Rozdział 4 Model teoretyczny 40

Transkrypt

1 4. Model teoretyczy ozdział 4 Model teoretyczy 4 4. ówaia fizycze. Klasycze odele teoretycze oisujące zachowaie się betou zwye ostulują istieie lastyczości tego ateriału [7, 5]. W ostatich latach coraz więcej zwoleów zyskuje odejście, w który ieliiowość zaleŝości oiędzy aręŝeiai i odkształceiai oisywaa jest za ośredictwe etod echai uszkodzeia. Te sosób forułowaia rówań kostytutywych dla ateriałów kruchych zasygalizoway w racach [, ] zalazł odzwierciedleie w rooowaych aktualie róŝych odelach teoretyczych [,, 4, 7,, 57, 58, 66, 7, 74, 75, 76, 8, 84,]. Przedstawioy w ty rozdziale teoretyczy odel zachowaia się betou owstawał stoiowo a oszczególe etay forułowaia odowiedich rówań oŝa rześledzić we wcześiejszych racach [57, 58, 6] zawierających częściowe wyi rowadzoych w ty zakresie badań własych. Model te bazuje a załoŝeiach odaych w ozdziale iiejszej racy i jego cele jest ois: ) Krzywoliiowej zaleŝości oiędzy aręŝeie i odkształceie. ) ObiŜeia sztywości ateriału określoej rzez obiŝeie się wartości wsółczyów sręŝystości. ) Stoiowego rozwoju aizotroii ateriału wywołaej jego obciąŝeie. 4) egradacji struktury wewętrzej ateriału rerezetowaej rzez tesor uszkodzeia. Przedstawioe tutaj rówaia ają charakter ogóly w ty sesie, Ŝe zachowują swoją waŝość dla rzyadków trójosiowego stau obciąŝeia wzrastającego ootoiczie od zera aŝ do graicy wytrzyałości ateriału odowiadającej daeu staowi aręŝeia. Model te w obecej ostaci ie daje oŝliwości oisu rocesów odciąŝaia a takŝe obciąŝeń cyiczych. adaia włase rzedstawioe w ozdziale a takŝe dostęe w iśieictwie ie wyi teoretycze i doświadczale [, ] wskazują a to, Ŝe aktuala wiedza dotycząca echaizu uszkodzeia ateriałów kruchych jest zbyt ała aby juŝ teraz odejować róbę forułowaia ogólych rówań wykraczających oza zakres rzedstawioy owyŝej. Korzystając z rerezetacji fukcji tesorowej (.) dla fukcji, której arguete jest tylko jeda ziea w ostaci tesora aręŝeia rówaie ewolucji uszkodzeia (.4) oŝa zaisać w ostaci:

2 ozdział 4 Model teoretyczy 4 Ω α ( 4. ) I α α Kluczowy roblee rzy forułowaiu wyraźej ostaci rówaia (4.) jest dobór wystęujących w i fukcji iezieów odstawowych α, α, α. Wcześiejsze róby sforułowaia tych fukcji [ 57, 58, 6 ] a takŝe rzerowadzoa weryfacja doświadczala oŝliwości ich wykorzystaia uzasadiają otrzebę zaisaia ich w ostaci α s α α. s ( H det ) ( H det ) ( H det ) kk ( 4. ) Podstawiając zaleŝość (4.) do (4.) otrzyay ostać rówaia ewolucji uszkodzeia wykorzystaą w dalszy ciągu iiejszej racy ( H det ) δ ( H det ) Ω s s, ( 4. ) gdzie s jest dewiatore tesora aręŝeia, atoiast,,, oraz H są stałyi ateriałowyi. ówaie to aleŝy traktować jako wy wielu rób ad róŝyi jego ostaciai i oisayi we wcześiejszych racach [8, 56, 57, 58, 59, 6]. Jego ostać rzedstawioa rówaie (4.) ozwala a ois zachowaia się ateriałów kruchych rzy ootoiczie wzrastający obciąŝeiu aŝ do całkowitego ziszczeia ateriału ale bez oŝliwości uwzględieia rocesu odciąŝeia a takŝe obciąŝeń cyiczych. orułując rówaie fizycze osłuŝoo się rerezetacją (.8). W racach [5, 57] zostało okazae, Ŝe do oisu zachowaia się ciał stałych ie jest koiecza tak ogóla ostać. W związku z ty w rówaiu (.8) oiięto wszystkie człoy, w których tesor wystęuje w otędze wyŝszej iŝ jede, czyli rzyjęta została liiowa zaleŝość iędzy tesorai a. W celu uorządkowaia ozaczeń fukcje skalare iezieów odstawowych tesora aręŝeia ozaczoe ierwotie we wzorze (.8) jako α oraz γ zaieioo a i. Ostateczie rzyjęto astęującą rerezetację tesora :

