TRANSCOMP XIV INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS AIDED SCIENCE, INDUSTRY AND TRANSPORT

Transkrypt

1 TRANOP XIV INTERNATIONAL ONFERENE OPUTER TE AIDED IENE, INDUTR AND TRANPORT Aleksader WED aria WŁODARK Kostrukcje Ŝelbetowe, zgiaie belki, ośość, sztywość, relacje kostytutywe ANALIA GINANIA BELKI śelbetowej W AKREIE NIELINIOW W artykule przedstawioo sforułowaie ieliiowego zagadieia zgiaia w płaszczyźie belki Ŝelbetowej o przekroju prostokąty. Przykładowy eleet kostrukcyjy jest ajbardziej rozpowszechioy w praktyce iŝyierskiej w kostrukcjach Ŝelbetowych, co ozacza, Ŝe jest zakoity reprezetate w auczaiu zarówo echaiki, jak i kostrukcji Ŝelbetowych. zczegółowa aaliza faz pracy kostrukcji dostarcza ateriału dydaktyczego, który oŝe być traktoway jako poost iędzy teorią i zastosowaie oraz poaga zrozuieć kocepcję staów graiczych. NONLINEAR ANALI OF REINFORED ONRETE BEA IN FLEXURE Paper deals with a oliear aalysis of reiforced cocrete bea i plae bedig. This structural eber, beig the ost wide-spread eleet i egieerig activity, akes it to be a attractive tool i learig of structural echaics ad reiforced cocrete. Preseted, detailed aalysis of work phases i behavior bridges the theory ad applicatio ad helps studets to uderstad the cocept of liit states i structural aalysis ad diesioig of structures.. WTĘP W typowy procesie dydaktyczy a kieruku budowlay pojawia się rozdźwięk iedzy auczaie echaiki kostrukcji i kostrukcji Ŝelbetowych czy etalowych. wykle przedioty teoretycze abstrahują od zastosowań, zaś przedioty aplikacyje dotyczące projektowaia ie wikają w echaiczą stroę odelowaia zachowaia eleetów kostrukcyjych. oŝa wskazać ielicze podręcziki traktujące aalizę zgiaia eleetów prętowych w zakresie ieliiowy [, ], do których rzadko odwołują się wykładowcy kostrukcji Ŝelbetowych. Niiejszy artykuł jest próbą połączeia osiągięć echaiki i ich zastosowaia w kostrukcjach a relatywie prosty przykładzie. Warsaw Uiversity of Techology, ivil Egieerig Faculty, POLAND, Warszawa 637, Arii Ludowej 6. Phoe: , e ail: a.szwed@il.pw.edu.pl Politechika Świętokrzyska, Wydział Budowictwa i IŜyierii Środowiska; 5-34 Kielce; al. Tysiąclecia Państwa Polskiego 7, tel: , e-ail: ariaw@tu.kielce.pl

