Metoda relaksacji dynamicznej w analizie zginanych elementów żelbetowych

Transkrypt

1 Bi u l e t y WAT Vo l. LXIV, Nr 4, 2015 Metoda relaksacji dyamiczej w aalizie zgiaych elemetów żelbetowych Aa Szcześiak, Adam Stolarski Wojskowa Akademia Techicza, Wydział Iżyierii Lądowej i Geodezji, Warszawa, ul. ge. S. Kaliskiego 2, aa.szczesiak@wat.edu.pl, astolarski@wat.edu.pl Streszczeie. W pracy przedstawioo metodę aalizy ieliiowego zachowaia elemetów żelbetowych poddaych działaiu krótkotrwałego obciążeia statyczego. Przeprowadzoo rozważaia w zakresie modelowaia procesów odkształcaia elemetu żelbetowego. Metodę aalizy wytężeia układu kostrukcyjego opracowao z wykorzystaiem metody różic skończoych. Do rozwiązaia układów ieliiowych rówań rówowagi zastosowao metodę relaksacji dyamiczej, która po wprowadzeiu tłumieia krytyczego pozwala a opis statyczego zachowaia elemetu kostrukcyjego. W celu zwiększeia skuteczości metody w zakresie aalizy pokrytyczej, w procedurze obliczeiowej uwzględioo parametr długości łuku a ścieżce rówowagi. Słowa kluczowe: elemety żelbetowe, ieliiowość fizycza, ieliiowość geometrycza, metoda relaksacji dyamiczej, metoda długości łuku DOI: / Wstęp Celem pracy jest opracowaie modelu obliczeiowego zgiaych elemetów żelbetowych, który umożliwi badaie zachowaia elemetu od stau czysto sprężystego, przez sta sprężysto-plastyczy, do pełego uplastyczieia, osłabieia i ziszczeia przekroju. Uzyskaie rozwiązaia wymaga przeprowadzeia rozważań modelowaia procesów odkształceia płaskiego, prętowego elemetu kostrukcyjego oraz opracowaia rozwiązań umeryczych. Aaliza elemetu kostrukcyjego obejmuje opis zachowaia zgiaego elemetu żelbetowego, modelowaego jako ustrój prętowy, obciążoego statyczie.

2 224 A. Szcześiak, A. Stolarski Podstawą teoretyczego modelowaia zachowaia elemetu kostrukcyjego są rówaia umiarkowaie dużych przemieszczeń ustroju prętowego z uwzględieiem wpływu zmia kąta obrotu przekroju poprzeczego (krzywizy) i odkształceń postaciowych. Metoda aalizy wytężeia układu kostrukcyjego opracowaa została z wykorzystaiem metody różic skończoych. Do rozwiązaia układów ieliiowych rówań rówowagi zastosowaa została metoda relaksacji dyamiczej. W tej metodzie rozwiązaie zagadieia sprowadza się do aalizy procesu pseudodyamiczego z uwzględieiem tłumieia krytyczego jako ruchu aperiodyczego dążącego do położeia rówowagi pod wpływem działającego obciążeia. Rozwiązaie uzyskuje się w procesie iteracyjym utożsamiaym z rekurecyjym procesem obliczeiowym w kolejych krokach pseudoczasu. Metoda relaksacji dyamiczej stosowaa jest do aalizy zagadień o dużej ieliiowości. W celu zwiększeia efektywości metody w zakresie pokrytyczym do procedury umeryczej wprowadzoy został parametr długości łuku a ścieżce rówowagi. Takie podejście jest określae jako metoda długości łuku. Metoda ta a drodze iteracji pozwala a jedoczese wyzaczeie poszukiwaych przemieszczeń i parametru obciążeia poprzez śledzeie ścieżki rówowagi posiadającej lokale pukty graicze. Kocepcja metody długości łuku opisaa została w pracy Riksa [7], a jej dalsze modyfikacje prezetowae są m.i. w pracach Ramma [6], Crisfielda [3], Schweizrehofa i Wriggersa [8]. Praktycze zastosowaie metody relaksacji dyamiczej w połączeiu z metodą długości łuku w aalizie kostrukcji prezetowae jest w pracach Remesha i Krishamoorthy [5], Pasqualio i Estefe [4]. Przy czym rozwiązaia te ie dotyczą aalizy zgiaych elemetów żelbetowych w zakresie iesprężystym. Na podstawie opracowaej metody aalizy wytężeia zgiaych elemetów żelbetowych sporządzoy zostaie ogóly algorytm obliczeiowy, który astępie posłuży do przygotowaia procedury umeryczej w języku programowaia Fortra do obliczaia odkształceń, aprężeń, sił wewętrzych i przemieszczeń. W kolejym etapie pracy przedstawioe zostaą szczegółowe zastosowaia opracowaej metody w aalizie belek żelbetowych w porówaiu do dostępych w piśmieictwie wyików doświadczalych i iych rozwiązań teoretyczych Rówaia ruchu 2. Układ rówań podstawowych Aaliza obejmuje pracę zgiaych elemetów żelbetowych, modelowaych jako płaski ustrój prętowy z uwzględieiem jego zakrzywieia początkowego. Ustrój prętowy obciążoy jest statyczie, krótkotrwałym obciążeiem ierówomierie

