędkość zmian współrzędych konfiguracyjnych q = [ Θ 1 Θ d 3 ] T konieczne jest znalezienie macierzy przejścia z układu związanego z końcówką manipulatora do układu xyz0. Jakobian przekształcenia jest macierzą o 6 wierszach oraz 3 kolumnach. Daną wzorem: J0 3 = 5 Obliczanie dynamiki s 1 s (d 3 + l ) c 1 c (d 3 + l ) c 1 s c 1 s (d 3 + l ) s 1 c (d 3 + l ) s 1 s 0 s (s 1 c 1)(d 3 + l ) c 0 s c Kolejnym etapem jest znalezienie równań dynamiki przedstawionego manipulatora, do tego celu wykorzystano równania lagrange a: (16) d δl L = τ i (17) dt δq i q i Gdzie L = K V, czyli energia kinetyczna pomniejszona o energię potencjalną, a τ i jest uogulnioną siłą wymuszającą. Wzór na energię kinetyczną danego elemenu łańcucha kinematycznego ma postać: K 1 = 1 qt [m i J T vcij vci + J T wcir i 0I 1 R i 0T Jwci ] q (18) Należy więć wyznaczyć jakobiany środków masy poszczególnych elementów ramienia robota. 5.1 Jakobiany środków masy Jakobian środka masy pierwszego elementu łańcucha kinematycznego dany jest on wzorem: [ ] ẑ0 (o J c1 = c1 o 0 ) 0 0 (19) ẑ Gdzie o c1, a o 0 jest pozycją zerowego układu współrzędnych. Po podstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy, że J vc1 (górna częsć jakobianu- odpowiadająca za prędkości) jest macierzą zer, natomiast jakobian prędkości kątowych jest równy: J wc1 = (0) Postępując analogicznie dla drugiego i trzeciego przegubu otrzymujemy: 9
10 J c = J c3 = Przy czym r = l + d 3 1 d max. 1s 1s l 1c 1c l 0 1c 1c l 1s 1c l 0 0 1l (s 1s c 1s ) 0 0 s c s 1 s r c 1 c r c 1 s c 1 s r s 1 c r s 1 s 0 s r(s 1 c 1) c 0 s c (1) () 5. Obliczanie energji kinetycznej Korzystając ze wzoru (9) dla wszystkich przegubów, po zsumowaniu energii K 1 +K +K 3 otrzymujemy wzór w postaci: K = 1 qt d 11 d 1 d 13 d 1 d d 3 d 31 d 3 d 33 q (3) Ze względu na objętość macierzy potrzebnej od obliczenia energii kinetycznej, zdecydowano się na skrótowy jej zapis. Poszczególne elementy przedstawiono poniżej. d 11 = I 1x +I z +I 3z +I x s I z s +I 3x s I 3z s +(l m s ) )/4+m 3 r s ) (4) d 1 = (c 1 s 1 s ( m c l 4m 3 c r +I xx c +4I zz c +I 3xx c +4I 3zz c I xx s 1 I 3xx s 1 ))/ (5) d 13 = c 1 c s (I zz c I xx s 1 ) (6) d 1 = (c 1 s 1 s ( m c l 4m 3 c r +I xx c +4I zz c +I 3xx c +4I 3zz c I xx s 1 I 3xx s 1 ))/ (7) d = I yy + I 3yy + (l m )/4 + m 3 r + I xx s 1 I xx s I xx s 5 1 I xx s I 3xx s 1 I 3xx s I 3xx s 5 1 I 3xx s 6 1 I xx s 1s + I xx s 4 1s + 4I zz s 1s 4I zz s 4 1s I 3xx s 1s + I 3xx s 4 1s + 4I 3zz s 1s 4I 3zz s 4 1s + 4I xx sin(θ /) s 3 1 4I xx sin(θ /) s 5 1 (8) + 4I 3xx sin(θ /) s 3 1 4I 3xx sin(θ /) s 5 1 l m s 1s + l m s 4 1s 4m 3 r s 1s + 4m 3 r s 4 1s 10
