i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

Transkrypt

1 Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym nazywamy wektor określający położenie punktu w przestrzeni względem wybranego układu współrzędnych. Jego początek leży w początku układu współrzędnych, a koniec w rozpatrywanym punkcie. Wektory bazowe: inaczej wersory i, j, k, czyli wektory, których długość jest równa (wektory jednostkowe), zaś kierunek i zwrot jest zgodny z pewną dodatnią półosią układu współrzędnych. i = [ ] j = [ ] k = [ ] W układzie kartezjańskim iloczyn skalarny poszczególnych wektorów bazowych (wersorów) jest równy zero. i j = [ ] [ ] = + + = i k = [ ] [ ] = + + = j k = [ ] [ ] = + + =

2 Przekształcenia izometryczne: Przekształcenie geometryczne J płaszczyzny α jest izometrią wtedy tylko wtedy, gdy dla każdej pary punktów A, B ϵ α, jeżeli J(A)=A i J(B)=B, to AB = A B. Do przekształceń izometrycznych zaliczamy: przesunięcie, skalowanie s x = s y = s z = lub -, obrót. Przekształcenia nieizometryczne: Przekształcenie geometryczne J płaszczyzny α jest izometrią wtedy tylko wtedy, gdy dla każdej pary punktów A, B ϵ α, jeżeli J(A)=A i J(B)=B, to AB A B. Do przekształceń nieizometrycznych zaliczamy: skalowanie s x s y s z lub -. Przesunięcie (zapis macierzowy): P = T + P Skalowanie (zapis macierzowy): P = S P Obrót (zapis macierzowy): P = R P Współrzędne jednorodne: Jeżeli punkty są wyrażone we współrzędnych jednorodnych, to wszystkie trzy powyższe przekształcenia można traktować jako mnożenia. We współrzędnych jednorodnych dodajemy trzecią współrzędną dla punktu. Punkt reprezentowany przez parę liczb (x, y) jest teraz reprezentowany przez trójkę (x, y, W). Jeżeli W = mamy do czynienia z punktami jednorodnymi. Tak więc każdy punkt jednorodny reprezentuje linię (słupek) w przestrzeni trójwymiarowej. Równanie translacyjne 2D we współrzędnych jednorodnych: x d x x [ y ] = [ d y ] [ y] Równanie skalowania 2D we współrzędnych jednorodnych: x s x x [ y ] = [ s y ] [ y] Równanie obrotu 2D we współrzędnych jednorodnych: x cosα sinα x [ y ] = [ sinα cosα ] [ y] Składanie przekształceń: Jeżeli M i M 2 reprezentują podstawowe przekształcenia przesunięcia, skalowania albo obrotu, to M M 2 = M 2 M jest prawdziwe w następujących przypadkach: (przesunięcie) (przesunięcie) 2 = (przesunięcie) 2 (przesunięcie) (skalowanie) (skalowanie) 2 = (skalowanie) 2 (skalowanie) (obrót) (obrót) 2 = (obrót) 2 (obrót) (skalowanie izometryczne) (obrót) 2 = (obrót) 2 (skalowanie izometryczne) 2

3 Układy współrzędnych Jednowymiarowe (D) Dwuwymiarowe (2D) Trójwymiarowe (3D) na osi (Rys..2) kartezjański (Rys..3) kartezjański (Rys..5) biegunowy (Rys..4) sferyczny (Rys..6) cylindryczny (Rys..7) 3