2 34 Aleksader WED, aria WŁODAK Wyprowadziy w tej pracy zaleŝości iędzy oete i krzywizą dla przekroju Ŝelbetowej belki zgiaej w płaszczyźie. W poiŝszej aalizie ograiczyy rozwaŝaia do przekroju prostokątego belki, chociaŝ uzyskae wzory łatwo jest uogólić a przekroje syetrycze względe płaszczyzy zgiaia. Rozpatrzyy takŝe jedyie jedą warstwę zbrojeia w strefie rozciągaia przekroju. Uwzględieie kilku warstw powoduje rachukową koplikację opisu i ogość przypadków do rozpatrzeia faz pracy przekroju. W przypadku betou przyjiey zerową wytrzyałość a rozciągaie oraz spręŝystoplastyczy odel przy ściskaiu ateriału, por. prace [, 3], które dotyczą ogóliejszego przypadku. Poiiey efekt uocieia ateriału po zarysowaiu w obecości zbrojeia oraz poślizg iędzy betoe i zbrojeie. W przypadku stali zbrojeiowej załoŝyy spręŝysto-plastyczy odel ateriału przy ściskaiu i rozciągaiu. ałoŝyy prawdziwość hipotezy o płaskich przekrojach zarówo przy zgiaiu spręŝysty jak i spręŝystoplastyczy w zakresie ałych odkształceń. Wyprowadziy wzory dotyczące zagadieia brzegowego płaskiego zgiaia belek w zakresie spręŝysto-plastyczy i przeprowadziy ich dyskusję. We wioskach poday graficzą iterpretację wyików i dyskusję zastosowań praktyczych uzyskaych zaleŝości.. ODEL ATERIAŁU I AŁOśENIE KINEATNE Przyjiey załoŝeie o płaskich przekrojach, które posłuŝy do wyprowadzeia podstawowych rówań zgiaej belki. godie z ty załoŝeie, przekroje poprzecze belki w trakcie spręŝystych i plastyczych deforacji są prostopadłe do ugiętej osi belki. Oś obojęta belki jest określoa, jako połoŝeie puktów, w których występują zerowe odkształceia w przekroju belki. godie z powyŝszy, pozioe przeieszczeie u puktu w odległości z od osi obojętej, wyraŝoe jest zaleŝością kieatyczą o postaci: ( dw x u ( x, z = z tgφ = z, ( dx gdzie w( x jest fukcją ugięcia osi belki. ( wyikają odkształceia: (, d w( x u x z ( x, z z = z ( x, ( x dx gdzie ( x jest fukcją krzywizy zgiaej belki. Do opisu zachowaia zgiaia belki przyjujey uproszczoe jedowyiarowe odele betou i stali. W przypadku betou poijay wytrzyałość a rozciągaie, będącą w typowych przypadkach o rząd wielkości iejszą od wytrzyałości a ściskaie. Dla ściskaia betou i stali zakładay spręŝysto-plastycze zachowaie, które opisae jest poiŝszyi zaleŝościai, por. rys. : σ dla U < σ = E dla dla >, f dla < σ = E dla f dla <. (3

3 ANALIA GINANIA BELKI śelbetowej 34 W zaleŝości (3 jest graiczy odkształceie spręŝysty, σ jest apręŝeie uplastycziający. E jest odułe ouga dla liiowo spręŝystego zachowaia betou, zaś U jest graiczy odkształceie (ziaŝdŝeia przy ściskaiu. W przypadku stali jest graiczy odkształceie spręŝysty (uplastyczieia, f jest graicą plastyczości, E odułe ouga dla stali oraz jest graiczy odkształceie stali. oduł ouga betou i stali oraz paraetry ciągliwości tych ateriałów są postaci: σ E E f = ; U λ γ =. (4 Wygodie jest rozpatrywać w dalszych rozwaŝaiach paraetry będące stosukie odułów ouga stali i betou oraz stosukie wytrzyałości stali i betou wg wzorów: E E f η = to σ ζ η. (5 Wprowadzoe bezwyiarowe paraetry charakteryzujące kaŝdy z rozpatrywaych ateriałów ( λ i γ, jak rówieŝ paraetry wiąŝące oba ateriały (, η i ζ będą stosowae w dalszej części rozwaŝań. a b Rys.. odele jedowyiarowe: a betou; b stali zbrojeiowej. Rówowaga sił i oetów działających a ały wyciek belki będącej w staie płaskiego zgiaia prowadzi do astępujących rówań rówowagi: ( d x T ( x dx ( dt x dx ( + p x =, (6 gdzie ( x jest fukcją oetu zgiającego, T ( x fukcją siły poprzeczej i p ( x obciąŝeie. W przypadku belek statyczie wyzaczalych rówaia powyŝsze ogą być scałkowae, a stałe całkowaia wyzaczae są ze statyczych waruków brzegowych. 3. OENT GINAJĄ W PREKROJU BELKI PoiŜej przedstawiy wyprowadzeie relacji iedzy oete i krzywizą zgiaej belki zarówo w zakresie spręŝystego, jak i spręŝysto-plastyczego zachowaia

