Metoda relaksacji dynamicznej z parametrem długości łuku w analizie słupów żelbetowych

Transkrypt

1 Bi u l e t y WAT Vo l. LXIV, Nr 3, 2015 Metoda relaksacji dyamiczej z parametrem długości łuku w aalizie słupów żelbetowych Aa Szcześiak, Adam stolarski Wojskowa Akademia Techicza, Wydział Iżyierii Lądowej i Geodezji, Istytut Iżyierii Lądowej, Katedra Budowictwa, Warszawa, ul. ge. S. Kaliskiego 2, aa.szczesiak@wat.edu.pl, astolarski@wat.edu.pl Streszczeie. W pracy przedstawioo modyfikację metody relaksacji dyamiczej mającą a celu umożliwieie rozszerzoej aalizy wytężeia słupów żelbetowych po osiągięciu ośości graiczej. Modyfikacja ta polega a włączeiu do rozwiązaia metody długości łuku, co pozwoliło a zautomatyzowaie doboru kroku obciążeia i w zaczy sposób zwiększyło zakres aalizy w obszarze pokrytyczym. W metodzie tej układ rówań został rozszerzoy o dodatkowe rówaie więzów, łączące poszukiway wektor przemieszczeń oraz parametr obciążeia. Rozwiązaie takiego rozszerzoego układu rówań uzyskuje się poprzez śledzeie ścieżki rozwiązaia dla wielu zmieych, która posiada lokale pukty graicze, przy założeiu stałego parametru długości łuku a ścieżce rozwiązaia. Zmodyfikowaa metoda pozwala a śledzeie zjawiska globalego osłabieia elemetu kostrukcyjego po osiągięciu ośości graiczej aż do ziszczeia. W celu weryfikacji efektywości metody przeprowadzoa została aaliza porówawcza wyików rozwiązań umeryczych z wcześiej publikowaymi wyikami badań, w których przedstawioo zależość przemieszczeie obciążeie w przekrojach krytyczych słupów żelbetowych dla rozwiązaia bez uwzględieia parametru długości łuku. Słowa kluczowe: słupy żelbetowe, metoda relaksacji dyamiczej, metoda długości łuku, ośość graicza DOI: / Wstęp Celem pracy jest rozbudowaie metody obliczeiowej prezetowaej w pracy [8] w sposób umożliwiający prowadzeie aalizy wytężeia ściskaych elemetów żelbetowych w zakresie pokrytyczym. W pracy [8] przedstawioo opis kompletej metody obliczeiowej pozwalającej a śledzeie zachowaia mimośrodowo

