Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012

Transkrypt

1 Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY

2 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad Odp. D A C A D C C D C A A D C D Zadaie. ( pkt) Rozwiąż ierówość Schemat oceiaia do zadań otwartych 4 0. Rozwiązaie Rozwiązaie ierówości kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap: Zajdujemy pierwiastki trójmiau kwadratowego 4 4 oraz 3 stosujemy wzory Viète a: oraz i stąd 4 oraz 3 podajemy je bezpośredio (eplicite lub zapisując postać iloczyową trójmiau lub zazaczając a wykresie) 4, 3 lub 43 0 lub y 3 4 Drugi etap rozwiązaia: Podajemy zbiór rozwiązań ierówości 3, 4.

3 Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązaia i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości, p. o obliczy lub poda pierwiastki trójmiau kwadratowego 4, 3 i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości o zazaczy a wykresie miejsca zerowe fukcji f 4 i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości o rozłoży trójmia kwadratowy a czyiki liiowe, p. 43 i a tym poprzestaie lub błędie rozwiąże ierówość realizując pierwszy etap popełi błąd (ale otrzyma dwa róże pierwiastki) i kosekwetie do tego rozwiąże ierówość, p. o popełi błąd rachukowy przy obliczaiu wyróżika lub pierwiastków trójmiau kwadratowego i kosekwetie do popełioego błędu rozwiąże ierówość o błędie zapisze rówaia wyikające ze wzorów Viète a: i i kosekwetie do tego rozwiąże ierówość Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań ierówości : 3, 4 lub 3, 4 lub 3 4 sporządzi ilustrację geometryczą (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań ierówości w postaci 3, 4 poda zbiór rozwiązań ierówości w postaci graficzej z poprawie zazaczoymi końcami przedziałów 3 4 Uwagi. Jeżeli zdający poprawie obliczy pierwiastki trójmiau 3 i 4 i zapisze 3, 4, popełiając tym samym błąd przy przepisywaiu jedego z pierwiastków, to za takie rozwiązaie otrzymuje pukty.. Jeżeli błąd zdającego w obliczeiu pierwiastków trójmiau ie wyika z wykoywaych przez iego czyości (zdający rozwiązuje swoje zadaie ), to otrzymuje 0 puktów za całe zadaie. 3

4 Zadaie. ( pkt) Fukcja f jest określoa wzorem Oblicz współczyik b. f b 9 dla 9. Poadto wiemy, że f 4. Rozwiązaie Waruek f 4 zapisujemy w postaci rówaia z iewiadomą b: Rozwiązujemy to rówaie i obliczamy współczyik b: b 3. 4 b. 4 9 Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie zapisze rówaie z iewiadomą b, p. 4 b. 4 9 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczyik b 3. Zadaie 3. ( pkt) Podstawy trapezu prostokątego mają długości 6 i 0 oraz tages kąta ostrego jest rówy 3. Oblicz pole tego trapezu. 6 h 6 4 Rozwiązaie Obliczamy wysokość trapezu h, korzystając z faktu, że tages kąta ostrego jest rówy 3: h 3, stąd h. 4 Zatem pole trapezu jest rówe Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy wysokość trapezu h i a tym poprzestaie lub błędie obliczy pole, obliczy wysokość trapezu z błędem rachukowym i kosekwetie do popełioego błędu obliczy pole trapezu. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie obliczy pole trapezu P 96. 4

5 Zadaie 4. ( pkt) Trójkąt AC przedstawioy a poiższym rysuku jest rówoboczy, a pukty, C, N są współliiowe. Na boku AC wybrao pukt M tak, że AM CN. Wykaż, że M MN. N C M A I sposób rozwiązaia N C M D A Rysujemy odciek MD rówoległy do odcika A. Uzasadiamy, że trójkąty DM i MCN są przystające a podstawie cechy bkb: D CN, bo D AM MD CM, bo trójkąt MDC jest rówoboczy DM 0 NCM. Zatem M MN.