4 4

5 5

6 ZADANIA:. Czy wektory i, j, k, są bazą trójwymiarowego kartezjańskiego układu współrzędnych? Uzasadnij odpowiedź: i = [ ] j = [ ] k = [ ] 2. Podać odległość punktu P od początku układu w następujących układach współrzędnych: a. układ kartezjański 3D b. układ biegunowy c. układ sferyczny d. układ cylindryczny 3. W sferycznym układzie współrzędnych dany jest punkt P(r = 2; ϕ = 6 ; ϑ = 3 ). Wyznaczyć współrzędne punktu P(x; y; z) w układzie kartezjańskim. 4. W walcowym (cylindrycznym) układzie współrzędnych dany jest punkt N(r = 8; ϕ = 45 ; 5.66). Wyznaczyć współrzędne punktu P(x; y; z) w układzie kartezjańskim. 5. W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt M(4; 5; 2) wyznaczyć współrzędne puntu M w układzie sferycznym i w układzie walcowym (cylindrycznym). Przyjąć założenie, że wszystkie trzy układy mają wspólny punkt początku układu współrzędnych O(; ; ). Wykonać odpowiednie rysunki. 6. Wykazać, że przekształcenie typu przesunięcie 2D (translacja 2D) we współrzędnych jednorodnych można traktować podobnie jak skalowanie, bądź obrót za pomocą mnożenia dwóch macierzy. Dany jest punkt P = (x; y) oraz wektor przesunięcia t = [dx; dy]. 7. Dany jest trójkąt prostokątny ABC w układzie kartezjańskim 2D o współrzędnych wierzchołków: punkt A(; ), punkt B(x B ; y B ) oraz punkt C(5; ). Dokonać przesunięcia (translacji) danej figury geometrycznej o wektor u = [; 4], dokonać obrotu względem początku układu współrzędnych o kąt α = -9 oraz dokonać skalowania izometrycznego względem początku układu współrzędnych o współczynniku skali s = 2. Podać współrzędne punktów A, C po odpowiednich przekształceniach. Współrzędne punktu A wyznaczyć stosując kolejno odpowiednie pojedyncze przekształcenia: translacji, obrotu i skalowania. Współrzędne punktu C wyznaczyć za pomocą macierzy transformacji M. Wiedząc, że współrzędne puntu B wynoszą odpowiednio x B = 4 oraz y B = -4 wyznaczyć współrzędne punktu B przed transformacją. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując do tego celu współrzędne jednorodne oraz rachunek macierzowy. Sporządzić odpowiedni rysunek ilustrujący treść zadania i przebieg obliczeń. 6

7 ROZWIĄZANIA ZADAŃ:. Czy wektory i, j, k, są bazą trójwymiarowego kartezjańskiego układu współrzędnych? Uzasadnij odpowiedź: i = [ ] j = [ ] k = [ ] i j = [ ] [ ] = + + = i k = [ ] [ ] = + + = j k = [ ] [ ] = + + = Odp. Nie ponieważ iloczyn skalarny wektorów i, j jest różny od zera. 2. Podać odległość punktu P od początku układu w następujących układach współrzędnych: a. układ kartezjański 3D OP = x 2 + y 2 + z 2 b. układ biegunowy OP = ρ c. układ sferyczny OP = ρ d. układ cylindryczny OP = r 2 + z 2 3. W sferycznym układzie współrzędnych dany jest punkt P(ρ = 2; ϕ = 6 ; ϑ = 3 ). Wyznaczyć współrzędne punktu P(x; y; z) w układzie kartezjańskim. x = ρ cosθ cosφ = 2 cos(3 ) cos(6 ) = 5. 2 y = ρ cosθ sinφ = 2 cos(3 ) sin(6 ) = 9 z = ρ sinθ = 2 sin(3 ) = 6 Odp. P(5.2; 9, 6) 4. W walcowym (cylindrycznym) układzie współrzędnych dany jest punkt N(r = 8; ϕ = 45 ; 5.66). Wyznaczyć współrzędne punktu P(x; y; z) w układzie kartezjańskim. x = r cosφ = 8 cos(45 ) = y = r sinφ = 8 sin(45 ) = z = 5.66 Odp. P(5.66; 5.66; 5.66) 7

8 5. W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt M(4; 5; 2) wyznaczyć współrzędne puntu M w układzie sferycznym i w układzie walcowym (cylindrycznym). Przyjąć założenie, że wszystkie trzy układy mają wspólny punkt początku układu współrzędnych O(; ; ). Wykonać odpowiednie rysunki. Konwersja (przejście) z układu kartezjańskiego do układu sferycznego: r = x 2 + y 2 + z 2 = = = 45 = 6. 7 φ = arctg ( y x ) = arctg (5 ) = z θ=arctg = arcsin z = arcsin 2 = x 2 +y 2 r 6.7 Odp. M(6.7; 5.34 ; 7.34 ) 8

9 Konwersja (przejście) z układu kartezjańskiego do układu walcowego (cylindrycznego): r = x 2 + y 2 = = = 4 = 6. 4 rzut wektora ρ na płaszczyznę OXY, jednocześnie przekątna prostokąta o bokach OX = x oraz OY = y ρ = r 2 + z 2 = = 45 = 6. 7 φ = arctg ( y x ) = arctg (5 4 ) = Odp. M(6.7; 5.34 ; 2) 9