2 216 A. Szcześiak, A. Stolarski ściskaego elemetu prętowego obciążoego statyczie. W opisie metody uwzględioo modelowaie materiałów kostrukcyjych oraz modelowaie zachowaia elemetu kostrukcyjego z zastosowaiem rówań teorii dużych przemieszczeń ustroju prętowego. Do rozwiązaia układu rówań rówowagi elemetu prętowego zastosowao metodę relaksacji dyamiczej. W tej metodzie rozwiązaie zagadieia statyczego sprowadza się do aalizy procesu pseudodyamiczego z uwzględieiem tłumieia krytyczego. Rozwiązaie uzyskuje się w procesie iteracyjym utożsamiaym z rekurecyjym procesem obliczeiowym w kolejych krokach pseudoczasu. Poadto, w pracy [8] przedstawioo aalizę porówawczą otrzymaych wyików umeryczych z wyikami badań doświadczalych oraz rozważań teoretyczych zaczerpiętych z literatury. Zapropoowaa metoda obliczeiowa okazała się efektywa w zakresie sprężystym oraz sprężysto-plastyczym do osiągięcia ośości graiczej włączie. Jedakże metoda ta ie pozwoliła a śledzeie zjawiska globalego osłabieia elemetu kostrukcyjego, które obserwowae jest w wyikach badań doświadczalych. W celu wyelimiowaia tej iedoskoałości w iiejszej pracy przedstawioo procedurę przewidującą rozbudowę metody obliczeiowej prezetowaej w pracy [8]. Założeiem rozbudowaej metody aalizy jest możliwość śledzeia zachowaia elemetów obciążoych mimośrodowo w zakresie pokrytyczym. Umożliwieie szczegółowego opisu zjawiska globalego osłabieia elemetu kostrukcyjego, występującego po osiągięciu ośości graiczej, jest iezwykle istote w opisie i progozowaiu mechaizmu jego ziszczeia. W tym celu do procedury umeryczej wprowadzoy został parametr długości łuku a ścieżce rówowagi. Takie podejście jest określae jako metoda długości łuku. Została oa włączoa do metody relaksacji dyamiczej i pozwala a jedoczese wyzaczeie poszukiwaych przemieszczeń i parametru obciążeia, poprzez śledzeie ścieżki rówowagi posiadającej lokale pukty graicze. Prekursorem tej metody jest Riks, który przedstawił jej kocepcję w pracy [6]. Koleje rozwiięcia i iterpretacje metody długości łuku prezetowae są m.i. w pracach Ramma [5], Crisfielda [1], Schweizrehofa i Wriggersa [7]. Połączeie metody relaksacji dyamiczej i metody długości łuku przedstawioe zostało w pracy Pasqualio [2], a jego praktycze zastosowaie w aalizie kostrukcji prezetowae jest w pracach Remesha i Krishamoorthy [4], Pasqualio i Estefe [3]. Rozwiązaia te ie dotyczą jedak aalizy elemetów żelbetowych w zakresie iesprężystym. Szczególie ie są zae rozwiązaia dotyczące słupów żelbetowych w zakresie odkształceia do ziszczeia włączie. 2. Istota metody rozwiązaia rówań rówowagi W pracy [8] zaprezetowao metodę aalizy słupów żelbetowych, w której układ rówań opisujący problem dyamiczego zachowaia iesprężystego elemetu

3 Metoda relaksacji dyamiczej z parametrem długości łuku w aalizie słupów żelbetowych 217 żelbetowego rozwiązao przy zastosowaiu tłumieia krytyczego c = max(c i, k r ), co umożliwia w przejściu graiczym opis zagadieia statyczego. Taka metoda rozwiązaia określoa została jako metoda relaksacji dyamiczej. W celu zwiększeia efektywości rozwiązaia w zakresie aalizy pokrytyczej, w rozwiązaiu układu ieliiowych rówań rówowagi dyamiczej (10a) zawartych w pracy [8] uwzględioa została metoda śledzeia ścieżki rozwiązaia dla wielu zmieych [9, 10]. Układ rówań (10a) wg pracy [8] moża przedstawić w postaci wektorowej: Gq (, ) = q q q = 0, (1) gdzie: Gq (, ) wektorowa fukcja układu rówań; T ( ui, wi) G = ( ) ap i x si q P = wektor składowych przyrostów przemieszczeń od ap i z( si) całkowitego obciążeia; q wektor poszukiwaych przyrostów przemieszczeń; q b u = + a[ N cos + N cos + Q si Q si ] + 1 i i i i1 i1 i0 i0 i1 i1 i0 i0 1 G 1 qp bi wi + ai[ Ni1si i1 Ni0si i0 + Qi1cos i1 Qi0cos i0] wektor składowych przyrostów przemieszczeń dla parametru 1 obciążeia z poprzediego kroku czasowego; parametr obciążeia w aktualym kroku czasowym. P Ogóla idea metody polega a włączeiu do aalizy rówań ruchu (1) dodatkowego rówaia więzów łączącego parametr obciążeia i wektor przyrostów przemieszczeia z przyrostem długości łuku a ścieżce rozwiązaia. Rówaie więzów przyjęto w astępującej postaci [1, 10]: f T 2 2 (, ) = m m + m l = 0, q q q (2) gdzie: l przyrost (parametr) długości łuku a ścieżce rozwiązaia; T q = ( uw, ) wektor poszukiwaych przemieszczeń; m = m przyrost aktualego parametru obciążeia oraz qm = q q m przyrost aktualego wektora iewiadomych przemieszczeń q względem ostatich zbieżych wartości parametru obciążeia m oraz wektora przemieszczeń q m uzyskaych z założoą dokładością w poprzedim kroku obciążeia m.