4 34 Aleksader WED, aria WŁODAK ateriałów. Jeda warstwa zbrojeia będzie rozpatrzoa w strefie rozciągaia, co jest podyktowae jedyie uproszczeie aalizy. Rozpatrzyy róŝe fazy czystego zgiaia przekroju belki w fukcji poziou obciąŝeia i stosowaego stopia zbrojeia przekroju. Poday graice stosowalości uzyskaych zaleŝości dla kaŝdej z faz pracy przekroju belki. Rozpatrzyy takŝe przypadek ieograiczoej ciągliwości ateriałów, prowadzący do górego oszacowaia ośości przekroju, które jest stosowae w teorii ośości graiczej i praktyce projektowej kostrukcji Ŝelbetowych. Faza I. giaie w zakresie spręŝysty W przypadku odkształceń w przekroju belki poiŝej wartości w betoie i poiŝej w stali ay spręŝystą, pierwszą fazę pracy przekroju belki. Przekrój prostokąty belki oraz rozkład odkształceń i apręŝeń po wysokości przekroju wraz ze stosowayi ozaczeiai pokazae są a rysuku. Rys. Odkształceia i apręŝeia w zbrojoy przekroju belki w róŝych fazach pracy iła podłuŝa N i oet zgiający wyikające z rozkładu apręŝeia, przedstawioego a rys., w przekroju Ŝelbetowy defiiują ośość przekroju w fazie I. Na podstawie relacji ( i (3 i załoŝeń do fazy I uzyskujey: N bc E A E d c = +. (7 3 3 = + ( =, bc E A E ( d c Ozaczeia we wzorze (7 wyjaśioe są a rys.. Wprowadzay bezwyiarowe paraetry defiiujące stopień zbrojeia ρ, odułowy stopień zbrojeia ξ i współczyik strefy ściskaia przekroju : A ρ =, bd E, E ξ ρ ρ c =. (8 d W dalszych rozwaŝaiach wygodie będzie uŝywać paraetru ξ będącego stopie zbrojeia skaloway stosukie odułów ouga. Rozwiązując rówaie (7 przy zastosowaiu ozaczeń (8, zajdziey zasięg strefy ściskaia przekroju, i w rezultacie z (7 związek iędzy oete i krzywizą w fazie I pracy przekroju belki: I = ( +, ( ξ ξ ξ 3 { } 3 bd = E ξ + ξ + ξ ξ ξ + =, (9

5 ANALIA GINANIA BELKI śelbetowej 343 gdzie ideks I ozacza pierwszą fazę i jest sztywością przekroju. wykle zaleŝość (9 wystarcza do oszacowaia sztywości belki, która występuje w waruku stau graiczego uŝytkowaia. Wprowadzay ozaczeia a krzywizę skalującą i oet skalujący (odiesieia o postaci: σ i d E d bd = σ ( 6 takie, Ŝe EI = /, gdzie I 3 = bd /. Wielkości skalujące i ozaczają krzywizę i oet ośości spręŝystej hipotetyczego przekroju prostokątego, o wysokości d i szerokości b, wykoaego z jedorodego ateriału liiowo spręŝystego o tej saej wytrzyałości a ściskaie i rozciągaie σ. tosując ozaczeia ( w relacji (9 otrzyay bezwyiarową zaleŝość iędzy oete i krzywizą o postaci: ( 3 I = ξ + ξ + ξ ξ ξ + k = si k ( x, ( x k ( x ( x =. ( relacji ( widać, Ŝe związek iędzy oete i krzywizą jest liiowy w fazie I. Rozpatrzyy obecie dwa oŝliwe przypadki przejścia dwóch ateriałów w sta uplastyczieia. Pierwszy dotyczy sytuacji, gdy odkształceia w stali osiągą wartość, a drugi, gdy w skrajych włókach ściskaych betou odkształceia osiągają wartość. Koiec spręŝystego zachowaia przekroju jest osiągięty, gdy odkształceia w stali osiągą, czyli apręŝeia osiągą graicę plastyczości f. Na ty pozioie odkształceń krzywiza realizująca te sta oŝe być wyzaczoa stosując zaleŝości ( i (9, tj. = z = ( d i ( I I I I = ξ ξ + ξ. Ozaczeie I defiiuje krzywizę dla końca fazy I w chwili uplastyczieia stali. Eliiując z wcześiej wprowadzoych ozaczeń uzyskujey: k I I η, + ξ ξ ( ξ + I I i korzystając I η si, ( + ξ ξ ( ξ + tj. krzywizę i oet odpowiadający uplastyczieiu stali zbrojeiowej w przekroju. Koiec spręŝystego zachowaia przekroju oŝe być osiągięty takŝe wtedy, gdy odkształceia w skrajych włókach ściskaych betou osiągają graicę spręŝystości. W ty przypadku ay: c d = = i ( I I I I = ξ ξ + ξ, gdzie I defiiuje krzywizę dla końca fazy I w chwili uplastyczieia betou. Eliiując I obliczyy krzywizę i oet początku uplastyczieia betou w przekroju belki,, ξ ( ξ + ξ I k I s. (3 ξ ( ξ + ξ I I I