3 Metoda relaksacji dyamiczej w aalizie zgiaych elemetów żelbetowych 225 rozłożoym i siłami skupioymi, działającymi w płaszczyźie prostopadłej do osi podłużej elemetu obliczeiowego. W rozpatrywaym elemecie żelbetowym uwzględiamy charakterystycze uwarukowaia geometrycze, tj. zmiey rozkład przekroju betou i stali zbrojeiowej, zakrzywieie początkowe oraz waruki brzegowe wyikające ze sposobu podparcia i działającego obciążeia zewętrzego. Dla elemetu kostrukcyjego rozpatrywaego jako żelbetowy elemet prętowy, charakteryzującego się masą jedostkową, jedostkowym masowym mometem bezwładości j, jedostkowymi współczyikami tłumieia c dla przemieszczeń liiowych i c f dla przemieszczeń kątowych, wyprowadzoe zostały rówaia rówowagi dyamiczej. W globalym kartezjańskim układzie współrzędych { xu ( ), zw ( )}, dla układu sił wewętrzych poprzeczych Q i mometów zgiających M oraz obciążeia zewętrzego {p z }, sił bezwładości poprzeczej i obrotowej { w, j } działających a odkształcoy elemet o długości ds i kącie achyleia, różiczkowe rówaia rówowagi mają postać: ( Qcos ) pz ( s) w cw 0 s + + M Q j c f 0. s (1) 2.2. Związki geometrycze Uwzględiamy liiowe związki geometrycze, które odoszą się do zmiay średiego kąta obrotu przekroju poprzeczego (s) oraz średiego kąta odkształceia postaciowego (s). d ( s) ds 0 ( s) +Φ, Φ, (2) średi kąt obrotu przekroju poprzeczego; kąt obrotu osi środkowej pręta.