6 Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy apisze, że trójkąty DM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wiosek, że M MN. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, że trójkąty DM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wiosek, że M MN. Uwaga Zdający może też dorysować odciek MD C i aalogiczie pokazać, że trójkąty MD i MNC są przystające. II sposób rozwiązaia Z twierdzeia cosiusów dla trójkąta AM obliczamy M AM A AM A cos 60 AM A AM A AM A AM A. Z twierdzeia cosiusów dla trójkąta MCN obliczamy MN MC CN MC CN cos0 MC CN MC CN MC CN MC CN Poieważ AM CN i MC A AM, więc MN A AM AM A AM AM M : MN : A AM A AM AM A AM AM Zatem M MN, czyli M MN Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia A AM A AM Zdający otrzymuje... pkt gdy korzystając z twierdzeia cosiusów obliczy kwadraty długości odcików M i MN. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, że M MN. 6

7 Zadaie. ( pkt) Liczby 7,, 3 są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometryczego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu. I sposób rozwiązaia Korzystając ze wzoru a trzeci wyraz ciągu geometryczego obliczamy q iloraz ciągu: 37 q q 9 q lub 3 q. 3 Poieważ ciąg jest malejący, to q. 3 Obliczamy koleje wyrazy ciągu: rówy 8. II sposób rozwiązaia 7,9,3,,,,,, zatem ósmy wyraz ciągu jest Z własości ciągu geometryczego wyika, że 7 3. Stąd 8, czyli 9 lub 9. Poieważ ciąg geometryczy jest malejący, to 9, a iloraz tego ciągu q jest rówy 3. Obliczamy koleje wyrazy ciągu: 7,9,3,,,,,, zatem ósmy wyraz ciągu jest rówy 8. Uwaga Zdający może obliczyć ósmy wyraz ciągu korzystając ze wzoru: a Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy q iloraz ciągu: q. 3 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy ósmy wyraz ciągu: 8. 7

8 Zadaie 6. ( pkt) Uzasadij, że dla każdej dodatiej liczby całkowitej liczba wielokrotością liczby jest Rozwiązaie Liczbę 3 3 przedstawiamy w postaci k, gdzie k 3 jest liczbą całkowitą. Zatem liczba 3 3 jest wielokrotością liczby 0. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze liczbę 3 3 w postaci 3 0 i ie uzasadi, że liczba jest podziela przez 0 Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełe rozumowaie, p.: przekształci liczbę 3 0 jest liczbą całkowitą przekształci liczbę 3 0 do postaci do postaci k, gdzie i zapisze, że liczbą całkowitą zapisze liczbę w postaci 3 0 i uzasadi, że jest podziela przez 0. Uwaga Jeśli zdający zapisuje kolejo: , i uzasadia, że 3 jest liczbą podzielą przez, to otrzymuje pukty. k 3 3 jest 8

9 Zadaie 7. ( pkt) Tabela przedstawia wyiki uzyskae a sprawdziaie przez ucziów klasy III. Ocey Liczba ucziów 6 9 Oblicz średią arytmetyczą i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce. Rozwiązaie Obliczamy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III: Obliczamy kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce: , 6 Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy lub obliczy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy obliczy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III z błędem rachukowym i kosekwetie do tego obliczy kwadrat odchyleia stadardowego. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy średią arytmetyczą i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce: odpowiedio 3 i,6. 9

10 Zadaie 8. ( pkt) Rzucamy dwa razy symetryczą sześcieą kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeia A polegającego a tym, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest o miejsza od liczby oczek w drugim rzucie. I sposób rozwiązaia jest zbiorem wszystkich par w którym 36. ab, takich, że ab,,,3,4,,6 Zdarzeiu A sprzyjają astępujące zdarzeia elemetare:,,,3,3,4, 4,,,6 Zatem A i stąd P A A 36.. Mamy model klasyczy, Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze, że 36 i,,,3,3,4, 4,,,6 A. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzeia A: P A. 36 II sposób rozwiązaia: metoda drzewa Rysujemy drzewo i pogrubiamy istote dla rozwiązaia zadaia gałęzie tego drzewa. Zapisujemy prawdopodobieństwa tylko a tych gałęziach Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzeia A: P A

11 Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy arysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa a jego gałęziach i wskaże a drzewie właściwe gałęzie (p. pogrubieie gałęzi lub zapisaie prawdopodobieństw tylko a istotych gałęziach) arysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa a jego gałęziach i ie wskazuje a drzewie odpowiedich gałęzi, ale z dalszych obliczeń moża wywioskować, że wybiera właściwe gałęzie Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzeia A: P A. 36 III sposób rozwiązaia: metoda tabeli Rysujemy tabelą i wybieramy zdarzeia elemetare sprzyjające zdarzeiu A. II kostka X X I kostka 3 X 4 X X 6 36 i A, zatem P A. 36 Schemat oceiaia III sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy arysuje tabelę i wypisze wszystkie zdarzeia sprzyjające lub zazaczy je w tabeli. Zdający otrzymuje... pkt gdy poda poprawą odpowiedź: P A. 36

12 Zadaie 9. (4 pkt) Wyzacz rówaie okręgu przechodzącego przez pukt, 8 układu współrzędych. Rozważ wszystkie przypadki. Rozwiązaie y A i styczego do obu osi 3 S=(R,R) 8 A=(,8) S=(r,r) 0 3 Poieważ okrąg jest styczy do obu osi układu współrzędych i przechodzi przez pukt A,8 leżący w I ćwiartce układu współrzędych, to jego środek rówież leży w I ćwiartce układu współrzędych. Stąd środek S tego okręgu ma współrzęde S r, r gdzie r jest promieiem tego okręgu. Rówaie okręgu ma zatem postać r yr r. Pukt A, 8 leży a tym okręgu, więc r 8 r r r,. Stąd otrzymujemy 8r6 0. Rozwiązaiami tego rówaia są liczby: r, r 3. To ozacza, że są dwa okręgi spełiające waruki zadaia o rówaiach: y i 3 y3 69. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Zapisaie współrzędych środka S szukaego okręgu w zależości od promieia r tego S r, r lub zapisaie, że środek okręgu leży a prostej o rówaiu y. okręgu: Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt Zapisaie rówaia kwadratowego z jedą iewiadomą: r 8r r czyli r 8r6 0.

13 Rozwiązaie zadaia do końca lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p. błędy rachukowe)... 3 pkt Zadaie rozwiązae do końca, ale w trakcie rozwiązaia popełiao błędy rachukowe. Rozwiązaie pełe... 4 pkt Zapisaie rówań obu okręgów: w postaci kaoiczej: y i 3 y3 69 lub w postaci ogólej: y 00y 0 i y 66y69 0. Uwagi. Jeżeli zdający zapisze rówaie jedego okręgu (ie wyprowadzając go), to otrzymuje pukt.. Jeżeli zdający zapisze rówaia obu okręgów (ie wyprowadzając ich), to otrzymuje pukty. Zadaie 30. ( pkt) Z dwóch miast A i, odległych od siebie o 8 kilometrów, wyruszyli aprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedą godzię wcześiej iż drugi z miasta. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaiu pierwszy turysta szedł do miasta jeszcze, godziy, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziy do miasta A. Uwaga W poiżej zamieszczoym schemacie używamy iewiadomych v A, v,, t ozaczających odpowiedio: prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty z miasta oraz drogę i czas do mometu spotkaia. Oczywiście iewiadome mogą być ozaczae w iy sposób. Nie wymagamy, by iewiadome były wyraźie opisae a początku rozwiązaia, o ile z postaci rówań jaso wyika ich zaczeie. Rozwiązaie Przyjmujemy ozaczeia, p.: v A, v,, t prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty z miasta oraz droga i czas do mometu spotkaia. Zapisujemy zależość między drogą, prędkością v A i czasem t dla jedego z turystów, p.: 8 va (prędkość do chwili spotkaia) i va (prędkość od chwili spotkaia). t, Zapisujemy zależość między drogą, prędkością v i czasem t dla drugiego z turysty (wychodzącego z miasta ), p.: (prędkość od chwili spotkaia). v 8 (prędkość do chwili spotkaia), t v 4 Zapisujemy zależość między drogą a czasem w sytuacji opisaej w zadaiu za pomocą 8 układu rówań t, 8 t 4 3

14 Rozwiązując układ rówań, doprowadzamy do rówaia z jedą iewiadomą, p.: Rozwiązujemy rówaia otrzymując kolejo: Z drugiego rówaia wyzaczamy 7 t 4 i wstawiamy do pierwszego rówaia 7 7, 8 t t4 t t 8 t t4 t4 t4 możymy obustroie przez t t t4 8 t4 7t 7 8t 8t08 0 dzielimy obustroie przez 8 t t6 0 4 t 3 t t jest sprzecze z warukami zadaia 7 7 obliczamy, t 4 6 a astępie prędkość z jaką szedł każdy z turystów, p: va 4km/h t v 3km/h t Z pierwszego rówaia wyzaczamy 8t 8 t, i wstawiamy do drugiego rówaia 8t8 8t8 t 4 8 t, t, 8t 8t 7t7 7 t, t, możymy obustroie przez t, 8t 8t 7 t, 7t 7 8t 8t08 0 dzielimy obustroie przez 8 Z drugiego rówaia wyzaczamy t 7 4 t i wstawiamy do pierwszego rówaia 7 4, , , 4 3 możymy obustroie przez, , dzielimy obustroie przez, jest sprzecze z warukami zadaia obliczamy t, a astępie prędkość z jaką szedł każdy z turystów, p.: 8 6 va 4km/h,, v 3km/h 4 4 Z pierwszego rówaia wyzaczamy t, 8 t 8 i wstawiamy do drugiego rówaia, możymy obustroie przez , , 8, dzielimy obustroie przez,

15 t t t t jest sprzecze z warukami zadaia t jest sprzecze z warukami zadaia obliczamy t, 7 7 obliczamy, t 4 6 a astępie prędkość z jaką szedł każdy a astępie prędkość z jaką szedł każdy z turystów, p.: z turystów, p: 8 6 va 4km/h,, va 4km/h t 3 v 8 6 3km/h v 3km/h 4 4 t Zapisujemy odpowiedź: Turyści szli z prędkościami: v 4km/h, v 3km/h. A Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest wprawdzie iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia... pkt Zapisaie zależości między prędkością v A, prędkością v, drogą i czasem t dla jedego 8 z turystów, p.: lub 8 lub 8 va t, lub 8 v t 4. t, t 4 Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Zapisaie układu rówań z dwiema iewiadomymi, p.: 8 t, 8 t 4 Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... 3 pkt Zapisaie rówaia z jedą iewiadomą, p.: , 8 t lub, 8 t4 t4 Zdający ie musi zapisywać układu rówań, może bezpośredio zapisać rówaie z jedą iewiadomą. Uwaga: Jeżeli zdający przy pokoywaiu zasadiczych trudości zadaia popełi błędy rachukowe, usterki i a tym zakończy to otrzymuje pukty. Rozwiązaie zadaia do końca lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p. błędy rachukowe)... 4 pkt rozwiązaie rówaia z iewiadomą t bezbłędie: t h i ie obliczeie prędkości turystów

16 rozwiązaie rówaia z iewiadomą bezbłędie: i ie obliczeie prędkości turystów obliczeie t lub z błędem rachukowym i kosekwete obliczeie prędkości. Rozwiązaie pełe... pkt va 4km/h Obliczeie szukaych prędkości: v 3km/h 6