3 ozdział 4 Model teoretyczy 4 ( ) δ δ ( δ δ δ δ ) ( δ δ ) ( δ δ δ δ ). jl il jk jk jl il il jl jk ( 4.4 ) Podstawiając zaleŝość (4.4) do rówaia (.) rówaie fizycze rzyjie więc ostateczie ostać δ ( kk kj ( δ kj ). ) kk ( 4.5 ) W celu dalszego uroszczeia otrzyaego rówaia fizyczego rzyjęto, Ŝe fukcje skalare iezieów tesora aręŝeia i są wartościai stałyi. 4. Idetyfacja stałych ateriałowych. We wzorach (4.) i (4.5) wystęuje sześć stałych ateriałowych,,,, oraz H. óŝe sosoby idetyfacji czterech ierwszych sośród tych stałych, to zaczy,, i zostały zarezetowae we wcześiejszych racach [8, 56, 57, 58, 59, 6]. Wykorzystao w ich doświadczale krzywe zaleŝości oiędzy aręŝeie i odkształceie dla osiowego ściskaia oraz rówoierego dwukierukowego ściskaia. W iiejszej racy stałe,, oraz zostały wyzaczoe a odstawie doświadczalych krzywych zaleŝości oiędzy aręŝeie i odkształceie dla osiowego ściskaia, atoiast dwie ozostałe stałe ateriałowe i H wyzaczoo korzystając z wyów badań doświadczalych dla trójosiowego stau aręŝeia. Sta aręŝeia dla osiowego ściskaia oisuje tesor aręŝeia, ( 4.6 ) którego graficzą rerezetację rzestawia rysuek 4. objaśiający rzyjęte dalej ozaczeia.

4 ozdział 4 Model teoretyczy 4 X X X ys. 4.. Sta aręŝeia dla osiowego ściskaia. W rzyadku osiowego ściskaia odowiedie główe wsółrzęde tesora uszkodzeia (4.) będą iały ostać:. sig Ω Ω Ω ( 4.7 ) Podstawiając (4.7) do (.4) otrzyao astęujące główe wartości tesora efektu uszkodzeia. sig sig ( 4.7 ) a Uwzględiając te wartości w rówaiu (4.5) otrzyao oiŝsze rówaia fizycze sig sig ) 4 ( sig sig ( 4.8 )

5 ozdział 4 Model teoretyczy 44 gdzie i są oczątkowyi wartościai odułu sręŝystości odłuŝej i wsółczya skurczu orzeczego. W celu obliczeia stałych,, i obrao a doświadczalych krzywych zaleŝości oiędzy aręŝeie i odkształceie cztery ukty P, P, P i P 4 jak to okazao a rysuku 4.. Wartość f c ozacza tu wytrzyałość ateriału a ściskaie. Wsółrzęde uktów P P P P (, fc ), (, f ), (, fc ), (, f ) 4 c odstawioo do rówań (4.8) co dało w rezultacie układ czterech rówań z czterea iewiadoyi,, i. Stosukowo roste ale dość racochłoe rachuki rowadzące do sforułowaia tych rówań zostały rzedstawioe w załączoy do racy Załączu a tutaj odaa zostaie ostatecza ich ostać. P, /f c P P P 4 ys. 4.. oświadczale krzywe zaleŝości oiędzy aręŝeie i odkształceie z zazaczoyi uktai P, P, P i P 4. Stałą oblicza się jako ierwiastek rówaia kwadratowego ( ) 6( ) 9 4 ( 4.9 ) a ozostałe stałe, i wyzacza się ze wzorów

6 ozdział 4 Model teoretyczy 45 ( 4. ) ( 4. ) 4. ( 4. ) W zaleŝościach ( 4.9 ), ( 4. ), ( 4. ) i ( 4. ) zastosowao ozaczeia skracające w ostaci f f c c Stała H została wyzaczoa rzy wykorzystaiu aalizy hydrostatyczego stau aręŝeia rerezetowaego rzez tesor aręŝeia δ ( 4. )

7 ozdział 4 Model teoretyczy 46 gdzie jest itesywością ciśieia. Graficzą rerezetację tego stau aręŝeia rzedstawia rysuek 4.. X X X ys. 4.. Hydrostatyczy sta aręŝeia. adaia doświadczale [7, 8, 6, 8, 7] wykazały, Ŝe ciśieie hydrostatycze rzyłoŝoe do róbki osiowo ściskaej w zaczy stoiu ograicza rozwój uszkodzeia ateriału. Ziszczeie tak obciąŝoej róbki astęuje doiero rzy bardzo duŝych wartościach siły osiowej. W iśieictwie brak jest jedak wystarczających daych dotyczących zachowaia się betou lub skał rzy hydrostatyczy obciąŝeiu. MoŜa jedak wywioskować [7, 67], Ŝe w taki rzyadku zaleŝość iędzy aręŝeie a odkształceie jest liiowa. W tej sytuacji wydaje się uzasadioe załoŝeie, Ŝe hydrostatycze ściskaie ie owoduje uszkodzeia ateriału, co ozacza, Ŝe wartości główe Ω, Ω, Ω tesora uszkodzeia Ω zachowują wartość zerową. Podstawiając więc do rówaia ewolucji uszkodzeia ujeą wartość aręŝeia odowiadającego ciśieiu hydrostatyczeu - h, otrzyay jedakowe wartości główe tesora uszkodzeia Ω Ω Ω. Przyrówaie ich do zera daje w rezultacie zaleŝość H, ( 4.4 ) h lub H, ( ) ext gdzie ext jest ajwiększy, co do wartości bezwzględej aręŝeie oraly, wystęujący w tesorze aręŝeia. Jak wya z zaleŝości (4.4) wartość H ie jest stałą ateriałową, gdyŝ zaleŝy oa od aktualego stau aręŝeia.

8 ozdział 4 Model teoretyczy 47 Stałą oŝa określić stosując doświadczale wykresy dla stau aręŝeia będącego suerozycją hydrostatyczego i osiowego ściskaia. Taki sta aręŝeia rzedstawia tesor aręŝeia w ostaci, ( 4.5 ) który oŝa rzedstawić graficzie za oocą rysuku 4.4. X X X ys Sta aręŝeia dla trójosiowego stau aręŝeia. Szczegóły dotyczące obliczaia tą drogą stałej rzedstawioe zostały w ozdziale 6, dotyczący weryfacji doświadczalej rzyjętego odelu teoretyczego.