4 218 A. Szcześiak, A. Stolarski 3. Ideowy algorytm rozwiązaia rozszerzoego układu rówań Zapropoowao wyzaczeie parametru obciążeia przez bezpośredie rozwiązaie rówaia więzów (2). Sposób te wymaga badaia zaku wyróżika 2 T g( q) = l q q oraz określeia rozwiązań: m m 1,2 1,2 = ± l q q jeżeli g(q) 0, 2 T m m m = m ± m m l T 2 q q jeżeli g(q) < 0, a astępie dokoaia wyboru rozwiązaia według kryterium ajmiejszej odległości względem rozwiązaia uzyskaego w kroku obciążeia m 1, czyli ajmiejszego kąta (lub ajwiększego kosiusa tego kąta) pomiędzy rozwiązaiem w aktualym kroku obciążeia m a rozwiązaiem w poprzedim kroku obciążeia m 1: qm,1 qm 1 qm,2 qm 1 = mi( 1, 2) = mi arccos,arccos. 2 2 l l (3) Z aalizy waruków rozwiązaia rówaia więzów (2) wyika, że kryterium to spełia rozwiązaie zapisae w postaci: 2 2 = ( T ) ( T m + sig l m m abs l m m). q q q q (4) Rówaie więzów (2) wraz z układem rówań ruchu (1) tworzą rozszerzoy układ rówań, który jest rozwiązyway iteracyjie w każdej chwili czasu t = t. Rozszerzoy układ rówań umożliwia wyzaczeie ie tylko poszukiwaego wektora przemieszczeń q, lecz także parametru obciążeia a ieliiowej ścieżce rówowagi zawierającej lokale pukty graicze. Rozwiązaie rozszerzoego układu rówań jest dwuetapowe i polega a wyzaczeiu: (I etap predykcji) parametru obciążeia w zależości od wartości przemieszczeń z poprzediego kroku iteracyjego a podstawie rówaia więzów (2); (II etap korekcji) owych wartości przemieszczeń w astępym kroku iteracyjym z układu rówań ruchu (1). Schemat iteracyjego rozwiązaia rozszerzoego układu rówań (1) oraz rówaia więzów (2) f(q, ) = 0 przedstawioo a rysuku 1. Rozwiązaie uzyskuje się po ()-tej iteracji utożsamiaej z krokiem czasowym t = t: 1 1 = +, q = q + q. (5)

5 Metoda relaksacji dyamiczej z parametrem długości łuku w aalizie słupów żelbetowych 219 Rys. 1. Schemat iteracyjego rozwiązaia rozszerzoego układu rówań Proces iteracyjego poprawiaia wyiku kończy się w chwili osiągięcia żądaej dokładości G rozwiązaia: Gq (, ) G. Na podstawie doświadczeń umeryczych ustaloo, że możliwe jest przyjęcie 3 6 dokładości rozwiązaia w zakresie G ( 0,1, 0,1 ). W chwili osiągięcia zbieżego rozwiązaia ustala się parametr obciążeia oraz wektor przemieszczeń dla astępego kroku obciążeia + 1 =, q + 1 = q. m m (6) 4. Aaliza wyików badań umeryczych słupów żelbetowych Metoda relaksacji dyamiczej (MRD) prezetowaa w pracy [8] pozwala a śledzeie wytężeia słupów żelbetowych od staów sprężystych, przez stay sprężysto-plastycze, po pełe uplastyczieie i ograiczoe osłabieie przekroju. Włączeie do aalizy metody długości łuku (MRD + DŁ) umożliwia dodatkowo obserwację zachowaia elemetu kostrukcyjego w zakresie pokrytyczym, w którym występuje zaawasoway proces osłabieia prowadzący do ziszczeia elemetu kostrukcyjego. W celu weryfikacji efektywości metody relaksacji dyamiczej