6 344 Aleksader WED, aria WŁODAK W przypadku jedoczesego osiągięcia odkształceń w skrajych włókach ściskaych betou i w stali ay sta jedoczesego uplastyczieia ateriałów w przekroju. tąd wyzaczay taki stopień zbrojeia, który rozgraicza stay pierwszego uplastyczieia stali ( ρ < ρ i betou ( ρ > ρ w przekroju belki. Porówując rezultaty dla krzywiz ( i (3 uzyskay wzór a stopień jedoczesego uplastyczieia: ξ = ρ η =. (4 ( + η asięg strefy ściskaia w przekroju, krzywiza i oet dla stopia zbrojeia (4 będą: k + η +η = ( + 3η ( + η. (5 Faza II. giaie przy spręŝysty ściskaiu betou i uplastyczieiu stali W przypadku, gdy odkształceia w stali przekraczają wartości graiczą astępuje faza II pracy przekroju. W tej fazie zakładay takŝe, Ŝe apręŝeia ściskające w betoie są poiŝej graicy plastyczości σ, czyli stopień zbrojeia spełia waruek: ρ < ρ wg (4. iłę podłuŝą i oet zgiający wyzaczay całkując rozkład apręŝeń w przekroju dla fazy II, pokazay a rys. : 3 = + σ =, = bc E + Aσ ( d c. (6 3 N bc E A rówaia (6 zajdziey zasięg strefy ściskaia dla fazy II cii = II d i z (6 otrzyay bezwyiarową zaleŝość iędzy oete i krzywizą o postaci: II II = 3 k, gdzie k σ = ρ = ρη (7 σ azyway wytrzyałościowy stopie zbrojeia, czyli stopie skaloway stosukie wytrzyałości stali i betou. e wzoru (7 widać, Ŝe związek iędzy oete i krzywizą opisay jest fukcją ieliiową. Asyptota pozioa dla relacji (7 jest określoa wzore: = 6. IIAsy Koiec spręŝystego zachowaia betou przy ściskaiu jest osiągięty, gdy apręŝeia w skrajych włókach ściskaych betou osiągają graicę plastyczości σ. W ty przypadku krzywiza i oet charakteryzujący początek uplastyczieia betou są:. (8 II k = II = 4, II ( II 3 Dla odkształceń w betoie w strefie ściskaia przekroju poiŝej wartości graiczej astępuje faza IIb pracy przekroju, której aalizę poiiey w ty artykule. W tej

7 ANALIA GINANIA BELKI śelbetowej 345 fazie zakładay takŝe, Ŝe apręŝeia rozciągające w stali są poiŝej graicy plastyczości σ, czyli stopień zbrojeia spełia waruek: ρ > ρ wg zaleŝości (4. Faza III. giaie przy spręŝysto-plastyczy ściskaiu betou i uplastyczioej stali W przypadku odkształceń w betoie w strefie ściskaia przekroju poiŝej wartości graiczą i w stali odkształceia są większe od to astępuje faza III pracy przekroju. W tej sytuacji siłę podłuŝą i oet zgiający wyzaczay całkując rozkład apręŝeń w przekroju dal fazy III, pokazay a rys. : σ ( σ N b a c bc E A = + +. (9 3 3 = +, bσ ( c a bc E A σ ( d c odkształceń wg zaleŝości ( z wykorzystaie ( wyzaczyy zasięg liiowego rozkładu apręŝeń w betoie dla przekroju belki a : d = a, czyli a. ( k ate z rówaia N = obliczay zasięg strefy ściskaia: ciii = III d, a zaleŝości (9 prowadzą do relacji iędzy oete i krzywizą w fazie III, tj.: III 4k = +, III 3 ( =. ( 6k Relacja ( jest ieliiowa, zaś asyptota pozioa daa jest wzore: 3 ( IIAsy =. Początek fazy III realizoway przez uplastyczieie stali, będący zaraze końce fazy IIb zachowaia przekroju, jest osiągięty, gdy odkształceia w stali osiągą wartość. tąd uzyskujey krzywizę i oet przy uplastyczieiu stali zbrojeiowej w przekroju: k IIb IIb + η 4 IIb, IIb 3 ( ( ( ( + η. ( ta graiczy ośości przekroju będzie osiągięty, gdy ciągliwość betou przy ściskaiu będzie wyczerpaa, tj. gdy odkształceia w skrajych włókach ściskaych betou osiągają wartość U. W ty przypadku krzywiza i oet charakteryzujący koiec fazy III przez wyczerpaie ciągliwości betou będzie postaci: k IIIU λ 4 IIIU IIIU = IIIU ( 3 ( λ. (3 Koiec ciągliwości stali wystąpi, gdy =, co takŝe ozacza osiągięcie stau graiczego ośości przekroju. Wtedy krzywiza i oet wyoszą: k III III + ηγ 4 III, III 3 ( ( ( ( + ηγ. (4

