Prawdopodobieństwo i statystyka

Transkrypt

1 Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017

2 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja X : Ω IR 1 o własności X 1 ((a, + )) = {ω ; X (ω) > a} F, a IR 1. Jak wkrótce zobaczymy, warunek użyty w definicji zmiennej losowej jest najsłabszym wymaganiem pozwalającym zdefiniować wartość oczekiwaną.

3 Definicja zmiennej losowej Zauważmy, że {ω ; X (ω) > a} F wtedy. i tylko wtedy, gdy {ω ; X (ω) a} F. X jest więc zmienną losową, jeśli X 1 ((, a]) = {ω ; X (ω) a} F, air 1. Niech X będzie zmienną losową. Wtedy dla a IR 1 X 1 ([a, + )) = {ω ; X (ω) a} = {ω ; X (ω) > a 1 m } F. m=1 X 1 ((, a)) = {ω ; X (ω) < a} = {ω ; X (ω) a 1 m } F. m=1

4 Definicja zmiennej losowej W szczególności dla a < b X 1 ((a, b]) = {ω ; X (ω) b} \ {ω ; X (ω) a} F, X 1 ([a, b)) = {ω ; X (ω) < b} \ {ω ; X (ω) < a} F, X 1 ((a, b)) = {ω ; X (ω) < b} \ {ω ; X (ω) a} F, X 1 ([a, b]) = {ω ; X (ω) b} \ {ω ; X (ω) < a} F. Widoczne jest, że rodzina zbiorów D IR 1 o własności X 1 (D) F jest bardzo bogata. Jak bardzo? {D IR 1 ; X 1 (D) F} jest σ-algebrą (bo operacja przeciwobrazu zachowuje operacje na zbiorach).

5 Definicja zmiennej losowej Definicja zbiorów borelowskich Najmniejsza σ-algebra zawierająca wszystkie półproste (a, + ) ; a IR 1) jest nazywana σ-algebrą borelowską i oznaczana B 1. Elementy B 1 są zbiorami borelowskimi. Uwaga: Najmniejsza σ-algebra zawierająca daną klasę zbiorów C zawsze istnieje! Twierdzenie Jeśli X jest zmienna losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P), to dla każdego zbioru borelowskiego B B 1 X 1 (B) F. W szczególności, dla każdego zbioru borelowskiego B IR 1 możliwe obliczyć P ( X 1 (B) ) = P( { ω ; X (ω) B } ).

6 Funkcje zmiennych losowych Niech X będzie zmienną losową i niech f : IR 1 IR 1. Istotne jest pytanie, kiedy f (X ) jest zmienną losową? Przykład: f (x) = x 2. X 2 jest zmienną losową, bo dla każdego a IR 1 {ω ; X 2 (ω) a} = {ω ; a X (ω) a} = {ω ; X (ω) a} \ {ω ; X (ω) < a} F. Czy musimy takie rozumowanie przeprowadzać dla każdego f z osobna? Zauważmy, że ( f (X ) ) 1 ( (a, + ) ) = X 1 ( f 1( (a, + ) )). Jeśli więc f 1 ((a, + )) B 1, a IR 1, to f (X ) jest zmienną losową!

7 Funkcje zmiennych losowych Definicja funkcji borelowskiej Funkcja f : IR 1 IR 1 jest borelowska, jeśli Wniosek f 1( (a, + ) ) B 1, a IR 1. Jeśli X jest zmienną losową i f : IR 1 IR 1 jest funkcją borelowską, to f (X ) jest zmienną losową. Twierdzenie Złożenie funkcji borelowskich jest funkcją borelowską. Funkcje monotoniczne są borelowskie. Funkcje ciągłe są borelowskie. Funkcje schodkowe są borelowskie.

8 Aproksymacja przez proste zmienne losowe Twierdzenie Każda zmienna losowa jest punktową granicą ciągu prostych zmiennych losowych (zmienna losowa jest prosta, gdy przyjmuje tylko skończony zbiór wartości). Twierdzenie Każda nieujemna zmienna losowa jest punktową granicą niemalejącego ciągu prostych funkcji nieujemnych.

9 Granica punktowa ciągu zmiennych losowych Twierdzenie Punktowa granica ciągu zmiennych losowych jest zmienną losową. Wniosek Suma, iloczyn itp. zmiennych losowych jest zmienną losową.

10 Unifikacja dwóch znanych wzorów Niech p i 0, i p i = 1 i niech x i 0. Połóżmy F (x) = p i. {i ; x i x} Wtedy x i p i = (1 F (x)) dx. i 0 Podobnie, niech p(x) 0, x 0 i 0 p(x) dx = 1. Jeśli położyć x F (x) = p(x) dx, 0 to znów mamy xp(x) dx = (1 F (x)) dx. 0 0

11 Wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej Definicja Niech X będzie nieujemną zmienna losową. Wartość oczekiwaną X definiujemy jako całkę EX := + 0 P(X > u) du [0, + ]. Własności wartości oczekiwanej dla X 0 EX = 0 wtedy, i tylko wtedy, gdy P(X = 0) = 1. Jeśli α 0, to E(αX ) = αex. Jeśli 0 X Y, to EX EY.

12 Wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej Twierdzenie Lebesgue a o zbieżności monotonicznej Jeśli 0 X 1 X 2..., to Wniosek Jeśli X i Y są nieujemne, to E lim X n = lim EX n. n n E(X + Y ) = EX + EY. Jak wykazać powyższy wniosek?

13 Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zdefiniujmy funkcje pomocnicze h + (x) i h (x) wzorami h + (x) = 0 x i h (x) = 0 ( x). Jeśli X jest zmienna losową, to jej dodatnia część X + i ujemna część X są określone wzorami Zauważmy, że X + = h + (X ), X = h (X ). X = X + X oraz X = X + + X. Definicja Niech X będzie zmienną losową. Jeśli EX + < + i EX < +, to mówimy, że wartość oczekiwana X istnieje i definujemy EX := EX + EX (, + ).

14 Własności wartości oczekiwanej Twierdzenie 1 EX E X. 2 Jeśli E X < + i E Y < +, to dla dowolnych liczb α, β R 1 zmienna losowa αx + βy ma wartość oczekiwaną E (αx + βy ) = αex + βey. 3 Jeśli Y X i wartości oczekiwane istnieją, to EY EX.

15 Zbieżność wartości oczekiwanych Twierdzenie Lebesgue a o zbieżności majoryzowanej Jeśli X = lim n X n istnieje prawie na pewno oraz X n Y prawie na pewno, n IN, gdzie EY < +, to X jest zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej i mamy EX = lim EX n. n Zadanie Podać przykład zbieżnego ciągu zmiennych losowych {X n } o skończonych wartościach oczekiwanych, którego granica X ma skończoną wartość oczekiwaną EX lim n EX n.