4 226 A. Szcześiak, A. Stolarski 2.3. Rówaia rówowagi wewętrzej w przekroju poprzeczym Model obliczeiowy przekroju poprzeczego elemetu prętowego powstaje w wyiku dyskretyzacji, czyli podziału przekroju a warstwy betoowe o grubości h oraz wyróżieia dwu warstw stalowych o przekrojach A s1 i A s2 (rys. 1). Zastosowaa dyskretyzacja przekroju poprzeczego została opracowaa zgodie z iterpretacją opisaą przez Bąka i Stolarskiego w pracy [2]. Praca modelu obliczeiowego przekroju jest uwarukowaa modelami odkształceia betou i stali oraz hipotezą kiematyczą. Podstawą tej hipotezy jest założeie płaskiego przekroju, który ie jest prostopadły do odkształcoej osi środkowej elemetu, tj. osi przechodzącej przez połowę wysokości przekroju poprzeczego. Hipoteza kiematycza określa sta odkształceia wszystkich warstw przekroju oraz zasadę współpracy warstw aktywych, tj. warstw stalowych i warstw betoowych przeoszących aprężeia. W zależości od zdolości odkształceiowych betou a ściskaie i rozciągaie wyróżiamy warstwy betou przeoszące aprężeia oraz warstwy ieprzeoszące aprężeń, zarysowae (przy rozciągaiu) lub zmiażdżoe (przy ściskaiu). Warstwy zarysowae mogą po zamkięciu rysy poowie przeosić aprężeie ściskające, a warstwy zmiażdżoe stają się trwale warstwami bierymi i ie mogą przeosić żadych aprężeń. Sta odkształceia w poszczególych warstwach przekroju poprzeczego dla daej chwili t t 1 + t jest określoy astępująco: ( ) 11 r zr, zr zk, zs 1, zs2, k 1,2,..., K 1 12r. 2 Dla zaej zmiay średiego kąta obrotu przekroju poprzeczego, oraz średiego kąta odkształceia postaciowego wartości siły poprzeczej Q oraz mometu zgiającego M wyzacza się z rówań rówowagi przekroju poprzeczego: (3) K N 11, k Ack, + 11, s1 As , s2 As2 0 k 1 M A z A z A z K Q 12, k Ack, + 12, s1 As , s2 As2, k 1 K 11, k ck, k + 11, s1 s1 s1 + 11, s2 s2 s2 k 1 A zk, pole powierzchi k-tej warstwy przekroju betoowego w -tym kroku obciążeia; A s1,2 pole powierzchi rozciągaej/ściskaej stali zbrojeiowej. (4)

5 Metoda relaksacji dyamiczej w aalizie zgiaych elemetów żelbetowych 227 Rys. 1. Model przekroju poprzeczego

6 228 A. Szcześiak, A. Stolarski Naprężeia 11 i 12 określae są według przyjętego modelu betou, atomiast aprężeia 11, s1,2 i 12, s2 a podstawie przyjętego modelu stali i ustalae w płaskim zredukowaym staie aprężeia ściskaie/rozciągaie ze ściaiem. Przykładowe modele materiałów kostrukcyjych dla betou i stali przedstawioe zostały w pracach Szcześiak i Stolarskiego [11, 12] i w pracy Stolarskiego [10] Dyskretyzacja różicowa elemetu prętowego Rówaia rówowagi (1) oraz związki geometrycze (2) wraz z modelem przekroju poprzeczego zdefiiowaym rówaiami (3) i (4), uzupełioe modelami odkształceia materiałów, staowią sformułowaie problemu w ramach techiczej teorii kostrukcji prętowych. Układ rówań podstawowych przedstawioy został w formie różicowej a podstawie przyjętej dyskretyzacji modelu obliczeiowego. Dyskretyzacja ustrojów prętowych polega a dokoaiu podziału osi środkowej prętów węzłami o współrzędych (x, z) i, i 1, 2,..., i 1, ii, + 1,..., I(rys. 2). W przyjętym modelu założoo podział elemetu a węzły wewętrze i brzegowe. Spośród węzłów wewętrzych wyróżioo węzły główe (ieparzyste) związae z podstawowymi puktami podziału oraz węzły pośredie (parzyste) związae z odcikami łączącymi podstawowe pukty podziału. Węzły główe są przekrojami, w których w sposób dokłady obliczae są krzywizy i momety zgiające, atomiast wartości sił poprzeczych wyzaczae są a podstawie uśredioego kąta odkształceia postaciowego wyzaczoego dla sąsiedich odcików podziału. Z kolei w węzłach pośredich utożsamiaych z odcikami podziału w sposób dokłady obliczay jest kąt odkształceia postaciowego oraz siły poprzecze, atomiast wartości mometów zgiających wyzaczae są a podstawie uśredioych krzywiz z sąsiedich węzłów główych. Na tej podstawie rówaia rówowagi (1) moża zapisać w węzłach podziału przestrzeego i 3, I 2,2 w postaci różicowej: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, Qi1cos i1 + Qi0cos i0 Pz si + m si wi + C si w i 0 Mi+ 2 Mi Qi1 si1 J si1 i1 Cf si1 i1 i1 i + 1, i0 i 1 ozaczeie odcików wewętrzego podziału przestrzeego; Q i1 siła poprzecza w odciku podziału i1 i + 1; M i momet zgiający w węźle główym i. (5)