6 220 A. Szcześiak, A. Stolarski z uwzględieiem parametru długości łuku (MRD + DŁ) a podstawie opracowaej procedury umeryczej przygotowao program komputerowy zapisay w języku programowaia Fortra. Następie przeprowadzoe zostały badaia umerycze słupów żelbetowych mimośrodowo ściskaych, których wyiki porówao z wyikami badań umeryczych przeprowadzoych przy zastosowaiu metody relaksacji dyamiczej (MRD) i prezetowaymi w pracy [8]. Badaia przeprowadzoe zostały dla słupów aalizowaych w pracy [8], które ozaczoe zostały umerem serii I. W badaiu uwzględioo obciążeie zewętrze w postaci siły podłużej działającej a mimośrodzie e, przyłożoej a obu brzegach słupa. Badaia przeprowadzoe zostały dla trzech wartości mimośrodu, które zostały ozaczoe literami A, B, C A; B; C 15; 50; 65 mm. Badaiom poddae zostały słupy o długości 168 cm, wymiarach przekroju poprzeczego 17,5 cm 17,5 cm, zbrojoe symetryczie trzema prętami stalowymi o średicy = 12 mm. Do badaia przyjęto astępujące własości wytrzymałościowe betou i stali: f y = 430,0 MPa graica plastyczości stali, E s = 200,0 GPa moduł odkształceia stali, us = 0,15 odkształceie graicze stali, f c = 44,78 MPa wytrzymałość betou a ściskaie, E c = 32,18 GPa moduł odkształceia betou, fc = 0,002, uc = 0,00665 odkształceia graicze betou oraz uc = 2500 kg/m 3 masa właściwa żelbetu. W celu zobrazowaia wpływu uwzględieia parametru długości łuku a otrzymae wyiki porówao wykresy obciążeie przemieszczeie poprzecze w przekroju zlokalizowaym w środku długości słupa IA, IB i IC, uzyskae podczas aalizy z zastosowaiem MRD w pracy [8] oraz MRD + DŁ (rys. 2). Wyiki badań przeprowadzoych a podstawie MRD i prezetowae w pracy [8] zazaczoe zostały liiami przerywaymi. Liią czerwoą ozaczoo wyiki uzyskae podczas aalizy słupa IA, liią fioletową wyiki uzyskae dla słupa IB, atomiast liią graatową wyiki aalizy słupa IC. Wyiki aalizy przeprowadzoej z zastosowaiem MRD + DŁ ozaczoo liią ciągłą. Kolorem iebieskim ozaczoe zostały wyiki otrzymae dla słupa IA, zieloym IB, a pomarańczowym IC. W każdym z rozpatrywaych trzech przypadków mimośrodu obciążeia słupa przebieg wykresu w zakresie sprężysto-plastyczym jest idetyczy dla obu metod. Różice wyików dotyczą przede wszystkim opisu fazy podkrytyczego zachowaia słupa. W przypadku wyików uzyskaych dla słupa IA MRD wskazuje a gwałtowe przyrosty przemieszczeń występujące po osiągięciu graiczej wartości obciążeia. W MRD ieograiczoy wzrost przemieszczeń przy stałej wartości obciążeia iterpretoway jest jako symptom ziszczeia. MRD + DŁ pozwala atomiast a prześledzeie ścieżki globalego osłabieia elemetu, która charakteryzuje się stopiową redukcją obciążeia przy arastających przemieszczeiach. Aaliza słupa IB z zastosowaiem MRD pozwoliła a opis procesu wytężeia elemetu kostrukcyjego do chwili osiągięcia graiczej wartości obciążeia. Dopiero zastosowaie MRD + DŁ umożliwiło opis zachowaia i wyoszą e= { e e e } = { }

