Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Transkrypt

1 Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x, x X : f (x + x ) = f (x ) + f (x ) ; b) dla dowolnych x X, α F : f (αx) = αf (x) nazywamy przekształceniem liniowym Przypuśćmy, że wymiary przestrzeni X oraz Y są skończone; niech dim X = n oraz dim Y = m Przyjmijmy, że wektory e,, e n stanowią bazę przestrzeni X, a wektory ẽ,, ẽ m bazę przestrzeni Y Z odwzorowaniem liniowym f : X Y możemy wówczas stowarzyszyć macierz A f = [a ij ] F m n, której i tą kolumnę (i =,, n) tworzą współrzędne wektora f (e i ) wyrażonego jako kombinacja liniowa wektorów bazowych przestrzeni Y : f (e ) = a ẽ + a ẽ + + a m ẽ m, f (e ) = a ẽ + a ẽ + + a m ẽ m, f (e n ) = a n ẽ + a n ẽ + + a mn ẽ m A f = a a a n a a a n a m a m a mn 8

2 6 Przekształcenia liniowe Przykład 6 Rozważmy odwzorowanie liniowe f : R R określone wzorem f (x, y, z) = (x + y z, x + z) Przyjmując w przestrzeniach X oraz Y bazy kanoniczne mamy: f (e ) = f (,, ) = (, ) = ẽ + ẽ, f (e ) = f (,, ) = (, ) = ẽ, f (e ) = f (,, ) = (, ) = ẽ + ẽ Odwzorowanie f jest więc reprezentowane przez macierz [ ] A f = ; innymi słowy f (x, y, z) = [ Przykład 6 Niech F : Π Π będzie odwzorowaniem określonym wzorem: ] x y z F (f) = {x xf (x) f (x)} Łatwo sprawdzić, że F jest odwzorowaniem liniowym Przyjmując w przestrzeniach Π oraz Π bazy mamy: w Π : e (x) =, e (x) = x w Π : ẽ (x) =, ẽ (x) = x, ẽ (x) = x F (e ) = F () = x = ẽ + ẽ, F (e ) = F (x) = x x = ẽ ẽ + ẽ Przy przyjętych bazach, odwzorowanie F reprezentowane jest przez macierz A F = Przykład 6 Rozważmy ponownie odwzorowanie F z przykładu 6 Przyjmując w przestrzeni Π bazę a w przestrzeni Π bazę e (x) = x +, e (x) = x, ẽ (x) = x, ẽ (x) = x +, ẽ (x) = x, 9

3 6 Układy równań liniowych mamy F (e ) = F (x + ) = x (x + ) (x + ) = x + x = ẽ + ẽ, F (e ) = F (x ) = x (x ) (x ) = x x + = α ẽ + α ẽ + ẽ Skalary α, α wyznaczymy rozwiązując równanie x + = α (x ) + α (x + ) Po prostych rachunkach otrzymujemy: α =, α = Tym razem odwzorowanie F jest reprezentowane przez macierz A F = Z powyższych przykładów wynika, że postać macierzy reprezentującej odwzorowanie liniowe f : X Y zależy od sposobu wyboru baz w przestrzeniach X, Y 6 Układy równań liniowych Rozważmy układ m równań liniowych o n niewiadomych x,, x n : a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b, (6) a m x + a m x + + a mn x n = b m a ij, b i F dla i m, j n; F = R lub F = C W przypadku, gdy b = = b m = układ (6) nazywamy układem jednorodnym Przyjmując oznaczenia: A = a a a n a a a n a m a m a mn, b = b b b m układ równań (6) możemy zapisać w postaci macierzowej: 6 Twierdzenie Cramera, x = x x x m Ax = b (6) W przypadku, gdy liczba równań układu (6) jest równa liczbie niewiadomych, macierz A jest macierzą kwadratową Jeżeli jest to macierz nieosobliwa to układ równań (6) nazywamy układem Cramera Rozwiązanie równania (6) a więc i układu (6) można wówczas prosto wyliczyć wykorzystując macierz A : x = A b 4

4 6 Układy równań liniowych Przykład 64 Rozważmy układ równań x + y z = x + y z = x y + z = W zapisie macierzowym przyjmuje on postać x y z Ponieważ zatem poszukiwane rozwiązanie to x y z = = =, = Rozwiązanie układu równań (6) można również wyrazić stosując wzory Cramera Twierdzenie 6 (Cramer) Niech A F n n, b F n Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to układ równań (6) posiada dokładnie jedno rozwiązanie x = (x,, x n ): x i = det A i (i =,, n), (6) det A macierz A i oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie jej i tej kolumny wektorem b Dowód: Niech a i oraz I i oznaczają i te kolumny odpowiednio macierzy A oraz macierzy jednostkowej I n Wówczas det A i det A = det [a, a,, a i, b, a i+,, a n ] det A = det ( A [a, a,, a i, b, a i+,, a n ] ) = det [ A a, A a,, A a i, A b, A a i+,, A a n ] = det [I, I,, I i, x, I i+,, I n ] = x i 5 Łatwo stwierdzić, że układ równań jednorodnych ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie (jakie?) Z twierdzenia Cramera wynika natomiast, że jeżeli jednorodny układ równań liniowych jest układem Cramera, to rozwiązanie to jest jego jedynym rozwiązaniem 4

5 6 Układy równań liniowych Przykład 65 Rozważmy ponownie układ równań z poprzedniego przykładu: x + y z = x + y z = x y + z = Mamy A = oraz b = Ponieważ det A = zatem jest to układ Cramera, którego rozwiązanie określa wzór (6): x = =, y = =, z = = 5 6 Twierdzenie Kroneckera Capellego Rozważmy, jak poprzednio, układ równań liniowych Ax = b, gdzie A F m n, b F m Niech U F m (n+) będzie macierzą powstałą z macierzy A przez dołączenie do tej ostatniej dodatkowej kolumny wektora b, tj U = a a a n a a a n a m a m a mn Macierz U nazywamy macierzą uzupełnioną Jest jasne, że rank U rank A Z postaci równania (6), które możemy zapisać w postaci: a a x a + x a + + x n = a m a m b b b m a n a n a mn wynika, że układ równań Ax = b ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wektor b jest kombinacją liniową kolumn macierzy A Warunek ten możemy równoważnie wyrazić jako równość rank A = rank U Twierdzenie 6 (Kroneckera-Capellego) Układ równań Ax = b, gdzie A F m n, b F m, ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rank A = rank U Ponadto: jeżeli rank A = rank U = n (n liczba niewiadomych) to rozwiązanie to jest jedyne; jeżeli rank A = rank U = r < n to rozwiązań jest nieskończenie wiele; wszystkie one dają się wyrazić jako funkcja zależna od n r parametrów b b b m 4

6 6 Układy równań liniowych Przykład 66 Rozważmy układ równań: x + y + z = x y + z = x y + z = Mamy n = oraz U = [A b] = Rzędy macierzy A oraz U wyznaczymy korzystając z metody eliminacji Gaussa: rank = rank [ ] = rank Oznacza to, że rank A = rank U = Z twierdzenia 6 wynika więc, że rozważany układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego (n rank A) parametru Wyznaczymy te rozwiązania Sposób Mając wyjściowy układ równań sprowadzony do postaci trójkątnej, poszukiwane rozwiązanie wyznaczymy metodą systematycznego rugowania: x + y + z = x y + z = x y + z = { x + y + z = y = x = t y = z = t, t R Sposób Skoro rank A = to macierz A zawiera nieosobliwą podmacierz stopnia ; odnajdujemy tę macierz w rozwiązywanym układzie równań Równania, które nie wchodzą w skład tej macierzy odrzucamy, z kolei niewiadome, których wybrana podmacierz nie obejmuje, przerzucamy na drugą stronę równania i traktujemy jako parametry Układ równań, jaki w ten sposób otrzymujemy, jest układem Cramera do jego rozwiązania stosujemy wzory (6) W naszym przypadku, ponieważ =, zatem układy równań oraz { x + y + z = x y + z = x y + z = x + y = z x y = z 4

7 6 Układy równań liniowych są równoważne (mają te same rozwiązania) Stosując do tego ostatniego układu wzory (6), mamy: z z z z x = = z, y = =, z R 44