7 Metoda relaksacji dyamiczej w aalizie zgiaych elemetów żelbetowych 229 Rys. 2. Dyskretyzacja różicowa modelu obliczeiowego prętowego elemetu kostrukcyjego

8 230 A. Szcześiak, A. Stolarski Składowe długości odcika podziału i1 i + 1 są określoe astępująco: xi1 xi+ 1 xi zi1 zi+ 1 zi s x + z 2 2. i1 i1 i1 (6) Fukcje kątów obrotu odcika podziału i1 i + 1 mają postać: z si i1 s x i1 i1 i1 cos i1. si1 Składową obciążeia i-tego węzła opisuje rówaie: (7) x + x xi 2 i1 i 0. ( ) ( ) i, P s p s x (8) z i z i Masa skupioa węzła główego i jest określoa astępująco: ( ) ( ), ms s s (9) i i i si1 + si s 0 i, ( si ) cs Acs jedostkowa masa elemetu 2 żelbetowego o przekroju poprzeczym A cs ; cs gęstość właściwa żelbetu. Masowy momet bezwładości odcika podziału i1 i + 1 wyosi: j( s) ( ) ( ) J s j s s (10), i1 i1 i1 o i 1 cs Jcs jedostkowy masowy momet bezwładości elemetu żelbetowego charakteryzujący się środkowym (główym) mometem bezwładości o obrotowej J. cs Współczyik tłumieia dla przemieszczeń liiowych w węźle główym i określa zależość: ( ) ( ), Cs cs s (11) i i i

9 Metoda relaksacji dyamiczej w aalizie zgiaych elemetów żelbetowych 231 a współczyik tłumieia dla przemieszczeń kątowych dla odcika podziału i1 i + 1 wyosi: ( ) ( ) C s c s s (12), f i1 f i1 i1 c(s i ) (s i ) jedostkowy współczyik tłumieia dla przemieszczeń liiowych elemetu żelbetowego charakteryzującego się częstotliwością i okresem drgań liiowych; 4 2 o, cf ( si1) f js ( i1) jedostkowy współczyik T tłumieia dla przemieszczeń kątowych elemetu żelbetowego charakteryzującego się częstotliwością i okresem drgań obrotowych 4 2. f of T f Jeżeli astępujące wartości: 4 kr 2 o, kr Tkr 4 f, kr 2 of, kr T f, kr (13) ozaczają odpowiedio krytycze wartości częstotliwości i okresu drgań liiowych oraz krytycze wartości częstotliwości i okresu drgań obrotowych określoe dla ietłumioych, sprężystych drgań elemetów żelbetowych, to astępujące ierówości określają: < kr i f < f,kr ruch drgający tłumioy, kr i f f,kr mootoiczy ruch tłumioy. Wprowadzeie dyskretyzacji osi środkowej pozwala rówież a różicowe sformułowaie związków geometryczych (2) w postaci: dla węzłów główych podziału i 3, I 2,2 ( si ) si ( si ) i +Φi, dla odcików podziału i1 2, I 1,2 i1 i0 (14)