7 Metoda relaksacji dyamiczej z parametrem długości łuku w aalizie słupów żelbetowych 221 Rys. 2. Porówaie wyików aalizy umeryczej dla słupa IA, IB i IC z zastosowaiem MRD [8] oraz MRD + DŁ elemetów w zakresie pokrytyczym. Podobie sytuacja wygląda w przypadku słupa IC, dla którego przy pomocy MRD możliwe było prześledzeie zachowaia elemetu w kolejych krokach obciążeia, tylko do mometu osiągięcia graiczej wartości obciążeia. Opis wytężeia słupa w zakresie pokrytyczym możliwy był po włączeiu do aalizy metody długości łuku. W tabeli 1 porówae zostały wyiki otrzymae a podstawie aalizy słupów z zastosowaiem MRD i MRD + DŁ w zakresie ośości graiczej i towarzyszącego jej osiągięcia przemieszczeia poprzeczego w przekroju środkowym. Tabela 1 Zestawieie ośości graiczej oraz przemieszczeia słupów IA, IB i IC a podstawie aalizy MRD [8] oraz MRD + DŁ Słup Metoda aalizy MRD Nośość graicza P 0 [kn] MRD + DŁ P MRD+ DL 0 MRD P0 [%] MRD Przemieszczeie odpowiadające ośości graiczej w 0 [cm] MRD + DŁ w MRD+ DL 0 MRD w0 IA 1287,0 1287,0 100,0 0,83 0,40 48,2 IB 797,1 797,1 100,0 0,75 0,74 98,6 IC 661,4 660,1 99,8 0,88 0,86 97,7 [%]

8 222 A. Szcześiak, A. Stolarski Aaliza porówawcza wyików otrzymaych przy pomocy obu metod wskazuje a zgodość wartości ośości graiczej w rozpatrywaych przypadkach a poziomie poad 99%. W zakresie przemieszczeń dla słupów IB i IC wzajema zgodość wyików uzyskaych w obu metodach wyosi poad 97%. Rozbieżość wyików pojawia się w przypadku słupa IA, dla którego uzyskay został ajbardziej zaawasoway zakres aalizy przy zastosowaiu MRD. Przyczyą zaistiałej sytuacji jest problem z ustaleiem wartości przemieszczeia towarzyszącego osiągięciu ośości graiczej w aalizie prowadzoej przy pomocy MRD. Przy graiczej wartości obciążeia obserwowae są gwałtowe przyrosty przemieszczeń w kolejych krokach obliczeiowych iterpretowae jako symptom ziszczeia. Iaczej sytuacja wygląda w przypadku aalizy przeprowadzoej z zastosowaiem MRD + DŁ. Wówczas za ośość graiczą uważaa jest maksymala wartość obciążeia, którą jest w staie przeieść elemet kostrukcyjy, w związku z czym w sposób jedozaczy moża określić wartość przemieszczeia towarzyszącego jej osiągięciu. Włączeie do aalizy metody długości łuku pozwala a śledzeie procesu globalego osłabieia elemetu kostrukcyjego po osiągięciu ośości graiczej. W zakresie pokrytyczym zauważaly jest postępujący spadek ośości, któremu towarzyszy przyrost przemieszczeia. Zjawisko to obserwowae jest do chwili wyczerpaia ośości i ziszczeia elemetu. W kosekwecji możliwe jest ustaleie mechaizmu ziszczeia elemetu kostrukcyjego. 5. Zakończeie W pracy przedstawioo rozbudowę metody śledzeia zachowaia ściskaych elemetów żelbetowych poddaych działaiu krótkotrwałych obciążeń statyczych [8], prowadzącą do zwiększeia zakresu aalizy. W pracy [8] zaprezetowao metodę aalizy układu kostrukcyjego opracowaą a podstawie założeń metody różic skończoych. Rozważao proces dyamiczy, który po wprowadzeiu tłumieia krytyczego pozwolił a opis zagadieia statyczego. Taka procedura zastosowaa do rozwiązaia układu ieliiowych rówań rówowagi jest określaa jako metoda relaksacji dyamiczej (MRD). Pozwoliła oa a wstępe oszacowaie ośości ściskaych elemetów kostrukcyjych bez możliwości śledzeia ich zachowaia w zakresie pokrytyczym. W celu umożliwieia aalizy w zakresie pokrytyczym w pracy zapropoowao rozbudowę metody relaksacji dyamiczej poprzez włączeie do układu rówań rówowagi dodatkowego rówaia więzów, zgodie z założeiami metody długości łuku (MRD + DŁ). Metoda aalizy wytężeia kostrukcji była podstawą opracowaia własych procedur umeryczych i programów obliczeiowych, które pozwoliły a przeprowadzeie badań umeryczych mimośrodowo ściskaych słupów żelbetowych.