8 346 Aleksader WED, aria WŁODAK W przypadku jedoczesego osiągięcia ciągliwości odkształceń w skrajych włókach ściskaych betou i odkształceń uplastyczieia w stali wyzaczay stopień zbrojeia ρ U ( λ ( γη + λ ηρ U, przy który sta te wystąpi, czyli, λ λ + ηγ k λ + ηγ = 3 + 3ηγ ( + ηγ ( λ + ηγ, (5 defiiując odpowiedi zasięg strefy ściskaia, krzywizę i oet dla stopia zbrojeia. W przypadku jedoczesego osiągięcia ciągliwości odkształceń w skrajych włókach ściskaych betou U i odkształceń uplastyczieia w stali wyzaczay stopień zbrojeia. tąd stopień zbrojeia, zasięg strefy ściskaia, krzywiza i oet będą: U ρ U ( λ ( η + λ ηρ U, U λ = λ + η, λ + η ku U = 3 + 3η ( + η ( λ + η. (6 W dalszej aalizie zgiaia belek będziey brali pod uwagę jedyie stopie zbrojeia iejsze od ρ U, gdyŝ tylko takie wartości zbrojeia dają oŝliwość ciągliwego ziszczeia belki. Osiągięcie ośości oco zbrojoych belek (o stopiu zbrojeia około lub powyŝej ρ U charakteryzuje się agły i kruchy ziszczeie. PoŜąday type ziszczeia przekroju belki jest przez uplastyczieie stali, a ie przez ziaŝdŝeie betou. Fakt te zalazł odzwierciedleie w przepisach orowych akładający ograiczeie: ax λ U U =.8U =.8 =.8. (7 λ + η + harakterystyczy stopie zbrojeia ρ jest przypadek jedoczesego osiągięcia odkształceń w skrajych włókach ściskaych betou i ciągliwości w stali, czyli ηρ ( ηγ + i = + ηγ, k U +ηγ = ( + 3ηγ ( + ηγ. (8 Nośość graicza przekroju W przypadku rozpatrywaia ieograiczoej ciągliwości betou ( λ i stali ( γ oŝey posługiwać się tzw. asyptotyczą ośością graiczą przekroju. Relacja oet-krzywiza ( defiiuje tę wartość, gdy k, czyli f f IIIU = 3 ( = 3 ρ ρ. (9 σ σ Wzór te defiiuje ośość graiczą wg teriologii teorii ośości graiczej. (9 oŝa bardzo szybko oszacować ośość przekroju przy załoŝeiu jego wyiarów, wytrzyałości obu ateriałów i wartości zbrojeia. oŝa takŝe obliczyć potrzeby stopień zbrojeia przy zaday oecie od obciąŝeń oraz wytrzyałości betou i stali.