10 232 A. Szcześiak, A. Stolarski ( s ) ( s ) + ( si1) 2 ( si1) +Φ i1 i1, i11 + i11 (15) i średia wartość kąta obrotu przekroju poprzeczego a odciku (i, i + 1): i1 + i 0 i, (16) 2 Φ średia wartość kąta obrotu osi środkowej a odciku (i, i + 1): i Φ +Φ 2 i1 i Φ 0 i. (17) Kąty obrotu Φ i1 występujące w zależości (17) dla odcika (i, i + 1) z uwzględieiem (2) 3 moża wyzaczyć w astępujący sposób: ( ) Φ si si cos cos si. (18) i1 i1 i1 i1 i1 i1 i1 i1 i1 Dyskretyzacja osi środkowej modelu prętowego umożliwia przeprowadzeie aalizy staów przemieszczeia, odkształceia i aprężeia przekrojów poprzeczych oraz określeie przestrzeej zmieości sztywości przekrojów Waruki brzegowe Waruki brzegowe sformułowao przez wprowadzeie tzw. węzłów podwójych składających się z węzłów fikcyjych i b1 1 lub i bi I oraz pokrywających się z imi węzłów rzeczywistych i r1 i b1 + 2 lub i ri i bi 2 (rys. 3). W węzłach tych ie występuje różica przemieszczeń i mają oe te same współrzęde podczas deformacji kostrukcji. Rys. 3. Waruki brzegowe modelu obliczeiowego

11 Metoda relaksacji dyamiczej w aalizie zgiaych elemetów żelbetowych 233 ( x ) ( ) ( ) 0 i zi xi zi xi zi,,,. (19) r r b b r r Węzły te tworzą fikcyje odciki brzegowe i b1 1 i b1 + 1 lub i bi 0 i bi 1 o zerowej długości, dla których, w zależości od sposobu zamocowaia brzegu, przyjmujemy astępujące waruki brzegowe: Φ k ib11 ir11 k Φ ib11 ir11 lub Φ k ibi 0 iri 0 k Φ ibi 0 iri 0 (20) k 0 dla brzegu utwierdzoego; k 1 dla brzegu przegubowego. Wykorzystując podae zależości, możemy wyzaczyć średi kąt obrotu przekroju poprzeczego i średie odkształceia postaciowe w rzeczywistym węźle brzegowym. 3. Metoda rozwiązaia układu rówań rówowagi 3.1. Istota metody rozwiązaia Układ rówań (5) opisujący problem dyamiczego zachowaia iesprężystego elemetu żelbetowego rozwiązao przy zastosowaiu tłumieia krytyczego c max(c i,kr ) dla przemieszczeń liiowych i c f max(c fi,kr ) dla przemieszczeń kątowych, co umożliwia w przejściu graiczym opis zagadieia statyczego. Taka metoda rozwiązaia jest określaa jako metoda relaksacji dyamiczej. W celu zwiększeia efektywości rozwiązaia w zakresie aalizy pokrytyczej w rozwiązaiu układu ieliiowych rówań rówowagi dyamiczej uwzględioa została metoda śledzeia ścieżki rozwiązaia dla wielu zmieych [13, 14]. Ogóla idea metody polega a włączeiu do aalizy rówań ruchu dodatkowego rówaia więzów łączącego parametr obciążeia i wektor przyrostów przemieszczeia z przyrostem długości łuku a ścieżce rozwiązaia Rozwiązaie umerycze rówań ruchu Rozwiązaie układu rówań (5) uzyskao metodą umeryczą z wykorzystaiem dyskretyzacji względem czasu. W tym celu zastosowao bezpośredią metodę różicową względem czasu. Metoda ta polega a aproksymacji rozwiązaia dla przemieszczeń liiowych w(x i,t ) w każdym węźle podziału oraz przemieszczeń kątowych (x i,t ), w każdym odciku podziału osi środkowej modelu prętowego, zgodie z astępującym schematem różicowym, w kolejych chwilach czasowych t 1 t t, t t, t +1 t + t:

12 234 A. Szcześiak, A. Stolarski 1 wi wi + wi 1 i i + i. (21) Schematy różicowe aproksymujące prędkości przemieszczeń i przyspieszeia w układzie rówań (5) przyjęto aalogiczie do (21). W rówaiach (21) przyrosty odpowiedich przemieszczeń są określoe a podstawie rówań (5) 1 wi bi wi + ai[ Qi1cos i1 Qi0cos i0 + Pz( si)] 1 i1 bfi1 i1 + afi1( Mi+ 2 Mi Qi1 si1), (22) 2 mi t bi i ai m + C t m + C t i i i i 2 ji t oraz bfi i afi. j + C t j + C t i fi i fi Waruki początkowe dla kroku t 0 0 przyjęto w postaci w 0, 0. (23) 1 1 i i Warukiem zakończeia iteracyjego rozwiązaia rówaia ruchu tłumioego jest osiągięcie zbieżości przemieszczeń w kolejych chwilach czasowych: t w. (24) i Krok czasowy t wyzaczoy został z uwagi a stabilość metody umeryczego całkowaia rówaia różicowego i ma postać [1, 2, 9] w t mi{ t, t }, (25) r ( b) ( f ) 1 2 ( si ) t( b) si mi krytyczy krok czasowy dla problemu 2 Bcs sprężystego zgiaia; cs t( f ) si mi krytyczy krok czasowy dla problemu propagacji c sprężystych fal postaciowych; r 0,2 0,9 współczyik pewości dla kroku czasowego ze względu a ieliiowość zadaia; (s i ) cs A cs masa jedostkowa elemetu;

13 Metoda relaksacji dyamiczej w aalizie zgiaych elemetów żelbetowych 235 cs masa właściwa żelbetu; B cs E c J cs sztywość zgiaia przekroju żelbetowego w zakresie sprężystym; E c moduł odkształceia podłużego; c moduł odkształceia poprzeczego; J cs momet bezwładości iezarysowaego (sprężystego) przekroju żelbetowego; s max ajwiększy w całym elemecie żelbetowym całkowity stopień zbrojeia przekroju Rozwiązaie rówaia więzów Rówaie więzów przyjęto w astępującej postaci [3, 14] f T 2 2 (, ) m m + m l 0, q q q (26) l przyjęty przyrost (parametr) długości łuku a ścieżce rozwiązaia; w q wektor poszukiwaych przemieszczeń; m m przyrost aktualego parametru obciążeia ; q m q q m przyrost aktualego wektora iewiadomych przemieszczeń q względem ostatich zbieżych wartości parametru obciążeia m oraz wektora przemieszczeń q m uzyskaych z założoą dokładością w poprzedim kroku obciążeia m. Zapropoowao wyzaczeie parametru obciążeia przez bezpośredie rozwiązaie rówaia więzów (26). Sposób te wymaga badaia zaku wyróżika T g q l q q oraz określeia rozwiązań ( ) 2 m m 2 T 1,2 m ± l m m, q q jeżeli g(q) 0, m q m q m l jeżeli g(q) < 0, T 2 1,2 ±, a astępie dokoaia wyboru rozwiązaia według kryterium ajmiejszej odległości względem rozwiązaia uzyskaego w kroku obciążeia m 1, czyli ajmiejszego kąta (lub ajwiększego kosiusa tego kąta) pomiędzy rozwiązaiem w aktualym kroku obciążeia m a rozwiązaiem w poprzedim kroku obciążeia m 1: qm,1 qm 1 qm,2 qm 1 mi( 1, 2) mi arccos,arccos. 2 2 l l (27)

14 236 A. Szcześiak, A. Stolarski Z aalizy waruków rozwiązaia rówaia więzów (26) wyika, że kryterium to spełia rozwiązaie zapisae w postaci 2 2 ( T ) ( T m + sig l m m abs l m m). q q q q (28) 3.4. Ideowy algorytm rozwiązaia rozszerzoego układu rówań Rówaie więzów (26) wraz z układem rówań ruchu (22) tworzą rozszerzoy układ rówań, który jest rozwiązyway iteracyjie w każdej chwili czasu t t. Rozszerzoy układ rówań umożliwia wyzaczeie ie tylko poszukiwaego wektora przemieszczeń q, lecz także parametru obciążeia a ieliiowej ścieżce rówowagi zawierającej lokale pukty graicze. Rozwiązaie rozszerzoego układu rówań jest dwuetapowe i polega a wyzaczeiu: (I etap predykcji) parametru obciążeia w zależości od wartości przemieszczeń z poprzediego kroku iteracyjego a podstawie rówaia więzów (26); (II etap korekcji) owych wartości przemieszczeń w astępym kroku iteracyjym z układu rówań ruchu (22). Układ rówań (22) moża przedstawić w postaci: i i1 Gq (, ) q q q 0, (29) G w q wektor poszukiwaych przyrostów przemieszczeń; ap i z( si) q P wektor składowych przyrostów przemieszczeń 0 od całkowitego obciążeia; P 1 [ 1cos 1 0cos 0] bi wi + ai Qi i Qi i 1 qg 1 + q P wektor bfi i + afi ( Mi+ 2 Mi Qi1 si 1) składowych przyrostów przemieszczeń dla parametru obciążeia 1 z poprzediego kroku czasowego. Schemat iteracyjego rozwiązaia rozszerzoego układu rówań (29) Gq (, ) 0 oraz rówaia więzów (26) f(q, ) 0 przedstawioo a rysuku 4. Rozwiązaie uzyskuje się po ()-tej iteracji utożsamiaej z krokiem czasowym 1 1 +, q q + q. (30)

15 Metoda relaksacji dyamiczej w aalizie zgiaych elemetów żelbetowych 237 Rys. 4. Schemat iteracyjego rozwiązaia rozszerzoego układu rówań Proces iteracyjego poprawiaia wyiku kończy się w chwili osiągięcia żądaej dokładości G rozwiązaia Gq (, ) G. (31) Na podstawie doświadczeń umeryczych ustaloo, że wystarczające jest 3 6 przyjęcie dokładości rozwiązaia w zakresie G (0,1 ; 0,1 ). W chwili osiągięcia zbieżego rozwiązaia ustala się parametr obciążeia oraz wektor przemieszczeń dla astępego kroku obciążeia t t, m+ 1, q q m Zakończeie W pracy przedstawioo sformułowaie metody aalizy zachowaia zgiaych elemetów żelbetowych poddaych działaiu krótkotrwałych obciążeń statyczych. Metodę aalizy układu kostrukcyjego opracowao w oparciu o założeia metody różic skończoych. Na podstawie przeprowadzoej dyskretyzacji osi środkowej elemetu kostrukcyjego, w postaci różicowej zapisao rówaia rówowagi elemetu oraz związki geometrycze. Dla dyskretyzowaego modelu przekroju poprzeczego określoo zasady współpracy czyych betoowych i stalowych warstw przekroju poprzeczego. Rozważao proces dyamiczy, który po wprowadzeiu tłumieia krytyczego pozwala a opis zagadieia statyczego. Taka procedura zastosowaa do rozwiązaia

16 238 A. Szcześiak, A. Stolarski układu ieliiowych rówań rówowagi jest określaa jako metoda relaksacji dyamiczej (MRD). MRD umożliwia rekurecyje rozwiązaie układu rówań ruchu w kolejych chwilach pseudoczasu w każdym węźle podziału przestrzeego, bez koieczości rozwiązywaia układu algebraiczych rówań rówowagi elemetu. Metoda relaksacji dyamiczej została rozbudowaa poprzez włączeie do układu rówań rówowagi dodatkowego rówaia więzów, zgodie z założeiami metody długości łuku (MRD + DŁ). Taka wersja metody umożliwia rozwiązaie układu ieliiowych rówań rówowagi w zakresie pokrytyczym. Podstawą opisu zachowaia kostrukcji są rówaia teorii umiarkowaie dużych przemieszczeń ustroju prętowego, przy założeiu małych odkształceń. Założeie to moża uzać za prawidłowe do opisu staów odkształceia i aprężeia w warstwach betoowych i stalowych w zwykłych elemetach żelbetowych o typowych smukłościach. Metoda aalizy wytężeia kostrukcji będzie podstawą opracowaia własych procedur umeryczych i programów obliczeiowych, które posłużą do przeprowadzeia badań umeryczych zgiaych elemetów żelbetowych. W tym celu układ rówań podstawowych metody musi być uzupełioy związkami fizyczymi dla betou i stali zbrojeiowej. Praca powstała w wyiku zadań badawczych zrealizowaych w ramach pracy badawczej statutowej r 855, realizowaej w Wydziale Iżyierii Lądowej i Geodezji Wojskowej Akademii Techiczej im. Jarosława Dąbrowskiego. Artykuł wpłyął do redakcji r. Zweryfikowaą wersję po recezjach otrzymao r. LITERATURA [1] Bąk G., Bezpośredia metoda różicowa w dyamice kostrukcji sprężystych, Mechaika i Komputer, t. 5, 1983, [2] Bąk G., Stolarski A., Nieliiowa aaliza belek żelbetowych poddaych działaiu obciążeń impulsowych, Cz. I i II, PAN, IPPT, Rozprawy Iżyierskie, vol. 36, r 3, Warszawa, 1988, , [3] Crisfield M.A., A fast icremetal/iterative solutio procedure that hadles sap-through, Computers ad Structures, 13, 1981, [4] Pasqualio I.P., Estefe S.F., A oliear aalysis of the buckle propagatio problem i deepwater pipelies, Iteratioal Joural of Solids ad Structures, vol. 38, 2001, [5] Ramesh G., Krishamoorthy C.S., Post-buckig aalysis of structures by dyamic relaxatio, Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig, vol. 36, 1993, [6] Ramm E., Strategies for tracig the oliear respose ear limit poits, [i:] Wuderlich W., Stei E. ad Bathe K.J., (editors), Noliear Fiite Elemet Aalysis i Structural Mechaics, Spriger, Berli, Heidelberg, New York, [7] Riks E., The applicatio of Newtos method to the problem of elastic stability, Joural of Applied Mechaics, 39, 1972,

17 Metoda relaksacji dyamiczej w aalizie zgiaych elemetów żelbetowych 239 [8] Schweizerhof K., Wriggers P., Cosistet liearizatio for path fallowig methods i oliear FE-aalysis, Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, 59, 1986, [9] Stolarski A., Model dyamiczy prętowych ustrojów żelbetowych, WAT 153, Warszawa, [10] Stolarski A., Model dyamiczego odkształceia betou, AIL, 37, 3-4, 1991, [11] Szcześiak A., Stolarski A., Aaliza wytężeia słupów żelbetowych metodą relaksacji dyamiczej, Biul. WAT, 63, 2, 2014, [12] Szcześiak A., Stolarski A., Aaliza wytężeia belek żelbetowych metodą relaksacji dyamiczej, Iżyieria i Budowictwo, 5, Warszawa, 2012, [13] Waszczyszy Z., Cichoń Cz., Radwańska M., Metoda elemetów skończoych w stateczości kostrukcji, Arkady, Warszawa, [14] Wriggers P., Noliear Fiite Elemet Methods, Spriger, A. SZCZEŚNIAK, A. STOLARSKI Dyamic relaxatio method i aalysis of reiforced cocrete bet elemets Abstract. The paper presets a method for the aalysis of oliear behaviour of reiforced cocrete bet elemets subjected to short-term static load. The cosideratios i the rage of modellig of deformatio processes of reiforced cocrete elemet were carried out. The method of structure effort aalysis was developed usig the fiite differece method. The Dyamic Relaxatio Method, which after itroductio of critical dampig allows for descriptio of the static behaviour of a structural elemet, was used to solve the system of oliear equilibrium equatios. I order to icrease the method effectiveess i the rage of the post-critical aalysis, the Arc Legth Parameter o the equilibrium path was itroduced ito the computatioal procedure. Keywords: reiforced cocrete elemets, physical oliearity, geometrical oliearity, dyamic relaxatio method, arc-legth method DOI: /

18