11 d 3 = c s 1 (I yy (c 1 1) I yy c 1 + I xx c 1(c 1 1) + I zz c 1(c 1) + I xx c 1c s 1 ) (9) d 31 = c 1 c s (I zz c I xx s 1 ) (30) d 3 = c s 1 (I yy (c 1 1) I yy c 1 + I xx c 1(c 1 1) + I zz c 1(c 1) + I xx c 1c s 1 ) (31) d 33 = m 3 + I yy c + I xx c 1c I xx c 4 1c I yy c 1c + I zz c 1c I zz c 1c 4 (3) 5.3 Obliczanie energji potencjalnej W układzie jedyną siłą zachowawczą jest oddzialywanie grawitacyjne. Wektor przyspieszenia grawitacyjnego ma kierunek równoległy a zwrot przeciwny do osi z. Z tego powodu energia potencjalna elementu równa się iloczynowi jego masy i z-towej składowej pozycji środka masy. Energia potencjalna opisana jest wzorem: V = 1 m 1l 1 + m ( 1 c l + l 1 ) + m 3 (c (l + d 3 1 d max) + l 1 ) (33) Należy następnie obliczyć pochodne cząskowe po zmiennych stanu: δv δθ 1 = 0 (34) δv δθ = m s l m 3 s (l + d 3 1 d max) (35) δv δd 3 = m 3 c (36) Co potrzebne jest do zapisania równania dynamiki (następny podrozdział). 5.4 Równanie końcowe dynamiki Równanie końcowe dynamiki zapisano w skróconej formie z wykorzystaniem symboli Christofella. τ k = δv δq k + j d kj q j + ij c ijk q i q j (37) Gdzie d kj są elementami macierzy K podanej w rozdziale XXX. Natomiast cijk dane jest wzorem: c ijk = 1 (δd kj δq i Poszczególne elementy dane są wzorami: + δd ki δq j δd ij δq k ) (38) c 111 = 0 (39) 11
12 c 11 = (sin(θ )(m l + 4m 3 r + 4I xx 4I zz + 4I 3xx 4I 3zz ))/8 (40) c 131 = 0 (41) c 11 = (sin(θ )(m l + 4m 3 r + 4I xx 4I zz + 4I 3xx 4I 3zz ))/8 (4) c 1 = (c 1 s 1 (I xx + I 3xx 6I xx s 1 6I 3xx s 1 + I xx c + 4I zz c + I 3xx c + 4I 3zz c + 10I xx s 3 1 4I xx s 6I xx s I zz s + 10I 3xx s 3 1 4I 3xx s 6I 3xx s I 3zz s + 1I xx sin(θ /) s 1 + 1I 3xx sin(θ /) s 1 + 4I xx s 1s 16I zz s 1s + 4I 3xx s 1s (43) 16I 3zz s 1s I xx c s 1 I 3xx c s 1 0I xx sin(θ /) s 3 1 0I 3xx sin(θ /) s 3 1 l m c 4m 3 r c l m s 4m 3 r s + 4l m s 1s + 16m 3 r s 1s ))/ c 31 = (c 1 (I xx c I yy c + 6I zz c I xx s 1 7I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c + 4I xx c 1c s 1 ))/ (44) c 311 = 0 (45) c 31 = (c 1 (I xx c I yy c + 6I zz c I xx s 1 7I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c + 4I xx c 1c s 1 ))/ (46) c 331 = c 1 c s 1 (I xx c 1 + I zz c I xx + I yy I zz ) (47) c 11 = (s (4I xx s 1 1I 3zz c 1I zz c + 4I 3xx s 1 + 3l m c + 1m 3 r c + 8I xx c 1c + 16I zz c 1c + 8I 3xx c 1c + 16I 3zz c 1c 1I xx c 1s 1 1I 3xx c 1s 1 4l m c 1c 16m 3 r c 1c ))/4 (48) c 1 = c 1 s 1 (I xx + I 3xx 3I xx s 1 3I 3xx s 1 + 5I xx s 3 1 I xx s 3I xx s I zz s + 5I 3xx s 3 1 I 3xx s 3I 3xx s I 3zz s + 6I xx sin(θ /) s 1 + 6I 3xx sin(θ /) s 1 + I xx s 1s 8I zz s 1s + I 3xx s 1s (49) 8I 3zz s 1s 10I xx sin(θ /) s I 3xx sin(θ /) s 3 1 l m s 4m 3 r s + l m s 1s + 8m 3 r s 1s ) c 13 = (c 1 (I xx c I yy c + 6I zz c I xx s 1 7I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c + 4I xx c 1c s 1 ))/ (50) 1