9 ANALIA GINANIA BELKI śelbetowej 347 Wyik (9 stosuje się w waruku stau graiczego ośości przy projektowaiu belek Ŝelbetowych. 4. ANALIA WNIKÓW I WNIOKI Przyjujey astępujące dae ateriałowe dotyczące betou: σ = 6 Pa, E = 3GPa, =.35. tąd obliczay paraetry: =.87, λ = 4.4. Dae U ateriałowe dla stali zbrojeiowej są astępujące: f = 4Pa, E = GPa, =.. Wtedy paraetry bezwyiarowe: =., γ = Paraetry wiąŝące własości betou i stali wyoszą: = 6.67, η = 9.3 oraz ζ =.38. kalowae stopie zbrojeia będą: ξ = ρ = 6.67ρ i = ηρ = 9.3ρ. Do aalizy przyjęto prostokąty przekrój belki. Dla stopia zbrojeia ρ wg wzorów (3 ay: ρ =.7, =.49, k =.9 i =.8. W przypadku stopia zbrojeia ρ U wg wzorów (6 otrzyujey: ρ U =.77, U =.745, k U =.7 i U =.63. Dla stopia zbrojeia ρ wg (5 obliczay: ρ =.46, =.59, k = 7.79 i =.. Przy ρ wg (8 ay: ρ =.43, =.798, k = 6.7 i =.33. Wykorzystując powyŝsze dae sporządzoo wykresy względej wysokości strefy ściskaia = c / d w fukcji skalowaej krzywizy k = /. Paraetre ziey a wykresach jest stopień zbrojeia przekroju ρ. Na rys. 3 wykresy ( k pokazao dla charakterystyczych stopi zbrojeia wyikających z przeprowadzoej aalizy oraz iych wybraych stopi zbrojeia. Na rys. 3 wskazao takŝe obszary obowiązywaia rozwiązań dla rozpatrywaych faz pracy przekroju i pukty charakterystycze. Rys. 3. Wykresy zasięgu strefy ściskaia betou w fukcji krzywizy dla róŝych stopi zbrojeia z pokazaie obszarów faz pracy przekroju porządzoo takŝe wykresy oetu zgiającego w fukcji skalowaej krzywizy k. Paraetre ziey a wykresach jest stopień zbrojeia przekroju ρ. Na rys. 4 wykresy ( k pokazao dla charakterystyczych stopi zbrojeia, jak rówieŝ wybraych stopi zbrojeia. Na rysuku ty pokazao takŝe obszary obowiązywaia rozwiązań i ich graice dla rozpatrywaych faz pracy przekroju.

10 348 Aleksader WED, aria WŁODAK Na rys. 5 pokazao wykresy charakterystyczych oetów i krzywiz w fukcji stopia zbrojeia. W przypadku wykresów oetów większość wykresów zbliŝoa jest do paraboli określoej zaleŝością (9, czyli ośości graiczej. Wyjątkie jest wykres I ( ρ day zaleŝością (3, co ozacza, Ŝe uplastyczieie betou przy wysokich stopiach zbrojeia jest krytyczy paraetre do osiągięcia wysokiej ośości przekroju. W przypadku wykresów krzywiz oŝey prześledzić tzw. ciągliwość przekroju, określoą jako zdolość do osiągięcia wysokich wartości krzywizy w fazie osiągięcia określoych odkształceń w przekroju belki. wykresów widać, Ŝe stosowaie wysokich stopi zbrojeia w zaczy zakresie redukuje ciągliwość w chwili osiągięcia ośości graiczej. uporządkowaia krzywych wyika, Ŝe dla przekrojów oco zbrojoych krytyczyi odkształceiai są kolejo:, i U, czyli iiu określa ciągliwość betou. ygalizuje to oŝliwość osiągięcia ośości graiczej w wyiku ziaŝdŝeia betou w krytyczy przekroju belki. e względu a ograiczeie (7 stopie zbrojeia przekraczające ρ.5 są iedopuszczale w praktyce projektowej. ax aksyaly zasięg ściskaia dla przyjętych daych wyosi około.6. U Rys. 4. Wykresy oetu w fukcji krzywizy dla charakterystyczych stopi zbrojeia z pokazaie obszarów faz pracy przekroju Rys. 5. Wykresy charakterystyczych oetów i krzywiz. Puktai zazaczoo wybrae stopie zbrojeia przy jedoczeseu osiągięciu charakterystyczych odkształceń

11 ANALIA GINANIA BELKI śelbetowej BIBLIOGRAFIA [] he W.F, Atsuta T.: Theory of bea-colus, Vol.: I-plae behavior ad desig, New ork, cgraw-hill 976. [] Gawęcki A.: echaika ateriałów i kostrukcji prętowych, Pozań, Wyd. Polit. Pozańskiej 998. [3] zersze., zwed A., Li V..: Flexural respose of reiforced bea with high ductility cocrete aterial, Proc. of Iter. yp. o Brittle atrix oposites 8, A.. Bradt, V.. Li, I.H. arshall, eds., TUREK RI ad Woodhead Publishig, Warsaw, 6, pp