9 Metoda relaksacji dyamiczej z parametrem długości łuku w aalizie słupów żelbetowych 223 Aaliza porówawcza otrzymaych wyików badań umeryczych dla MRD + DŁ z wyikami badań umeryczych dla MRD prezetowaymi w pracy [8] wskazała a efektywość MRD + DŁ w aalizie pełego cyklu wytężeia słupów żelbetowych oraz jej przydatość w progozowaiu przebiegu mechaizmu ziszczeia mimośrodowo ściskaych elemetów żelbetowych. Praca powstała w wyiku zadań badawczych zrealizowaych w ramach pracy badawczej statutowej r 855, przeprowadzaej w Wydziale Iżyierii Lądowej i Geodezji Wojskowej Akademii Techiczej im. Jarosława Dąbrowskiego. Artykuł wpłyął do redakcji r. Zweryfikowaą wersję po recezji otrzymao r. LITERATURA [1] Crisfield M.A., A fast icremetal/iterative solutio procedure that hadles sap-through, Computers ad Structures, 13, 1981, [2] Pasqualio I.P., Arc-legth method for explicit dyamic relaxatio, XXI ICTAM, August 2004, Warsaw, Polad, e-book: SM1S [3] Pasqualio I.P., Estefe S.F., A oliear aalysis of the buckle propagatio problem i deepwater pipelies, Iteratioal Joural of Solids ad Structures, vol. 38, 2001, [4] Ramesh G., Krishamoorthy C.S., Post-buckig aalysis of structures by dyamic relaxatio, Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig, vol. 36, 1993, [5] Ramm E., Strategies for tracig the oliear respose ear limit poits, [i:] W. Wuderlich, E. Stei ad K. J. Bathe, eds, Noliear Fiite Elemet Aalysis i Structural Mechaics, Spriger, Berli, Heidelberg, New York, [6] E. Riks E., The applicatio of Newtos method to the problem of elastic stability, Joural of Applied Mechaics, 39, 1972, [7] Schweizerhof K., Wriggers P., Cosistet liearizatio for path fallowig methods i oliear fe-aalysis, Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, 59, 1986, [8] Szcześiak A., Stolarski A., Aaliza wytężeia słupów żelbetowych metodą relaksacji dyamiczej, Biul. WAT, vol. 2, Warszawa, 2014, [9] Waszczyszy Z., Cichoń Cz., Radwańska M., Metoda elemetów skończoych w stateczości kostrukcji, Arkady, Warszawa, [10] Wriggers P., Noliear Fiite Elemet Methods, Spriger, A. SZCZEŚNIAK, A. STOLARSKI Dyamic relaxatio method with arc-legth parameter for aalysis of reiforced cocrete colums Abstract. The paper presets the modificatio of the dyamic relaxatio method i order to icrease its effectiveess i the rage of the post-critical aalysis. For this purpose, the arc-legth parameter o the equilibrium path was itroduced ito the computatioal procedure. The additioal costraits equatio that combies icremet of load parameter ad the vector of displacemet icremets with the arc-legth icremet o the solutio path was icorporated to aalysis of the equatios of motio.

10 224 A. Szcześiak, A. Stolarski Solutio of oliear equilibrium equatios is obtaied recursively i subsequet pseudo-time istats. The proposed method allows for trackig the global softeig pheomeo of the structural elemet i the post-critical rage, which leads to failure. We ra umerical experimets for the reiforced cocrete eccetrically loaded colum. Our comparative aalysis with previously published umerical results demostrated that the proposed computatioal method is effective. Keywords: reiforced cocrete colums, dyamic relaxatio method, arc-legth method, loadcarryig capacity DOI: /