Podstawy algebry ogóolnej i teorii kategorii semestr zimowy 2005/06

Transkrypt

1 Egzamin z wyk ladu monograficznego Poje ecia, terminologia i notacja: Podstawy algebry ogóolnej i teorii kategorii semestr zimowy 2005/06 Przyjmujemy zwyk la definicjee sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry i Σ-homomorfizmu; poniżej wykorzystujemy standardowaa notacje z wyk ladu. Rozważmy dowolna sygnature Σ = S, Ω. G lośna Σ-algebra to dowolna Σ-algebra, gdzie do każdego elementu może byćc doczepiony albo dzwonek, albo gwizdek. Ponadto, od każdego dzwonka może prowadzićc sznurek do elementu nośnika algebry tego samego rodzaju, co element, do któorego doczepiony jest dzwonek. To znaczy, w g lośnej Σ-algebrze A, dla każdego elementu a A s nośnika algebry, zachodzi jedna z trzech możliwości: albo do a doczepiony jest dzwonek, co bedziemy zapisywaćc jako B A (a), i wóowczas możliwe sa dwa dalsze przypadki: albo prowadzi od niego sznurek do elementu a A s nośnika tego samego rodzaju, co zapisywaćc be edziemy jako P A (a) = a ; albo nie prowadzi od niego żaden sznurek; albo do a doczepiony jest gwizdek, co be edziemy zapisywaćc jako W A (a); albo nic nie jest do a doczepione. Σ-homomorfizm g lośnych Σ-algebr h : A B to taki Σ-homomorfizm algebr h : A B, któory przeprowadza elementy z doczepionymi dzwonkami na elementy z doczepionymi dzwonkami (tzn., B A (a) implikuje B B (h(a))), a elementy z doczepionymi gwizdkami na elementy z doczepionymi gwizdkami (tzn., W A (a) implikuje W B (h(a))), oraz zachowuje po laczenia sznurkami (tzn., P A (a) = a implikuje P B (h(a)) = h(a )). Rozważamy Σ-formu ly nastepuja acych postaci: Σ-B-formu ly: X.B(X ) B(t); Σ-P-formu ly: X.B(X ) B(P(t)), gdzie X jest S-rodzajowym zbiorem zmiennych, X jego S-rodzajowym podzbiorem, a t jest Σ-termem ze zmiennymi z X. Spe lnianie Σ-formu l przez g lośne Σ-algebry A definiujemy jak naste epuje: A = X.B(X ) B(t) gdy dla każdego wartościowania zmiennych v : X A takiego, że dla x X, B A (v(x)) (tzn., v(x) ma doczepiony dzwonek), zachodzi też B A (t A [v]) (tzn., wartośćc t A [v] termu t w algebrze A przy wartościowaniu v ma doczepiony dzwonek); A = X.B(X ) B(P(t)) gdy dla każdego wartościowania zmiennych v : X A takiego, że dla x X, B A (v(x)) (tzn., v(x) ma doczepiony dzwonek), zachodzi też B A (t A [v]) oraz dla pewnego a A, B A (a ) i P A (t A [v]) = a (tzn., wartośćc t A [v] termu t w algebrze A przy wartościowaniu v ma doczepiony dzwonek i prowadzi od niego sznurek do elementu, któory też ma doczepiony dzwonek). Dla dowolnej sygnatury Σ i zbioru Σ-formul Φ, definiujemy nastepuja ace kategorie: 1

2 BPWAlg(Σ, Φ) kategoria wszystkich g lośnych Σ-algebr spe lniajacych Φ, z homomorfizmami jak wyżej. BPAlg(Σ, Φ) pe lna podkategoria BPWAlg(Σ, Φ) wyznaczona przez wszystkie g lośne Σ- algebry bez gwizdkóow. BAlg(Σ, Φ) pe lna podkategoria BPAlg(Σ, Φ) wyznaczona przez wszystkie g lośne Σ-algebry bez sznurkóow. Alg(Σ, Φ) pe lna podkategoria BPWAlg(Σ, Φ) wyznaczona przez wszystkie g lośne Σ-algebry bez dzwonkóow, gwizdkóow i sznurkóow (czyli jest to pewna kategoria zwyk lych Σ-algebr). Pusty zbióor formu l w powyższych oznaczeniach pomijamy; zatem na przyk lad Alg(Σ) jest kategoriaa wszystkich Σ-algebr (bez dzwonkóow, gwizdkóow i sznurkóow). Rozważamy też nastepuja ace funktory: F Σ,Φ : BPWAlg(Σ, Φ) BPAlg(Σ) funktor, któory zapomina o doczepionych gwizdkach. G Σ,Φ : BAlg(Σ, Φ) Alg(Σ) funktor, któory zapomina o doczepionych dzwonkach i sznurkach. Zadanie: Któore z poniższych stwierdzeń sa prawdziwe dla dowolnej sygnatury Σ? Udowodnij lub uzasadnij odpowiedź negatywna. 