RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

Transkrypt

1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 1

2 Pla wykładu Co to są szeregi Fouriera? Sposoby budowaia rozwiązań mającyc postać szeregów Rówaiepłyty Ilustracja metody szeregów Fouriera a przykładzie zgiaej płyty. 1 SzeregiFouriera Szereg Fouriera- sposób przedstawieia fukcji w postaci ieskończoego szeregu siusów i cosiusów. fx= a + =1 a cosπx+b siπx fx= a +a 1cosπx+a cosπx+ +a cosπx +b 1 siπx+b siπx+ +b siπx 1 gdziea ib zależąodfukcjifx. Niektóre z rozwijayc w szereg Fouriera fukcji mogą być w przedziale[ l, l] parzyste a ie ieparzyste, dlatego szeregi Fouriera mogą mieć tylko wyrazy z siusami bądź tylko z cosiusami. Współczyiki Fouriera: a = 1 l l l πx fxcos dx b = 1 l fxsi l l l πx jeżelifxjestieparzystąfukcjąx,toa =,ajeżeliparzystątob =. l dx Metoda rozdzielaia zmieyc Fouriera to jeda ze stosowayc metod obliczeiowyc do zadań brzegowyc dla rówań różiczkowyc liiowyc rzędu lub wyższego. Dostarcza oa rozwiązaia w postaci sumy szeregu fukcyjego, co umożliwia badaia jakościowe. Jest to zaleta w porówaiu z rozwiązaiami przybliżoymi dającymi wartości rozwiązaia w puktac siatki pokrywającej zbiór U. Niestety, gdy korzystamy z metody Fouriera zbiór U musi być szczególej postaci iloczyu kartezjańskiego, co moco ograicza stosowalość tej metody.

3 Rówaie różiczkowe powierzci ugięcia płyty D w=q 1+ν Dα t T 3 operator Laplace a i bilaplasja we współrzędyc kartezjańskic = x+ 4 y = x 4+ x y+ 5 y 4 Sztywość płytowa D= E 3 11 ν 6 Macierz sztywości płytowej 1 ν D=D gdzie = ν 1 1 ν 7 Macierze operatorowe d T 1 = [ x y d T = [ x y y x ] ] 8 9 Macierz krzywiz k: Wektor mometów M=D k α t T = D k= d 1 d w= d 1 d w+α t T [ w ] w w x y xy = D w+ν w+1+ν αt T x y ν w+ w+1+ν αt T x y 1 ν w xy 1 11 Wektor sił poprzeczyc Q= d T 1 [ D d 1 d w+α t T ] +m= D x y w+1+ν αt T w+1+ν αt T + m x m y 1

4 Rówaie różiczkowe cząstkowe czwartego rzędu[3], moża zastapić układem dwóc rówań drugiegorzędu.sumujemymometym x im y M=M x +M y = D1+ν w+ α t T 13 Z[13] wyika rówaie różiczkowe Poissoa w= M D1+ν α t T 14 Podstawiając[14] do[3] otrzymujemy drugie rówaie różiczkowe Poissoa. M= 1+νq 1 ν Dα t T 15 3 Zastosowaie szeregów trygoometryczyc do obliczaia płyt prostokątyc Jeda z ajstarszyc metod rozwiązywaia zagadieia zgiaia płyt polega a przyjęciu podwójyc lub pojedyczyc szeregów Fouriera. Metoda ta może być wykorzystaa do aalizy płyt prostokątyc o specjalyc warukac brzegowyc. Zamkięte rozwiazaia w teorii płyt moża otrzymać tylko dla płyt o określoyc kształtac, obciążoyc w szczególy sposób. W iyc przypadkac powierzcię ugięcia płyty moża wyrazić w postaci ieskończoyc szeregów fukcyjyc. W podoby sposób moża wyrazić uogólioe siły wewętrze towarzyszące ugięciu. Trzy sposoby budowaia rozwiązań mającyc postać szeregów: fukcję wyrażającą powierzcię ugięcia płyty przedstawia się za pomocą szeregu fukcji, z któryc każda spełia wszystkie waruki brzegowe, ale żada ie spełia rówaia różiczkowego. Współczyiki szeregu suma szeregu spełia rówaie różiczkowe zgiaej płyty. rozwiązaie buduje się z fukcji, które spełiają rówaie różiczkowe zagadieia ale żada ie spełia waruków brzegowycprzyajmiej iektóryc. Współczyiki szeregu suma szeregu spełia potrzebe waruki brzegowe. żade z wyrazów szeregu ie spełia rówaia różiczkowego i waruków brzegowyc. Współczyiki szeregu wyzacza się z waruku, że suma szeregu spełia rówaie różiczkowe i dae waruki brzegowe. Ugięcie płyty wyrażoe ieskończoym szeregiem fukcji tworzacyc układ zupeły moża uważać za rozwiązaie ścisłe, jeżeli szereg ieskończoy spełia rówaie różiczkowe i waruki brzegowe.