13 c 1 = c 1 s 1 (I xx + I 3xx 3I xx s 1 3I 3xx s 1 + 5I xx s 3 1 I xx s 3I xx s I zz s + 5I 3xx s 3 1 I 3xx s 3I 3xx s I 3zz s + 6I xx sin(θ /) s 1 + 6I 3xx sin(θ /) s 1 + I xx s 1s 8I zz s 1s + I 3xx s 1s 8I 3zz s 1s (51) 10I xx sin(θ /) s I 3xx sin(θ /) s 3 1 l m s 4m 3 r s + l m s 1s + 8m 3 r s 1s ) c = s 1(s 1 1)(m c s l + 4m 3 c s r + I xx c s 4I zz c s + I 3xx c s 4I 3zz c s I xx cos(θ /)sin(θ /)s 1 I 3xx cos(θ /)sin(θ /)s 1 ) (5) c 3 = 0 (53) c 31 = (c 1 (I xx c I yy c + 6I zz c I xx s 1 7I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c + 4I xx c 1c s 1 ))/ (54) c 3 = 0 (55) c 33 = c s (I yy + I xx c 1 I xx c 4 1 I yy c 1 + I zz c 1 I zz c 1c ) (56) c 113 = s (sin(θ /) 1)(I xx (s 1 1) + I xx s 1 + I zz s 1 (sin(θ /) 1)) (57) c 13 = (c 1 (I xx c I yy c + I zz c + I xx s 1 I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c 4I xx c s 1 + 4I xx c 1c s 1 ))/ (58) c 133 = c 1 c s 1 (I xx c 1 + I zz c I xx + I yy I zz ) (59) c 13 = (c 1 (I xx c I yy c + I zz c + I xx s 1 I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c 4I xx c s 1 + 4I xx c 1c s 1 ))/ (60) c 3 = s 1 s (I yy + I xx c 1 I xx c I zz c 1 6I zz c 1c I xx c 1c s 1 ) (61) c 33 = c s (I yy + I xx c 1 I xx c 4 1 I yy c 1 + I zz c 1 I zz c 1c ) (6) c 313 = c 1 c s 1 (I xx c 1 + I zz c I xx + I yy I zz ) (63) c 33 = c s (I yy + I xx c 1 I xx c 4 1 I yy c 1 + I zz c 1 I zz c 1c ) (64) c 333 = 0 (65) 13
14 6 Materiały pomocnicze Niniejsze sprawozdanie zostało wykonane w oparciu o następujące pomoce: 1. Własnoręczne notatki z przedmiotu Podstawy robotyki (wykłady + ćwiczenia);. demonstracyjna wersja oprogramowania Inventor. 14
Egzamin 1 Strona 1. Egzamin - AR egz Zad 1. Rozwiązanie: Zad. 2. Rozwiązanie: Koła są takie same, więc prędkości kątowe też są takie same
Egzamin 1 Strona 1 Egzamin - AR egz1 2005-06 Zad 1. Rozwiązanie: Zad. 2 Rozwiązanie: Koła są takie same, więc prędkości kątowe też są takie same Zad.3 Rozwiązanie: Zad.4 Rozwiązanie: Egzamin 1 Strona 2
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki dr inż. Marek Wojtyra Instytut Techniki Lotniczej
Bardziej szczegółowoNotacja Denavita-Hartenberga
Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoManipulatory i roboty mobilne AR S1 semestr 5
Manipulatory i roboty mobilne AR S semestr 5 Konrad Słodowicz MN: Zadanie proste kinematyki manipulatora szeregowego - DOF Położenie manipulatora opisać można dwojako w przestrzeni kartezjańskiej lub zmiennych
Bardziej szczegółowoJakobiany. Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu
Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 1 Jakobiany Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu ( t )z(t)=k(x(t)) Ponieważ funkcje w powyższym równaniu są
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoRozwiązanie: I sposób Dla prostego manipulatora płaskiego można w sposób klasyczny wyznaczyćpołożenie punktu C.