1. Kategoria BPWAlg(Σ) jest 2. Dla dowolnego zbioru Σ-formu l Φ, kategoria BPAlg(Σ, Φ) jest 3. Dla dowolnego zbioru Σ-B-formu l Φ, kategoria BAlg(Σ, Φ) jest 4. Dla dowolnego zbioru Σ-B-formu l Φ, funktor G Σ,Φ : BAlg(Σ, Φ) Alg(Σ) ma (a) lewy sprze (b) prawy sprze 5. Dla dowolnego zbioru Σ-formu l Φ, funktor F Σ,Φ : BPWAlg(Σ, Φ) BPAlg(Σ) ma (a) lewy sprze (b) prawy sprze 6. Funktor F Σ, : BPWAlg(Σ) BPAlg(Σ) ma (a) lewy sprze (b) prawy sprze 7. Kategoria BPWAlg(Σ) ma epimorficzno-monomorficzny system podzia lu. 2

3 Szkic rozwiazań: (Mam nadzieje, że bez wiekszych b ledóow :-) 1. Niech sygnatura Σ zawiera sta laa c. Istnieja g lośne Σ-algebry A i B takie, że B A (c a ) oraz W B (c B ). Nie istnieje g lośna Σ-algebra C z Σ-homomorfizmami g lośnych Σ-algebr h A : A C i h B : B C. Zatem: (a) Kategoria BPWAlg(Σ) nie jest zupe lna, bo nie istnieje w niej obiekt końcowy. (Uwaga: granice niepustych diagramóow w niej istnieja i można je skonstruowaćc w standardowy sposóob.) (b) Kategoria BPWAlg(Σ) nie jest kozupe lna, bo nie istnieje w niej koprodukt A i B. 2. Niech Σ = S, Ω. Dla dowolnego zbioru Σ-formu l Φ, rozpatrzmy dwa Σ-homomorfizmy g, h : A B w BPAlg(Σ, Φ) i rodzine e algebr A i BPAlg(Σ, Φ), i I. (a) Kategoria BPAlg(Σ, Φ) jest zupe lna; wystarczy pokazaćc istnienie equalizatora e : E A homomorfizmóow g, h i produktu P BPAlg(Σ, Φ) rodziny A i i I : Definiujemy nośnik E = {a A g(a) = h(a)}. Operacje w E sa określone tak, jak w A (wyniki należaa do E, bo g i h to Σ-homomorfizmy). Dla a E, B E (a) wtedy i tylko wtedy, gdy B A (a). Dla a E i a A, P E (a) = a wtedy i tylko wtedy, gdy P A (a) = a (to jest dobrze określone, bo jeśli P A (a) = a to a E, bo g i h to Σ-homomorfizmy g lośnych algebr). Teraz latwo sprawdzićc, że: E BPAlg(Σ, Φ), gdy A BPAlg(Σ, Φ), inkluzja e : E A jest Σ-homomorfizmem g lośnych algebr e : E A, e : E A jest equalizatorem g i h w BPAlg(Σ, Φ). Nośnik P = {f : I i I A i f(i) A i dla i I } jest produktem nośnikóow algebr rodziny A i i I. Operacje z Σ zdefiniowane sa po wspóo lrzednych, jak zwykle. Dla f P, B P (f) wtedy i tylko wtedy, gdy B Ai (f(i)) dla wszystkich i I. Dla f, f P, P P (f) = f wtedy i tylko wtedy, gdy P Ai (f(i)) = f (i) dla wszystkich i I. Latwo teraz sprawdzićc, że: P BPAlg(Σ, Φ), gdy A i BPAlg(Σ, Φ) dla wszystkich i I, dla i I, π i : P A i zadane przez π(f) = f(i), dla f P, sa Σ-homomorfizmami g lośnych Σ-algebr, P z rzutowaniami π i jest produktem rodziny A i i I. (b) Kategoria BPAlg(Σ, Φ) jest kozupe lna; wystarczy pokazaćc istnienie koproduktu C BPAlg(Σ, Φ) rodziny A i i I i koequalizatora k : B K homomorfizmóow g, h. Pomocnicze pojecie: Dla dowolnej g lośnej Σ-algebry D BPWAlg(Σ), g lośna kongruencja na D to taka Σ-kongruencja = na D, któora dodatkowo spe lnia nastepuja acy warunek: dla d, d, e, e D, jeśli P D (d) = d, P D (e) = e oraz d = e to d = e. Algebra ilorazowa D/ = jest wóowczas zdefiniowana jak zwykle, przy czym: B D/ = ([d] = ) wtedy i tylko wtedy, gdy B D (d ) dla pewnego d = d, oraz PD/ = ([d] = ) = [e] = wtedy i tylko wtedy, gdy P D (d ) = e dla pewnych d = d i e = e (to jest dobrze określone na mocy definicji g lośnej kongruencji). Zauważmy, że dla dowolnej Σ-formu ly φ rozważanych postaci, jeśli D = φ to także D/ = = φ. Latwo też sprawdzićc, że dla każdej relacji na D istnieje najmniejsza g lośna kongruencja na D zawierajaca te relacje. Co wiecej, jadro każdego homomorfizmu g lośnych algebr jest g lośna kongruencja. Dalej, naturalna funkcja [ ] = : D D/ = jest homomorfizmem g lośnych algebr. W końcu, majac dany homomorfizm g lośnych algebr l : D D, jeśli jadro l zawiera =, to funkcja j([d] = ) = l(d) określa homomorfizm g lośnych algebr j : D/ = D. 3

4 Niech = bedzie najmniejszaa g lośna kongruencja na B taka, że g(a) = h(a) dla wszystkich a A. Niech K = B/ =, a k : B K bedzie naturalnym g lośnym homomorfizmem takim, że k(b) = [b] =. Latwo teraz sprawdzićc, że: K BPAlg(Σ, Φ), gdy B BPAlg(Σ, Φ), k : B K jest koequalizatorem g i h w BPAlg(Σ, Φ). Dla dowolnego S-rodzajowego zbioru X oraz jego podzbioróow X P X B X, zdefiniujmy nastepuja aca a g lośna algebree F X B,X P Σ,Φ (X) BPAlg(Σ, Φ). Rozpatrzmy zbióor T Σ +(X) wszystkich Σ + -termóow ze zmiennymi X, gdzie Σ + jest sygnaturaa Σ z dodatkowaa (nowa) operacjaa p : s s, dla każdego rodzaju s w Σ. Niech B, P i F beda najmniejszymi (S-rodzajowymi) podzbiorami T Σ +(X) takimi, że: X F ; X B B; X P P; dla każdego t P, p(t) F ; dla każdej Σ-operacji f : s 1... s n s i t 1 F s1,..., t n F sn, f(t 1,..., t n ) F s ; dla każdej formu ly Y.B(Y ) B(t) w Φ i każdego wartościowania v : Y F, jeśli v(y) B dla wszystkich y Y, to także t[v] B, gdzie t[v] jest termem t, w któorym za każdaa zmienna y Y wstawiono term v(y); dla każdej formu ly Y.B(Y ) B(P(t)) w Φ i każdego wartościowania v : Y F, jeśli v(y) B dla wszystkich y Y, to także t[v] B, t[v] P oraz p(t[v]) B, gdzie t[v] jest termem t, w któorym za każdaa zmienna y Y wstawiono term v(y). ( Latwo sprawdzićc, że istnieja najmniejsze zbiory spe lniajace te w lasności, oraz P B F.) F X B,X P Σ,Φ (X) jest g lośna algebraa o nośniku F, z dzwonkami doczepionymi do elementóow w B i ze sznurkami doczepionymi do elementóow t P, przy czym wóowczas (t) = p(t). P X F B,X P Σ,Φ (X) Latwo sprawdzićc, że F X B,X P Σ,Φ (X) BPAlg(Σ, Φ), oraz dla każdej g lośnej algebry A BPAlg(Σ, Φ) i funkcji v : X A takiej, że B A (v(x)) dla każdego x X B oraz dla każdego x X P, P A (v(x)) = a dla pewnego a A, istnieje dok ladnie jeden homomorfizm g lośnych algebr v # : F X B,X P Σ,Φ (X) A, któory rozszerza v. Teraz, dla rodziny g lośnych Σ-algebr A i i I, niech X = { a, i i I, a A i } bedzie suma roz laczna a nośnikóow algebr A i, i I; niech X B = { a, i i I, a A i, B Ai (a)} bedzie jego podzbiorem z lożonym z tych elementóow, do któorych sa doczepione dzwonki; podobnie, niech X P = { a, i i I, a A i, P Ai (a) = a dla pewnego a A i }. Niech = bedzie najmniejszaa g lośna kongruencja na F X B,X P Σ,Φ (X) taka, że: dla każdej Σ-operacji f : s 1... s n s, i I oraz a 1 A i s1,..., a n A i sn, zachodzi f( a 1, i,..., a n, i ) = f Ai (a 1,..., a n ), i ; dla i I oraz P Ai (a) = a, p( a, i ) = a, i. Zdefiniujmy C jako algebree ilorazowaa F X B,X P Σ,Φ (X)/ =. Latwo teraz sprawdzićc, że: C BPAlg(Σ, Φ); dla i I, i (a) = [a] = dla a A i definiuje homomorfizm g lośnych algebr i : A i C, C z rodzina w lożeń i : A i C, i I, jest koproduktem rodziny A i, i I. 3. Dla dowolnego zbioru Σ-B-formu l Φ, kategoria BAlg(Σ, Φ) jest zupe lna i kozupe lna wystarczy sprawdzićc, że BAlg(Σ, Φ) jest zamknieta na konstrukcje equalizatoróow, produktóow, koequalizatoróow i koproduktóow zdefiniowane w rozwiazaniu zadania 2 powyżej. 4

5 4. Dla dowolnego zbioru Σ-B-formu l Φ, funktor G Σ,Φ : BAlg(Σ, Φ) Alg(Σ) ma (a) lewy sprzeżony: wystarczy sprawdzićc, że konstrukcja obiektu wolnego nad algebraa A BPAlg(Σ) w rozwiazaniu zadania 5 poniżej daje algebree w BAlg(Σ, Φ), o ile A Alg(Σ) i Φ jest zbiorem Σ-B-formu l. W tym wypadku, konstrukcja upraszcza sie znacznie: dla dowolnej algebry A Alg(Σ), niech B A bedzie najmniejszym zbiorem takim, że dla każdej formu ly Y.B(Y ) B(t) i wartościowania v : Y A takiego, że v(y) B dla wszystkich y Y, także wartośćc termu t w A przy wartościowaniu v należy do B, t A [v] B. Wowczas algebra A z dzwonkami doczepionymi do wszystkich elementóow B (i tylko do tych elementóow) jest wolna nad A wzgledem G Σ,Φ z identycznościa jako jednościa. (b) prawy sprzeżony: dla dowolnej algebry A Alg(Σ), A z dzwonkami doczepionymi do wszystkich elementóow jest kowolna nad A wzgledem wzgledem G Σ,Φ z identycznościa jako kojednościa. 5. Dla dowolnego zbioru Σ-formu l Φ, funktor F Σ,Φ : BPWAlg(Σ, Φ) BPAlg(Σ) (a) ma lewy sprzeżony: wystarczy pokazaćc istenienie algebr wolnych. Niech A BP Alg(Σ). Wykorzystamy konstrukcje z rozwiazania zadania 2 Przyjmijmy X = A, X B = {a B A (a)} i X P = {a P Ai (a) = a dla pewnego a A }. Niech = bedzie najmniejszaa g lośna kongruencja na F X B,X P (X) taka, że: Σ,Φ dla każdej Σ-operacji f : s 1... s n s oraz a 1 A s1,..., a n A sn, zachodzi f(a 1,..., a n ) = f A (a 1,..., a n ); dla P Ai (a) = a, p(a) = a. Zdefiniujmy C = F X B,X P Σ,Φ (X)/ =. Latwo teraz sprawdzićc, że: C BPWAlg(Σ, Φ); η A (a) = [a] = dla a A definiuje homomorfizm g lośnych algebr η A : A F Σ,Φ (C), C z jednościa η A : A F Σ,Φ (C) jest algebraa wolna nad A wzgledem F Σ,Φ. (b) nie ma prawego sprzeżonego (patrz rozwiazanie zadania 6 poniżej). 6. Funktor F Σ, : BPWAlg(Σ) BPAlg(Σ) (a) ma lewy sprzeżony jako szczegóolny przypadek zadania 6, albo w tym przypadku możliwie najprościej: g lośna algebraa wolna nad A BPAlg(Σ) wzgledem funktora F Σ, jest ta sama algebra A (bez żadnych gwizdkóow) z identycznościa jako jednościa. (b) nie ma prawego sprzeżonego: BPAlg(Σ) ma obiekt końcowy (zadanie 2), prawe sprzeżone zachowujaa granice, a BPWAlg(Σ) nie ma obiektu końcowego (zadanie 1). 7. Kategoria BPWAlg(Σ) ma (wie ecej niż jeden) epimorficzno-monomorficzny system podzia lu. Na przyk lad: mocnym epimorfizmem g lośnych algebr nazwijmy każdy homomorfizm g lośnych algebr h : A B taki, że naturalna funkcja i : A B zadana przez i([a] =h ) = h(a), gdzie =h jest jadrem homomorfizmu h, jest izomorfizmem g lośnych algebr i : A/ = h B. Mocne epimorfizmy i róożnowartościowe homomorfizmy (monomorfizmy) g lośnych algebr tworza system podzia lu dla BPWAlg(Σ). 5