10 6. Wykazać, że przekształcenie typu przesunięcie 2D (translacja 2D) we współrzędnych jednorodnych można traktować podobnie jak skalowanie, bądź obrót za pomocą mnożenia dwóch macierzy. Dany jest punkt P = (x; y) oraz wektor przesunięcia t = [dx; dy]. Definicja translacji: P = T + P d x t = [ d y ] - definicja wektora przesunięcia we współrzędnych jednorodnych x P = [ y] - definicja punktu przed translacją we współrzędnych jednorodnych x P = [ y ] - definicja punktu po translacji we współrzędnych jednorodnych d x T = [ d y ] - definicja macierzy translacji we współrzędnych jednorodnych d x x d x + x d x + x x [ d y ] + [ y] = [ d y + y] = [ d y + y] = [ y ] = P + d x x x + y + d x d x + x x [ d y ] [ y] = [ x + y + d y ] = [ d y + y] = [ y ] = P x + y +

11 7. Dany jest trójkąt prostokątny ABC w układzie kartezjańskim 2D o współrzędnych wierzchołków: punkt A(; ), punkt B(x B ; y B ) oraz punkt C(5; ). Dokonać przesunięcia (translacji) danej figury geometrycznej o wektor u = [; 4], dokonać obrotu względem początku układu współrzędnych o kąt α = -9 oraz dokonać skalowania izometrycznego względem początku układu współrzędnych o współczynniku skali s = 2. Podać współrzędne punktów A, C po odpowiednich przekształceniach. Współrzędne punktu A wyznaczyć stosując kolejno odpowiednie pojedyncze przekształcenia: translacji, obrotu i skalowania. Współrzędne punktu C wyznaczyć za pomocą macierzy transformacji M. Wiedząc, że współrzędne puntu B wynoszą odpowiednio x B = 4 oraz y B = -4 wyznaczyć współrzędne punktu B przed transformacją. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując do tego celu współrzędne jednorodne oraz rachunek macierzowy. Sporządzić odpowiedni rysunek ilustrujący treść zadania i przebieg obliczeń. x B 5 A = [ ] B = [ y B ] C = [ ] - wierzchołki we współ. jednorodnych T = [ 4] - macierz translacji cos( 9 ) sin( 9 ) R = [ sin( 9 ) cos( 9 ) ] = [ ] - macierz obrotu 2 S = [ 2 ] - macierz skalowania Translacja: P = T P A T = [ 4] [ ] = [ ] = [ 5] + + Obrót: P = R P (+α od x do y) (-α od x do -y) A TR = [ ] [ 5] = [ ] = [ 2] Skalowanie: P = S P A TRS = A = [ 2 ] [ 2] = [ ] = [ 4]

12 Wyznaczenie macierzy transformacji (ważna kolejność działań!!!): ( ) M = [ 2 ] [ ] [ 4] = [ + 2 ( ) ] [ 4] + ( ) M = [ 2 ] [ 4] = [ ] = [ 2 2] Wyznaczenie współrzędnych punktu C : C = M C = [ 2 2] [ ] = [ ( 2) ] = [ 2] B = M B M B = M M B I B = M B B = M B Wyznaczenie macierzy odwrotnej M - do macierzy M: 2 8 M = [ 2 2] - macierz transformacji M = detm CT - definicja macierzy odwrotnej detm = det [ 2 2] = Metoda Sarrusa = + 2 ( 2) + 8 ( 2) 8 ( 2) ( 2) 2 = 4 2

13 M ij = ( ) i+j X ij - definicja dopełnienia algebraicznego X = det [ 2 ] = ( 2) = - minor stopnia n macierzy M M = ( ) + = X 2 = det [ 2 2 ] = 2 ( 2) = 2 M 2 = ( ) +2 ( 2) = 2 X 3 = det [ 2 ] = 2 = M 3 = ( ) +3 = X 2 = det [ 2 8 ] = 2 8 = 2 M 2 = ( ) 2+ 2 = 2 X 22 = det [ 8 ] = 8 = M 22 = ( ) 2+2 = X 23 = det [ 2 ] = 2 = M 23 = ( ) 2+3 = X 3 = det [ 2 8 ] = 2 ( 2) 8 = 4 2 M 3 = ( ) 3+ ( 4) = 4 X 32 = det [ 8 ] = ( 2) ( 2) 8 = M 32 = ( ) = 6 X 33 = det [ 2 ] = ( 2) 2 = 4 2 M 33 = ( ) = 4 M M 2 M 3 2 C = [ M 2 M 22 M 23 ] = [ 2 ] M 3 M 32 M C T = [ 2 ] T 2 4 = [ 2 6] 4 3

14 M = detm CT = [ 2 6] = [. 5 4] (. 5) ( 4) + ( ) B = M B = [. 5 4] [ 4] = [ ( 4) + ( 4) ] = [ 3] 4 + ( 4) + Odp. B(; 3), A (; -4), C (; -2) 4