Instrukcja laboratoryjna do WORKING MODEL 2D. 1.Wstęp teoretyczny. Do opisu kinematyki prostej niezbędne jest podanie równańkinematyki robota. Zadanie kinematyki prostej można określićnastępująco: posiadając
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki - opis przedmiotu
Podstawy robotyki - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Podstawy robotyki Kod przedmiotu 06.9-WE-AiRP-PR Wydział Kierunek Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Automatyki Automatyka i robotyka
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki wykład III. Kinematyka manipulatora
Podstawy robotyki Wykład III sztywnego Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Manipulator typu PUMA ogniwo 2 ogniwo 3 ogniwo 1 PUMA układy
Bardziej szczegółowoMODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB
Kocurek Łukasz, mgr inż. email: kocurek.lukasz@gmail.com Góra Marta, dr inż. email: mgora@mech.pk.edu.pl Politechnika Krakowska, Wydział Mechaniczny MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH
Bardziej szczegółowoKinematyka płynów - zadania
Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,
Bardziej szczegółowoModelowanie układów dynamicznych
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian
Bardziej szczegółowoDynamika manipulatora. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska. Podstawy robotyki wykład VI
Podstawy robotyki Wykład VI Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska Dynamika opisuje sposób zachowania się manipulatora poddanego wymuszeniu w postaci
Bardziej szczegółowoWydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska. Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni
Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne
Bardziej szczegółowoROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl
ROBOTYKA Odwrotne zadanie kinematyki - projekt Zawartość. Wstęp...... Proste zadanie kinematyki cel...... Odwrotne zadanie kinematyki cel..... Analiza statyczna robota..... Proste zadanie kinematyki....
Bardziej szczegółowoANALIZA OBCIĄŻEŃ JEDNOSTEK NAPĘDOWYCH DLA PRZESTRZENNYCH RUCHÓW AGROROBOTA
Inżynieria Rolnicza 7(105)/2008 ANALIZA OBCIĄŻEŃ JEDNOSTEK NAPĘDOWYCH DLA PRZESTRZENNYCH RUCHÓW AGROROBOTA Katedra Podstaw Techniki, Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Streszczenie. W pracy przedstawiono
Bardziej szczegółowoOPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA
OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA Wprowadzenie W robotyce przez pojęcie manipulacji rozumiemy przemieszczanie w przestrzeni przedmiotów i narzędzi za pomocą specjalnego mechanizmu. W związku z tym pojawia
Bardziej szczegółowo[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)
. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki wykład VI. Dynamika manipulatora
Podstawy robotyki Wykład VI Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Dynamika opisuje sposób zachowania się manipulatora poddanego wymuszeniu
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoOgłoszenie. Egzaminy z TEORII MASZYN I MECHANIZMÓW dla grup 12A1, 12A2, 12A3 odbędą się w sali A3: I termin 1 lutego 2017 r. godz
Laboratorium Badań Technoklimatycznych i Maszyn Roboczych Ogłoszenie Egzaminy z TEORII MASZYN I MECHANIZMÓW dla grup 12A1, 12A2, 12A3 odbędą się w sali A3: I termin 1 lutego 2017 r. godz. 9 00 12 00. II
Bardziej szczegółowoKinematyka manipulatorów robotów
Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 1 Podstawowe pojęcia: Kinematyka manipulatorów robotów Ogniwo(człon, ramię) bryła sztywna(zbiór punktów materialnych, których wzajemne położenie jest stałe). Przegub(złącze)
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW. Ćwiczenie N 2 RÓWNOWAGA WZGLĘDNA W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Ćwiczenie N RÓWNOWAGA WZGLĘDNA W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ . Cel ćwiczenia Pomiar współrzędnych powierzchni swobodnej w naczyniu cylindrycznym wirującym wokół
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11
WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11 DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU. Nazwa przedmiotu: PODSTAWY ROBOTYKI 2. Kod przedmiotu: Sr 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Automatyka i Robotyka 5. Specjalność: Elektroautomatyka
Bardziej szczegółowoKATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Laboratorium Mechaniki technicznej
KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI Laboratorium Mechaniki technicznej Ćwiczenie 1 Badanie kinematyki czworoboku przegubowego metodą analitycznonumeryczną. 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoZastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium
Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania
Bardziej szczegółowo4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoAutor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Bardziej szczegółowoWstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych
Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne
Bardziej szczegółowoKATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Laboratorium Mechaniki technicznej
KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI Laboratorium Mechaniki technicznej Ćwiczenie 1 Badanie kinematyki czworoboku przegubowego metodą analitycznonumeryczną. 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści
Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i
Bardziej szczegółowoModelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,
Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach Krzysztof Żurek Gdańsk, 2015-06-10 Plan Prezentacji 1. Manipulatory. 2. Wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych (MES).
Bardziej szczegółowoManipulator OOO z systemem wizyjnym
Studenckie Koło Naukowe Robotyki Encoder Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Politechnika Śląska Manipulator OOO z systemem wizyjnym Raport z realizacji projektu Daniel Dreszer Kamil Gnacik Paweł
Bardziej szczegółowoOpis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia
Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Nazwa Przedmiotu: Mechanika klasyczna i relatywistyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: rok studiów,
Bardziej szczegółowoInformatyka I Lab 06, r.a. 2011/2012 prow. Sławomir Czarnecki. Zadania na laboratorium nr. 6
Informatyka I Lab 6, r.a. / prow. Sławomir Czarnecki Zadania na laboratorium nr. 6 Po utworzeniu nowego projektu, dołącz bibliotekę bibs.h.. Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych a, b oznaczamy
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który
Bardziej szczegółowoUKŁADY WIELOCZŁONOWE Z WIĘZAMI JEDNOSTRONNYMI W ZASTOSOWANIU DO MODELOWANIA ZŁOŻONYCH UKŁADÓW MECHANICZNYCH
POLITECHNIKA GDAŃSKA KRZYSZTOF LIPIŃSKI UKŁADY WIELOCZŁONOWE Z WIĘZAMI JEDNOSTRONNYMI W ZASTOSOWANIU DO MODELOWANIA ZŁOŻONYCH UKŁADÓW MECHANICZNYCH GDAŃSK 2012 PRZEWODNICZĄCY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ROBOTYKI. Opracował: dr hab. inż. Adam Rogowski
PODSTAWY ROBOTYKI Opracował: dr hab. inż. Adam Rogowski Autor wykładu: dr hab. inż. Adam Rogowski pok. ST 405 adam.rogowski@pw.edu.pl Literatura: - Treść niniejszego wykładu dostępna na www.cim.pw.edu.pl/lzp
Bardziej szczegółowoWPŁYW KINEMATYCZNYCH CHARAKTERYSTYK RUCHU CHWYTAKA NA POŁOśENIA, PRĘDKOŚCI I PRZYSPIESZENIA OGNIW AGROROBOTA
InŜynieria Rolnicza 11/006 Andrzej Graboś, Marek Boryga Katedra Podstaw Techniki Akademia Rolnicza w Lublinie WPŁYW KINEMATYCZNYCH CHARAKTERYSTYK RUCHU CHWYTAKA NA POŁOśENIA, PRĘDKOŚCI I PRZYSPIESZENIA
Bardziej szczegółowoMiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości
Podstawy robotyki Wykład V Jakobian manipulatora i osobliwości Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Metoda bezpośrednia uzyskania macierzy
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Robotyki ĆWICZENIE 5
Laboratorium Podstaw Robotyki Politechnika Poznańska Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów ĆWICZENIE 5 Rotacje 3D, transformacje jednorodne i kinematyka manipulatorów. Celem ćwiczenia jest analiza wybranych
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA
DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE FIZYKA STOSOWANA II Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Bielsku-Białej
WYMAGANIA EDUKACYJNE FIZYKA STOSOWANA II Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Bielsku-Białej OSIĄGNIĘCIA UCZNIÓW Z ZAKRESIE KSZTAŁCENIA W kolumnie "wymagania na poziom podstawowy" opisano wymagania
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Bardziej szczegółowoD l. D p. Rodzaje baz jezdnych robotów mobilnych
ERO Elementy robotyki 1 Rodzaje baz jezdnych robotów mobilnych Napęd różnicowy dwa niezależnie napędzane koła jednej osi, dla zachowania równowagi dodane jest trzecie koło bierne (lub dwa bierne koła)
Bardziej szczegółowoZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.
ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowo2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów str. 1 2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów 2.9.1. Manipulator planarny 3DOF Notacja DH Rys. 28 Tablica 1 Parametry DH Nr ogniwa
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoZagadnienie dwóch ciał
Zagadnienie dwóch ciał Rysunek : Rysunek ilustrujący zagadnienie dwóch ciał. Wektor R określa położenie środka masy, wektor x położenie masy m, a wektor x 2 położenie masy m 2. Położenie masy m 2 względem
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoZadania kinematyki mechanizmów
Zadania kinematyki mechanizmów struktura mechanizmu wymiary ogniw ruch ogniw napędowych związki kinematyczne położeń, prędkości, przyspieszeń ogniw zadanie proste kinematyki zadanie odwrotne kinematyki
Bardziej szczegółowoFizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5
Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Jerzy Łusakowski 30.10.2017 Plan wykładu Ziemia jako układ nieinercjalny Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Dwaj obserwatorzy- związek między mierzonymi współrzędnymi
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoStateczność ramy. Wersja komputerowa
Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoANALIZA KINEMATYKI MANIPULATORÓW NA PRZYKŁADZIE ROBOTA LINIOWEGO O CZTERECH STOPNIACH SWOBODY
MECHNIK 7/ Dr inż. Borys BOROWIK Politechnika Częstochowska Instytut Technologii Mechanicznych DOI:.78/mechanik..7. NLIZ KINEMTYKI MNIPULTORÓW N PRZYKŁDZIE ROBOT LINIOWEGO O CZTERECH STOPNICH SWOBODY Streszczenie:
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoKonrad Słodowicz sk30792 AR22 Zadanie domowe satelita
Konrad Słodowicz sk3079 AR Zadanie domowe satelita Współrzędne kartezjańskie Do opisu ruchu satelity potrzebujemy 4 zmiennych stanu współrzędnych położenia i prędkości x =r x =r x 3 = r 3, x 4 = r 4 gdzie
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoVII.1 Pojęcia podstawowe.
II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku
Bardziej szczegółowoGrafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Bardziej szczegółowo2.12. Zadania odwrotne kinematyki
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów str. 1 2.12. Zadania odwrotne kinematyki Określenie zadania odwrotnego kinematyki T 0 N = [ ] n s a p = r 11 r 12 r 13 p x r 21 r 22 r 23
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoM2. WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WAHADŁA OBERBECKA
M WYZNACZANE MOMENTU BEZWŁADNOŚC WAHADŁA OBERBECKA opracowała Bożena Janowska-Dmoch Do opisu ruchu obrotowego ciał stosujemy prawa dynamiki ruchu obrotowego, w których występują wielkości takie jak: prędkość
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI:
Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI: Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Ogólne wyrażenie na moment pędu Tensor momentu bezwładności Osie główne Równania Eulera Bak swobodny Porównanie
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowo7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:
7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowo