POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Transkrypt

1 POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko

2 ... układy równań Dotychczas zajmowaliśmy się wyłącznie takimi układami równań A x = b, w których macierze współczynników były kwadratowe A n n. n A * = n x b

3 Definicja podokreślnego układu równań Układy równań o macierzach A m n, gdzie m < n, nazywamy podokreślonymi. n m A * = b Układ równań o macierzy podokreślonej charakteryzuje się przede wszystkim tym, że liczba równań m jest mniejsza od liczby niewiadomych n. Zatem jest oczywiste, że rozwiązanie w takim przypadku nie może być jednoznaczne i należy oczekiwać, że niektóre z niewiadomych pozostaną nieokreślone tzn., że mogą przybierać dowolne wartości. x

4 Metoda Gaussa-Jordana dla podokreślonych układów równań Załóżmy, że zadanie można rozwiązać za pomocą metody Gaussa-Jordana. Układ równań przekształcamy i doprowadzamy do postaci: n m I A 0 * = b 0 x

5 Metoda Gaussa-Jordana dla podokreślonych układów równań Przekształcony układ równań możemy zapisać w następujący sposób: I x 1 + A 0 x 2 = b 0 m m x1 x2 I. xm n m xm+1 xm+2 +. A 0 = b 0 m xn

6 Rozwiązanie podokreślonego układu równań Po przeniesieniu drugiego składnika lewej strony na stronę prawą otrzymujemy poszukiwane rozwiązanie: x 1 = b 0 A 0 x 2 x1 x2. xm = b 0 A 0 Wartości niewiadomych, które tworzą wektor m n m xm+1 xm+2. xn x 2 = {x m+1, x m+2, x n } mogą być przyjmowane dowolnie, natomiast wartości niewiadomych x 1 = {x 1, x 2, x m } są już jednoznacznie określone.

7 Interpretacja graficzna rozwiązania Rozwiązaniem zadania nie jest więc jeden określony punkt x R n, ale tzw. rozmaitość liniowa n m wymiarowa X n m R. W przypadku, gdy n m = 1 rozwiązaniem jest pewna prosta, gdy n m = 2 pewna płaszczyzna itd. x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1

8 Podokreślone układy równań Przykład 1 Rozwiązać układ równań: 4 x x 2 14 x 3 = 8 2 x x 2 8 x 3 = 5 Otrzymane rozwiązanie określa rozmaitość jednowymiarową czyli prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych. x 3 (0.0, 3.0, 4.0) 4.0 x (2.0, 1.0, 0.0) (1.5, 0.0, 1.0) x 1

9 Definicja nadokreślnego układu równań Nadokreślonym układem równań A x = b nazywamy taki układ, którego współczynniki tworzą macierz A m n, gdzie m > n. n A * = m Dla takiego układu liczba m równań jest większa od liczby n niewiadomych. W przypadku układów nadokreślonych możliwe są dwie sytuacje: 1 układ nie ma rozwiązania jest sprzeczny, 2 układ ma rozwiązanie nie jest sprzeczny. x b

10 Metoda Gaussa-Jordana dla nadokreślonych układów równań Powstają w związku z tym dwa problemy: 1 jak rozstrzygnąć kwestię, czy układ ma rozwiązanie i jak je ewentualnie znaleźć, 2 jak potraktować przypadek, gdy układ jest sprzeczny. Po ponownym zastosowaniu algorytmu Gaussa-Jordana przekształcony układ równań przyjmuje postać: n I b 0 1 a) m 0 * x = b 0 2 b)

11 Rozwiązanie nadokreślonego układu równań Otrzymujemy dwa układy równań: a) I x = b 0 1 b) 0 = b 0 2, 1 Jeżeli b 0 2 = 0, to rozwiązanie układu istnieje i ma postać x = b0 1. Spełnione są wszystkie równania. 2 Jeżeli b 0 2 0, to układ równań jest sprzeczny, otrzymujemy bowiem 0 = b W przypadku, gdy układ równań jest sprzeczny mamy do czynienia z sytuacją, w której nie istnieje punkt x R n o współrzędnych spełniających wszystkie równania.

12 Interpretacja graficzna rozwiązania W przypadku gdy x R 2 (wektor x oznaczymy ) to możemy podać graficzną interpretację kolejnych równań w postaci odpowiednich prostych na płaszczyźnie. Sprzeczność równań oznacza wtedy brak wspólnego punktu przecięcia się reprezentujących je prostych na płaszczyźnie. x 2 x 2 x x x 1 x 1 Można jednak postawić następujące pytanie: Jaki punkt x R 2 jest najmniej odległy od wszystkich prostych?

13 Pojęcie pseudorozwiązania Punkt najmniej odległy od wszystkich prostych możemy uznać za tzw. pseudorozwiązanie czyli za rozwiązanie rozumiane w sensie uogólnionym (szerszym od dotychczasowego). x 2 x 2 x x x 1 x 1 Dotychczasowe pojęcie rozwiązania staje się przy takim podejściu przypadkiem szczególnym pseudorozwiązania - w którym odległość punktu x od wszystkich prostych wynosi zero.

14 Odległość punktu od prostych Odległość r i punktu x R n od i-tej prostej staje się równa zeru, gdy jej równanie zostaje spełnione przez współrzędne punktu x: a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i, i = 1, 2,..., m Jako umowną odległość możemy przyjąć wielkość określoną w następujący sposób: r i = a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i, i = 1, 2,..., m czyli tzw. residuum i-tego równania.

15 Residdum - odległość punktu od prostych Umowna odległość punktu x od wszystkich prostych może być w tym przypadku określona np. wzorem: R = r r r 2 m, m > n x 2 x 2 R 0 R = 0 x x x 1 x 1

16 Przypadek dla 3 równań Jeśli założymy m = 3 (liczba równań) oraz n = 2 (liczba niewiadomych) to: przyjmując i = 1, 2, 3 otrzymujemy: r i = a i1 x 1 + a i2 x 2 b i r 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1 r 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2 (1) r 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 b 3 Funkcja R = r r r 2 3 osiąga minimum gdy: R x 1 = 2 (a 11 r 1 + a 21 r 2 + a 31 r 3 ) = 0 R x 2 = 2 (a 12 r 1 + a 22 r 2 + a 32 r 3 ) = 0 (2)

17 Przypadek dla 3 równań Po podstawieniu (1) do (2) otrzymujemy: (a 11a 11 + a 21a 21 + a 31a 31) x 1 + (a 11a 12 + a 21a 22 + a 31a 32) x 2 = a 11b 1 + a 21b 2 + a 31b 3 (a 12a 11 + a 22a 21 + a 32a 31) x 1 + (a 12a 12 + a 22a 22 + a 32a 32) x 2 = a 12b 1 + a 22b 2 + a 32b 3 czyli ostatecznie układ 2 równań z 2 niewiadomymi: s 11 x 1 + s 12 x 2 = t 1 s 21 x 1 + s 22 x 2 = t 2

18 Uogólnienie Dla przypadku ogólnego można otrzymać następujący układ równań: R = ( x k x k 2 m i=1 r 2 i ) = m i=1 r 2 i x k = 2 m i=1 m a ik (a i1 x 1 + a i2 x a in x n ) = i=1 2 (s k1 x 1 + s k2 x s kn x n t k ) = 0 r i r i x k = (3) w którym m m s kj = a ik a ij, t k = a ik b i, k, j = 1, 2,..., n, i=1 i=1 lub w zapisie macierzowym: S = A T A, t = A T b.

19 Uogólnienie Komplet warunków (3) koniecznych istnienia ekstremum funkcji R przybiera więc postać zwykłego układu równań algebraicznych (n n): R x 1 = s 11 x 1 + s 12 x s 1n x n = t 1 R x 2 = s 21 x 1 + s 22 x s 2n x n = t 2 R x n = s n1 x 1 + s n2 x s nn x n = t n lub S x = t. Pseudorozwiązaniem wyjściowego, nadokreślonego układu równań jest rozwiązanie powyższego układu i będziemy nazywać go rozwiązaniem w sensie metody najmniejszych kwadratów.

20 Nadokreślone układy równań Przykład 1 Rozwiązać nadokreślony układ równań: [ S x = t x 1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 4 x 1 + 2x 2 = ] [ ] x1 = x 2 [ 0 32 ] { x 1 = 1.0 x 2 = 1.5

21 Zadanie Rozwiązać nadokreślony układ równań: x 1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 4 x 1 + 2x 2 = 3

22 Dziękuję za uwagę