5 Szeregi Fouriera, z któryc będziemy korzystać, składać się będą z fukcji spełiającyc waruki brzegowe ale ie spełiającyc rówaia różiczkowego. Rozważmy płytę prostokątą, swobodie podpartą o wymiarac a b, z dowolie rozłożoym obciążeiem qx, y. y b qx, y a x Obciążeie płyty moża przyjąć w postaci podwójego szeregu siusowego: qx,y= q m siα m xsiβ y, 16 m=1=1 gdzie: α m = mπ a, β = π, m,=1,,3 17 b Carakterystyczą cecą szeregu[16] jest to, że wszystkie jego parzyste pocode będą też szeregami siusowymi q x = m αmq m siα m xsiβ y, 18 q y = β q msiα m xsiβ y 19 m q= αm +β q msiα m xsiβ y m q= αm +β q m siα m xsiβ y 1 m Współczyikirozwiięciaq m obliczamy,takjakwaaliziearmoiczej.możymyobustroierówość[16]przezsiα k xicałkujemywzględemzmieejxwprzedziale[,a],aastępie wyikmożymyprzezsiβ l yipoowiecałkujemywprzedziale[,b]względemzmieejy. Ze względu a ortogoalość fukcji trygoometryczyc: a dla k m, siα k xsiα m xdx= a dla k=m.

6 b po wykoaiu całkowaia otrzymujemy dla l, siβ l ysiβ ydx= b dla l=, 3 q m = 4 ab b a Możaobliczyćq m dlaróżyctypówobciążeiaqm,. qx,ysiα m xsiβ ydxdy 4 Symboleδx x ihx x ozaczająfukcjędystrybucjęδdiracaorazfukcjęheaviside a. dla x x δx x = 5 dla x=x a δx x dx=1, <x <a, 6 fxδx x dx=fx 7 dla x<x, Hx x = 8 1 dla x>x. Załóżmy, że fukcja wyrażająca powierzcię ugięcia rozpatrywaej płyty ma postać szeregu podwójego wx,y= w m siα m xsiβ y. 9 m Każda z fukcji składowyc szeregu[9] a wszystkic krawędziac płyty spełia waruki swobodego podparcia: jeżeli swobodie podparty brzeg płyty jest prostoliiowy, a T = to waruki brzegowe: ws=, ws=. 3 Podstawiając rozwiięte w szereg Fouriera qx, y, wx, y, Tx, y do rówaia: otrzymujemy: D m D w=q 1+ν Dα t T. 31 αm+β w m siα m xsiβ y= q m siα m xsiβ y+ m +1+ν Dα t α m +β Tm siα m xsiβ y m 3

7 Aby rówość[3] była spełioa dla każdej wartości współrzędyc x i y, między iezaymi współczyikamirozwiięciafukcjiwyrażającejpowierzcięugięciaw m azaymiwspółczyikamiq m i T m rozwiięciawszeregifourieraobciążeiaiprzyrostutemperatury zacodzi związek wktórym w m = q m +1+ν α t m T m α m +β 33 m =Dα m +β 34 Jeżeli zamy powierzcię ugięcia to ze wzorów[11,1] możemy obliczyć uogólioe siły wewętrze w płycie: M x =D m M y =D m [ α m+νβ wm 1+ν α ] t T m siα m xsiβ y 35 [ να m+β wm 1+ν α ] t T m siα m xsiβ y 36 M xy = D1 ν α m β w m cosα m xcosβ y 37 m Q x =D [ α m+β wm 1+ν α ] t m T m α m cosα m xsiβ y 38 Q y =D [ α m+β wm 1+ν α ] t m T m β siα m xcosβ y 39 Siły arożikowe: R,=D1 ν m Ra,=D1 ν m R,b=D1 v m Ra,b=D1 ν m α m β w m, 1 m α m β w m, 1 α m β w m, 1 m+ α m β w m 4

8 Przykład 1. Szukamyparametruq m dlapłytyobciążoejsiłąp q m = 4 ab a b qx,ysiα m xsiβ ydydx 41 Podstawiamy: siłę skupioą wyrażoą jako fukcję poprzez deltę Diraca. qx,y=p δx x δy y 4 gdzie = = b a a + fxδx x dx= δx x dx+ b a fxδx x dx+ gxδx x dx=gx =fx dla x a,b gx= fx dlax a,b + b δx x dx= q m = 4 ab a b P δx x δy y siα m xsiβ ydydx= = 4 a ab P δx x siα m xdx = 4 ab Psiα mx siβ y b δy y siβ ydy= 45

9 Przykład.Obciążeieacalejpłycieqx,y=q q m = 4 ab = 4 ab a b [ a b q siα m xsiβ ydydx= ] q siα m x b a siβ ydy dx = 4 ab q siβ ydy siα m xdx = 4q 1 b cosβ b 1 cosα x ab β α = 4q 1β cosβ b+ 1β ab a 1 α m cosα m a+ 1 α m 46 askoro: α m = mπ a β = π b 47 czyli q m = 4q ab b = 4q ab = 4q ab b π π cos b b + b π a π cosπ+ b a π mπ b π 1 cosπ a mπ 1 cosmπ = 4q mπ 1 cosπ1 cosmπ m lub parzyste q m = 16q m i ieparzyste mπ mπ mπ cos a a + a mπ cosmπ+ a mπ 48 49